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专题 15 函数中的面积问题
函数中面积问题一般包括面积的最大值和最小值或者等于某个数值的问题。在解决函数中的面积问题时，
通常需要过三角形或多边形的一个端点，做坐标轴的平行线，把三角形或多边形进行割补呈三角形，从而
用坐标将三角形的底和高表达出来。如图， 。
（2022·内蒙古·中考真题）如图，抛物线 经过 ， 两点，与x轴的另一个交
点为A，与y轴相交于点C．(1)求抛物线的解析式和点C的坐标；
(2)若点M在直线 上方的抛物线上运动（与点B，C不重合），求使 面积最大时M点的坐标，并
求最大面积；（请在图1中探索）
(3)设点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足
条件的点P的坐标．（请在图2中探索）
（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）作直线BC，过M点作MN∥y轴交BC于点N，求出直线BC的解析式，设M（m，- +m+ ），
则N（m，- m+ ），可得S MBC= •MN•OB= + ，再求解即可；
△
（3）设Q（0，t），P（m，- +m+ ），分三种情况讨论：①当AB为平行四边形的对角线时；②当
AQ为平行四边形的对角线时；③当AP为平行四边形的对角线时；根据平行四边形的对角线互相平分，利
用中点坐标公式求解即可．
【答案】(1) ，
(2) ，当 时，S有最大值为(3)满足条件的点P坐标为 ， ，
【详解】（1）解：把点 和 分别代入 可得
，
解得
∴抛物线的解析式为
把 代入 可得
∴ ；
（2）解：作直线 ，作 轴交直线 于点N
设直线 的解析式为 （ ）
把点 和 分别代入
可得
解得∴直线 的解析式为
设点M的横坐标为m
∴ ，
∴
∴
（ ）
∴当 时，S有最大值为
把 代入 可得
∴ ；
（3）解：当以 为边时，只要 ，且 即可
∴点P的横坐标为4或-4
把 代入 可得
把 代入 可得
∴此时 ，
当以 为对角线时，作 轴于点H∵四边形 是平行四边形
∴
∴
在 和 中
∴
∴
∴
∴点P的横坐标为2
把 代入 可得
∴此时
综上所述，满足条件的点P坐标为 ， ，本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质，分类讨论是解题
的关键。
（2022·四川绵阳·统考中考真题）如图，一次函数 与反比例函数 在第一象限交于
、 两点， 垂直x轴于点 ， 为坐标原点，四边形 的面积为38．
(1)求反比例函数及一次函数的解析式；
(2)点P是反比例函数第三象限内的图象上一动点，请简要描述使 的面积最小时点P的位置（不需证
明），并求出点P的坐标和 面积的最小值．
（1）利用待定系数法即可求出反比例函数解析式，再利用四边形 的面积为38．求出 ，进一
步利用待定系数法即可求出一次函数解析式；
（2）平移一次函数与 在第三象限有唯一交点P，此时P到MN的距离最短， 的面积最小，设
平移后的一次函数解析式为： ，联立 ，解得： ，进一步求出： ，即
，连接PM，PN，过点P作 的延长线交于点B，作 交于点C，根据以及点的坐标即可求出 的面积．
【答案】(1) ， ；(2) ， ．
【详解】（1）解：∵ 在 上，
∴ ，即反比例函数解析式为： ，
设 ，
∵四边形 的面积为38．
∴ ，整理得： ，
解得： （舍去）， ，
∴ ，
将 和 代入 可得： 解得： ，
∴一次函数解析式为： ．
（2）解：平移一次函数 到第三象限，与 在第三象限有唯一交点P，此时P到MN的距离
最短， 的面积最小，
设平移后的一次函数解析式为： ，联立 可得： ，整理得： ，
∵有唯一交点P，
∴ ，解得： 或 （舍去），
将 代入 得： ，解得：
经检验： 是分式方程 的根，
∴ ，
连接PM，PN，过点P作 的延长线交于点B，作 交于点C，则： ，
∵ ， ， ，
∴ ，
，
，
∴ ．
本题考查一次函数和反比例函数的综合，难度较大，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握平
行线之间的距离，解分式方程，解一元二次方程知识点。
（2022·辽宁大连·统考中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴相交于点A，B（点A
在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接 ．(1)求点B，点C的坐标；
(2)如图1，点 在线段 上（点E不与点B重合），点F在y轴负半轴上， ，连接
，设 的面积为 ， 的面积为 ， ，当S取最大值时，求m的值；
(3)如图2，抛物线的顶点为D，连接 ，点P在第一象限的抛物线上， 与 相交于点Q，是否
存在点P，使 ，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）利用抛物线的解析式，令x=0，可得C的坐标，令y=0，可得A，C的坐标；
（2）由 可得 再分别表示 再建立二
次函数关系式，再利用二次函数的性质可得答案；
（3） 如图，延长DC与x轴交于点N，过A作 于H，过 作 轴于K，连接BD，证明
证明 求解 可得 再求解
及 为 再联立： 从而可得答案．【答案】(1)
(2)当 最大时，
(3)
【详解】（1）解：∵ ，令 则 令 则 解得：
∴
（2）∵ ∴ 而
∴
∴当 最大时，则
（3）如图，延长DC与x轴交于点N，过A作 于H，过 作 轴于K，连接BD，
， ∵抛物线
∴顶点
轴，∴ 设 为 解
得 ∴ 为 联立： 解得： 所以
本题考查的是二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数的性质，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数的
