文档内容
几何-直线型几何-一半模型-4 星题
课程目标
知识点 考试要求 具体要求 考察频率
一半模型 B 1.了解典型的一半模型 少考
2.能够灵活运用一半模型解决几何
问题
知识提要
一半模型
平行四边形的一半模型
梯形的一半模型 任意四边形一半模型
精选例题
一半模型
1. 如图，四边形 ABCD 是正方形，ABGF 和 FGCD 都是长方形，点 E 在 AB 上，
EC 交 FG 于点 M，若 AB=6，△ECF 的面积是 12，则 △BCM 的面积是
．【答案】 6
【分析】 根据一半模型，
S +S =S ÷2,
△EFM △BMG 长方形AFBG
S +S =S ÷2
△FMC △CMG 长方形FDCG
所以
S +S =S ÷2=6×6÷2=18.
△ECF △BMC 正方形
所以
S =18-12=6.
△BMC
2. 如下图所示，过平行四边形 ABCD 内的一点 P 作边的平行线 EF、GH．若 △PAC 的
面积为 6，求平行四边形 PGDF 的面积比平行四边形 PEBH 的面积大 ．【答案】 12
【分析】 根据差不变原理，要求平行四边形 PGDF 的面积与平行四边形 PEBH
的面积差，相当于求平行四边形 DAEF 的面积与平行四边形 ABHG 的面积差．
如下图所示，连接 BP、DP．根据一半模型．
由于
1
S +S =S +S +S = S ,
△ADP △BCP △ABP △ACP △BCP 2 ABCD
所以
S -S =S .
△ADP △ABP △ACP
而
1 1
S = S ,S = S ,
△ADP 2 DAEF △ABP 2 ABHG
所以
S -S =2(S -S )=2S =12.
DAEF ABHG △ADP △ABP △ACP
即平行四边形 PGDF 的面积比平行四边形 PEBH 的面积大 12．
3. 正方形 ABCD 的面积为 9 平方厘米，正方形 EFGH 的面积为 64 平方厘米．如图所
示，边 BC 落在 EH 上．已知三角形 ACG 的面积为 6.75 平方厘米，则三角形 ABE 的
面积为 平方厘米．【答案】 2.25
【分析】
连接 EG，EG 是正方形 EFGH 的对角线，∠GEH=45∘；AC 是正方形 ABCD 的对角
线，∠ACB=45∘．∠GEH=∠ACB，可以知道 AC∥EG．
所以 △ACG 与 △AEC 面积相等，都是 6.75 平方厘米，那么 △ABE 的面积是：
6.75-9÷2=2.25(平方厘米).
4. 如图所示，矩形 ABCD 的面积为 36 平方厘米，四边形 PMON 的面积是 3 平方厘米，
则阴影部分的面积是 平方厘米．【答案】 12
【分析】 因为三角形 ABP 面积为矩形 ABCD 的面积的一半，即 18 平方厘米，
1
三角形 ABO 面积为矩形 ABCD 的面积的 ，即 9 平方厘米，又四边形 PMON 的面积
4
为 3 平方厘米，所以三角形 AMO 与三角形 BNO 的面积之和是
18-9-3=6(平方厘米)．
又三角形 ADO 与三角形 BCO 的面积之和是矩形 ABCD 的面积的一半，即 18
平方厘米，所以阴影部分面积为 18-6=12(平方厘米)．
5. 长方形 ABCD 的面积是 40 平方厘米，E、F、G、H 分别为 AD、AH、DH、BC
的中点；三角形 EFG 的面积是 平方厘米．
【答案】 51
【分析】 三角形 EFG 的面积是三角形 AHD 的 ，三角形 AHD 的面积是长方
4
1 1
形 ABCD 面积的 ，故三角形 EFG 的面积是长方形 ABCD 面积的 ，三角形 EFG
2 8
1
的面积为 40× =5(平方厘米)．
8
6. 如图，阴影部分四边形的外接图形是边长为 10cm 的正方形，则阴影部分四边形的面积是
cm2．
【答案】 48
【分析】 如图所示，
分别过阴影四边形 EFGH 的四个顶点作正方形各边的平行线，相交得长方形 MNPQ，易知
长方形 MNPQ 的面积为
4×1=4(平方厘米).
从图中可以看出，原图中四个空白三角形的面积之和的 2 倍，等于 AENH、BFME、
CGQF、DHPG 四个长方形的面积之和，等于正方形 ABCD 的面积加上长方形 MNPQ
的面积，为
10×10+4=104(平方厘米),所以四个空白三角形的面积之和为
104÷2=52(平方厘米),
那么阴影四边形 EFGH 的面积为
100-52=48(平方厘米).
7. 已知四边形 ABCD 是平行四边形，BC:CE=3:2，三角形 ODE 的面积为 6 平方厘米．
则阴影部分的面积是 平方厘米．
【答案】 21 平方厘米
【分析】
连接 AC．由于 ABCD 是平行四边形，BC:CE=3:2，所以
CE:AD=2:3,
根据梯形蝴蝶模型，
S :S :S :S
△COE △AOC △DOE △AOD22:2×3:2×3:32 ¿=¿4:6:6:9,¿
¿
所以
S =6(平方厘米),S =9(平方厘米),
△AOC △AOD
又
S =S =6+9=15(平方厘米),
△ABC △ACD
阴影部分面积为 6+15=21(平方厘米)．
8. 如图，长方形 ABCD 中，AB=67，BC=30．E、F 分别是 AB、BC 边上的两点，
BE+BF=49．那么，三角形 DEF 面积的最小值是 ．【答案】 717
【分析】 由于长方形 ABCD 的面积是一定的，要使三角形 DEF 面积最小，就必须
使 △ADE、△BEF、△CDF 的面积之和最大．
由于 △ADE、△BEF、△CDF 都是直角三角形，可以分别过 E、F 作 AD、CD 的平行
线，可构成三个矩形 ADME、CDNF 和 BEOF，如图所示．
容易知道这三个矩形的面积之和等于 △ADE、△BEF、△CDF 的面积之和的 2 倍，而这三
个矩形的面积之和又等于长方形 ABCD 的面积加上长方形 MDNO 的面积．所以为使
△ADE、△BEF、△CDF 的面积之和最大，只需使长方形 MDNO 的面积最大．
长方形 MDNO 的面积等于其长与宽的积，而其长 DM=AE，宽 DN=CF，由题知
AE+CF=(AB+BC)-(BE+BF)=67+30-49=48，根据”两个数的和一定，差越小，积越
大”，所以当 AE 与 CF 的差为 0，即 AE 与 CF 相等时它们的积最大，此时长方形
MDNO 的面积也最大，所以此时三角形 DEF 面积最小．
当 AE 与 CF 相等时，AE=CF=48÷2=24，此时三角形 DEF 的面积为：
67×30-(67×30+24×24)÷2=717．
9. 下图 ABCD 是一个长方形，其中有三块面积分别为 12、47、33，则图中阴影部分为
．【答案】 92
【分析】 如下图所示，设阴影部分面积为 S，其他未知部分的面积为 a、b、x 和
y．
则
x+S+ y=a+S+b=S ÷2
长方形ABCD
(a+S+b)+(x+S+ y)=S
长方形ABCD
根据覆盖的方法，那么阴影部分 S=33+47+12=92．10. 如图，四边形 ABCD 中，DE:EF:FC=3:2:1，BG:GH:AH=3:2:1，
AD:BC=1:2，已知四边形 ABCD 的面积等于 4，则四边形 EFHG 的面积 =
．
4
【答案】
3
【分析】 运用三角形面积与底和高的关系解题．
连接 AC、AE、GC、GE，
因为
DE:EF:FC=3:2:1,
BG:GH:AH=3:2:1,
所以，
在 △ABC 中，
1
S = S ,
△BCG 2 △ABC
在 △ACD 中，
1
S = S ,
△AED 2 △ACD
在 △AEG 中，1
S = S ,
△AEH 2 △HEG
在 △CEG 中，
1
S = S .
