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第4 讲 利用三角形的中位线、中线、角平分线、中垂线解决圆
锥曲线问题
参考答案与试题解析
一．选择题（共10 小题）
1．已知椭圆
的左焦点为
，点
在椭圆上且在
轴的上方．若线段
的中点
在以原点
为圆心，
为半径的圆上，则直线
的斜率是
A．
B．
C．
D．2
【解答】解：如图所示，设线段
的中点为
，连接
．
设椭圆的右焦点为
，连接
．则
．
又
，
．
设
，
在
中，
，
．
故选：
．
2．如图，从双曲线
的左焦点
引圆
的切线，切点为
，
延长
交双曲线右支于
点，若
为线段
的中点，
为坐标原点，则
与
的大小关系为
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A．
B．
C．
D．以上三种可能都有
【解答】解：将点
置于第一象限．
设
是双曲线的右焦点，连接
、
分别为
、
的中点，
．
又由双曲线定义得，
，
．
故
．
故选：
．
3．从双曲线
的左焦点
引圆
的切线，切点为
，
延长
交双曲线右支于
点，若
为线段
的中点，
为坐标原点，则
等于
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A．
B．
C．
D．
【解答】解：如图所示，设
是双曲线的右焦点，连接
．
点
，
分别为线段
，
的中点，
由三角形中位线定理得到：
，
，连接
，因为
是圆的切线，
则
，
在
中，
，
，
．
．
故选：
．
4．设
，
是双曲线
的两个焦点，点
在双曲线上，已知
是
和
的等差中项，且
，则该双曲线的离心率为
A．1
B．
C．
D．
【解答】解：设
，
，由
是
和
的等差中项，
，
则点
在
的右支上，
，
，即
，
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，
，
由余弦定理可知：
，
，
整理得
，由
，
，由
，
解得：
，
曲线的离心率为
，
故选：
．
5．已知点
是椭圆
上的动点，
、
为椭圆的左、
右焦点，
为坐标原点，若
是
的角平分线上的一点，且
，则
的
取值范围是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：如图，延长
，
，交于
点，
是
平分线，且
，
，
为
中点，
连接
，
为
中点，
为
中点
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在椭圆
中，设
点坐标为
，
则
，
，
点在椭圆
上，
，
，
又
当
时，
不成立，
．
故选：
．
6．设
，
是双曲线
的左右焦点，点
是
右支上
异于顶点的任意一点，
是
的角平分线，过点
作
的垂线，垂足为
，
为
坐标原点，则
的长为
A．定值
B．定值
C．定值
D．不确定，随
点位置变化而变化
【解答】解：过点
作
的垂线，垂足为
，交
的延长线于
，
由三角形
为等腰三角形，可得
为
的中点，
由双曲线的定义可得
，
由三角形的中位线定理可得
，
故选：
．
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7．圆锥曲线具有丰富的光学性质，从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射
光线经过椭圆的另一个焦点．直线
与椭圆
相切于点
，椭圆
的焦点为
，
，由光学性质知直线
，
与的夹角相等，则
的角平分线
所在的直线的方程为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由光学性质知直线
，
与的夹角相等，则
的角平分线所在的直
线为法线，即与直线垂直的直线，
而直线
，所以设所求的直线的方程为
，
联立
，整理可得：
，解得
，
代入直线的方程可得
，可得
，
即
，
将
代入所求的直线方程可得：
，可得
，
所以
的角平分线所在的直线的方程为
，
故选：
．
8．根据圆锥曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光
线的反向延长线过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该
点与两焦点连线的夹角．请解决下面问题：已知
，
分别是双曲线
的左、
右焦点，若从点
发出的光线经双曲线右支上的点
，
反射后，反射光线为射线
，则
