文档内容
第01讲 四边形及多边形
考点1：多边形的相关概念和性质
考点2：多边形的基本性质
考点3：多边形的内角和
考点4：多边形的外角和
考点5：多边形的对角线条数问题
考点6：正多边形
考点7：平面镶嵌问题
重点：
（1）掌握内角和、外角和、对角线条数公式，能解决边数、角度计算问题。
（2）学会在四边形中添加辅助线，将四边形转化为三角形或平行四边形求解
难点：
（1）多边形对角线的条数问题
（2）多边形内角与外角综合运算
知识点1：多边形的相关概念和性质
1.定义
（1）多边形概念：在平面内，由一些线段首位顺次相接组成的图形叫做多边形。
（2）正多边形概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形
2.性质:四边形具有不稳定性
【题型1 四边形的不稳定性】【典例1】下列图形具有稳定性的是（ ）
A．正方形 B．长方形 C．平行四边形 D．三角形
【变式1】下列图形中，最具有稳定性质的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】下列图形中不具有稳定性的是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】如图所示的是能伸缩的校门，它利用的四边形的性质是 ．
知识点2：多边形的对角线
n 边形一个顶点的对角线数： n-3；n 边形的对角线总数：
【题型2 多边形对角线的条数问题】
【典例2】如图，1角硬币是1992年6月1日中国人民银行发行的第四套金属流通币之一，该硬币呈圆形，
边缘是正九边形的形状，则从该九边形的一个顶点最多能引出对角线的条数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9【变式1】一个八边形从一个顶点出发，引出对角线的条数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式2】学习了多边形后，我们知道过多边形的一个顶点可作若干条对角线（三角形除外）．如图，过
一个顶点，四边形有1条对角线，五边形有2条对角线，六边形有3条对角线……按照此规律，过十二
边形的一个顶点的对角线条数是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【变式3】七边形一共有（ ）条对角线
A．4 B．5 C．14 D．28
【题型3 对角线分成的三角形个数问题】
【典例3】从多边形的一个顶点出发向其余的顶点引对角线，将多边形分成8个三角形，则此多边形边数
为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【变式1】已知一个多边形从一个顶点出发，分别连接这个点和其余各个顶点，得到12个三角形，那么它
是（ ）
A．十边形 B．十一边形 C．十二边形 D．十四边形
【变式2】要使得一个多边形具有稳定性，从多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点转
化得到2023个三角形，则这个多边形的边数为（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
【变式3】从一个多边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把这个多边形分割成
若干个三角形．根据下面的图形反映出来的规律，八边形从一个顶点出发被分割成的三角形的个数为
．知识点3：多边形的内角和与外角和
（1）n 边形的内角和公式： （n-2）×180°；
（2）正多边形的每个内角
知识点4：多边形的外角和
（1）n 边形的外角和： 360°
（2）正多边形每个外角的度数：
【题型4 多边形内角和问题】
【典例4】一个九边形的内角和等于（ ）
A．1800° B．1440° C．1260° D．1080°
【变式1】一个正六边形的内角和为（ ）
A．720° B．540° C．360° D．180°
【变式2】一个多边形的内角和为1620°，则这个多边形为（ ）
A．九边形 B．十边形 C．十一边形 D．十二边形
【变式3】一个多边形的内角和比四边形的内角和多540°，它的边数是（ ）
A．8 B．7 C．5 D．6
【题型5 正多边形的内角问题】
【典例5】如图，正五边形的一条边AB在正六边形的一条边AC上，则∠DAE的度数为（ ）
A．12° B．14° C．16° D．18°
【变式1】如图，在正五边形ABCDE中，连接BE，则∠BED的度数为（ ）A．30° B．36° C．54° D．72°
【变式2】开远凤凰山钟楼又名凤凰楼，原楼为三层八角塔形，是云南省开远市的地标性建筑物，这座钟
楼采用欧式建筑风格，融合了红酒文化和彝族支系阿细人的火文化，具有独特的设计元素，并有多种
几何图案呈现，正八边形图案就是其中之一，如图所示的正八边形每个内角的度数为（ ）
A．80° B．100° C．120° D．135°
【变式3】运动会将至，小亮为班级打气助威，制作了如图所示的“助威牌”，其中五边形ABCDE为正
五边形，三角形ABF为正三角形，延长AF交CD于G，则∠CGF=（ ）
A．78° B．84° C．88° D．82°
知识点4：截角问题
n 边形截去一个角后得到 n/n-1/n+1边形
【题型6 多边形截角后的问题】【典例6】将一块长方形木板锯掉一个角，则锯掉后剩下的多边形木板的内角和为（ ）
A．180°或360° B．180°或540°
C．360°或540° D．180°或360°或540°
【变式1】把一个多边形剪掉一个角，它的内角和变成了1260°，则这个多边形原来的边数为（ ）
A．9 B．8或9 C．9或10 D．8或9或10
【变式2】一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720°，那么原多边形的边数为（ ）
A．5 B．5或6 C．6或7 D．5或6或7
【变式3】如果把一个多边形剪去一个内角，剩余部分的内角和为1440°，那么原多边形有 条边．
【题型7 复杂图形的内角和】
【典例7】如图，顺次连接图中六个点，得到以下图形，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为
（ ）
A．180° B．270° C．360° D．720°