△CFG 2 △EFG
因为
S +S
△BCG △AED
1 1
= S + S
2 △ABC 2 △ACD
1
= (S +S )
2 △ABC △ACD
1
= S
2 ABCD
=2S .
△BCG
所以
S =S -(S +S )
AGCE ABCD △BCG △AED
¿ =2.
又因为
S =S +S +S +S
AGCE △AEH △HEG △CFG △EFG
1 1
= S +S + S +S
2 △HEG △HEG 2 △EFG △EFG
3
= (S +S )
2 △HEG △EFG
3
= S ,
2 EFGH
所以
3 4
S =2÷ = .
EFGH 2 3
11. 如下图所示，梯形 ABCD 的面积是 48，E 是下底 BC 上的一点，F 是腰 CD 的中
点，并且甲、乙、丙三个三角形面积相等，则图中阴影部分的面积是 ．【答案】 19.2
【分析】 因为三角形乙、丙的面积相等，且 DF=FC，所以三角形乙、丙的高相等，
1
于是 AE∥DC，四边形 AECD 是平行四边形，易知 S +S =S = S ，
乙 丙 阴影 2 四边形AECD
因此，阴影部分的面积是 48÷5×2=19.2．
12. 已知正方形的边长为 10，EC=3，BF=2，则 S = ．
四边形ABCD
【答案】 53
【分析】 如图，作 BM⊥AE 于 M，CN⊥BM 于 N．则四边形 ABCD 分为 4 个直角三角形和中间的一个长方形，其中的 4 个直角三角
形分别与四边形 ABCD 周围的 4 个三角形相等，所以它们的面积和相等，而中间的小长方
10×10-3×2
形的面积为 3×2=6，所以 S = +3×2=53．
四边形ABCD 2
13. 如图，三角形 ABC 的面积为 60 平方厘米，D、E、F 分别为各边的中点，那么阴影部
分的面积是 平方厘米．
【答案】 12.5
【分析】 阴影部分是一个不规则的四边形，不方便直接求面积，可以将其转化为两个
三角形的面积之差．而从图中来看，既可以转化为 △BEF 与 △EMN 的面积之差，又可以
转化为 △BCM 与 △CFN 的面积之差．
（法一）如图，连接 DE．由于 D、E、F 分别为各边的中点，那么 BDEF 为平行四边形，且面积为三角形 ABC 面
积的一半，即 30 平方厘米；那么 △BEF 的面积为平行四边形 BDEF 面积的一半，为 15
平方厘米．
根据几何五大模型中的相似模型，由于 DE 为三角形 ABC 的中位线，长度为 BC 的一半，
则
EM:BM=DE:BC=1:2,
所以
1
EM= EB;
3
EN:FN=DE:FC=1:1,
所以
1
EN= EF.
2
1 1 1
那么 △EMN 的面积占 △BEF 面积的 × = ，所以阴影部分面积为
2 3 6
( 1)
15× 1- =12.5(平方厘米).
6
（法二）如图，连接 AM．
根据燕尾定理，S :S =AE:EC=1:1,
△ABM △BCM
S :S =AD:DB=1:1,
△ACM △BCM
所以
1 1
S = S = ×60=20(平方厘米),
△BCO 3 △ABC 3
而
1 1
S = S = ×60=30(平方厘米),
△BDC 2 △ABC 2
所以
1
S = S =7.5(平方厘米),
△FCN 4 △BDC
那么阴影部分面积为
20-7.5=12.5(平方厘米).
【总结】求三角形的面积，一般有三种方法：
（1）利用面积公式：底×高÷2；
（2）利用整体减去部分；
（3）利用比例和模型．
14. 如图，正方形的边长为 12，阴影部分的面积为 60，那么四边形 EFGH 的面积是
．
【答案】 6
【分析】 如图所示，设 AD 上的两个点分别为 M、N．连接 CN．根据面积比例模型，△CMF 与 △CNF 的面积是相等的，那么 △CMF 与 △BNF
的面积之和，等于 △CNF 与 △BNF 的面积之和，即等于 △BCN 的面积．而 △BCN 的
1
面积为正方形 ABCD 面积的一半，为 122× =72．
2
又 △CMF 与 △BNF 的面积之和与阴影部分的面积相比较，多了 2 个四边形
EFGH 的面积，所以四边形 EFGH 的面积为：(72-60)÷2=6．
15. 下图中，四边形 ABCD 都是边长为 1 的正方形，E、F、G、H 分别是 AB，BC，
m
CD，DA 的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数 ，那么，
n
(m+n) 的值等于 ．
【答案】 5【分析】 左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观察发现
两个图中的空白部分面积都比较好求，所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部分的面积．
如下图所示，在左图中连接 EG．设 AG 与 DE 的交点为 M．
1
左图中 AEGD 为长方形，可知 △AMD 的面积为长方形 AEGD 面积的 ，所以
4
1 1 1
三角形 AMD 的面积为 12× × = ．又左图中四个空白三角形的面积是相等的，所以左
2 4 8
1 1
图中阴影部分的面积为 1- ×4= ．
8 2
如上图所示，在右图中连接 AC、EF．设 AF、EC 的交点为 N．
1
可知 EF∥AC 且 AC=2EF．那么三角形 BEF 的面积为三角形 ABC 面积的 ，
4
1 1 1 1 1 3
所以三角形 BEF 的面积为 12× × = ，梯形 AEFC 的面积为 - = ．
2 4 8 2 8 8
在梯形 AEFC 中，由于 EF:AC=1:2，根据梯形蝴蝶定理，其四部分的面积比为：
3 1 1
12:1×2:1×2:22=1:2:2:4，所以三角形 EFN 的面积为 × = ，那么四边
8 1+2+2+4 24
1 1 1
形 BENF 的面积为 + = ．而右图中四个空白四边形的面积是相等的，所以右图中阴
8 24 6
1 1
影部分的面积为 1- ×4= ．
6 3
1 1 m 3
那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为 : =3:2，即 = ，那么
2 3 n 2
m+n=3+2=5．
16. 如图，正方形 ABCD 的边长为 10，AE＝2，CF＝3．长方形 EFGH 的面积为
．【答案】 94．
【分析】 连接 DE，DF．在正方形 ABCD 中，
S
△≝¿=S -S -S -S ,¿
△ABCD △ADE △EBF △DFC
在长方形 DEFG 中，
S
1
△≝¿= S ,¿
2 △EFGH
因为
BE=10-2=8,BF=10-3=7,
所以
S
△≝¿=10×10-2×10÷2-8×7÷2-3×10÷2=47,¿
所以
S =47×2=94.
