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学科网（北京）股份有限公
第18 讲 向量的数量积问题
一．解答题（共16 小题）
1．已知圆
交抛物线
的准线于
，
两点
点在上方）
且
．
（1）求抛物线
的方程；
（2）过抛物线
的焦点
的直线与抛物线交于
，
两点，若
，求直线的斜
率．
2．已知抛物线
的焦点在
轴上，顶点在原点且过点
，过点
的直线交抛物线
于
，
两点，
是线段
的中点，过点
作
轴的垂线交
于点
．
（1）求抛物线
的方程；
（2）是否存在直线，使得以
为直径的圆
经过点
？若存在，求出直线的方程；
若不存在，说明理由．
3．已知抛物线
过点
．
（1）求抛物线
的标准方程，并求其准线方程；
（2）是否存在平行于
为坐标原点）的直线，使得直线
与的距离等于
？若
存在，求直线的方程，若不存在，说明理由．
（3）过抛物线
的焦点
作两条斜率存在且互相垂直的直线
，
，设
与抛物线
相交
于点
，
，
与抛物线
相交于点
，
，求
的最小值．
4．已知
是抛物线
上一点，经过点
的直线与抛物线
交于
，
两点（不同于点
，直线
，
分别交直线
于点
，
（1）求抛物线方程及其焦点坐标，准线方程；
（2）已知
为原点，求证：
为定值．
5．已知抛物线
的焦点为
，过点
作直线交抛物线
于
，
两
点．椭圆
的中心在原点，焦点在
轴上，点
是它的一个顶点，且其离心率
．
（1）分别求抛物线
和椭圆
的方程；
（2）经过
，
两点分别作抛物线
的切线
，
，切线
与
相交于点
．证明：
；
（3）椭圆
上是否存在一点
，经过点
作抛物线
的两条切线
，
，
为切点），使得直线
过点
？若存在，求出点
及两切线方程，若不存在，试说
明理由．
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6．已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，点
在椭圆
上，
且满足
．
（1）求椭圆
的标准方程；
（2）设直线
与椭圆
交于不同的两点
，
，且
为坐标原点）．
证明：总存在一个确定的圆与直线相切，并求该圆的方程．
7．设
，
为双曲线
的左、右顶点，直线过右焦点
且与双
曲线
的右支交于
，
两点，当直线垂直于
轴时，
为等腰直角三角形．
（1）求双曲线
的离心率；
（2）若双曲线左支上任意一点到右焦点
点距离的最小值为3，
（ⅰ）求双曲线方程；
（ⅱ）已知直线
，
分别交直线
于
，
两点，当直线的倾斜角变化时，以
为直径的圆是否过
轴上的定点，若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明
理由．
8．已知
，
是椭圆
的左、右焦点圆
与椭圆有且仅有两个公共点，点
在椭圆上．
（1）求椭圆
的标准方程；
（2）设直线与椭圆
交于
，
两点，已知
，若
为定值，则直线是否
经过定点？若经过，求出定点坐标和定值；若不经过，请说明理由．
9．设双曲线
的左、右焦点分别为
，
，双曲线
的左、右准
线与其一条渐近线
的交点分别为
，
，四边形
的面积为4．
（1）求双曲线
的方程；
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（2）已知为圆
的切线，且与
相交于
，
两点，求
．
10．已知椭圆
的离心率为
，以
的四个顶点为顶点的四边形的
面积为
．
（Ⅰ）求椭圆
的方程；
（Ⅱ）设
，
分别为椭圆
的左、右顶点，
是直线
上不同于点
的任意一点，
若直线
，
分别与椭圆相交于异于
，
的点
、
，试探究，点
是否在以
为直径的圆内？证明你的结论．
11．已知椭圆
过点
，且离心率为
．
（1）求椭圆
的方程；
（2）设直线
交椭圆
于
，
两点，判断点
与以线段
为直
径的圆的位置关系，并说明理由．
12．已知圆
，经过椭圆
的右焦点
及上顶点
，过圆外一点
，
倾斜角为
的直线交椭圆于
，
两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若右焦点
在以线段
为直径的圆
的内部，求
的取值范围．
13．设
，
分别为椭圆
的左、右顶点，椭圆的长轴长为4，且点
在该椭圆上．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设
为直线
上不同于点
的任意一点，若直线
与椭圆相交于异于
的
点
，证明：
为钝角三角形．
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14．设
，
分别为椭圆
的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，
且
为它的右准线．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设
为右准线上不同于点
的任意一点，若直线
，
分别与椭圆相交于异
于
，
的点
、
，证明点
在以
为直径的圆内．
15．设
，
分别为椭圆
的左右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且
直线
是它的右准线．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设
为椭圆右准线上不同于点
的任意一点，若直线
于椭圆相交于两点
，
，求证：
为锐角．
16．已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，上顶点为
，若△
的周长为6，且离心率
．
（Ⅰ）求椭圆
的方程；
（Ⅱ）设
，
是椭圆
长轴的两个端点，点
是椭圆
上不同于
，
的任意一点，
直线
交直线
于点
，求证：以
为直径的圆过点
．
