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→➌题型突破←→➍专题训练←
题型一平移
1.在平面直角坐标系中，将点 向右平移 个单位长度后得到的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据直角坐标系的坐标平移即可求解.
【详解】
一个点向右平移之后的点的坐标，纵坐标不变，横坐标加4，故选A
【点睛】
此题主要考查坐标的平移，解题的关键是熟知直角坐标系的特点.
2.如图，点 的坐标为 ，点 在 轴上，把 沿 轴向右平移到 ，若四
边形 的面积为9，则点 的坐标为_______．
【答案】(4，3)
【分析】过点A作AH⊥x轴于点H，得到AH=3，根据平移的性质证明四边形ABDC是平行四
边形，得到AC=BD，根据平行四边形的面积是9得到 ，求出BD即可得到答案.
【详解】过点A作AH⊥x轴于点H，∵A（1,3），∴AH=3，由平移得AB∥CD，AB=CD，
∴四边形ABDC是平行四边形，∴AC=BD，
∵ ，∴BD=3，∴AC=3，∴C(4，3)故答案为：(4，3).
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【点睛】此题考查平移的性质，平行四边形的判定及性质，直角坐标系中点到坐标轴的距
离与点坐标的关系.
3.如图，把 沿 边平移到 的位置，图中所示的三角形的面积 与四边
形的面积 之比为4∶5，若 ，则此三角形移动的距离 是____________．
【答案】
【分析】根据题意可知△ABD∽△ABC，又根据已知条件“图中所示的三角形的面积 与四
1
边形的面积 之比为4∶5”可得 与 的面积比为4∶9，即得出AB∶AB=2∶3，
1
已知 ，故可求AB，最终求出 ．
1
【详解】∵根据题意“把 沿 边平移到 的位置”，∴AC∥AD，故判断
1
出△ABD∽△ABC，
1
∵图中所示的三角形的面积 与四边形的面积 之比为4∶5，
∴ 与 的面积比为4∶9，∴AB∶AB=2∶3，
1
∵ ，∴AB= ，∴ =AB－AB=4－ = ．故答案为 ．
1 1
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【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法和性质是解
答本题的关键．
4.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，
的三个顶点 、 、 均在格点上
（1）将 向左平移 个单位得到 ，并写出点 的坐标；
（2）画出 绕点 顺时针旋转 后得到的 ，并写出点 的坐标；
（3）在（2）的条件下，求 在旋转过程中扫过的面积（结果保留 ）．
【答案】（1）见解析, ；（2）图形见解析， ；（3）
【分析】（1）根据题意，可以画出相应的图形，并写出点 的坐标；
（2）根据题意，可以画出相应的图形，并写出点 的坐标；
（3）根据题意可以求得BC的长，从而可以求得 在旋转过程中扫过的面积．
【详解】（1） 如图所示， ；（2） 如图所示，
（3）
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【点睛】此题考查作图-平移变换，作图-旋转变换，扇形面积的计算，解题关键在于掌握
作图法则．
题型二对称
5.在平面直角坐标系中，点 与点 关于y轴对称，则（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】B
【解析】
【分析】
根据点关于y轴对称，其横坐标互为相反数，纵坐标相同即可得到答案.
【详解】
A，B关于y轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标相同,故选B
【点睛】
本题考查点坐标的轴对称，解题的关键熟练掌握点坐标的轴对称.