△EFGH
17. ABCD 是边长为 12 的正方形，如图所示，P 是内部任意一点，BL=DM=4、
BK=DN=5，那么阴影部分的面积是 ．【答案】 34
【分析】 （方法一）特殊点法．由于 P 是内部任意一点，不妨设 P 点与 A 点重
合（如下图），那么阴影部分就是 △AMN 和 △ALK．而 △AMN 的面积为
(12-5)×4÷2=14，△ALK 的面积为 (12-4)×5÷2=20，所以阴影部分的面积为
14+20=34．
（方法二）寻找可以利用的条件，连接 AP、BP、CP、DP 可得下图所示：
则有：
1 1
S +S = S = ×122=72.
△PDC △PAB 2 ABCD 2
同理可得：
S +S =72;
△PAD △PBC
而
S :S =DM:DC=4:12=1:3,
△PDM △PDC
即
1
S = S ;
△PDM 3 △PDC
同理：1 5 5
S = S ,S = S ,S = S ;
△PBL 3 △PAB △PND 12 △PDA △PBK 12 △PBC
所以：
1 5
(S +S )+(S +S )= (S +S )+ (S +S )
△PDM △PBL △PND △PBK 3 △PDC △PAB 12 △PDA △PBC
而
(S +S )+(S +S )
△PDM △PBL △PND △PBK (S +S )+(S +S );¿
¿ △PNM △PLK △DNM △BLK
¿
1
S =S = ×4×5=10;
△DNM △BLK 2
所以阴影部分的面积是：
S +S 1 5
△PNM △PLK (S +S )+ (S +S )-(S +S ),¿
¿ 3 △PDC △PAB 12 △PDA △PBC △DNM △BLK
即为：
1 5
×72+ ×72-10×2=24+30-20=34.
3 12
18. 下图中，ABCD 是平行四边形，E 为 CD 的中点，AE 和 BD 的交点为 F，AC 和
BE 的交点为 H，AC 和 BD 的交点为 G，四边形 EHGF 的面积是 15 平方厘米，则
ABCD 的面积是 平方厘米．
【答案】 180
【分析】 解法一：蝴蝶模型与一半模型．
（1）E 是 CD 的中点，DE:AB=1:2，所以
S
△≝¿:S :S :S =1:2:2:4.¿
△DAF △BEF △ABF（2）设平行四边形面积为“1”．E 是 CD 的中点，所以 S 、S 、S 占平行四
△ABG △ADG △BEC
1 3
边形面积的 ，梯形 S 占平行四边形面积的 ；
4 ABED 4
（3）所以
3 2 1
S = × = ,
△DAF 4 1+2+2+4 6
1 1 1
S = - = ,
△GAF 4 6 12
1
同理可知 S = ．
△GHB 12
1
（4）根据一半模型，S = ，
△ABE 2
1 1 1 1 1
S = - - - = ;
四边形EHGF 2 4 12 12 12
（5）ABCD 的面积是
1
15÷ =180(cm2 ).
12
解法二：相似模型、等积变形与一半模型．
（1）E 是 CD 的中点，DE:AB=1:2，所以 DF:FB=1:2，而 DG=GB，
1 (1 1 )
DF:FG= : - =2:1;
1+2 2 1+2
（2）设平行四边形面积为“1”．E 是 CD 的中点，所以 S 、S 占平行四边形面
△ABG △ADG
1
积的 ，所以
4
1 1 1
S = × = ,
△GAF 4 2+1 12
1
同理可知 S = ．
△GHB 12
1
（3）根据一半模型，S = ，
△ABE 2
1 1 1 1 1
S = - - - = ;
四边形EHGF 2 4 12 12 12
（4）ABCD 的面积是
1
15÷ =180(cm2 ).
12
解法三：燕尾模型与一半模型．
1
（1）设平行四边形面积为“1”．S = ．
△ADC 2（2）E 是 CD 的中点，G 为 AC 的中点，连接 FC，
设 S 为 1 份，S 也为 1 份，根据燕尾 S 为 2 份，再根据燕尾 S 也为
△≝¿¿ △ECF △ADF △ACF
2 份，根据按比例分配，S 、S 都为 1 份，所以
△AGF △GCF
1 1
S = ÷(2+1+1+1+1)= ,
△GAF 2 12
1
同理可知 S = ．
△GHB 12
1
（3）根据一半模型，S = ，
△ABE 2
1 1 1 1 1
S = - - - = ;
四边形EHGF 2 4 12 12 12
（4）ABCD 的面积是
1
15÷ =180(cm2 ).
12
解法四：风筝模型与一半模型．
连接 EG 同样可解．
19. 如图，正方形 ABCD 的边 AD 上有一点 E，边 BC 上有一点 F，G 是 BE 的中点，
H 是 CE 的中点，如果正方形的边长是 2，那么阴影部分的面积是 ．【答案】 1
【分析】
2×2÷2÷2=1.
20. 如下图所示，在长方形内画出一些直线，已知边上有三块面积分别是 13，35，49．那么
图中阴影部分的面积是多少？
【答案】 97
【分析】
三角形ABC的面积+三角形CDE的面积+(13+35+49)
长方形面积+阴影部分面积;¿
¿
又因为
1
三角形ABC的面积=三角形CDE的面积= 长方形面积,
2
所以可得：
阴影部分面积=13+35+49=97.
21. 如下图所示长方形 ADEH 由上、中、下三个小长方形组成，已知 AB+CD=BC，三角
形 ABI 的面积为 3，四边形 GIJF 的面积为 12，求四边形 CDEJ 的面积．【答案】 9
【分析】 因为 AB+CD=BC，所以长方形 BCFG 的面积等于长方形 ADEH 面
1
积的一半，即 S +S = S ，又
梯形BCJI 梯形IJFG 2 长方形ADEH
1
S +S +S = S ，所以 S +S =S ，故四边形
△ABI 梯形BCJI 梯形CDEJ 2 长方形ADEH △ABI 梯形CDEJ 梯形IJFG
CDEJ 的面积是 12-3=9．
22. 如图所示，O 是长方形 ABCD 一条对角线的中点，图中已经标出两个三角形的面积 3
和 4，那么阴影直角三角形的面积是多少？
1
【答案】 3
81 1
【分析】 由 S =4 可知 S = ×S = ×4×S =8．而 △CDF
△AOD △BCD 2 长方形ABCD 2 △AOD
DF S 5
与 △CDB 从 C 出发的高相同，则 = △CDF = ．
DB S 8
△CDB
CE DF 3
由于 EF∥CD，把线段的比例转移到 BC 上，则有 = = ，从而得到
BC DB 8
BE 3 5 5
=1- = ，所以阴影 △BEF 的面积是 △BCF 面积的 ．于是阴影三角形的面积是
BC 8 8 8
5 5 5 25
×S = ×(S -S )= ×(8-3)= .
8 △BCF 8 △BCD △CDF 8 8
23. 如图，正六边形的面积为 120，P 是其内任意一点，求 △PBC 和 △PEF 的面积之和．
【答案】 40
【分析】 由一半模型，两个三角形面积和等于四边形 BCEF 面积的一半，而这个四
2 1
边形的面积又是六边形面积的 ，所以所求面积和就是正六边形面积的 ，为 40．
3 3
24. 如图所示，E、H、F、G 是四边形 ABCD 的 AD、BC 边上的三等分点，四边形
ABCD 的面积为 18 平方厘米，那么四边形 EFGH 的面积是 平方厘米．【答案】 6
【分析】 首先连接 BE、DG、BD，如下图所示：
可以看出，三角形 ABD 的面积是三角形 ABE 面积的 3 倍，三角形 BCD 的面积是三角
形 GCD 的面积的 3 倍，所以三角形 ABE 与三角形 GCD 的面积和是 6 平方厘米，那
么四边形 BGDE 的面积是 12 平方厘米．再利用不规则四边形中的一半模型可得，EFGH
的面积是 BFDG 的一半，也就是 6 平方厘米．
25. 如图，在三角形 ABC 中，BC＝8 厘米，BC 边对应的高是 6 厘米，E、F 分别为
AB 和 AC 的中点，那么三角形 EBF 的面积是多少平方厘米？【答案】 6
【分析】 S =8×6÷2=24(平方厘米)，因为 F 是中点，所以
△ABC
S =S =24÷2=12(平方厘米),
△AFB △FBC
因为 E 是中点，所以
S =S =12÷2=6(平方厘米).