的角平分线所在的直线的斜率为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由已知可得
，
在第一象限，
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将点
的坐标代入双曲线方程可得：
，解得
，所以
，
，
又由双曲线的方程可得
，
，所以
，则
，
所以
，且点
，
都在直线
上，又
，
所以
，所以
，
设
的角平分线为
，则
，
所以直线
的倾斜角为
，
所以直线的斜率为
，
故选：
．
9．设直线
与双曲线
的两条渐近线分别交于点
，
，若点
满足
，则该双曲线的离心率是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由双曲线的方程可知，渐近线为
，
分别与
联立，解得
，
，
，
，
中点坐标为
，
，
点
满足
，
，
，
，
．
故选：
．
10．椭圆
的右焦点为
关于直线
的对称点
在椭圆上，
则椭圆的离心率是
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A．
B．
C．
D．
【解答】解：设
，由题意可得
，
由①②可得：
，
，代入③可得：
，
解得
，
可得，
．
即
，
可得
解得
．
故选：
．
二．多选题（共1 小题）
11．已知
，
分别为双曲线
的左、右焦点，
的一条渐近线
的方程为
，且
到的距离为
，点
为
在第一象限上的点，点
的坐标为
，
为
的平分线，则下列正确的是
A．双曲线的方程为
B．
C．
D．点
到
轴的距离为
【解答】解：
渐近线的方程为
，
，
到的距离为
，
，
，
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双曲线的标准方程为
，即选项
正确；
，
，
，
由角分线定理知，
，即选项
正确；
由双曲线的定义知，
，
，
，
在等腰△
中，
，
，
，
，即选项
正确；
，
，即选项
错误．
故选：
．
三．填空题（共7 小题）
12．已知椭圆
的左焦点为
，点
在椭圆上且在
轴的上方，若线段
的中
点在以原点
为圆心，
为半径的圆上，则
2
；
点的坐标为 ．
【解答】解：椭圆
的
，
，
，
设椭圆的右焦点为
，连接
，
线段
的中点
在以原点
为圆心，2 为半径的圆，
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连接
，可得
，
设
的坐标为
，可得
，可得
，
，
由
，
，
故答案为：2；
，
．
13．已知
是抛物线
的焦点，
、
是该抛物线上的两点，
，则线
段
的中点到
轴的距离为
．
【解答】解：由于
是抛物线
的焦点，
得
，
，准线方程
，
设
，
，
，
，
，
解得
，
线段
的中点横坐标为
．
线段
的中点到
轴的距离为
．
故答案为：
．
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14．抛物线
的焦点为
，已知点
，
为抛物线上的两个动点，且满足
．过弦
的中点
作抛物线准线的垂线
，垂足为
，则
的最大
值为
．
【解答】解：设
，
，连接
、
，
由抛物线定义，得
，
，在梯形
中，
．
由余弦定理得，
，
配方得，
，
又
，
得到
．
，
即
的最大值为
．
故答案为：
．
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15．设抛物线
的焦点为
，已知
，
为抛物线上的两个动点，且满足
，过弦
的中点
作抛物线准线的垂线
，垂足为
，则
的最
大值为
1
．
【解答】解：设
，
，
由抛物线定义，得
，
在梯形
中，
．
由余弦定理得，
配方得，
，
又
，
得到
．
，即
的最大值为1．
故答案为：1
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16．抛物线
的焦点为
，已知点
，
为抛物线上的两个动点，且满足
，过弦
的中点
作抛物线准线的垂线
，垂足为
，则
的最
大值为
．
【解答】解：设
，
，
由抛物线定义，得
，
在梯形
中，
．
由余弦定理得，
，
配方得，
，
又
，
得到
．
，即
的最大值为
．
故答案为：
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17．已知
、
分别为双曲线
的左、右焦点，点
，点
的坐标为
，
为
的平分线，则
6
．
【解答】解：
不妨设
在双曲线的右支上
为
的平分线
又
解得
故答案为6
18．如图，从椭圆的一个焦点
发出的光线射到椭圆上的点