6.下列四个银行标志中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
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C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．
故选C．
【名师点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称
中心，旋转180度后两部分重合，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可
重合．
7.下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
A．等边三角形 B．平行四边形 C．矩形 D．正五边形
【答案】C
【解析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
A、是轴对称图形．不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180度后它的两
部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义．故错误；
B、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，沿这条直线对折后它的两部分能够
重合；即不满足轴对称图形的定义．是中心对称图形．故错误；
C、是轴对称图形，又是中心对称图形．故正确；
D、是轴对称图形．不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180度后它的两
部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义．故错误．故选C．
点睛：此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题
的关键．
8.下列图形中既是轴对称图形，也是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意．故选：B．
【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对
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称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度
后与原图重合．
9.下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义判断即可．
【详解】解：∵A中的图形旋转180°后不能与原图形重合，∴A中的图象不是中心对称图
形 ∴A不正确；
∵B中的图形旋转180°后能与原图形重合，∴B中的图形是中心对称图形，但不是轴对称
图形，∴B正确；
∵C中的图形旋转180°后能与原图形重合，∴C中的图形是中心对称图形，也是轴对称图
形，∴C不正确；
∵D中的图形旋转180°后不能与原图形重合，∴D中的图形不是中心对称图形， ∴D不正
确；故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形和中心对称
图形的定义是解题的关键．
10.如图是以正方形的边长为直径，在正方形内画半圆得到的图形，则此图形的对称轴有（
）
A．2条 B．4条 C．6条 D．8条
【答案】B
【分析】根据轴对称的性质即可画出对称轴进而可得此图形的对称轴的条数．
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【详解】解：如图，
因为以正方形的边长为直径，在正方形内画半圆得到的图形，
所以此图形的对称轴有4条．故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质、轴对称的性质、轴对称图形，解决本题的关键是掌握
轴对称的性质．
11.如图，在扇形 中， 平分 交狐 于点 ．点 为半径
上一动点若 ，则阴影部分周长的最小值为__________．
【答案】
【分析】如图，先作扇形 关于 对称的扇形 连接 交 于 ，再分别
求解 的长即可得到答案．
【详解】解： 最短，则 最短，
如图，作扇形 关于 对称的扇形 连接 交 于 ，
则 此时 点满足 最短，
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平分
而 的长为：
最短为 故答案为：
【点睛】本题考查的是利用轴对称求最短周长，同时考查了圆的基本性质，扇形弧长的计
算，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．
12. 在平面直角坐标系中的位置如图所示，且 ，在 内有一点
，M，N分别是 边上的动点，连接 ，则 周长的最小
值是______．
【答案】
【分析】分别作出点P关于OA和OB的对称点 和 ，连接 ，分别与OA和OB交于
点M和N，此时， 的长即为 周长的最小值．
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【详解】解：分别作出点P关于OA和OB的对称点 和 ，则 （4，-3），连接 ，
分别与OA和OB交于点M和N，此时， 的长即为 周长的最小值．
由 可得直线OA的表达式为y=2x，设 (x,y)，由 与直线OA垂直及
中点坐标在直线OA上可得方程组： 解得： 则 (0，5)，
由两点距离公式可得： 即 周长的最小值 ．
故答案为 ．
【点睛】本题考查了轴对称变换中的最短路径问题，解题关键在于找出两个对称点，利用
方程求出点 的坐标．
13.如图，在平面直角坐标系中，已知 的三个顶点坐标分别是
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（1）将 向上平移4个单位长度得到 ，请画出 ；
（2）请画出与 关于 轴对称的 ；
（3）请写出 的坐标．
【答案】（1）如图所示： ，即为所求；见解析；（2）如图所示： ，即
为所求；见解析；（3） ．
【解析】
【分析】
（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）直接利用轴对称的性质得出对应点位置进而得出答案；
（3）利用所画图象得出对应点坐标.
【详解】
（1）如图所示： ，即为所求；
（2）如图所示： ，即为所求；
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（3） ．
【点睛】
此题主要考查了轴对称变换以及平移变换，正确得出对应点位置是解题关键.