△BEF △EFA
26. 如图所示，P 为长方形 ABCD 内的一点．三角形 PAB 的面积为 5，三角形 PBC 的
面积为 13 请问：三角形 PBD 的面积是多少？
【答案】 8
【分析】 图 1 阴影部分的面积是整个长方形的一半，而图 2 阴影部分的面积也是
整个长方形的一半，两个阴影部分有一块公共部分，那就是 △APD．去掉这块公共部分之后，
剩下的阴影部分仍然应该相等，因此就有 S =S +S ．由题意，S =13，S =5，所以
1 2 3 1 2
S =13-5=8．
327. 一张面积为 7.17 平方厘米的平行四边形纸片 WXYZ 放在另一张平行四边形纸片
EFGH 上面，如下图所示，得出 A、C、B、D 四个交点，并且 AB∥EF，CD∥WX．
问纸片 EFGH 的面积是多少平方厘米？说明理由．
【答案】 7.17
【分析】 连接 AC、CB、BD、DA 如下图所示，因为 AB∥EF∥GH，所以
△ABC 的面积是平行四边形 AEFB 面积的一半，△ABD 的面积是平行四边形 AHGB 的
面积的一半，因此四边形 ACBD 的面积是平行四边形 EFGH 面积的一半．
同理可证，四边形 ACBD 的面积也是平行四边形 WXYZ 面积的一半．
因此，平行四边形 EFGH 的面积 = 平行四边形 WXYZ 的面积 =7.17 平方厘米．28. 如下图所示，在平行四边形 ABCD 中，已知三角形 ABP、BPC 的面积分别是 73、
100，求三角形 BPD 的面积．
【答案】 27
【分析】 根据平行四边形的一半模型可知，
1
S +S =S +S +S = S ，所以有 S =S +S ，那么
△APD △BPC △APD △APB △BPD 2 平行四边形ABCD △BPC △APB △BPD
三角形 BPD 的面积等于 100-73=27．29. 如图，ABCD 为正方形，AM=NB=DE=FC=1cm 且 MN=2cm，请问四边形
PQRS 的面积为多少？
2
【答案】
cm2
3
【分析】 （法 1）由 AB∥CD，有
MP PC
= ,
MN DC
所以
PC=2PM,
又
MQ MB
= ,
QC EC
所以
1
MQ=QC= MC,
2
所以
1 1 1
PQ= MC- MC= MC,
2 3 6
1
所以 S 占 S 的 ，得到
SPQR AMCF 6
1 2
S = ×1×(1+1+2)= (cm2 ).
SPQR 6 3
（法 2）如图，连结 AE，则
1
S = ×4×4=8(cm2 ),
△ABE 2
而
RB ER
= ,
AB EF
所以
RB AB
= =2,
EF EF
2 2 16
S = S = ×8= (cm2 ).
△ABR 3 △ABE 3 3
而
1 1
S =S = ×3×4× =3(cm2 ),
△MBQ △ANS 2 2
因为
MN MP
= ,
DC PC
所以
1
MP= MC,
3
则
1 1 4
S = ×2×4× = (cm2 ),
△MNP 2 3 3
阴影部分面积等于
S -S -S +S 16 4 2
△ABR △ANS △MBQ △MNP -3-3+ ¿=¿ (cm2 ).¿
¿ 3 3 3
30. 在长方形 ABCD 内部有一点 O，形成等腰 △AOB 的面积为 16，等腰 △DOC 的面
积占长方形面积的 18%，那么阴影 △AOC 的面积是多少？【答案】 3.5
【分析】 先算出长方形面积，再用其一半减去 △DOC 的面积（长方形面积的 18%
），再减去 △AOD 的面积，即可求出 △AOC 的面积．
根据模型可知
1
S +S = S ,
△COD △AOB 2 ABCD
所以
1
S =16÷( -18%)=50,
ABCD 2
又 △AOD 与 △BOC 的面积相等，它们的面积和等于长方形面积的一半，所以 △AOD 的
1
面积等于长方形面积的 ，
4
所以
S =S -S -S
△AOC △ACD △AOD △COD
¿ =25-12.5-9
¿ ¿
31. 如下图所示，点 P 及点 Q 在正方形 ABCD 之内部，若 △ABP 与 △DPC 的面积比
为 3:2，△ADP 与 △BCP 的面积比为 3:7，△ABQ 与 △CDQ 的面积比为 3:5，并且
△ADQ 与 △BCQ 的面积比为 4:1．请问四边形 APCQ 的面积（阴影部分）与正方形
ABCD 的面积比是多少？【答案】 29:80
【分析】 根据一半模型，
△ABP 与 △DPC 的面积和为正方形面积的一半，
△ADP 与 △BCP 的面积和为正方形面积的一半，
△ABQ 与 △CDQ 的面积和为正方形面积的一半，
△ADQ 与 △BCQ 的面积和也为正方形面积的一半，
2 1 1 3 1 3
那么 △DPC 的面积占整个图形的 × = ，△ADP 的面积占整个图形的 × = ，
5 2 5 10 2 20
3 1 3 1 1 1
△ABQ 的面积占整个图形的 × = ，△BCQ 的面积占整个图形的 × = ，那么
8 2 16 5 2 10
1 3 3 1 29
阴影部分占正方形面积的 1- - - - = ．
5 20 16 10 80
32. 如图，有一个长 6cm，宽 4cm 的长方形 ABCD．在各边上取点 E,F,G,H，再连接
H,F 的线上取点 P，与点 E 和点 G 相连．当四边形 AEPH 的面积是 5cm2 时，求四
边形 PFCG 的面积．【答案】 8cm2．
【分析】 连结 EH,EF,FG,GH，题目中的线段长度如右图所示．所求四边形的面
积可以化为三角形 FGP 与 FCG 的面积和．易见中间的四边形 EFGH 是平行四边形．
根据一半模型，
1
S +S = S .
△EHP △FGP 2 EFGH
S =4×6-2×3÷2×2-1×4÷2×2=14(cm2),
平行四边形EFGH
那么
S +S =14÷2=7(cm2).
△EHP △FGP
S =5-3=2(cm2),
△EHP
所以
S =7-2=5(cm2).
