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第 02 讲 三角形的高线、中线、角平分线以及稳定性
课程标准 学习目标
1. 掌握三角形的高、中线以及角平分线的概念和画法。掌握钝
①三角形的高、中线与角平分线
角三角形短边上的高的画法。
②三角形的稳定性
2. 掌握三角形的稳定性以及在实际生活中的实际应用。
知识点01 三角形的高
1. 三角形高线的定义：
如图，过三角形的顶点作对边的垂线， 顶点 与 垂足 之间的线段是三角形
的高线。
BD是△ABC的高 BD ⊥ AC
2. 三角形高的画法：
一靠：将三角尺的一条直角边靠在要作高的边上；
二移：移动三角尺，使另一条直角边通过要作高的顶点；
三画：画出垂线段。
3. 锐角三角形、直角三角形以及钝角三角形所有高线的图示：4.
三角形的垂心：
三角形有 3 条高线，且三条高线交于一点，这个点叫做三角形的 垂心 。
5.
高线与垂心的位置与三角形形状的关系：
锐角三角形的三条高都在 三角形内部 ，垂心在 三角形内部 。
直角三角形有两条高是 三角形的边 ，垂心在 三角形的直角顶点上 。
钝角三角形有两条高在 三角形外 ，垂心在 三角形外 。
【即学即练1】
1．如图，在△ABC中，关于高的说法正确的是（ ）
A．线段AD是AB边上的高 B．线段BE是AC边上的高
C．线段CF是AC边上的高 D．线段CF是BC边上的高
【分析】根据三角形的一个顶点到对边的垂线段叫做三角形的高对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：∵AD⊥BC于点D，
∴△ABC中，AD是BC边上的高，故A不符合题意，
∵BE⊥AC，线段BE是AC边上的高，B选项符合题意；
∵CF⊥AB于点F，
∴CF是AB边上的高，故C选项不符合题意，D选项不符合题意．
故选：B．
【即学即练2】
2．如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．不能确定
【分析】根据三角形的高的特点对选项进行一一分析，即可得出答案．
【解答】解：A、锐角三角形，三条高线交点在三角形内，故错误；B、钝角三角形，三条高线不会交于一个顶点，故错误；
C、直角三角形的直角所在的顶点正好是三条高线的交点，可以得出这个三角形是直角三角形，故正确；
D、能确定C正确，故错误．
故选：C．
知识点02 三角形的中线
1. 三角形中线的定义：
如图，三角形的顶点与 对边中点 的连线段叫做三角形的中线。
2. 三角形中线的性质：
①AM是三角形的中线 M是BC的 中点 BM ＝ CM＝ BC。
面积 。即：
②中线平分三角形的
③中线分三角三角形的周长差等于对应另两边的差。即：
④三角形有 3 条中线，且三条中线交于一点，叫做三角形的 重心 。
【即学即练1】
3．如图，AD、CE都是△ABC的中线，连接ED，△ABC的面积是10cm2，则△BDE的面积是（ ）
A．1.25cm2 B．2cm2 C．2.5cm2 D．5cm2
【分析】根据三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分计算即可．
【解答】解：∵AD是△ABC的中线，△ABC的面积是10cm2，
∴△ABD的面积＝△ABC的面积× ＝5（cm2），
∵E是AB的中点，
∴△BDE的面积＝△ABD的面积× ＝2.5（cm2），
故选：C．
【即学即练2】
4．如图，CM是△ABC的中线，BC＝8cm，若△BCM的周长比△ACM的周长大 2cm，则 AC的长为
（ ）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【分析】根据CM是△ABC的中线可知AM＝BM，再由BC＝8cm，△BCM的周长比△ACM的周长大
2cm即可得出结论．
【解答】解：∵CM是△ABC的中线，BC＝8cm，
∴AM＝BM，
∴△BCM的周长＝BC+BM+CM，△ACM的周长＝AC+AM+CM，
∵△BCM的周长比△ACM的周长大2cm，
∴BC+BM+CM﹣（AC+AM+CM）＝2，即BC﹣AC＝2，
∴8﹣AC＝2，
解得AC＝6（cm）．
故选：D．
知识点03 三角形的角平分线
1. 三角形角平分线的定义：
如图。三角形的一个内角平分线与这个角对边相交，顶点和交点之间
的 线段 是三角形的角平分线。