题型三旋转
14.如图，将 绕点 逆时针旋转70°到 的位置，若 ，则
（ ）
A．45° B．40° C．35° D．30°
【答案】D
【解析】
【分析】
首先根据旋转角定义可以知道 ，而 ，然后根据图形即可求出
．
【详解】
解：∵ 绕点 逆时针旋转70°到 的位置，
∴ ，
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而 ，
∴
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了旋转的定义及性质，其中解题主要利用了旋转前后图形全等，对应角相等
等知识．
15.如图，Rt△ABC中，∠A＝30°，∠ABC＝90°．将Rt△ABC绕点B逆时针方向旋转得到
．此时恰好点C在 上， 交AC于点E，则△ABE与△ABC的面积之比为（
）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由旋转的性质得出BC=BC'，∠ACB=∠A'C'B=60°，则△BCC'是等边三角形，
∠CBC'=60°，得出∠BEA=90°，设CE=a，则BE= a，AE=3a，求出 ，可求出答
案．
【详解】∵∠A=30°，∠ABC=90°，∴∠ACB=60°，
∵将Rt△ABC绕点B逆时针方向旋转得到△A'BC'，∴BC=BC'，∠ACB=∠A'C'B=60°，
∴△BCC'是等边三角形，∴∠CBC'=60°，∴∠ABA'=60°，∴∠BEA=90°，
设CE=a，则BE= a，AE=3a，∴ ，∴ ，∴△ABE与△ABC的面积之比为
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．故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质；熟练掌
握旋转的性质是解题的关键．
16.如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点分别是A（1，3），B（4，4），C
（2，1）．（1）把 向左平移4个单位后得到对应的 ABC，请画出平移后的
1 1 1
ABC；
1 1 1
（2）把 绕原点O旋转180°后得到对应的 ABC，请画出旋转后的 ABC；
2 2 2 2 2 2
（3）观察图形可知， ABC 与 ABC 关于点（ ， ）中心对称．
1 1 1 2 2 2
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）﹣2，0．
【分析】（1）依据平移的方向和距离，即可得到平移后的△ABC；（2）依据△ABC绕原
1 1 1
点O旋转180°，即可画出旋转后的△ABC；（3）依据对称点连线的中点的位置，即可得
2 2 2
到对称中心的坐标．
【详解】解：（1）如图所示，分别确定 平移后的对应点 ，得到 ABC 即
1 1 1
为所求；
（2）如图所示，分别确定 旋转后的对应点 ，得到 ABC 即为所求；
2 2 2
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（3）由图可得， ABC 与 ABC 关于点 成中心对称．故答案为：﹣2，0．
1 1 1 2 2 2
【点睛】本题考查的是平移，旋转的作图，以及判断中心对称的对称中心的坐标，掌握以
上知识是解题的关键．
17.已知 和 都是等腰直角三角形 ，
．
（1）如图1：连 ，求证： ；
（2）若将 绕点O顺时针旋转，①如图2，当点N恰好在 边上时，求证：
；
②当点 在同一条直线上时，若 ，请直接写出线段 的长．
【答案】（1）见解析；（2）①见解析；② 或
【分析】（1）利用SAS定理证明 即可；（2）①连接 ，证明
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，即可证 ；②当点N在线段 上时，连接 ，
在 中构造勾股定理的等量关系；当点M在线段 上时，同理即可求得．
【详解】（1）证明：即 ，
，即 ．
和 是等腰直角三角形， ，
（2）①证明：如图1，连接 ． ，
，即 ．
和 是等腰直角三角形， ，
，
， ．
是等腰直角三角形， ， ．
② 或 ．
温馨提示：如图2，当点N在线段 上时，连接 ，设 ，
在 中， ， ；
如图3，当点M在线段 上时，连接 ，设 ，
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在 中， 解得： ．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，三点共线分类
讨论，对几何题目的综合把握是解题关键．
18.(1)问题发现
如图1,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=90°,B,C,D在一条直线上.
填空:线段AD,BE之间的关系为 .
(2)拓展探究
如图2,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,请判断AD,BE的关系,并说
明理由.
(3)解决问题
如图3,线段PA=3,点B是线段PA外一点,PB=5,连接AB,将AB绕点A逆时针旋转90°得到线
段AC,随着点B的位置的变化,直接写出PC的范围.
【答案】(1) AD=BE，AD⊥BE．(2) AD=BE，AD⊥BE．(3) 5-3 ≤PC≤5+3 ．
【解析】
【分析】
（1）根据等腰三角形性质证△ACD≌△BCE（SAS），得AD=BE，∠EBC=∠CAD，延长BE交
AD于点F，由垂直定义得AD⊥BE．
（2）根据等腰三角形性质证△ACD≌△BCE（SAS），AD=BE，∠CAD=∠CBE，由垂直定义得
∠OHB=90°，AD⊥BE；
（3）作AE⊥AP，使得AE=PA，则易证△APE≌△ACP，PC=BE，当P、E、B共线时，BE最小，
最小值=PB-PE；当P、E、B共线时，BE最大，最大值=PB+PE，故5-3 ≤BE≤5+3 .