△FGP
因此四边形 PFCG 的面积是
5+2×3÷2=8(cm2)
33. 在图中，正方形 ADEB 和正方形 ECFG 底边对齐，两个正方形边长分别为 6 和 4．
三角形 BDF 的面积是多少？【答案】 18
【分析】 连接 FE，则三角形 BFO 的面积与三角形 DOE 的面积相等．则图中阴
影部分的面积为正方形 ABDE 面积的一半，为 6×6÷2=18．
34. 如图，阴影部分四边形的外接图形是边长为 12 厘米的正方形，则阴影部分四边形的面积
是多少平方厘米？
【答案】 68
【分析】 如图所示，分别过阴影四边形 EFGH 的四个顶点作正方形各边的平行线，
相交得长方形 MNPQ，易知长方形 MNPQ 的面积为 4×2=8 平方厘米．从图中可以看出，原图中四个空白三角形的面积之和的 2 倍，等于 AENH、BFME、
CGQF、DHPG 四个长方形的面积之和，等于正方形 ABCD 的面积加上长方形 MNPQ
的面积，为 12×12+8=152 平方厘米，所以四个空白三角形的面积之和为 152÷2=76 平
方厘米，那么阴影四边形 EFGH 的面积为 144-76=68 平方厘米．
35. 一个长方形分成 4 个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形面积的 15%，黄色三角形
面积是 21cm2．问：长方形的面积是多少平方厘米？
【答案】 60．
【分析】 由一半模型知：黄+绿=长方形的面积一半，所以绿占长方形面积的：
1 7 7
-15%= ，所以长方形的面积为：21÷ =60（平方厘米）．
2 20 20
36. 如图所示，长方形 ABCD 的长是 12 厘米，宽是 8 厘米，三角形 CEF 的面积是 32
平方厘米，则 OG= 厘米．【答案】 4
【分析】 由于 AD 与 FG 平行，因此
S +S =S =32(平方厘米).
△FDO △CFO △CEF
而
S =12×8÷2=48(厘米),
△CFD
所以
S =S -S -S
△CDO △CFD △FDO △CFO
¿ =16(平方厘米),
故
OG=2S ÷CD=2×16÷8=4(厘米).
△CDO
37. 图中 ABCD 是梯形，三角形 ADE 面积是 1.8，三角形 ABF 的面积是 9，三角形
BCF 的面积是 27．那么阴影部分面积是多少？
【答案】 4.8
【分析】 设 △ADF 的面积为“上”，△BCF 的面积为“下”，△ABF 的面积为
“左”，△DCF 的面积为“右”．
左=右=9；上×下=左×右=9×9=81，而 下=27，所以 上=81÷27=3．
△ADE 的面积为 1.8，那么 △AEF 的面积为 1.2，则
EF:DF=S :S =1.2:3=0.4.
△AEF △AED△CEF 与 △CDF 的面积比也为 EF 与 DF 的比，所以有\[ {S}_{\vartriangle {{ACE }}}
=0.4\times{S}_{\vartriangle {{ACD}}} $ =0.4\times(3+9)=4.8. \]
即阴影部分面积为 4．8．
38. 如图，ABCD 是一个直角梯形．以 AD 为边长向外做一个长方形 ADEF，其面积是 10
平方厘米，连结 BE 交 AD 于 P，再连接 PC，则图中阴影部分的面积是多少平方厘米？
【答案】 5 平方厘米
【分析】 连结 BD，如下图．因为 AD∥BC，所以 S =S ，所以阴影部分
△PCD △PBD
的面积等于 S ，再根据 FB∥ED，所以阴影的面积就是长方形 AFED 面积的一半，即
△EBD
10÷2=5(平方厘米)．
39. 有一个边长为 16 厘米的正方形，连接每边的中点构成第二个正方形，再连接每边的中点
构成第三个正方形，第四个正方形．求图中阴影部分的面积？【答案】 80cm2
【分析】 如下图左所示，S 阴 ① =4S ．
1
S阴①=16×16÷2=128(cm2
)
如下图中所示，此时斜放的正方形面积为 128cm2，S=S 阴 ②．
S=S阴②=128÷2=64(cm2
)
如图右所示，此时外面正方形面积为 64，图中
S阴③=64÷2÷2=16(cm2
)
所以，图中阴影部分总面积为：
S阴②+S阴③=64+16=80(cm2
)
40. 如图，四边形 ABCD 中，DE=4FC，EF=3FC，BG=4 AH，GH=3AH，已知四
边形 ABCD 的面积等于 24，则四边形 EFHG 的面积 = ．【答案】 9
【分析】 首先连接 AE、CG、AC，由已知条件看出 E、G 分别为 CD 和 AB
的中点，那么根据所学的一半模型，四边形 AECG 的面积占 ABCD 的一半，也就是面积
为 12．接下来连结 EG，又可看出 HEG 面积是 HEA 的 3 倍，以及 FGE 面积是
FGC 的 3 倍，所以推出四边形 EFGH 的面积是 12÷(1+3)×3=9．
41. 如图，长方形被其内的一些直线划分成了若干块，已知边上有 3 块面积分别是 13，35，
49．那么图中阴影部分的面积是多少？【答案】 97
【分析】 如下图所示，为了方便叙述，将部分区域标上序号，设阴影部分面积为
“阴”：
1
(49+①+35)+(13+②) = 矩形的面积
2
1
①+阴+② = 矩形的面积.
2
比较上面两个式子可得阴影部分的面积为 97．
42. 如图，将平行四边形 ABCD 的边 DC 延长一倍至点 E，已知三角形 BCE 的面积是
10 平方厘米，阴影部分面积是多少平方厘米？
【答案】 10【分析】 连接 AC．因为 DC=CE=AB，且 AB∥CE，所以四边形 ABEC 是平
行四边形．推知 S =S ，因为 DC=CE，所以 S =S ，可得
△ABF △BEF △DCF △CEF
S +S =S +S ．那么阴影部分的面积是 10 平方厘米．
△ABF △DCF △BEF △CEF
43. 如图，已知平行四边形 ABCD 的面积为 36，三角形 AOD 的面积为 8．三角形 BOC
的面积为多少？
【答案】 10．
1
【分析】 由基本一半模型知：三角形 BOC 的面积为 36× -8=10．
2
44. 如图，四边形 ABCD 中，DE=3FC，EF=2FC，BG=3AH，GH=2AH，已知四边
形 ABCD 的面积等于 24，则四边形 EFGH 的面积 = ．
【答案】 8．
【分析】 首先连接 AE、CG、AC，由已知条件看出 E、G 分别为 CD 和 AB
的中点，那么根据所学的一半模型，四边形 AECG 的面积占四边形 ABCD 面积的一半，也就是面积为 12．接下来连结 EG，又可看出 HEG 面积是 HEA 的 2 倍，以及 FGE
面积是 FGC 的 2 倍，所以推出四边形 EFGH 的面积是 12÷(1+2)×2=8．
45. 如下图，正方形 ABCD 的面积是 20，正三角形 △BPC 的面积是 15，求阴影 △BPD
的面积．
【答案】 10
【分析】 连接 AC 交 BD 于 O 点，并连接 PO．如上图所示，可得 PO∥DC，所以 △DPO 与 △CPO 面积相等（同底等高），所以有：
S +S =S +S =S ,
△BPO △CPO △BPO △PDO △BPD
因为
1 1
S = S = ×20=5,
△BOC 4 ABCD 4
所以
S =15-5=10.
△BPD
46. 如图，在一个梯形内有两个三角形的面积分别为 10 与 12，已知梯形的上底长是下底长
2
的 ．那么余下阴影部分的面积是多少？
3
【答案】 23
【分析】 不妨设上底长 2，那么下底长 3，则上面部分的三角形的高为
10÷2×2=10，下面部分的三角形的高为 12÷3×2=8，则梯形的高为 10+8=18．
所以梯形的面积为
1
×(2+3)×18=45,
2
所以余下阴影部分的面积为
45-10-12=23.