2. 三角形角平分线的性质：
①AD是三角形的角平分线 ∠1 ＝ ∠2。
②三角形的角平分线把三角形分得的两个小三角形的面积比等于被角平分线分边分得的两条线段
。（利用下一单元的知识点证明）
比。即
③三角形有 3 条角平分线，三条角平分交于一点，这一点叫做三角形的 内心 。
【即学即练1】
5．如图，在△ABC中，∠1＝∠2＝∠3＝∠4，则下列说法中，正确的是（ ）
A．AD是△ABE的中线 B．AE是△ABC的角平分线
C．AF是△ACE的高线 D．AE是△DAF的中线【分析】利用已知条件可得∠BAE＝∠CAE，然后可得AE是△ABC的角平分线．
【解答】解：∵∠1＝∠2＝∠3＝∠4，
∴∠1+∠2＝∠3+∠4，
即∠BAE＝∠CAE，
∴AE是△ABC的角平分线，
故选：B．
知识点04 三角形的稳定性
1. 三角形的稳定性：
三角形的三条边确定，则这个三角形的 形状 和 大小 就会确定。这就是三角形的稳定性。
【即学即练1】
6．如图所示，工人师傅在砌门时，通常用木条 BD固定长方形门框ABCD，使其不变形，这样做的数学根
据是（ ）
A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短
C．同角的余角相等 D．三角形具有稳定性
【分析】三角形具有稳定性，由此即可得到答案．
【解答】解：工人师傅在确门时，通常用木条BD固定长方形门纸ABCD，使其不变形，这样做的数学
根据是三角形具有稳定性．
故选：D．
题型01 画三角形的高线
【典例1】在下列各图的△ABC中，正确画出AC边上的高的图形是（ ）
A． B．C． D．
【分析】根据三角形的高的概念判断．
【解答】解：AC边上的高就是过B作垂线垂直AC交AC的延长线于D点，因此只有B符合条件，
故选：B．
【变式1】下列各图中，画出AC边上的高，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据三角形高的定义，过点B与AC边垂直，且垂足在边AC上，然后结合各选项图形解答．
【解答】解：根据三角形高线的定义，只有D选项中的BE是边AC上的高．
故选：D．
【变式2】如图，在△ABC中，边AB上的高是（ ）
A．AF B．BE C．CE D．BD
【分析】根据三角形高的定义：从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点到垂足之间的线段叫
做三角形的高，即可得到结果．
【解答】解：△ABC中，过点C作边AB的垂线，与直线AB相交，点C与交点之间的线段是边AB上的
高，
由图可知：CE是边AB上的高，
故答案选：C．
【变式 3】如图所示，已知 AD⊥BC，GC⊥BC，CF⊥AB，D、C、F是垂足，下列说法中错误的是
（ ）A．△ABC中，CF是AB边上的高
B．△AGC中，CF是AG边上的高
C．△GBC中，GC是BC边上的高
D．△BFC中，CG是BF边上的高
【分析】根据三角形的一个顶点到对边的垂线段叫做三角形的高，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：∵AD⊥BC，GC⊥BC，CF⊥AB，
A、△ABC中，CF是AB边上的高，正确；
B、△AGC中，CF是AG边上的高，正确；
C、△GBC中，GC是BC边上的高，正确；
D、△BFC中，CF是BF边上的高，错误．
故选：D．
题型02 利用三角形的高线与垂心判断三角形的形状
【典例1】若一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．以上都 不对
【分析】作出一个直角三角形的高线进行判断，就可以得到．
【解答】解：因为直角三角形的直角所在的顶点正好是三条高线的交点，所以可以得出这个三角形是直
角三角形．
故选：C．
【变式1】只有一条高在三角形内部的三角形是（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．直角三角形或钝角三角形
【分析】根据三角形高线的性质来解答即可．
【解答】解：A、锐角三角形的三条高都在三角形的内部，错误；
B、直角三角形直角边上的高分别与另一直角边重合，还有一条高在三角形内部，正确；
C、钝角三角形中，夹钝角两边上的高在三角形的外部，另一条高在三角形的内部，正确；
D、是B、C的综合观点，正确；
故选：D．
