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第26 讲 四边形面积问题
参考答案与试题解析
一．选择题（共1 小题）
1．已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
，点
是双曲线
上
的任意一点，过点
作双曲线
的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于
，
两
点，若四边形
为坐标原点）的面积为
，且
，则点
的横坐标的取
值范围为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：双曲线
的左、右焦点分别为
，
，
渐近线方程为
，
，
设
，可得
，
设
的方程为
，
的方程为
，
到直线
的距离为
，
由
解得
，即
，
，
可得
，
则四边形
的面积为
，
解得
，
则双曲线的方程为
，焦点
，
，
以
为直径的圆的方程为
，
联立双曲线方程
，解得
，
，可得
在以
为直径的圆外，且在双曲线上，
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可得
的横坐标的范围是
，
，
．
故选：
．
二．填空题（共2 小题）
2．设
、
为椭圆的左右焦点，过椭圆
的中心任作一直线与椭圆交于
两点，当四边形
面积最大时，
的值等于
7
．
【解答】解：因为四边形是平行四边形，
所以，四边形可以成两个全等三角形的组合图形，则
；
当
取最大值时四边形
面积最大，
即当点
、
分别在上下顶点时，
取最大值，四边形
面积最大，
令椭圆的实半轴为
，虚半轴为
，焦半径为
此时，
．
故答案为7．
3．设
，
是椭圆
的两个焦点，过
，
分别作直线
，
．且
，若
与椭圆
交于
，
两点，
与椭圆
交于
，
两点（点
，
在
轴上
方），则四边形
面积的最大值为
4
．
【解答】解：由题意可得椭圆的焦点
，
的坐标分别为
，
，
，
，
因为
，设平行线间的距离为
，所以四边形
面积为
，
①当直线的斜率不存在时，可得四边形
为矩形，设直线
的方程：
，
代入椭圆的方程可得
，
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所以
，
，这时
，
②当直线的斜率存在且不为0 时，且
，由椭圆的对称性可得
为平行四边形，
设
的方程为：
，设
，
，
，
，
联立直线与椭圆的方程
，整理可得
，
，
，
所以
，
可得两条平行线间的距离
，
所
以
令
，则
，所以
，
所以
，
故答案为：4．
三．解答题（共15 小题）
4．已知椭圆
的离心率
，过右焦点
作与
轴垂直的直线，
与椭圆的交点到
轴的距离为
．
（1）求椭圆
的方程；
（2）设
为坐标原点，过点
的直线
与椭圆
交于
、
两点
、
不在
轴
上），若
，求四边形
面积
的最大值．
【解答】解：（1）由已知可得
，
因为直线经过右焦点，
所以
，即
，
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又因为
，
所以
，
，
，
所以椭圆的方程为
．
（2）因为过
的直线与椭圆
交于
，
两点
，
不在
轴上），
所以设直线的方程为
，
联立
．
得
，
设
，
，
，
，
则
，
因为
，
所以四边形
为平行四边形，
所以
，
令
，
得
，
由对勾函数的单调性，得当
，即
时，
．
5．已知椭圆
的离心率为
，过其右焦点
且与
轴垂直的直
线交椭圆
于
，
两点，椭圆
的右顶点为
，且满足
．
（1）求椭圆
的方程；
（2）若斜率为
（其中
的直线过点
，且与椭圆交于点
，
，弦
的中
点为
，直线
与椭圆交于点
，
，求四边形
面积
的取值范围．
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【解答】解：（1）由
得
，
，
椭圆
（2
分）
（2）斜率为
（其中
的直线过点
，可得直线方程为：
，
由
消
得
△
恒正，
，
（
4
分）
，
（此处也可以用点差法：由
得
，
由
得
，即为
、
两点的坐标
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（6 分）
点
，
到直线
的距离之和为
（8 分）
（10 分）
的取值范围：
（12 分）
6．已知曲线
，
为直线
上的动点，过
作
的两条切线，切点分别
为
，
．
（1）证明：直线
过定点；
（2）若以
为圆心的圆与直线
相切，且切点为线段
的中点，求四边形
的面积．
【解答】解：（1）证明：
的导数为
，