47. 如图所示，BD、CF 将长方形 ABCD 分成 4 块，△≝¿ 的面积是 5 平方厘米，
△CED 的面积是 10 平方厘米．问：四边形 ABEF 的面积是多少平方厘米？【答案】 25 厘米
【分析】
连接 BF，根据梯形模型，可知三角形 BEF 的面积和三角形 DEC 的面积相等，即其面积
也是 10 平方厘米，再根据蝴蝶定理，三角形 BCE 的面积为
10×10÷5=20(平方厘米),
所以长方形的面积为
(20+10)×2=60(平方厘米),
四边形 ABEF 的面积为
60-5-10-20=25(平方厘米).
48. 如图，正六边形 ABCDEF 的面积为 1，那么阴影部分的面积是多少？
1
【答案】
4
【分析】把三角形 EGD 移到三角形 CHB 的位置，则长方形 DHBG 面积为六边形面积一
半，阴影面积又为此长方形面积一半，因此为
1
1÷2÷2= .
4
49. 下图中的大正方形 ABCD 的面积是 1，其他点都是它所在的边的中点．请问：阴影三角
形的面积是多少？
3
【答案】
32
1
【分析】 图中有大、中、小三个正方形，每个面积是前一个的 ，所以小正方形面
2
1
积是 ，将小正方形各顶点标上字母，如下图所示，很容易看出 $\triangle JFG\text{面积}
4
=\triangle IHG\text{面积}=\dfrac 1 4\times \text{正方形$ EFGH $面积}$，$\triangle EJI\text{面积}=\dfrac 1 4\times \triangle EFH\text{面积}=\dfrac 1 8\times \text{正方形$ EFGH $面积}$．所
( 1 1 1) 3 3
以阴影 △JGI面积= 1- - - ×小正方形面积= ×小正方形面积= ．
4 4 8 8 32
50. 已知三角形 ABC 中，BD=CD，三角形 ABD 的面积为 20 平方厘米，AD=8 厘米，
求高 CE 的长是多少厘米？
【答案】 5
【分析】 因为三角形 ACD 的面积 =20 平方厘米，同时三角形 ACD 的面积
=AD×CE÷2，所以 CE=20×2÷8=5（厘米）．
51. 平行四边形内有一个点 N，连接这个点和平行四边形的四个顶点，把平行四边形分成几块，
各块的面积如图所示，那么阴影部分的面积应该是多少？【答案】 6
【分析】 平行四边形中也有一半模型．8+2-4=6 就是阴影的面积．
52. 如图是由 5 个大小不同的正方形叠放而成的，如果最小的正方形（阴影部分）的周长是
8，那么最大的正方形的边长是多少？
【答案】 8 厘米
【分析】 最小正方形的面积是
2×2=4(平方厘米)
最大的正方形的面积是
4×2×2×2×2=64(平方厘米)
那么最大的正方形的边长是 8 厘米．
53. 如图，长方形 ABCD 的边上有两点 E、F，线段 AF、BF、CE、BE 把长方形分成若
干块，其中三个小木块的面积标注在图上，阴影部分面积是多少平方米？【答案】 97
【分析】 运用等积变换，
1
S +S = S ,
DFA FCB 2 ABCD
1
S = S =S +S ,
BCE 2 ABCD DAF FCB
因此，阴影面积为
15+36+46=97(平方米).
54. 如图，正方形 ABCD 的边长为 8，AE=2，CF=3．长方形 EFGH 的面积为
．
【答案】 58
【分析】 连接 DE，DF，正方形 ABCD 的面积为 8×8=64，三角形 AED 的面
积为
8×2÷2=8,三角形 DFC 的面积为
8×3÷2=12,
三角形 BEF 的面积为
(8-2)×(8-3)÷2=15,
则三角形 DEF 的面积为
64-8-12-15=29,
长方形 EFGH 的面积为
29×2=58.
55. 一个长方形分成 4 个不同的三角形，已知黄色的三角形面积是 50 平方厘米，绿色三角
形的面积占长方形面积的 20%，那么长方形的面积是多少平方厘米？
500
【答案】
3
【分析】 由一半模型知：
黄+绿=长方形的面积一半,
所以绿占长方形面积的：
1 3
-20%= ,
2 10
所以长方形的面积为：
3 500
50÷ = (平方厘米).
10 3
56. 如图，正方形 ABCD 的边长为 6，AE＝1.5，CF＝2．长方形 EFGH 的面积是多少？【答案】 33．
【分析】 连接 DE，DF．在正方形 ABCD 中，
S
△≝¿=S -S -S -S ,¿
△ABCD △ADE △EBF △DFC
在长方形 DEFG 中，
S
1
△≝¿= S ,¿
2 △EFGH
因为
BE=6-1.5=4.5,BF=6-2=4,
所以
S
△≝¿=6×6-1.5×6÷2-2×6÷2-4.5×4÷2=16.5,¿
所以
S =16.5×2=33.
△EFGH
57. 如图，ABCD 长方形中，阴影部分是直角三角形且面积为 54，OD 的长是 16，OB 的
长是 9．那么四边形 OECD 的面积是多少？
【答案】 119.625
【分析】 因为连接 ED 知道 △ABO 和 △EDO 的面积相等即为 54，又因为
OD:OB=16:9，所以 △AOD 的面积为
54÷9×16=96,
根据四边形的对角线性质知道：△BEO 的面积为：
54×54÷96=30.375,所以四边形 OECD 的面积为：
54+96-30.375=119.625.
58. 图中有 6 个正方形，较小的正方形都由较大的正方形的 4 边中点连接而成．已知最大的
正方形的边长为 16 厘米，那么最小的正方形的面积等于多少平方厘米？
【答案】 8
【分析】 我们先来寻求图形面积变化的规律．观察右图，连接大正方形对边中点，则
把大正方形分成了 4 个小正方形，每个小正方形被边 EH、HG、FG、EF 分成了面积相
等的三角形．由此可知：
正方形EFGH的面积=正方形ABCD面积÷2
由此可以推出：相邻两个正方形，每个较小正方形的面积是较大正方形面积的一半，因此，最
小正方形的面积为：
16×16÷2÷2÷2÷2÷2=8(平方厘米)
59. 如图，ABCE 是一个平行四边形，ADE 是一个直角三角形，他们组成了梯形 ABCD．
如果这个梯形的上底、下底和高分别为 2cm、5cm 和 4cm，则图中阴影部分面积为是多
少平方厘米？【答案】 6
【分析】 用梯形面积减去三角形 CFB 的面积和三角形 ABD 的面积，且三角形
BFC 面积为平行四边形 ABCE 面积的一半，因此，因此阴影面积为
1 1 1
×(2+5)×4- ×2×4- ×2×4=6
2 2 2
60. 如图，三角形 AEF 的面积是 17，DE、BF 的长度分别为 11、3．求长方形 ABCD
的面积．
【答案】 67
【分析】 如图，过 F 作 FH∥AB，过 E 作 EG∥AD，FH、EG 交于 M，连
接 AM．则
S =S +S +S +S
矩形ABCD 矩形AGMH 矩形GBFM 矩形MFCE 矩形HMED
¿ =DE×BF+2S
△AEF
¿ =67.