【变式2】若一个三角形的三条高所在直线的交点在三角形外部，此三角形是 钝角 三角形．【分析】根据高的概念，知三角形的三条高所在直线的交点在外部的三角形是钝角三角形．
钝角三角形的三条高所在的直线的交点在三角形的外部；
锐角三角形的三条高的交点在三角形的内部；
直角三角形的三条高的交点是三角形的直角顶点．
【解答】解：若一个三角形的三条高所在直线的交点在三角形外部，此三角形是钝角三角形．
故答案为：钝角．
【变式3】若三角形的三条高的交点在这个三角形的内部，那么这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
【分析】锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，
另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形
内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．根据三角形的高的概念，即可得出答案．
【解答】解：若三角形的三条高的交点在这个三角形的内部，那么这个三角形是锐角三角形．
故选：A．
题型03 中线平分三角形的面积
【典例1】三角形一边上的中线把原三角形分成两个（ ）
A．形状相同的三角形 B．面积相等的三角形
C．直角三角形 D．周长相等的三角形
【分析】根据三角形的面积公式以及三角形的中线定义，知三角形的一边上的中线把三角形分成了等底
同高的两个三角形，所以它们的面积相等．
【解答】解：三角形一边上的中线把原三角形分成两个面积相等的三角形．
故选：B．
【变式1】王老汉要将一块如图所示的三角形土地平均分配给两个儿子，则图中他所作的线段 AD应该是
△ABC的（ ）
A．角平分线 B．中线
C．高线 D．以上都不是
【分析】根据三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分解答．
【解答】解：由三角形的面积公式可知，三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分，
∴他所作的线段AD应该是△ABC的中线，
故选：B．
【变式2】如图，已知△ABC中，点D、E分别是边BC、AB的中点．若△ABC的面积等于8，则△BDE
的面积等于（ ）A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：∵点D是边BC的中点，△ABC的面积等于8，
∴S△ABD ＝ S△ABC ＝4，
∵E是AB的中点，
∴S△BDE ＝ S△ABD ＝ 4＝2，
故选：A．
【变式3】已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC ＝4cm2，则
阴影部分的面积为 1 cm2．
【分析】易得△ABD，△ACD为△ABC面积的一半，同理可得△BEC的面积等于△ABC面积的一半，
那么阴影部分的面积等于△BEC的面积的一半．
【解答】解：∵D为BC中点，根据同底等高的三角形面积相等，
∴S△ABD ＝S△ACD ＝ S△ABC ＝ ×4＝2（cm2），
同理S△BDE ＝S△CDE ＝ S△BCE ＝ ×2＝1（cm2），
∴S△BCE ＝2（cm2），
∵F为EC中点，
∴S△BEF ＝ S△BCE ＝ ×2＝1（cm2）．
故答案为1．
题型04 三角形的中线分得的三角形的周长差与边的差
【典例1】在△ABC中，AB＝20，BC＝18，BD是AC边上的中线，若△ABD的周长为45，△BCD的周长
是（ ）
A．47 B．43 C．38 D．25
【分析】根据三角形的中线的概念得到CD＝AD，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【解答】解：∵BD是AC边上的中线，
∴CD＝AD，
∵△ABD的周长为45，
∴AB+AD+BD＝45，
∵AB＝20，
∴20+CD+BD＝45，
∴CD+BD＝25，
∵BC＝18，
∴△BCD的周长＝BC+CD+BD＝18+25＝43，
故选：B．
【变式1】如图，在△ABC中，点E是BC的中点，AB＝7，AC＝10，△ACE的周长是25，则△ABE的周
长是（ ）
A．18 B．22 C．28 D．32
【分析】根据中点得到BE＝CE，再表示出△ACE和△ABE的周长，找出它们的联系即可．
【解答】解：∵点E是BC的中点，
