文档文本内容
学科网（北京）股份有限公司
第26 讲 四边形面积问题
一．选择题（共1 小题）
1．已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
，点
是双曲线
上的任
意一点，过点
作双曲线
的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于
，
两点，
若四边形
为坐标原点）的面积为
，且
，则点
的横坐标的取值范
围为
A．
B．
C．
D．
二．填空题（共2 小题）
2．设
、
为椭圆的左右焦点，过椭圆
的中心任作一直线与椭圆交于
两点，
当四边形
面积最大时，
的值等于 ．
3．设
，
是椭圆
的两个焦点，过
，
分别作直线
，
．且
，
若
与椭圆
交于
，
两点，
与椭圆
交于
，
两点（点
，
在
轴上方），则
四边形
面积的最大值为 ．
三．解答题（共15 小题）
4．已知椭圆
的离心率
，过右焦点
作与
轴垂直的直线，与
椭圆的交点到
轴的距离为
．
（1）求椭圆
的方程；
（2）设
为坐标原点，过点
的直线
与椭圆
交于
、
两点
、
不在
轴上），
若
，求四边形
面积
的最大值．
5．已知椭圆
的离心率为
，过其右焦点
且与
轴垂直的直线交
椭圆
于
，
两点，椭圆
的右顶点为
，且满足
．
（1）求椭圆
的方程；
（2）若斜率为
（其中
的直线过点
，且与椭圆交于点
，
，弦
的中点为
，直线
与椭圆交于点
，
，求四边形
面积
的取值范围．
学科网（北京）股份有限公司
6．已知曲线
，
为直线
上的动点，过
作
的两条切线，切点分别为
，
．
（1）证明：直线
过定点；
（2）若以
为圆心的圆与直线
相切，且切点为线段
的中点，求四边形
的面积．
7．如图，
为坐标原点，椭圆
的左、右焦点分别为
，
，离
心率为
；双曲线
的左、右焦点分别为
，
，离心率为
，已知
，且
．
（Ⅰ）求
、
的方程；
（Ⅱ）过
作
的不垂直于
轴的弦
，
为
的中点，当直线
与
交于
，
两点时，求四边形
面积的最小值．
8．已知点
是抛物线
的焦点，
是其准线上任意一点，过点
作直线
，
与抛物线
相切，
，
为切点，
，
与
轴分别交于
，
两点．
（Ⅰ）求焦点
的坐标，并证明直线
过点
；
（Ⅱ）求四边形
面积的最小值．
学科网（北京）股份有限公司
9．已知
，
，曲线
上任意一点
满足直线
与直线
的斜率之积为
．
（1）求曲线
的标准方程；
（2）已知直线过
（与
轴不重合）且交
于
，
两点，过
且垂直于直线的
直线
交
于
，
两点，求四边形
面积的取值范围．
10．平面直角坐标系
中，过椭圆
右焦点的直线
交
于
，
两点，且椭圆
的离心率为
．
（1）求椭圆
的方程；
（2）
，
为
上的两点，若四边形
的对角线
，求四边形
面积的
最大值．
11．过椭圆
右焦点的直线
交
于
，
两点，且椭
圆的长轴长为短轴长的
倍．
（1）求
的方程；
（2）
，
为
上的两点，若四边形
的对角线分别为
，
，且
，
求四边形
面积的最大值．
12．已知双曲线
的离心率
，点
、
分别是曲线
的两
条渐近线
、
上的两点，△
为坐标原点）的面积为9，点
是曲线
上的一
点，且
．
（1）求此双曲线的方程；
（2）设点
是此双曲线
上的任意一点，过点
分别作
、
的平行线交
、
于
、
两点，试证：平行四边形
的面积为定值．
（3）若点
是此双曲线
上不同于实轴端点的任意一点，设
、
分别为双
学科网（北京）股份有限公司
曲线
的左、右焦点），且
，
，试求
的变化范围．
13．已知
，
为双曲线
的左、右焦点，过
作垂直于
轴的垂线，
在
轴上方交双曲线
于点
，且
．
（1）求双曲线
的两条渐近线的夹角
；
（2）过点
的直线和双曲线
的右支交于
，
两点，求△
的面积最小值；
（3）过双曲线
上任意一点
分别作该双曲线两条渐近线的平行线，它们分别交两条渐
近线于
，
两点，求平行四边形
的面积．
14．如图，已知双曲线
的左、右焦点分别为
、
，若点
为双曲线
在第
一象限上的一点，且满足
，过点
分别作双曲线
两条渐近线的平行线
、
与渐近线的交点分别是
和
．
（1）求四边形
的面积；
（2）若对于更一般的双曲线
，点
为双曲线
上任意一点，过
点
分别作双曲线
两条渐近线的平行线
、
与渐近线的交点分别是
和
．请
问四边形
的面积为定值吗？若是定值，求出该定值（用
、
表示该定值）；若不
是定值，请说明理由．
15．已知
的两个顶点坐标是
，
，
的周长为
，
是
坐标原点，点
满足
．
（Ⅰ）求点
的轨迹
的方程；
（Ⅱ）若互相平行的两条直线，
分别过定点
和
，且直线与曲线
交于
，
两点，直线
与曲线
交于
，
两点，若四边形
的面积为
，求直线
的方程．
学科网（北京）股份有限公司
16．如图，
为坐标原点，椭圆
的左右焦点分别为
，离心率
为
；双曲线
的左右焦点分别为
，离心率为
，已知
，且
．
（1）求
，
的方程；
（2）过
作
的不垂直于
轴的弦
，
为
的中点，当直线
与
交于
，
两点时，求四边形
面积的最小值．
17．已知椭圆
的离心率为
，其短轴的下端点在抛物线
的准线上．
（Ⅰ）求椭圆
的方程；
（Ⅱ）设
为坐标原点，
是直线
上的动点，
为椭圆的右焦点，过点
作
的垂线与以为
直径的圆
相交于
，
两点，与椭圆
相交于
，
两点，如图所示．
①若
，求圆
的方程；
②设
与四边形
的面积分别为
，
，若
，求
的取值范围．
18．已知椭圆
的左右焦点分别为
，
，点
，
是椭圆
的左
学科网（北京）股份有限公司
右顶点，点
是椭圆
上一动点，△
的周长为6，且直线
，
的斜率之积为
．
（1）求椭圆
的方程；
（2）若
、
为椭圆
上位于
轴同侧的两点，且
，求四边形
面积的取值范围．