设切点
，
，
，
，即有
，
，
切线
的方程为
，即为
，
切线
的方程为
，
联立两切线方程可得
，
可得
，即
，
直线
的方程为
，
即为
，
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可化为
，
可得
恒过定点
；
（2）法一：设直线
的方程为
，
由（1）可得
，
，
中点
，
由
为切点可得
到直线
的距离即为
，
可得
，
解得
或
，
即有直线
的方程为
或
，
由
可得
，四边形
的面积为
；
由
，可得
，
此时
到直线
的距离为
；
到直线
的距离为
，
则四边形
的面积为
；
法二：
（2）由（1）得直线
的方程为
．
由
，可得
．
于是
，
，
，
．
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设
，
分别为点
，
到直线
的距离，则
，
．
因此，四边形
的面积
．
设
为线段
的中点，则
．
由于
，而
，
与向量
平行，所以
．解得
或
．
当
时，
；当
时，
．
综上，四边形
的面积为3 或
．
7．如图，
为坐标原点，椭圆
的左、右焦点分别为
，
离心率为
；双曲线
的左、右焦点分别为
，
，离心率为
，已知
，且
．
（Ⅰ）求
、
的方程；
（Ⅱ）过
作
的不垂直于
轴的弦
，
为
的中点，当直线
与
交于
，
两点时，求四边形
面积的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，
，且
．
，且
．
，且
．
解得：
．
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椭圆
的方程为
，双曲线
的方程为
；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得
．
直线
不垂直于
轴，
设
的方程为
，
联立
，得
．
设
，
，
，
，
，
，
则
，
．
则
．
在直线
上，
．
直线
的方程为
，
联立
，得
．
解得
，代入
得
．
由
，得
．
，
的坐标分别为
，
则
，
到
的
距
离
分
别
为
：
，
．
，
在直线
，
的两端，
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．
则四边形
的面积
．
当
，即
时，四边形
面积取得最小值2．
8．已知点
是抛物线
的焦点，
是其准线上任意一点，过点
作直线
，
与抛物线
相切，
，
为切点，
，
与
轴分别交于
，
两点．
（Ⅰ）求焦点
的坐标，并证明直线
过点
；
（Ⅱ）求四边形
面积的最小值．
【解答】解：
解法一：
，
设
，则
即
同理
．
又
在
，
上，则
，所以
．
所以直线
过焦点
．
解法二：
，
设
直线方程 为
，
则由
得
，
所以
，
过
的切线方程为
，
过
的切线方程为
，
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所以交点
的坐标为
因为
在直线
上，所以
，
所以
即直线过焦点
．
由
知
，代入
得
，
则
，
则
，
到
的距离
，所以
，由（1）知
，则
，
所以
，令
，
则
，
在
，
上是增函数，
则四边形
面积的最小值为3．
9．已知
，
，曲线
上任意一点
满足直线
与直线
的斜率之积
为
．
（1）求曲线
的标准方程；
（2）已知直线过
（与
轴不重合）且交
于
，
两点，过
且垂直于直
线的直线
交
于
，
两点，求四边形
面积的取值范围．
【解答】解：（1）设动点
，由题意可知
，
，
，
，
化简可得：
．
（2）当与
轴不垂直时，
设的方程为
，
，
，
，
．
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由
得
．
则
，所以
．
过点
且与垂直的直线
，
圆心
到
的距离为
，
所以
．
故四边形
的面积
．
可得当与
轴不垂直时，四边形
面积的取值范围为
，
当与
轴垂直时，其方程为
，
，
，
四边形
的面积为12．
综上，四边形
面积的取值范围为
．
10 ．平面直角坐标系
中，过椭圆
右焦点的直线
交
于
，
两点，且椭圆
的离心率为
．
（1）求椭圆
的方程；
（2）
，
为
上的两点，若四边形
的对角线
，求四边形
面
积的最大值．
【解答】解：（1）直线
过椭圆的右焦点，令
，则
，
所以椭圆的右焦点为
，
故
，
因为椭圆
的离心率为
，
则
，解得
，
所以
，
故椭圆
的方程为
；
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（2）由