∴BE＝CE，
∵AB＝7，AC＝10，
∴△ACE的周长＝AC+CE+AE＝25＝10+CE+AE，
∴CE+AE＝15，
∴△ABE的周长＝AB+BE+AE＝7+CE+AE＝7+15＝22，
故选：B．
【变式2】如图所示，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，AD是△ABC的中线，则△ABD与△ADC的周长之
差为（ ）
A．14 B．1 C．2 D．7
【分析】由三角形中线的定义推知BD＝DC；然后根据三角形的周长的定义知△ABD与△ADC的周长之差为（AB﹣AC）．
【解答】解：∵如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD．
∵△ABD的周长＝AB+AD+BD，△ADC的周长＝AC+AD+CD＝AC+AD+BD，
∴△ABD与△ADC的周长之差为：AB﹣AC＝8﹣6＝2．
故选：C．
【变式3】如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多5cm，AB与AC
的和为13cm，求AC的长．
【分析】根据中线的定义知CD＝BD．结合三角形周长公式知AC﹣AB＝5cm；又AC+AB＝13cm．易求
AC的长度．
【解答】解：∵AD是BC边上的中线，
∴D为BC的中点，CD＝BD．
∵△ADC的周长﹣△ABD的周长＝5cm．
∴AC﹣AB＝5cm．
又∵AB+AC＝13cm，
∴AC＝9cm．
即AC的长度是9cm．
题型05 三角形的稳定性的应用
【典例1】如图，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中所示那样钉上两条斜拉的木板条（即图
中的AB和CD）．这样做的依据是（ ）A．矩形的对称性 B．三角形的稳定性
C．两点之间线段最短 D．垂线段最短
【分析】根据三角形具有稳定性、四边形不具有稳定性求解即可
【解答】解：木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中所示那样钉上两条斜拉的木板条．这样做
的依据是三角形的稳定性，
故选：B．
【变式1】2024年年初，山西省最长的跨黄河大桥——临猗黄河大桥完成合龙任务，如图，这是桥身的一
部分，桥身采用三角形钢结构架，这其中蕴含的数学道理是（ ）
A．三线合一
B．三角形的稳定性
C．垂线段最短
D．三角形两边之和大于第三边
【分析】由三角形的稳定性，即可得到答案．
【解答】解：桥身采用三角形钢结构架，这其中蕴含的数学道理是三角形的稳定性．
故选：B．
【变式2】如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是利用三角形的（ ）
A．全等形 B．稳定性 C．灵活性 D．对称性
【分析】根据三角形具有稳定性解答．
【解答】解：生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是因为三角形具有稳定性．
故选：B．
1．下列图形中，正确画出AC边上的高的是（ ）A． B．
C． D．
【分析】根据三角形的高的概念判断即可．
【解答】解：A、图中没有画出AC边上的高，不符合题意；
B、图中没有画出的BE是AC边上的高，不符合题意；
C、图中没有画出AC边上的高，不符合题意；
D、图中画出AC边上的高，符合题意；
故选：D．
2．下列说法正确的是（ ）
A．三角形的角平分线是射线
B．连接三角形任意两边中点的线段是三角形的中线
C．三角形的高都在三角形的内部
D．直角三角形的三条高线交于直角顶点处
【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的概念进行判断即可．
【解答】解：A、三角形的角平分线是线段，不符合题意；
B、三角形一边的中点与此边所对顶点的连线是三角形的中线，不符合题意；
C、三角形的高不一定在其内部，不符合题意；
D、直角三角形的三条高线交于直角顶点处，符合题意；
故选：D．
3．意大利面根根筋道，看起来极易折断，棉花糖柔软、容易固定．利用意大利面做架子，棉花糖做连接，
能搭建出“又高又稳”的建筑．在如图所示的模型中三角形架子是其主要结构，这种设计的原理是（
）
A．三角形具有稳定性 B．两点之间，线段最短