【详解】
（1）结论：AD=BE，AD⊥BE．
理由：如图1中，
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∵△ACB与△DCE均为等腰直角三角形，
∴AC=BC，CE=CD，
∠ACB=∠ACD=90°，
在Rt△ACD和Rt△BCE中
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，∠EBC=∠CAD
延长BE交AD于点F，
∵BC⊥AD，
∴∠EBC+∠CEB=90°，
∵∠CEB=AEF，
∴∠EAD+∠AEF=90°，
∴∠AFE=90°，即AD⊥BE．
∴AD=BE，AD⊥BE．
故答案为AD=BE，AD⊥BE．
（2）结论：AD=BE，AD⊥BE．
理由：如图2中，设AD交BE于H，AD交BC于O．
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∵△ACB与△DCE均为等腰直角三角形，
∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=90°，
∴ACD=∠BCE，
在Rt△ACD和Rt△BCE中
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，∠CAD=∠CBE，
∵∠CAO+∠AOC=90°，∠AOC=∠BOH，
∴∠BOH+∠OBH=90°，
∴∠OHB=90°，
∴AD⊥BE，
∴AD=BE，AD⊥BE．
（3）如图3中，作AE⊥AP，使得AE=PA，则易证△APE≌△ACP，
∴PC=BE，
图3-1中，当P、E、B共线时，BE最小，最小值=PB-PE=5-3 ，
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图3-2中，当P、E、B共线时，BE最大，最大值=PB+PE=5+3 ，
∴5-3 ≤BE≤5+3 ，
即5-3 ≤PC≤5+3 ．
【点睛】
本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定
和性质等知识，解题的关键是正确寻找三角形全等的条件，学会添加辅助线，构造全等三
角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
19．（2023·四川乐山·统考中考真题）在学习完《图形的旋转》后，刘老师带领学生开
展了一次数学探究活动
【问题情境】
刘老师先引导学生回顾了华东师大版教材七年级下册第 页“探索”部分内容：
如图，将一个三角形纸板 绕点 逆时针旋转 到达 的位置，那么可以得到：
， ， ； ， ，
（ ）
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刘老师进一步谈到：图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中，即“变”中蕴含着“不
变”，这是我们解决图形旋转的关键；故数学就是一门哲学．
【问题解决】
（1）上述问题情境中“（ ）”处应填理由：____________________；
（2）如图，小王将一个半径为 ，圆心角为 的扇形纸板 绕点 逆时针旋转
到达扇形纸板 的位置．
①请在图中作出点 ；
②如果 ，则在旋转过程中，点 经过的路径长为__________；
【问题拓展】
小李突发奇想，将与（2）中完全相同的两个扇形纸板重叠，一个固定在墙上，使得一边位
于水平位置，另一个在弧的中点处固定，然后放开纸板，使其摆动到竖直位置时静止，此
时，两个纸板重叠部分的面积是多少呢？如图所示，请你帮助小李解决这个问题．
【答案】问题解决（1）旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等
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（2）①见解析；②
问题拓展：
【分析】问题解决（1）根据旋转性质得出旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等；
（2）①分别作 和 的垂直平分线，两垂直平分线的交点即为所求点O；②根据弧长
公式求解即可；
问题拓展，连接 ，交 于 ，连接 ， ， ，由旋转得 ，
，在 和 中求出 和 的长，可以求出
，再证明 ，即可求出最后结果．
【详解】解：【问题解决】（1）旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等
（2）①下图中，点O为所求
②连接 ， ，
扇形纸板 绕点 逆时针旋转 到达扇形纸板 的位置，
， ,
，
设 ，
，
，
在旋转过程中，点 经过的路径长为以点 为圆心，圆心角为 ， 为半径的所对应的
弧长，
点 经过的路径长 ；
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【问题拓展】解：连接 ，交 于 ，连接 ， ， 如图所示
．
由旋转得 ， ．
在 中，
．
在 中，
，
，
．
．
．
，
在 和 中，
，
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又 ， ，
．
又 ，
，
．
【点睛】本题考查了旋转的性质，弧长公式，解直角三角形，三角形全等的性质与判定，
解题的关键是抓住图形旋转前后的对应边相等，对应角相等，正确作出辅助线构造出直角
三角形．
20．（2023·四川南充·统考中考真题）如图，正方形 中，点 在边 上，点
