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第2 讲 圆锥曲线第二定义与焦半径公式
参考答案与试题解析
一．选择题（共5 小题）
1．已知点
是双曲线
上的动点，
，
为该双曲线的左右焦点，
为坐标原
点，则
的最大值为
A．
B．2
C．
D．
【解答】解：由题意，分子最大且分母最小时，即
在顶点处取得最大值，不妨取顶点
，
，则
的最大值为
，
故选：
．
2．已知双曲线
的右支上的点
，
满足
，
分
别是双曲线的左右焦点），则
为双曲线
的半焦距）的取值范围是
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【解答】解：由双曲线的第二定义可知
，
，
右支上的点
，
满足
，
，
由
，
解得
，
在右支上，可得
，
可得
，即
，
则
，
令
，
，
可得
而
在
，
递减，
，
，
，
故选：
．
3．已知点
是双曲线
上的动点，
，
分别是其左、右焦点，
为坐标原点，若
的最大值是
，则此双曲线的离心率是
A．
B．
C．
D．2
【解答】解：不妨设
为右支上的一点，
其中
，
，
，
当
时，取得最大值，
，
故选：
．
4．已知
为抛物线
的焦点，过
作两条互相垂直的直线
，
，直线
与
交
于
，
两点，直线
与
交于
，
两点，则当
取得最小值时，四边形
的面积为
A．32
B．16
C．24
D．8
【解答】解：因为
，要使
最小，而
，
由抛物线的对称性可得
与
，
与
关于
轴对称，
所以可得直线
的斜率为1，又过抛物线的焦点
，
所以直线
的方程为：
，
，整理可得
，
，
，
所以可得
，
所以
．
故选：
．
5．过椭圆
的右焦点
作两条相互垂直的直线分别交椭圆于
，
，
，
四
点，则
的值为
A．
B．
C．1
D．
【解答】解：由椭圆
，得椭圆的右焦点为
，
当直线
的斜率不存在时，
，
则
．此时
，
，
则
；
当直线
的斜率存在时，
设
，则
．
又设点
，
，
，
．
联立方程组
，
消去
并化简得
，
，
，
由题知，直线
的斜率为
，
同理可得
．
为定值．
故选：
．
二．填空题（共3 小题）
6．已知
是椭圆
上的动点，
，
分别是其左右焦点，
是坐标原点，则
的取值范围是
，
．
【解答】解：设
的坐标为
椭圆
中，
，
，
，得椭圆的准线方程为
，即
作出椭圆的右准线，设
在右准线上的射影为
，连结
，
根据圆锥曲线的统一定义，得
，
，同理可得
，
，
点
在椭圆
上，得
，
，
由此可得
，得
，
，
即
，
，得
，
，
，
．
故答案为：
，
7．已知
为抛物线
的焦点，过
作两条互相垂直的直线
，
，直线
与
交
于
、
两点，直线
与
交于
、
两点，则
的值为
．
【解答】解：根据题意可得，抛物线
的焦点坐标为
，准线方程为
，
设直线
，
直线
，
互相垂直，
直线
的斜率为
，即得
，
设
，
，
，
，
，
，
，
，则分别将直线
，
的方程与抛物
线方程联立组成方程组可得，
；
由韦达定理可得，
，
，
由抛物线性质可知，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，
，
，
．
故答案为：
．
8．已知
为抛物线
的焦点，过
作两条互相垂直的直线
，
，直线
与
交
于
、
两点，直线
与
交于
、
两点，则
的最小值为
36
．
【解答】解：抛物线
的焦点
，准线方程为
，
设直线
的方程为
，
，
联立方程组
，则
，
设
，
，
，
，
可得
，
由抛物线的定义可得
，
由
，可将上式中的
换为
，
可得
，
则
．
当且仅当
时，上式取得等号，
则
的最小值为36．
故答案为：36．
三．解答题（共6 小题）
9．已知斜率为
的直线与椭圆
交于
，
两点，线段
的中点为
，
．
（1）证明：
；
（2）设
为
的右焦点，
为
上一点，且
．证明：
，
，
成等差数列，并求该数列的公差．
【解答】解：（1）设
，
，
，
，
线段
的中点为
，
，
将
，
代入椭圆
中，可得
，
两式相减可得，
，
即
，
点
在椭圆内，即
，
解得
．①
（2）由题意得
，设
，
，则
，
，
由（1）及题设得
，
．
又点
在
上，所以
，从而
，
．
于是
．
同理
．
所以
，
故
，即
，
，
成等差数列．
设改数列的公差为
，则
②
将
代入①得
．
所以的方程为
，代入