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
【分析】模型中三角形架子是其主要结构，故可用三角形的稳定性解释．
【解答】解：依题意，在如图所示的模型中三角形架子是其主要结构，这种设计的原理是三角形具有稳定性，
故选：A．
4．如图，AD是△ABC的中线，AB＝8，AC＝7．若△ACD的周长为18，则△ABD的周长为（ ）
A．15 B．16 C．20 D．19
【分析】根据三角形的中线的概念得到BD＝CD，再根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
∵△ACD的周长为18，
∴AC+AD+CD＝18，
∴AD+CD＝18﹣7＝11，
∴△ABD的周长为：AB+AD+BD＝8+AD+CD＝11+8＝19，
故选：D．
5．如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线，则下列说法中错误的是（ ）
A．BF＝CF B．∠C+∠CAD＝90°
C．∠BAF＝∠CAF D．S△ABC ＝2S△ABF
【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的概念判断．
【解答】解：∵AF是△ABC的中线，
∴BF＝CF，A说法正确，不符合题意；
∵AD是高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠C+∠CAD＝90°，B说法正确，不符合题意；
∵AE是角平分线，
∴∠BAE＝∠CAE，而∠BAF与∠CAF不一定相等，C说法错误，符合题意；
∵BF＝CF，
∴S△ABC ＝2S△ABF ，D说法正确，不符合题意；
故选：C．
6．如图，△ABC的角平分线AD、中线BE相交于点O．有下列两个结论：①AO是△ABE的角平分线；
②BO是△ABD的中线．其中（ ）A．只有①正确 B．只有②正确
C．①和②都正确 D．①和②都不正确
【分析】根据三角形的角平分线的定义，三角形的中线的定义可知．
【解答】解：AD是三角形ABC的角平分线，
则是∠BAC的角平分线，
所以AO是△ABE的角平分线，故①正确；
BE是三角形ABC的中线，
则E是AC是中点，而O不一定是AD的中点，故②错误．
故选：A．
7．如图、AD，BE，CF分别是△ABC的中线、高和角平分线，∠ABC＝90°，CF交AD于点G，交BE于
点H，则下列结论一定正确的是（ ）
A．∠ABE＝∠FCB B．∠GAC＝∠GCA C．FG＝GC D．BF＝BH
【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的概念、直角三角形的性质、三角形中位线定理判断即可．
【解答】解：A、∵∠ABC＝90°，
∴∠ABE+∠EBC＝90°，
∵∠BEC＝90°，
∴∠ACB+∠EBC＝90°，
∴∠ABE＝∠ACB＞∠FCB，故本选项说法错误，不符合题意；
B、当△ABC为等腰直角三角形时，AB≠AC，
∵AD是中线，
∴AD不是角平分线，
∴∠GAC≠∠GCA，故本选项说法错误，不符合题意；
C、∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝DC，
当FG＝GC时，DG是△CBF的中位线，
则GD∥BF，故本选项说法错误，不符合题意；
D、∵∠ACF＝∠BCF，∠BFC＝90°﹣∠BCF，∠BHF＝∠EHC＝90°﹣∠ACF，
∴∠BFC＝∠BHF，∴BF＝BH，故本选项说法正确，符合题意；
故选：D．
8．如图，在△ABC中，BD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线，若DC＝6，则AE的长度为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【分析】根据BD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线，可得AE＝ AD＝ CD，已知DC＝6，可得
AE的长度．
【解答】解：∵BD是△ABC的中线，
∴CD＝AD，
∵DC＝6，
∴AD＝6，
∵BE是△ABD的中线，
∴AE＝ED＝ AD＝3，
故选：A．
9．如图，在△ABC中，∠1＝∠2，G为AD的中点，连接BG并延长，交AC于点E，过点C作CH⊥AD