另解：设三角形 ADE、CEF、ABF 的面积之和为 s，则正方形 ABCD 的面积为 s+17．
从图中可以看出，三角形 ADE、CEF、ABF 的面积之和的 2 倍，等于正方形 ABCD 的
面积与长方形 AGMH 的面积之和，即 2s=(s+17)+11×3，得 s=50，所以正方形
ABCD 的面积为 50+17=67．
61. 如图，长方形 ABCD 的面积是 2011 平方厘米，梯形 AFGE 的顶点 F 在 BC 上，
D 是腰 EC 的中点．试求梯形 AFGE 的面积．
【答案】 2011 平方厘米．【分析】 连接 DF，三角形 ADF 的面积是长方形面积的一半，三角形 ADF 的面
积也是梯形的面积的一半，所以梯形的面积是 2011．
62. 如图所示，四边形 ABCD 是平行四边形，面积是 72 平方厘米，E、F 分别为边 AB、
BC 的中点，请问：阴影部分的面积为多少平方厘米？
【答案】 48
【分析】 因为 E 为边 AB 的中点，四边形 ABCD 是平行四边形，所以
1
AE= CD，且 AE∥CD．
2
在沙漏 AEHCD 中，有 AH:HC=1:2，EH:HD=1:2．1
由 EH:HD=1:2 可知，△AEH 的面积为 △AED 面积的 ．
3
1
易知 △AED 面积为平行四边形 ABCD 的面积的 ，即
4
1
72× =18(平方厘米).
4
所以 △AEH 的面积为
1
18× =6(平方厘米).
3
由 F 为边 BC 的中点，同理可求出 △FOC 的面积为 6 平方厘米．
由 AH:HC=1:2，FO:OD=1:2 可知，H、O 为边 AC 的三等分点．
所以
1
S =S =S = S .
△HOD △AHD △DOC 3 △ACD
1
而 S = ×72=36(平方厘米)，所以
△ACD 2
1
S = ×36=12(平方厘米).
△HOD 3
于是空白部分面积为 S +S +S =6+6+12=24(平方厘米)．
△AEH △FOC △HOD
因此阴影部分的面积为 72-24=48(平方厘米)．
63. 如图如果长方形的面积为 56 平方厘米，且 MD=2 厘米、QC=3 厘米、CP=5 厘米、
BN=6 厘米，那么请你求出四边形 MNPQ 的面积是多少厘米？
【答案】 32.5【分析】 如图所示过点 M、N、P、Q 分别作长方形各边的平行线，易知交成四个
矩形和中间的正方形，中间的正方形边长为 3 厘米，面积为 9 平方厘米，且四个矩形中阴
影部分的面积占一半为：
(56-9)÷2=23.5(平方厘米),
则四边形 MNPQ 的面积是：
56-23.5=32.5(平方厘米).
64. 长方形 ABCD 的面积为 36，E、F、G 为各边中点，H 为 AD 边上任意一点，问阴
影部分面积是多少？
【答案】 13.5
【分析】 （法 1）特殊点法．由于 H 为 AD 边上任意一点，找 H 的特殊点，把
H 点与 A 点重合（如下图），那么阴影部分的面积就是 △AEF 与 △ADG 的面积之和，1 1
而这两个三角形的面积分别为长方形 ABCD 面积的 和 ，所以阴影部分面积为长方形
8 4
1 1 3 3
ABCD 面积的 + = ，为 36× =13.5．
8 4 8 8
（法 2）寻找可利用的条件，连接 BH、HC，如下图．
1 1 1
可得：S = S 、S = S 、S = S ，而
△EHB 2 △AHB △FHB 2 △CHB △DHG 2 △DHC
S =S +S +S =36，即
ABCD △AHB △CHB △CHD
1
S +S +S = (S +S +S )
△EHB △BHF △DHG 2 △AHB △CHB △CHD
¿ =18;
而 S +S +S =S +S ，
△EHB △BHF △DHG 阴影 △EBF
1
S = ×BE×BF
△EBF 2
1
¿ = ×36
8
¿ ¿
所以阴影部分的面积是：S =18-S =18-4.5=13.5．
阴影 △EBF
65. 下图中，ABCD 和 CGEF 是两个正方形，AG 和 CF 相交于 H，已知 CH 等于
CF 的三分之一，三角形 CHG 的面积等于 6 平方厘米，求五边形 ABGEF 的面积．【答案】 49.5 平方厘米．
【分析】 连接 AC、GF，由于 AC 与 GF 平行，可知四边形 ACGF 构成一个
梯形．
由于 △HCG 面积为 6 平方厘米，且 CH 等于 CF 的三分之一，所以 CH 等于 FH 的
1
，根据梯形蝴蝶定理，可知 △FHG 的面积为 12 平方厘米，△AHF 的面积为 6 平方厘
2
米，△AHC 的面积为 3 平方厘米．
那么正方形 CGEF 的面积为
(6+12)×2=36(平方厘米),
所以其边长为 6 厘米．
又 △AFC 的面积为
6+3=9(平方厘米),
所以
AD=9×2÷6=3(厘米),
即正方形 ABCD 的边长为 3 厘米．那么，五边形 ABGEF 的面积为：
1
36+9+32× =49.5(平方厘米).
266. 如图，四边形 ABCD 是梯形，四边形 ABFD 是平行四边形，四边形 CDEF 是正方形，
四边形 AGHF 是长方形．又知 AD=14 厘米，BC=22 厘米，那么，阴影部分的总面积是
多少平方厘米？
【答案】 56
【分析】 阴影部分的面积与三角形 ABF 的面积相等，
S =S
△ABF △ADF
¿ =AD×FC÷2
¿ =14×(22-14)÷2
¿ ¿
67. 图中的 E、F、G 分别是正方形 ABCD 三条边的三等分点，如果正方形的边长是 12，
那么阴影部分的面积是多少？
【答案】 48【分析】 把另外三个三等分点标出之后，正方形的 3 个边就都被分成了相等的三段．
把 H 和这些分点以及正方形的顶点相连，把整个正方形分割成了 9 个形状各不相同的三角
形．这个三角形的底边分别是在正方形的 3 个边上，它们的长度都是正方形边长的三分之一．
阴影部分被分割成了 3 个三角形，右边三角形的面积和第 1 第 2 个三角形相等：中间三角
形的面积和第 3 第 4 个三角形相等；左边三角形的面积和第 5 个第 6 个三角形相等．
因此这 3 个阴影三角形的面积分别是 ABH、BCH 和 CDH 的三分之一，因此全
部阴影的总面积就等于正方形面积的三分之一．正方形的面积是 144，阴影部分的面积就是
48．
68. 如图，已知正方形 ABCD 的边长为 10 厘米，E 为 AD 中点，F 为 CE 中点，G 为
BF 中点，求三角形 BDG 的面积．
【答案】 6.25 平方厘米．
【分析】 设 BD 与 CE 的交点为 O，连接 BE、DF．
由蝴蝶定理可知EO:OC=S :S ,
△BED △BCD
而
1 1
S = S ,S = S ,
△BED 4 ▫ABCD △BCD 2 ▫ABCD
所以
EO:OC=S :S =1:2,
△BED △BCD
故
1
EO= EC.
3
由于 F 为 CE 中点，所以
1
EF= EC,
2
故
EO:EF=2:3,FO:EO=1:2.