的方程，并整理得
．
故
，
，代入②解得
．
所以该数列的公差为
或
．
10．已知斜率为
的直线与椭圆
交于
、
两点，线段
的中点为
，
．
（Ⅰ）证明：
；
（Ⅱ）设
为
的右焦点，
为
上的一点，且
，证明：
，
，
成等差数列．
【解答】（本小题满分12 分）
证明：（Ⅰ）设
，
，
，
，
则有
（2 分）
（1）
（2）得
．
，
．
．
（3 分）
．
（4 分）
由题设可知点
在椭圆内，
，解得
，
．
（5 分）
（Ⅱ）
，
为
的中点，
，
（6 分）
，
．
点
在椭圆上，
．
（7 分）
又
．
（8 分）
由（Ⅰ）知
，所以
．
直线的方程为
，即
．
（9 分）
由直线的方程与椭圆方程联立，得
消
化简得
，解得
，
．
（10 分）
从而得
，
，
又
，
，
，
．
（11 分）
，
，
成等差数列．
（12 分）
11．已知
、
是椭圆
的左、右焦点，且离心率
，点
为椭圆
上的一个动点，△
的内切圆面积的最大值为
．
（1）求椭圆的方程；
（2）若
，
，
，
是椭圆上不重合的四个点，满足向量
与
共线，
与
共线，且
，求
的取值范围．
【解答】解：（1）由几何性质可知，当，△
的内切圆面积的最大值时，
即，
取最大值，且
，
由
，解得
，
又由△
的周长为
定值，
，
又
，
可得
，即
，
，
，
，
故椭圆方程为
，
（2）①当直线
和
中有一条垂直
轴时，
，
②当直线
的斜率存在但不为0 时，设
的方程为：
，
由
得
，代入弦长公式得，
，
同理由
，消去
，代入弦长公式得
，
，
令
，
则
，
，
由①②可知
的取值范围是
，
．
12．已知椭圆
经过点
，且椭圆的离心率
，过椭圆的右
焦点
作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点
、
及
、
．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求证：
为定值；
（Ⅲ）求
的最小值．
【解答】解：
由
，得
，
，
．（1），
（1 分）
由椭圆过点
知，
．（2）
（2 分）
联立（1）、（2）式解得
，
．
（3 分）
故椭圆的方程是
．
（4 分）
为定值
（5 分）
证明：椭圆的右焦点为
，分两种情况．
当直线
的斜率不存在时，
，
则
．此时
，
，
；
（6 分）
当直线
的斜率存在时，
设
，则
．
又设点
，
，
，
．
联立方程组
，
消去
并化简得
，
，
（7 分）
，
（8 分）
由题知，直线
的斜率为
，
同理可得
（9 分）
所以
为定值．
（10 分）
（Ⅲ）解：由
知
，
（11 分）
，
（12 分）
当且仅当
，
即
，即
，
时取等号
（13 分）
的最小值为
．
（14 分）
13．已知椭圆
的长轴长为4，离心率为
，一动圆
过椭圆
右
焦点
，且与直线
相切．
（1）求椭圆
的方程及动圆圆心轨迹
的方程；
（2）过
作两条互相垂直的直线，分别交椭圆
于
，
两点，交曲线
于
，
两
点，求四边形
面积的最小值．
【解答】解：（1）由已知可得
，
则所求椭圆方程
．由已知可得动圆圆心轨迹为抛物线，且抛物线
的焦点
为
，准线方程为
，则动圆圆心轨迹方程为
．
（2）当直线
的斜率不存在时，
，
此时
的长即为椭圆长轴长，
，
从而
．
设直线
的斜率为
，则
，直线
的方程为：
，
直线
的方程为
，
设
，
，
，
，
，
，
，
，
由
，消去
可得
，
由抛物线定义可知：
，
由
，消去
得
，
从而
，
，
令
，
，则
，
则
所以
，
所以四边形
面积的最小值为8．
14．平面直角坐标系
中，已知
为椭圆
的右焦点，且
，过
作两条互相垂直的直线交椭圆分别于
、
与
、
．以
为极点，轴正半轴
为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求椭圆的极坐标方程与
的代数表达式；
（Ⅱ）求
的取值范围．
【解答】解：由已知
，
（Ⅰ）设
，
，
，
以右焦点
为极点，
轴正半轴为极轴，建立极坐标系，
则椭圆的极坐标方程为
，即
，
其中
．
设
，
，则
，
，
，
，即
；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
．
，
，且
，
解得
．
记
（a）
，则
（a）
，当
时，
（a）
，
（a）为增函数，则
（a）
，
，
即
，
．