是 的中点，连接 ， ．
(1)求证： ；
(2)将 绕点 逆时针旋转，使点 的对应点 落在 上，连接 ．当点 在边
上运动时（点 不与 ， 重合），判断 的形状，并说明理由．
(3)在（2）的条件下，已知 ，当 时，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)等腰直角三角形，理由见解析
(3)
【分析】（1）根据正方形的基本性质以及“斜中半定理”等推出 ，即可证
得结论；
（2）由旋转的性质得 ，从而利用等腰三角形的性质推出 ，
再结合正方形对角线的性质推出 ，即可证得结论；
（3）结合已知信息推出 ，从而利用相似三角形的性质以及勾股定理进行计
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算求解即可．
【详解】（1）证：∵四边形 为正方形，
∴ ， ，
∵点 是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即： ，
在 与 中，
∴ ，
∴ ；
（2）解： 为等腰直角三角形，理由如下：
由旋转的性质得： ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，即： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形；
（3）解：如图所示，延长 交 于点 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
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∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
设 ，则 ， ，
∴ ，
解得： ， （不合题意，舍去），
∴ ．
【点睛】本题考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形和相似三角形的判定与性质等，
理解并熟练运用基本图形的证明方法和性质，掌握勾股定理等相关计算方式是解题关键．
21．（2023·湖北随州·统考中考真题）1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何
问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的
点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马
点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题．
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(1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和
“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中
选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点）
当 的三个内角均小于 时，
如图1，将 绕，点C顺时针旋转 得到 ，连接 ，
由 ，可知 为 ① 三角形，故 ，又 ，故
，
由 ② 可知，当B，P， ，A在同一条直线上时， 取最小值，如图2，最小
值为 ，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有 ③ ；
已知当 有一个内角大于或等于 时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图
3，若 ，则该三角形的“费马点”为 ④ 点．
(2)如图4，在 中，三个内角均小于 ，且 ，已知点
P为 的“费马点”，求 的值；
(3)如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知
．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺
设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为a元/ ，a元/ ， 元/
，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为___________元．（结果用含a的
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式子表示）
【答案】(1)①等边；②两点之间线段最短；③ ；④A．
(2)
(3)
【分析】（1）根据旋转的性质和两点之间线段最短进行推理分析即可得出结论；
（2）根据（1）的方法将 绕，点C顺时针旋转 得到 ，即可得出可知当
B，P， ，A在同一条直线上时， 取最小值，最小值为 ，在根据
可证明 ，由勾股定理求 即可，
（3）由总的铺设成本 ，通过将 绕，点C顺时针旋转 得到
，得到等腰直角 ，得到 ，即可得出当B，P， ，A在同一条直
线上时， 取最小值，即 取最小值为 ，然后根据已知和
旋转性质求出 即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ 为等边三角形；
∴ ， ，
又 ，故 ，
由两点之间线段最短可知，当B，P， ，A在同一条直线上时， 取最小值，
最小值为 ，此时的P点为该三角形的“费马点”，
