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第3 讲 圆锥曲线第三定义
一．选择题（共7 小题）
1．椭圆
的左、右顶点分别为
，
，点
在
上且直线
的斜率的取值
范围是
，
，那么直线
斜率的取值范围是
A．
B．
C．
D．
2．椭圆
的左、右顶点分别为
，
，点
在
上且直线
的斜率的取值
范围是
，
，那么直线
斜率的取值范围是
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
3．椭圆
的左、右顶点分别为
、
，点
在
上，且直线
的斜率为
，则直线
斜率为
A．
B．3
C．
D．
4．设椭圆
长轴的两个顶点分别为
、
，点
为椭圆上不同于
、
的任一点，若将
的三个内角记作
、
、
，且满足
，
则椭圆的离心率为
A．
B．
C．
D．
5．已知
，
，
为双曲线
上不同三点，且满足
为坐标原
点），直线
，
的斜率记为
，
，则
的最小值为
A．8
B．4
C．2
D．1
6．已知
，
，
是双曲线
上不同的三点，且
，
连线经过坐标原点，若
直线
，
的斜率乘积为
，则该双曲线的离心率为
A．
B．
C．
D．
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7．已知
，
，
是双曲线
上的不同的三点，直线
的斜率
为
，直线
的斜率为
，且
，
是关于
的方程
的两个实数根，若
，
为坐标原点，则双曲线
的离心率是
A．2
B．
C．
D．
二．填空题（共4 小题）
8．已知
、
、
为双曲线
上不同三点，且满足
为坐标原
点），直线
、
的斜率记为
，
，则
的最小值为
9．已知
，
是椭圆
和双曲线
的公共顶点，
是双曲线
上的动点，
是椭圆上的动点
，
都异于
，
，且
，其中
，设直线
，
，
，
的斜率分别为
，
，
，
，若
，
则
．
10．已知
，
椭圆
和双曲线
的左右顶点，
，
分
别为双曲线和椭圆上不同于
，
的动点，且满足
，设
直线
、
、
、
的斜率分别为
、
、
、
，则
．
11．已知
、
、
是双曲线
上不同的三点，且
、
两点关于原点
对称，若直线
，
的斜率乘积
，则该双曲线的离心率
．
三．解答题（共4 小题）
12．如图，在平面直角坐标系
中，
、
分别是椭圆
的顶点，过坐标原点
的直线交椭圆于
，
两点，其中点
在第一象限，过
作
轴的垂线，垂足为
，连接
，并延长交椭圆于点
，设直线
的斜率为
（1）若直线
平分线段
，求
的值；
（2）当
时，求点
到直线
的距离
；
（3）对任意
，求证：
．
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13．已知椭圆
的左焦点
，若椭圆上存在一点
，满足以
椭圆短轴为直径的圆与线段
相切于线段
的中点
．
（Ⅰ）求椭圆
的方程；
（Ⅱ）已知两点
，
及椭圆
，过点
作斜率为
的直线交椭
圆
于
，
两点，设线段
的中点为
，连接
，试问当
为何值时，直线
过
椭圆
的顶点？
（Ⅲ）过坐标原点
的直线交椭圆
于
、
两点，其中
在第一象限，
过
作
轴的垂线，垂足为
，连接
并延长交椭圆
于
，求证：
．
14．如图，在平面直角坐标系
中，
、
分别是椭圆
的顶点，过坐标原点
的直线交椭圆于
，
两点，其中点
在第一象限，过
作
轴的垂线，垂足为
，设直
线
的斜率为
．
（1）若直线
平分线段
，求
的值；
（2）求
，面积
的最大值，并指出对应的点
的坐标；
（3）对任意的
，过点
作
的垂线交椭圆于
，求证：
，
，
三点共线．
15．椭圆
，过原点的直线交椭圆于
，
两点，其中
在第一象限，
过
作
轴的垂线，垂足为
，连
，并延长交椭圆于
，若
，求椭圆的离心
率．
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