，可得
或
，
因此
；
由题意，可设直线
的方程为
，
，
，
，
，
由
，可得
，
所以
，
因为
，
则直线
的斜率为1，
所以
，
故四边形
的面积为
，
当
时，
取得最大值
，
故四边形
面积的最大值为
．
11．过椭圆
右焦点的直线
交
于
，
两点，
且椭圆的长轴长为短轴长的
倍．
（1）求
的方程；
（2 ）
，
为
上的两点，若四边形
的对角线分别为
，
，且
，求四边形
面积的最大值．
【解答】解：（1）由题意知
，
解得
，
，
所以
的方程为：
；
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（2）联立方程组
，
解得
，
、
，
可得
．
依题意可设直线
的方程为：
，
与线段
相交
，
联立方程组
消去
得：
，
设
，
，
，
，则
，
四边形
的面积
，
当
时，
最大，最大值为
．
所以四边形
的面积最大值为
．
12．已知双曲线
的离心率
，点
、
分别是曲线
的两条渐近线
、
上的两点，△
为坐标原点）的面积为9，点
是曲线
上的一
点，且
．
（1）求此双曲线的方程；
（2）设点
是此双曲线
上的任意一点，过点
分别作
、
的平行线交
、
于
、
两点，试证：平行四边形
的面积为定值．
（3）若点
是此双曲线
上不同于实轴端点的任意一点，设
、
分别
为双曲线
的左、右焦点），且
，
，试求
的变化范围．
【解答】（1）解：
双曲线的离心率
，
，
则
，
双曲线的渐近线方程为
，
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设
，
，
，
，
，
则
，
，
，
，即
，
可知所求双曲线方程为
，
点
在双曲线上，
，①
，
．
又
，②
联立①②解得：
，则
，
所求双曲线方程为
；
（2）证明：设
，
，则
．
双曲线
的渐近线方程为
，
设其中一条平行
的直线方程为
，即
．
联立
，解得
，
不妨设点
，则
，
又点
到直线
的距离
，
（定值）；
（3）解：
为双曲线
上任意一点，
，又
，
，
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即
，
，
即
．
，
，
，
则
，
，
，
．
13．已知
，
为双曲线
的左、右焦点，过
作垂直于
轴的垂
线，在
轴上方交双曲线
于点
，且
．
（1）求双曲线
的两条渐近线的夹角
；
（2）过点
的直线和双曲线
的右支交于
，
两点，求△
的面积最小值；
（3）过双曲线
上任意一点
分别作该双曲线两条渐近线的平行线，它们分别交两
条渐近线于
，
两点，求平行四边形
的面积．
【解答】解：（1）双曲线
的
，
，
可令
，解得
，设
，
由
，可得
，
解得
，
则双曲线的方程为
，
可得双曲线的方程为
，
即有
，
可得夹角
；
（2）当直线
的斜率不存在，可得
，
，
，
，
可得△
的面积为
；
直线
的斜率存在，设过点
的直线
设为
，联立双曲线方程
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，
可得
，设
，
，
，
，
又
，
，可得
，
可得△
的面积为
，
设
，可得
，
综上可得△
的面积的最小值为
；
（3）设
，可得
，
双曲线的渐近线方程为
，
到直线
的距离为
，
由平行于直线
的直线
，
联立直线
，可得
，
，
，
即有行四边形
的面积为
．
14．如图，已知双曲线
的左、右焦点分别为
、
，若点
为双曲线
在第一象限上的一点，且满足
，过点
分别作双曲线
两条渐近线的平行
线
、
与渐近线的交点分别是
和
．
（1）求四边形
的面积；
（2）若对于更一般的双曲线
，点
为双曲线
上任意一点，
过点
分别作双曲线
两条渐近线的平行线
、
与渐近线的交点分别是
和
．
请问四边形
的面积为定值吗？若是定值，求出该定值（用
、
表示该定值）；若
不是定值，请说明理由．
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【解答】解：（1）因为双曲线
，可得
，
，
，
由双曲线的定义可得
，
又因为
，可得
，
，
因为
，由
，
可得
，则点
的横坐标为
，
所以，
，
，可得
，即点
，
过点
且与渐近线
平行的直线的方程为
，
联立双曲线的方程，解得点
，
直线
的方程为
，点
到直线
的距离为
，
且
，
因此，四边形
的面积为
；
（2）四边形
的面积为定值
，理由如下：
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设点
，
，双曲线
的渐近线方程为
，
则直线