，反射后光线经过椭圆的另
一个焦点
，事实上，点
，
处的切线
垂直于
的角平分线．已
知椭圆
的两个焦点是
，
，点
是椭圆上除长轴端点外的任意一点，
的角平分线
交椭圆
的长轴于点
，则的取值范围是
．
【解答】解：由题意知，椭圆
在点
，
处的切线方程为
，且
，
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切线的斜率为
，
而
的角平分线的斜率为
，
又切线垂直于
的角平分线，
，即
，
．
故答案为：
，
．
四．解答题（共8 小题）
19．已知椭圆
的左右焦点分别为：
，
，
为椭圆
上除长轴端点外任意一点，△
周长为12．
（1）求椭圆
的方程；
（2）作
的角平分线，与
轴交于点
，求实数
的取值范围．
【解答】解：（1）椭圆
的左右焦点分别为：
，
，
，
△
周长为12，
，
，则
，
椭圆
的方程为
．
（2）在△
中，
，即
，
为
的角平分线，
，
由合比性质得
，
即
，
，
，
．
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20．如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲
面）的一部分．过对称轴的截口
是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点
上，片
门位于该椭圆的另一个焦点
上．椭圆有光学性质：从一个焦点出发的光线，经过椭圆面
反射后经过另一个焦点，即椭圆上任意一点
处的切线与直线
、
的夹角相等．已
知
，垂足为
，
，
，以
所在直线为
轴，线段
的
垂直平分线为
轴，建立如图的平面直角坐标系．
（1）求截口
所在椭圆
的方程；
（2）点
为椭圆
上除长轴端点和短轴端点外的任意一点．
①是否存在
，使得
到
和
到直线
的距离之比为定值，如果存在，求出的
值，
如果不存在，请说明理由；
②若
的角平分线
交
轴于点
，设直线
的斜率为
，直线
、
的斜率
分别为
，
，请问
是否为定值，若是，求出这个定值，若不是，请说明理由．
【解答】解：（1）设所求椭圆方程为
，
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则
，
由椭圆的性质：
，所以
，
，
所以椭圆的方程为
．
（2）由椭圆的方程为
，则
，
．
①存在直线
，使得
到
和
到直线
的距离之比为定值．
设椭圆上的点
，
，
则
，
到直线
的距离
，
所以
，
所以，当
时，
（定值）．
即存在
，使得
到
和
到直线
的距离之比为定值
．
②设椭圆上的点
，
，则
，
又椭圆
在点
，
处的切线方程为
，
证明如下：对于椭圆
，
当
，
，则
，
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所以椭圆
在
，
处的切线方程为
，
又由
，可以整理切线方程为：
，
即切线方程为
，即
，也即
．
所以椭圆
在点
，
处的切线方程为
，
同理可证：当
，椭圆
在点
，
处的切线方程为
，
综述：椭圆
在点
，
处的切线方程为
，
所以在点
，
处的切线的斜率为
，
又由光学性质可知：直线
，所以
，则
．
所以
，
，
那么
．
21．在平面直角坐标系
中，已知椭圆
与直线
，
四点
，
，
，
，
，
中有三个点在椭圆
上，剩余一个点
在直线上．
求椭圆
的方程；
（Ⅱ）若动点
在直线上，过
作直线交椭圆
于
，
两点，使得
，再
过
作直线
．证明直线
恒过定点，并求出该定点的坐标．
【解答】
解：由题意有3 个点在椭圆
上，根据椭圆的对称性，则点
，
一
定在椭圆
上，
即
①，
（2 分）
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若点
，
在椭圆
上，则点
，
必为
的左顶点，
而
，则点
，
一定不在椭圆
上，
故点
，
在椭圆
上，点
，
在直线上，
（4 分）
所以
②，
联立①②可解得
，
，
所以椭圆
的方程为
；
（6 分）
（Ⅱ）证明：由
可得直线的方程为
，设
，
，
，
，
当
时，设
，
、
，
，显然
，
又
，即
为线段
的中点，
，
代入椭圆方程相减可得直线
的斜率为
，
（10 分）
又
，所以直线
的方程为
，
（13 分）
即
，
显然
恒过定点
，
，
（15 分）
当
时，直线
即
，此时
为
轴亦过点
，
；
综上所述，
恒过定点
，
．
（16 分）
22．已知椭圆
的左，右焦点分别为
，
，上顶点为
．
为抛
物线
的焦点，且