于点H，延长CH交AB于点F．下面说法错误的是（ ）
A．AD是△ABC的角平分线
B．CH是△ACD的边AD上的高线
C．AH是△ACF的角平分线和高线
D．BE是△ABD的边AD上的中线
【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的定义判断即可．
【解答】解：A、∵∠1＝∠2，
∴AD是△ABC的角平分线，本选项说法正确，不符合题意；
B、∵CH⊥AD，
∴CH是△ACD的边AD上的高线，本选项说法正确，不符合题意；C、∵∠1＝∠2，CH⊥AD，
∴AH是△ACF的角平分线和高线，本选项说法正确，不符合题意；
D、∵G为AD的中点，
∴BG是△ABD的边AD上的中线，故本选项说法错误，符合题意；
故选：D．
10．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE
于点H，给出以下结论：①BF＝AF；②∠AFG＝∠AGF；③∠FAG＝2∠ACF；④S△ABE ＝S△BCE ；
⑤BH＝CH．其中结论正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据三角形的中线的性质判断①；根据直角三角形的两锐角互余以及对顶角相等判断②；根
据角平分线的定义判断③，根据题意判断④．
【解答】解：∵BE是△ABC的中线，
∴S△ABE ＝S△BCE ，
故④正确，符合题意；
∵CF是角平分线，
∴∠ACF＝∠BCF，
∵AD⊥BC，
∴∠BCF+∠CGD＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ACF+∠AFG＝90°，
∴∠CGD＝∠AFG，
∵∠CGD＝∠AGF，
∴∠AGF＝∠AFG，
故②正确，符合题意；
∵AD⊥BC，∠BAC＝90°，
∴∠FAG＝∠ACB＝2∠ACF，
故③正确，符合题意；
由已知条件不能确定∠HBC＝∠HCB，
∴BH与CH的关系不能确定，故⑤错误，不符合题意；
∵CF是角平分线，∠BAC＝90°，
∴BF≠AF，
故①错误，不符合题意；综上，符合题意的有3个，
故选：B．
11．杜师傅在做完门框后，为防止门框变形常常需钉两根斜拉的木条，这样做的数学原理是 三角形的
稳定性 ．
【分析】杜师傅这样做是为了构成三角形，根据三角形的三边一旦确定，则形状大小完全确定，即三角
形的稳定性来解决问题．
【解答】解：杜师傅在做完门框后，为防止门框变形常常需钉两根斜拉的木条，这样做就构成了三角形，
利用的数学原理是三角形的稳定性．
故答案为：三角形的稳定性．
12．已知AD是△ABC的边BC上的中线，若△ABD的周长比△ACD的周长大6，则AB与AC的差是 6
.
【分析】依据三角形中线的定义，即可得到BD＝CD，再根据△ABD的周长比△ACD的周长大6，即可
得出AB与AC的差为6．
【解答】解：∵AD是△ABC的边BC上的中线，
∴BD＝CD，
∵△ABD的周长比△ACD的周长大6，
∴（AB+BD+AD）﹣（AC+CD+AD）＝6，
即AB﹣AC＝6，
故答案为：6．
13．若△ABC中，∠ACB是钝角，AD是BC边上的高，若AD＝2，BD＝3，CD＝1，则△ABC的面积等于
2 ．
【分析】首先根据题意画出图形，求出BC，再根据三角形的面积公式列式计算即可．
【解答】解：如图．
∵BD＝3，CD＝1，
∴BC＝BD﹣CD＝2，
又∵AD是BC边上的高，AD＝2，
∴△ABC的面积＝ BC•AD＝ ×2×2＝2．
故答案为2．14．如图，AD是△ABC的中线，若S△ABC ＝2，则S△ACD ＝ 1 ．
【分析】根据三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分计算即可．
【解答】解：∵AD是△ABC的中线，
∴S△ABD ＝S△ACD ＝ S△ABC ，
∵S△ABC ＝2，
∴S△ACD ＝1，
故答案为：1．
15．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多4，AB+AC＝24，则AC
的长为 1 4 ．
【分析】由△ADC的周长比△ABD的周长多4可得AC﹣AB＝4，AC+AB＝24，然后问题可求解．
【解答】解：∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
∵C△ADC ＝AD+CD+AC，C△ABD ＝AD+BD+AB，