【变式1】如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为 ．
【变式2】如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝ ．【变式3】如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K的度数为 ．
【题型8 正多边形的外角问题】
【典例8】如图，硬币边缘镌刻的正九边形的一个外角的度数为 ．
【变式1】如果一个多边形的每个外角都等于60∘，那么这个多边形的边数是 ．
【变式2】一个正多边形的每个内角等于108°，则它的边数是 ．
【题型9 多边形外角和的实际应用】
【典例9】如图，桐桐从A点出发，前进3m到点B处后向右转20°，再前进3m到点C处后又向右转20°，
…，这样一直走下去，她第一次回到出发点A时，一共走了
【变式1】如图，图①是我国古代建筑中的一种窗格，称为“冰裂纹”．图②是从图①冰裂纹窗格图案中
提取的由五条线段组成的五边形，∠1、∠2、∠3、∠4、∠5分别是这个五边形的外角，则
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5的度数为 °．【变式2】“花影遮墙，峰峦叠窗”，苏州园林空透的窗棂中蕴含着许多的数学元素．图①中的窗棂是冰
裂纹窗棂，图②是这种窗棂中的部分图案．若∠1=110°,∠2=65°,∠3=85°，则∠4=
°
【变式3】有一程序，如果机器人在平地上按如图所示的步骤行走，那么机器人回到A点处行走的路程是
米．
【题型10 多边形内角和与外角和综合】
【典例10】一个多边形的内角和比它的外角和的4倍少180°，这个多边形的边数是多少？
【变式1】已知某正多边形的一个内角比与它相邻外角的4倍还多30∘．
(1)求这个正多边形一个内角的度数；
(2)求这个正多边形的内角和．
【变式2】已知一个多边形的边数为n．
(1)若n=8，求这个多边形共有多少条对角线．(2)若这个多边形的内角和等于外角和的4倍，求n的值．
【变式3】计算：
(1)如图，求出图中x的值．
(2)一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，求这个多边形的边数．
知识点6：平面镶嵌
1.定义
用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这种
铺法叫做平面镶嵌（也叫平面密铺）。
2.平面镶嵌的核心条件
拼接在同一个顶点处的几个图形的内角和等于 360∘，且相邻图形的边长相等
3.常见镶嵌类型
(1)单一正多边形的平面镶嵌
只有正三角形、正方形、正六边形三种正多边形可以单独完成镶嵌结论：其他正多边形（如正五边形、正
八边形）无法单独镶嵌。（例：正五边形内角 108∘，360÷108 不是整数，无法凑成 360∘）
(2)多种正多边形的平面镶嵌
两种或两种以上正多边形组合，满足顶点处内角和为 360∘ 且边长相等，即可镶嵌。
【题型11 平面镶嵌】
【典例11】用两种正多边形拼地板，其中的一种是正八边形，则另一种正多边形的边数是（ ）
A．正五边形 B．正六边形 C．正三角形 D．正四边形
【变式1】如图是用正方形和六边形两种材料铺成的地面的一部分，那么这种六边形材料最大的内角度数
是（ ）A．90° B．120° C．135° D．150°
【变式2】下列正多边形的组合中，不能铺满地面的是（ ）
A．正三角形和正六边形 B．正方形和正六边形
C．正三角形和正十二边形 D．正三角形、正方形和正六边形
【变式3】只用一种正多边形密铺时，如果每个顶点处有6个这种正多边形相拼接，那么这个正多边形是
（ ）
A． B． C． D．
1．九边形的外角和为（ ）
A．180° B．360° C．540° D．720°
2．若一个多边形的外角和与内角和相等，则这个多边形的边数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
3．若一个多边形为正十边形，则它每个内角的度数为（ ）
A．108° B．144° C．140° D．135°
4．如果一个多边形的内角和等于一个三角形的外角和的两倍，那么这个多边形是（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
5．小聪利用最近学习的数学知识，给同伴出了这样一道题：假如从点A出发，沿直线走6米后向左转θ，
接着沿直线前进6米后，再向左转θ……如此下去，当他第一次回到A点时，发现自己走了60米，θ的
度数为（ ）A．30° B．36° C．60° D．72°
6．如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1、∠2、∠3分别是∠BAE、 ∠AED、 ∠EDC的外角，
则∠1+∠2+∠3= ．
7．如图，直线l 、l 分别经过正六边形ABCDEF的顶点A、B，且l ∥l ，若∠1=95°，则∠2= ．
1 2 1 2
8．苯(分子式为C H )的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的．随着研究的不断深入，发现如图1的一
6 6
个苯分子中的6个碳原子形成了正六边形的结构，其示意图如图2，点O为正六边形ABCDEF对角线
AD的中点，连接OC．若OC=1，则CD的长是 ．
9．如图，ABCDE是正五边形，延长AB、DC交于点F，则∠F= °．
10．某加工零件标出部分数据（如图），∠A、∠B、∠BCD所标数据正确，若∠D改为正确的，则需将
图中∠D所标数据 （填“增大”或“减小”） °．11．如图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= °．
12．已知某正多边形一个内角比相邻的外角大120∘
(1)求这个正多边形每个外角的度数．
(2)求这个正多边形的边数．
13．探究与归纳：
(1)如图①，经过点A可以作1条对角线；经过点B可以作 条对角线；经过点C可以作 条
对角线；经过点D可以作 条对角线．通过以上分析和总结，图①共有 条对角线．
(2)运用（1）的分析方法，可得图②共有 条对角线，图③共有 条对角线．
(3)对于n边形（n>3），共有 （用含n的式子表示）条对角线．
(4)对于n边形，从同一顶点出发的对角线把该多边形共分割成 （用含n的式子表示）个三角形．