∴ ， ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴三个顶点中，顶点A到另外两个顶点的距离和最小．
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又∵已知当 有一个内角大于或等于 时，“费马点”为该三角形的某个顶点．
∴该三角形的“费马点”为点A，
故答案为：①等边；②两点之间线段最短；③ ；④ ．
（2）将 绕，点C顺时针旋转 得到 ，连接 ，
由（1）可知当B，P， ，A在同一条直线上时， 取最小值，最小值为 ，
∵ ，
∴ ，
又∵
∴ ，
由旋转性质可知： ，
∴ ，
∴ 最小值为 ，
（3）∵总的铺设成本
∴当 最小时，总的铺设成本最低，
将 绕，点C顺时针旋转 得到 ，连接 ，
由旋转性质可知： ， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
当B，P， ，A在同一条直线上时， 取最小值，即 取最小
值为 ，
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过点 作 ，垂足为 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
的最小值为
总的铺设成本 （元）
故答案为：
【点睛】本题考查了费马点求最值问题，涉及到的知识点有旋转的性质，等边三角形的判
定与性质，勾股定理，以及两点之间线段最短等知识点，读懂题意，利用旋转作出正确的
辅助线是解本题的关键．
22．（2023·湖南·统考中考真题）问题情境：小红同学在学习了正方形的知识后，进一
步进行以下探究活动：在正方形 的边 上任意取一点G，以 为边长向外作正方
形 ，将正方形 绕点B顺时针旋转．
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特例感知：
（1）当 在 上时，连接 相交于点P，小红发现点P恰为 的中点，如图①．
针对小红发现的结论，请给出证明；
（2）小红继续连接 ，并延长与 相交，发现交点恰好也是 中点P，如图②，根据
小红发现的结论，请判断 的形状，并说明理由；
规律探究：
（3）如图③，将正方形 绕点B顺时针旋转 ，连接 ，点P是 中点，连接 ，
， ， 的形状是否发生改变？请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2） 是等腰直角三角形，理由见解析；（3） 的形状
不改变，见解析
【分析】（1）连接 ， ， ，根据正方形的性质求出 ，证明
，推出 ，再利用余角的性质求出 ，推出 即
可；
（2）根据正方形的性质直接得到 ，推出 ，得到
是等腰直角三角形；
（3）延长 至点M，使 ，连接 ，证明 ，得到
，推出 ，设 交 于点H，交 于点N，得到
，由 得到 ，推出
，进而得到 ，再证明
，得到 ， ，证得 ，再由
，根据等腰三角形的三线合一的性质求出 ，即可证得
是等腰直角三角形．
【详解】（1）证明：连接 ， ， ，如图，
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∵四边形 ， 都是正方形，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即点P恰为 的中点；
（2） 是等腰直角三角形，理由如下：
∵四边形 ， 都是正方形，
∴
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形；
（3） 的形状不改变，
延长 至点M，使 ，连接 ，
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∵四边形 、四边形 都是正方形，
∴ ， ，
∵点P为 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
设 交 于点H，交 于点N，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
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∵ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形．
【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和
性质，平行线的性质等，（3）中作辅助线利用中点构造全等三角形是解题的难点，熟练掌
握各性质和判定定理是解题的关键．
23.将在同一平面内如图放置的两块三角板绕公共顶点A旋转，连接BC，DE．探究S 与
△ABC
S 的比是否为定值．
△ADC
（1）两块三角板是完全相同的等腰直角三角板时，S ：S 是否为定值？如果是，求出
△ABC △ADE
此定值，如果不是，说明理由．（图①）
（2）一块是等腰直角三角板，另一块是含有30°角的直角三角板时，S ：S 是否为
△ABC △ADE
定值？如果是，求出此定值，如果不是，说明理由．（图②）
（3）两块三角板中，∠BAE+∠CAD＝180°，AB＝a，AE＝b，AC＝m，AD＝n（a，b，m，n
为常数），S ：S 是否为定值？如果是，用含a，b，m，n的式子表示此定值（直接写
△ABC △ADE
出结论，不写推理过程），如果不是，说明理由．（图③）
【答案】（1）结论：S ：S ＝1，为定值．理由见解析；（2）S ：S ＝ ，为
△ABC △ADE △ABC △ADE
定值，理由见解析；（3）S ：S ＝ ，为定值．理由见解析.