∴C△ADC ﹣C△ABD ＝AD+CD+AC﹣AD﹣BD﹣AB＝AC﹣AB＝4，
∴AC+AB＝24，
∴2AC＝28，
∴AC＝14；
故答案为：14．
16．为使五边形木架（用5根木条钉成）不变形，哥哥准备如图①那样再钉上两根木条，弟弟准备如图
②那样再钉上两根木条，哪种方法能使木架不变形？为什么？【分析】利用三角形不易变形的性质即可解答．
【解答】解：哥哥的如图①那样钉上两根木条能使木架不变形，
因为三角形具有稳定性．
17．如图，在△ABC中（AC＞AB），AC＝2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成55和45两部分，
求AC和AB的长．
【分析】根据三角形的中线的定义得到CD＝BD，根据三角形的周长公式列方程，解方程得到答案．
【解答】解：设BC＝2x，则AC＝4x，
∵AD是BC边上的中线，
∴CD＝BD＝x，
由题意得：x+4x＝55，AB+x＝45，
解得：x＝11，AB＝34，
∴AC＝4x＝44，
∵AB+BC＞AC，
∴AC的长为44，AB的长为34，
答：AC的长为44，AB的长为34．
18．如图，在△ABC中，AD是中线，AB＝10cm，AC＝6cm．
（1）△ABD与△ACD的周长差为 4 cm．
（2）点E在边AB上，连接ED，若三角形ABC的周长被DE分成的两部分的差是2cm，求线段AE的
长．
【分析】（1）因为AD是中线，所以BD＝CD，因为△ABD的周长＝AB+AD+BD，△ACD的周长＝
AC+CD+AD，可得△ABD的周长△ACD的周长的差即 AB与AC的差，因为AB﹣AC＝4（cm），即
△ABD的周长△ACD的周长的差为4cm；（2）分两种情况讨论．
【解答】解：（1）∵AD是中线，
∴BD＝CD，
∵△ABD的周长＝AB+AD+BD，△ACD的周长＝AC+CD+AD，
∴△ABD的周长△ACD的周长的差即AB与AC的差，
∵AB﹣AC＝4（cm），
∴△ABD的周长△ACD的周长的差为4cm，
故答案为：4；
（2）①折线BE+BD比折线AE+AC+CD大2cm时，
即BE﹣（AE+AC）＝2cm，
∵AB＝10cm，AC＝6cm，
∴AE＝1cm，
②折线AE+AC+CD比折线BE+BD大2cm时，
即AE+AC﹣BE＝2cm，
∵AB＝10cm，AC＝6cm，
∴AE＝3cm，
综上，线段AE的长为1cm或3cm．
19．如图，在△ABC中（AB＞AC），AD是△ABC的中线，AE是△ACD的中线．
（1）若DE＝4，求BC的长；
（2）若△ABC的周长为37，BC＝12，且△ABD与△ACD的周长差为3，求AC的长．
【分析】（1）根据三角形的中线的概念计算；
（2）根据三角形的周长公式得到AB﹣AC＝3，AB+AC＝25，进而求出AC．
【解答】（1）解：∵AE是△ACD 的中线，DE＝4，
∴DC＝2DE＝8，
∵AD是△ABC 的中线，
∴BC＝2DC＝16；
（2）∵AD是△ABC 的中线，
∴BD＝DC，
∵△ABD与△ACD 的周长差为3，
∴（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）＝3，
∴AB﹣AC＝3，∵△ABC 的周长为37，BC＝12，
∴AB+AC＝37﹣12＝25，
∴AC+3+AC＝25，
∴AC＝11．
20．如图，在△ABC中，AD是中线，AB+AC＝14，△ABD的周长比△ACD的周长大4．
（1）求AB，AC的长；
（2）求△ABC周长的取值范围．
【分析】（1）由BD＝CD．所以△ABD和△ADC的周长之差也就是AB与AC的差，然后联立关于
AB、AC的二元一次方程组，利用加减消元法求解即可；
（2）根据三角形的三边关系即可得到结论．
【解答】解：（1）∵BD＝CD，
∴△ABD的周长﹣△ADC的周长＝（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC＝4，
即AB﹣AC＝4①，
又AB+AC＝14②，
①+②得．2AB＝18，
解得AB＝9，
②﹣①得，2AC＝10，
解得AC＝5，
∴AB和AC的长分别为：AB＝9，AC＝5．
（2）∵AB＝9，AC＝5，
∴AB﹣AC＜BC＜AB+AC，
即9﹣5＜BC＜9+5，
∴4＜BC＜14，
∴4+9+5＜AB+BC+AC＜14+9+5，
∴18＜△ABC周长＜28．