由蝴蝶定理可知
S :S =FO:EO=1:2,
△BFD △BED
所以
1 1
S = S = S ,
△BFD 2 △BED 8 ▫ABCD
那么
1
S = S
△BGD 2 △BFD
1
¿ = ×10×10
16
¿ ¿
69. 正方形内，有两点，图中圆圈表示所在的小三角形，已知 ① 的面积是 32cm2，② 的面
积是 36cm2，③ 的面积是 24cm2，问 ④ 的面积是多少平方厘米？
【答案】 44【分析】 ① 与 ② 的面积之和加上左右边上两个的面积是正方形面积的一半，③ 和
④ 的面积之和加上左右边上两个的面积是正方形面积的一半，所以
①+②=③+④
也就是
32+36=24+④,
④ 的面积是 44cm2．
70. 如下图，正方形 ABCD 的面积是 12，正三角形 △BPC 的面积是 5，求阴影 △BPD
的面积．
【答案】 2
【分析】 连接 AC 交 BD 于 O 点，并连接 PO．
如上图所示，可得 PO∥DC，所以 △DPO 与 △CPO 面积相等（同底等高），所以有：
S +S =S +S =S ,
△BPO △CPO △BPO △PDO △BPD
因为
1
S = S =3,
△BOC 4 ABCD
所以
S =5-3=2.
△BPD
71. 如图所示，长方形 ABCD 内的阴影部分的面积之和为 70，AB=8，AD=15，四边形
EFGO 的面积为 ．【答案】 10
【分析】 从整体上来看，
四边形EFGO的面积=三角形AFC面积+三角形BFD面积-白色部分的面积，
而 三角形AFC的面积+三角形BFD面积 为长方形面积的一半，即 60，白色部分的
面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即 120-70=50，所以四边形的面积为
60-50=10．
72. 如图所示，长为 8 厘米、宽为 6 厘米的长方形 ABCD 中有一点 O，连接 OA、OB、
OC 和 OD，左边阴影 AOB 的面积是 10 平方厘米，则右边的面积是多少？
【答案】 14
【分析】 左右面积之和同样也是一半，即为
8×6÷2=24.
左边面积是 10，那么右边面积是 14．73. 如下图，E、F 分别是梯形 ABCD 的下底 BC 和腰 CD 上的点，DF=FC，并且甲、
乙、丙 3 个三角形面积相等．已知梯形 ABCD 的面积是 40 平方厘米．求图中阴影部分的
面积．
【答案】 16 平方厘米．
【分析】 因为三角形 AFD 和三角形 CFE 的面积相等，DF=FC，则 A 到 CD
的距与 E 到 CD 的距离相等，所以四边形 ADCE 是平行四边形，那么阴影部分的面积是
平行四边形 AECD 的面积的一半，设三角形 ABE 的面积为 1 份，则平行四边形 AECD
的面积为 (1+1)×2=4 份，梯形 ABCD 的面积为 5 份，阴影部分的面积为
40÷5×2=16(平方厘米)．
74. 一个边长为 20 厘米的正方形，依次连接四边中点得到第二个正方形，这样继续下去可得
到第三个、第四个、第五个正方形．求第五个正方形的面积？【答案】 25 平方厘米
【分析】 第一个正方形的面积是
20×20=400(平方厘米)
第二个正方形的面积如图，实际上是第一个正方形面积的一半．依次类推，第五个正方形的面
积为：
400÷2÷2÷2÷2=25(平方厘米)
75. 如图，三角形 PDM 的面积是 8 平方厘米，长方形 ABCD 的长是 6 厘米，宽是 4
厘米，M 是 BC 的中点，则三角形 APD 的面积是 平方厘米．
【答案】 8
【分析】 本题在矩形内连接三点构成一个三角形，而且其中一点是矩形某一条边的中
点，一般需要通过这一点做垂线．取 AD 的中点 N，连接 MN，设 MN 交 PD 于 K．
则三角形 PDM 被分成两个三角形，而且这两个三角形有公共的底边 MK，可知三角形
PDM 的面积等于
1
×MK×BC=8(平方厘米),
2
所以
8
MK= (厘米),
3
那么
8 4
NK=4- = (厘米).
3 3
因为 NK 是三角形 APD 的中位线，所以
8
AP=2×NK= (厘米),
3
所以三角形 APD 的面积为
1 8
× ×6=8(平方厘米).
2 3
76. 如下图，过平行四边形 ABCD 内的一点 P 作边的平行线 EF、GH，若 △PBD 的面
积为 8 平方分米，求平行四边形 PHCF 的面积比平行四边形 PGAE 的面积大多少平方分
米？【答案】 16
【分析】 根据差不变原理，要求平行四边形 PHCF 的面积与平行四边形 PGAE
的面积差，相当于求平行四边形 BCFE 的面积与平行四边形 ABHG 的面积差．
如下图，连接 CP、AP．
1
由于 S +S =S +S +S = S ，所以 S -S =S ．
△BCP △ADP △ABP △BDP △ADP 2 ABCD △BCP △ABP △BDP
1 1
而 S = S ，S = S ，所以
△BCP 2 BCFE △ABP 2 ABHG
S -S =2(S -S )=2S =16(平方分米)．
BCFE ABHG △BCP △ABP △BDP
77. 如图，BD 是梯形 ABCD 的一条对角线，线段 AE 与 DC 平行，AE 与 BD 相交于
2
O 点．已知三角形 BOE 的面积比三角形 AOD 的面积大 4 平方米，并且 EC= BC．
5
求梯形 ABCD 的面积．
【答案】 28 平方米．
【分析】 连接 AC．根据差不变原理可知三角形 ABE 的面积比三角形 ABD 大 4 平方米，而三角形 ABD 与
三角形 ACD 面积相等，因此也与三角形 ACE 面积相等，从而三角形 ABE 的面积比三角
2
形 ACE 的大 4 平方米．但 EC= BC，所以三角形 ACE 的面积是三角形 ABE 的
5
2 2 ( 2)
= ，从而三角形 ABE 的面积是 4÷ 1- =12(平方米)，梯形 ABCD 的面积为：
5-2 3 3
( 2 )
12× 1+ ×2 =28(平方米)．
3
78. 如图，正方形 ABCD 的边长是 4 厘米，CG=3 厘米，矩形 DEFG 的长 DG 为 5
厘米，求它的宽 DE 等于多少厘米？
【答案】 3.2．
【分析】连接 AG，在正方形 ABCD 中，
1
S = S ,
△ADG 2 △ABCD
在长方形 DEFG 中，
1
S = S ,
△ADG 2 △DEFG
所以
S =S ,
△ABCD △DEFG
DE=4×4÷5=3.2(厘米).
79. 长方形 ABCD 的面积为 36cm2，E、F、G 为各边中点，H 为 AD 边上任意一点，
问阴影部分面积是多少？
【答案】 13.5
【分析】 解法一：寻找可利用的条件，连接 BH、HC，如下图：1 1 1
可得：S = S 、S = S 、S = S ，而
△EHB 2 △AHB △FHB 2 △CHB △DHG 2 △DHC
S =S +S +S =36．
ABCD △AHB △CHB △CHD
即
1
S +S +S = (S +S +S )
△EHB △BHF △DHG 2 △AHB △CHB △CHD
¿ =18;
而 S +S +S =S +S ，
△EHB △BHF △DHG 阴影 △EBF
1
S = ×BE×BF
△EBF 2
1
¿ = ×36
8
¿ ¿
所以阴影部分的面积是：S =18-S =18-4.5=13.5．
阴影 △EBF
解法二：特殊点法．找 H 的特殊点，把 H 点与 D 点重合，
那么图形就可变成下图：
这样阴影部分的面积就是 △≝¿ 的面积，根据鸟头定理，则有：
S =S -S -S -S
阴影 ABCD △AED △BEF △CFD
¿ =13.5.