，
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（Ⅰ）求椭圆
的标准方程；
（Ⅱ）过定点
的直线与椭圆
交于
，
两点
在
，
之间），设直线的
斜率为
，在
轴上是否存在点
，使得以
，
为邻边的平行四边形为
菱形？若存在，求出实数
的取值范围；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）由已知
，
，
，所以
．
（1 分）
在
△
中，
为线段
的中点，
故
，所以
．
（2 分）
于是椭圆
的标准方程为
．
（Ⅱ）设
，
，
，
，
，取
的中点为
，
．
假设存在点
，使得以
，
为邻边的平行四边形为菱形，则
．
联立
△
．
，
．
因为
，所以
．
．
，
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所以
．
23．在①离心率
，②椭圆
过点
，③△
面积的最大值为
，这三个条件
中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题．
设椭圆
的左、右焦点分别为
、
，过
且斜率为
的直线交椭
圆于
、
两点，已知椭圆
的短轴长为
，_____．
（1）求椭圆
的方程；
（2）若线段
的中垂线与
轴交于点
，求证：
为定值．
【解答】解：（1）选择①离心率
，可得
，
，即
，
解得
，
，即有椭圆的方程为
；
选②椭圆
过点
，即有
，又
，即
，解得
，
即有椭圆的方程为
；
选③△
面积的最大值为
，可得
位于短轴的端点时，取得最大值，且为
，
即为
，又
，即
，
，
，
即有椭圆的方程为
；
（2 ）证明：设直线
的方程为
，联立椭圆方程可得
，
设
，
，
，
，可得
，
，
可得
，
设
的中点为
，可得
，
，
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由题意可得
，解得
，
可得
，
可得
，即为定值．
24．已知
，
，
是椭圆
上的三个点，
是坐标原点．
（Ⅰ）当点
是
的右顶点，且四边形
为菱形时，求此菱形的面积；
（Ⅱ）当点
不是
的顶点时，判断四边形
是否可能为菱形，并说明理由．
【解答】解：
四边形
为菱形，
是椭圆的右顶点
直线
是
的垂直平分线，可得
方程为
设
，得
，解之得
（舍负）
的坐标为
，同理可得
的坐标为
因此，
，可得菱形
的面积为
；
四边形
为菱形，
，
设
，得
、
两点是圆
与椭圆
的公共点，解之得
设
、
两点横坐标分别为
、
，可得
、
两点的横坐标满足
，或
且
，
①当
时，可得若四边形
为菱形，则
点必定是右顶点
；
②若
且
，则
，
可得
的中点必定是原点
，因此
、
、
共线，可得不存在满足条件的菱形
综上所述，可得当点
不是
的顶点时，四边形
不可能为菱形．
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25．已知过抛物线
的焦点，斜率为
的直线交抛物线于
，
和
，
两点，且
．（1）求抛物线
的方程；
（2）若抛物线
的准线为，焦点为
，点
为直线
上的动点，且点
的
横坐标为
，试讨论当
取不同的值时，圆心在抛物线
上，与直线相切，且过点
的圆
的个数．
【解答】解：（1）抛物线
的焦点
，
，准线方程为
直线
的方程为
，
代入
可得
，
由抛物线的定义可知，
，
，
抛物线
的方程为
；
（2）设
，则过
与直线
垂直的直线方程为
，
与
联立，可得
，
△
，
△
，
，满足条件的圆的个数是2 个；△
，
，满足条件的圆的个数是1
个；△
，
，满足条件的圆的个数是0 个．
26．设抛物线
的焦点为
，过
且斜率为
的直线与
交于
，
两点，
．
（1）求的方程；
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（2）求过点
，
且与
的准线相切的圆的方程．
【解答】解：（1）方法一：抛物线
的焦点为
，
设直线
的方程为：
，设
，
，
，
，
则
，整理得：
，则
，
，
由
，解得：
，则
，
直线的方程
；
方法二：抛物线
的焦点为
，设直线
的倾斜角为
，由抛物线的弦长公
式
，解得：
，
，则直线的斜率
，
直线的方程
；
（2 ）由（1 ）可得
的中点坐标为
，则直线
的垂直平分线方程为
，即
，
设所求圆的圆心坐标为
，
，则
，
解得：
或
，
因此，所求圆的方程为
或
．
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