△ABC △ADE
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【解析】
【分析】
（1）结论：S ：S =定值．如图1中，作DH⊥AE于H，CG⊥BA交BA的延长线于G．首
△ABC △ADE
先证明∠DAE=∠CAG，利用三角形的面积公式计算即可．
（2）结论：S ：S =定值．如图1中，作DH⊥AE于H，CG⊥BA交BA的延长线于G．首
△ABC △ADE
先证明∠DAE=∠CAG，利用三角形的面积公式计算即可．
（3）结论：S ：S =定值．如图1中，作DH⊥AE于H，CG⊥BA交BA的延长线于G．首
△ABC △ADE
先证明∠DAE=∠CAG，利用三角形的面积公式计算即可．
【详解】
（1）结论：S ：S ＝定值．
△ABC △ADE
理由：如图1中，作DH⊥AE于H，CG⊥BA交BA的延长线于G．
∵∠BAE＝∠CAD＝90°，
∴∠BAC+∠EAD＝180°，∠BAC+∠CAG＝180°，
∴∠DAE＝∠CAG，
∵AB＝AE＝AD＝AC，
∴ 1．
（2）如图2中，S ：S ＝定值．
△ABC △ADE
理由：如图1中，作DH⊥AE于H，CG⊥BA交BA的延长线于G．
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不妨设∠ADC＝30°，则AD AC，AE＝AB，
∵∠BAE＝∠CAD＝90°，
∴∠BAC+∠EAD＝180°，∠BAC+∠CAG＝180°，
∴∠DAE＝∠CAG，
∴ ．
（3）如图3中，如图2中，S ：S ＝定值．
△ABC △ADE
理由：如图1中，作DH⊥AE于H，CG⊥BA交BA的延长线于G．
∵∠BAE＝∠CAD＝90°，
∴∠BAC+∠EAD＝180°，∠BAC+∠CAG＝180°，
∴∠DAE＝∠CAG，
∵AB＝a，AE＝b，AC＝m，AD＝n
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∴ ．
【点睛】
本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，30度的直角三角形的性质，三
角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
题型四位似
24.如图，在平面直角坐标系中， 的顶点坐标分别是 ， ， ，以
原点为位似中心，在原点的同侧画 ，使 与 成位似图形，且相似比为
2：1，则线段DF的长度为（ ）
A． B．2 C．4 D．
【答案】D
【分析】把A、C的横纵坐标都乘以2得到D、F的坐标，然后利用两点间的距离公式计算
线段DF的长．
【详解】解：∵以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，
且相似比为2：1，而A（1，2），C（3，1），∴D（2，4），F（6，2），∴DF＝
= ，故选：D．
【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，
相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．
25.如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA∶OD=1∶2，则△ABC与△DEF的
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面积比为（ ）
A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶5
【答案】C
【分析】根据位似图形的性质即可得出答案．
【详解】由位似变换的性质可知，
△ABC与△DEF的相似比为：1∶2 △ABC与△DEF的面积比为：1∶4故选C．
【点睛】本题考查了位似图形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
26.如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2：5，且三角板的
一边长为8cm．则投影三角板的对应边长为（ ）
A．20cm B．10cm C．8cm D．3.2cm
【答案】A
【分析】根据对应边的比等于相似比列式进行计算即可得解.
【详解】解：设投影三角尺的对应边长为xcm,
∵三角尺与投影三角尺相似,∴8：x＝2：5,解得x＝20.故选:A.
【点睛】本题主要考查了位似变换的应用.
ABC A(1,3),B(4,1),C(1,1)
27.在平面直角坐标系中， 的三个顶点的坐标分别是 ．
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ABC △ABC ABC
1 1 1
（1）画出 关于x轴成轴对称的 ；（2）画出 以点O为位似中心，
△A B C
位似比为1∶2的 2 2 2．
△ABC △A B C
【答案】（1）如图所示 1 1 1为所求；见解析； （2）如图所示 2 2 2为所求；见
解析．
ABC ABC
【分析】（1）将 的各个点关于x轴的对称点描出，连接即可．（2）在 同
侧和对侧分别找到2OA=OA，2OB=OB，2OC=OC 所对应的A，B，C 的坐标，连接即可．
2 2 2 2 2 2
ABC
【详解】（1）由题意知： 的三个顶点的坐标分别是A（1，3），B（4，1），C
（1，1），
ABC △ABC
1 1 1
则 关于x轴成轴对称的 的坐标为A（1，-3），B（4，-1），C（1，-
1 1 1
1），
△ABC △ABC
1 1 1 1 1 1
连接AC，AB，BC 得到 ．如图所示 为所求；
1 1 1 1 1 1
△A B C ABC
（2）由题意知：位似中心是原点，则分两种情况：第一种， 2 2 2和 在同一侧
△A B C △A B C
则A（2，6），B（8，2），C（2，2），连接各点，得 2 2 2．第二种， 2 2 2在
2 2 2
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ABC
的对侧
△A B C
A（－2，－6），B（－8，－2），C（－2，－2），连接各点，得 2 2 2．
2 2 2
△A B C
综上所述：如图所示 2 2 2为所求；
【点睛】本题主要考查了位似中心、位似比和轴对称相关知识点，正确掌握位似中心、位
似比的概念及应用是解题的关键．
39