的方程为
，
联立，解得，即点
，
直线
的方程为
，即
，
点
到
直
线
的
距
离
为
，
，
且
，
因此，
（定值）．
15．已知
的两个顶点坐标是
，
，
的周长为
，
是坐标原点，点
满足
．
（Ⅰ）求点
的轨迹
的方程；
（Ⅱ）若互相平行的两条直线，
分别过定点
和
，且直线与曲线
交于
，
两点，直线
与曲线
交于
，
两点，若四边形
的面积为
，求直
线的方程．
【解答】解：（Ⅰ）由已知，得
，
所以，点
的轨迹是以
，
为焦点的椭圆（不含左右顶点）．
因为，
，
，所以，
，
，
所以，点
的轨迹方程为
．
设
，
，
．由
得，
，又
．
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故，点
的轨迹
的方程为
，即
．
（Ⅱ）由题意可知，当直线的斜率不存在时，易求得
，
，
，
．这时，四边形
的面积为
，不符合要求．
当直线的斜率存在时，可设直线的方程为
，
则直线
的方程为
由
消去
得
，
设
，
，
，
，则
，
．
故，
，
又，两条平行直线，
间的距离
．
由椭圆的对称性知：四边形
为平行四边形，其面积
，
解得，
或
．
故，直线的方程为
或
．
16．如图，
为坐标原点，椭圆
的左右焦点分别为
，离
心率为
；双曲线
的左右焦点分别为
，离心率为
，已知
，且
．
（1）求
，
的方程；
（2）过
作
的不垂直于
轴的弦
，
为
的中点，当直线
与
交于
，
两点时，求四边形
面积的最小值．
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【解答】解：（1）因为
，
所以
，即
，
因此
，即
，
从而
，
，
，
于是
，所以
，
，
故椭圆
方程为
，双曲线
的方程为
．
（2）因为直线
不垂直于
轴且过点
，
故可设直线
的方程为
．
由联立椭圆方程
，得
，
易知此方程的判别式大于0．设
，
，
，
，
则
，
是上述方程的两个实根，所以
，
，
因此
，
的中点为
，
，
故直线
的斜率为
，
的方程为
，即
．
由联立双曲线方程，得
，所以
，
，
，
从而
，
设点
到直线
的距离为
，则
点到直线
的距离也为
，
所以
，
因为点
，
在直线
的异侧，所以
，
于是
，
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从而
，
又因为
，
所以
，
四边形
面积
而
，故当
时，
取得最小值2．
四边形
面积的最小值为2．
17．已知椭圆
的离心率为
，其短轴的下端点在抛物线
的准线上．
（Ⅰ）求椭圆
的方程；
（Ⅱ）设
为坐标原点，
是直线
上的动点，
为椭圆的右焦点，过点
作
的垂线与以为
直径的圆
相交于
，
两点，与椭圆
相交于
，
两点，如
图所示．
①若
，求圆
的方程；
②设
与四边形
的面积分别为
，
，若
，求
的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）
椭圆
的离心率为
，其短轴的下端点
在抛物线
的准线上，
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，解得
，
，
椭圆
的方程为
．
（Ⅱ）①由（Ⅰ）知
，设
，则
的圆心坐标为
，
的方程为
，
直线
方程为
，
，即
，
又圆
的半径
，
由
，得
，
解得
，
，
圆
的方程为：
或
．
②由①知
方程为
，
，
由
，得
，
，
则△
，
，
，
，
，
，
，
，
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当
时，
的方程为
，
，
，
，
，
．
，
．
当直线
的斜率不存在时，
方程为
，
，
，
，
，
．
综上，
．
18．已知椭圆
的左右焦点分别为
，
，点
，
是椭圆
的左右顶点，点
是椭圆
上一动点，△
的周长为6，且直线
，
的斜率之积
为
．
（1）求椭圆
的方程；
（2）若
、
为椭圆
上位于
轴同侧的两点，且
，求四边形
面积的取值范围．
【解答】解：（1）
△
的周长为6，
，即
，①
直线
，
的斜率之积为
，可求得
②
联立①②及
，解得
，
，
．
椭圆
的方程为
；
（2）
，
，
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延长
交椭圆
于点
，设
，
，
，
，
由（1）知
，
，
直线
的方程为
，联立
，得
．
，
，
由对称性可知，
，设
与
的距离为
，
则四边形
的面积
，
，
，
令
，
．
，
在
，
上单调递减，
，
，
故四边形
面积的取值范围为
，
．