应用，利用待定系数法求解一次函数的解析式，函数的交点坐标问题，求解Q的坐标是解本题的关键．
1．（2023·广东佛山·校考一模）如图，在平面直角坐标系中， 为坐标原点，一次函数 与 轴
交于点 ，若点 关于 轴的对称点 在一次函数 的图象上．(1)求 的值；
(2)若一次函数 与一次函数 交于 ，且点 关于原点的对称点为点 ．求过 ， ， 三
点对应的二次函数表达式；
(3) 为抛物线上一点，它关于原点的对称点为点 ．
①当四边形 为菱形时，求点 的坐标；
②若点 的横坐标为 ，当 为何值时，四边形 的面积最大？请说明理由．
2．（2022·辽宁盘锦·校考一模）如图：直线 交y轴丁点D，交x轴于点 ，交抛物线
于点 ，点E．点 在抛物线上，连接 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点Q从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A-B-C做匀速运动，当点Q与点C重合时停止运动，设运动的时间为t秒， 的面积为S，求S与t的函数关系式；
(3)在（2）的条件下，若 ，请直接写出此时t的值．
3．（2022·重庆璧山·统考一模）如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴交于点
，与 轴交于点 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，连接 ，点 为线段 下方抛物线上一动点，过点 作 轴交线段 于 点，连接
，记 的面积为 ， 的面积为 ，求 的最大值及此时点 的坐标；
(3)如图2，在（2）问的条件下，将抛物线沿射线 方向平移 个单位长度得到新抛物线，动点 在
原抛物线的对称轴上，点 为新抛物线上一点，直接写出所有使得以点 、 、 、 为顶点的四边形
是平行四边形的点 的坐标，并把求其中一个点 的坐标的过程写出来．
4．（2022·浙江宁波·校考模拟预测）如图，直线 与双曲线 交于A、B两点，M是第一象限内
的双曲线上任意一点．(1)若点A坐标为 ，求M点坐标．
(2)若 ，连接 ，若 的面积是34，求k值．
(3)设直线 分别与x轴相交于P、Q两点，且 ，求 的值．
5．（2022·山东济南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线l与抛物线
相交于 两点．
(1)求出抛物线的解析式；
(2)在坐标轴上是否存在点D，使得 是以线段 为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；
若不存在，说明理由；
(3)点P是线段 上一动点，（点P不与点A、B重合），过点P作 ，交第一象限内的抛物线于
点M，过点M作 轴于点C，交 于点N，若 的面积 满足
，求出 的值，并求出此时点M的坐标．6．（2022·甘肃嘉峪关·校考一模）如图，已知抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于
点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知 ， ．
(1)求抛物线的表达式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使 是以 为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的
坐标；如果不存在，请说明理由；
(3)点E是线段 上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，
四边形 的面积最大？求出四边形 的最大面积及此时E点的坐标．
7．（2022·山东济南·统考一模）如图，抛物线 与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，已知
A，B两点坐标分别是 ， ，连接 ．
(1)求抛物线的表达式；
(2)将 沿 所在直线折叠，得到 ，点A的对应点D是否落在抛物线的对称轴上？若点D在对
称轴上，请求出点D的坐标；若点D不在对称轴上，请说明理由；(3)若点P是抛物线位于第二象限图象上的一动点，连接 交 于点Q，连接BP， 的面积记为 ，
的面积记为 ，求 的值最大时点P的坐标．
8．（2022·湖北武汉·校考三模）已知抛物线 ．
(1)若该抛物线的顶点坐标为 ，求其解析式；
(2)如图 ，已知抛物线的顶点 在直线 上滑动，且与直线 交于另一点 ，与 轴的右交点为
，若 的面积为 ，求抛物线顶点 的坐标；
(3)如图 ，在（1）的条件下，抛物线 与 轴正半轴交于点 、 为 轴上的两个不同
的动点，且 ，射线 、 分别与抛物线交于 、 两点，求 的值．
9．（2022·甘肃平凉·统考二模）如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点．
(1)求该抛物线的解析式；(2)设（1）中的抛物线交 轴于 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点 ，使得 的周长最小？若
存在，求出 点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点 ，使 的面积最大？若存在，求出 面积的
最大值．若没有，请说明理由．
10．（2022·广东佛山·校考三模）如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴
交于 、 两点（点 在点 的左侧），抛物线上有一点 满足 ，连接 交 轴于点 ．
(1)直接写出点 的坐标（请用含 的代数式表示）；
(2)点 是直线 上方的抛物线上的动点，若 的面积的最大值为 ，求 的值．
