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第3 讲 圆锥曲线第三定义
参考答案与试题解析
一．选择题（共7 小题）
1．椭圆
的左、右顶点分别为
，
，点
在
上且直线
的斜率的取值
范围是
，
，那么直线
斜率的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：设
，
，
，由
，
，
，
，由
，
，
，则
，
直线
斜率的取值范围
，
，
故选：
．
2．椭圆
的左、右顶点分别为
，
，点
在
上且直线
的斜率的取值
范围是
，
，那么直线
斜率的取值范围是
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【解答】解：由椭圆
可知其左顶点
，右顶点
．
设
，
，则得
．
记直线
的斜率为
，直线
的斜率为
，则
直线
斜率的取值范围是
，
，
直线
斜率的取值范围是
，
故选：
．
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3．椭圆
的左、右顶点分别为
、
，点
在
上，且直线
的斜率为
，则直线
斜率为
A．
B．3
C．
D．
【解答】解：
椭圆
的左、右顶点分别为
、
，
点坐标为
，
点坐标为
，
又
直线
的斜率为
，
直线
的方程为：
，
代入椭圆
方程可得：
，
设
点坐标为
，则
，解得
，
，
故直线
斜率
，
故选：
．
4．设椭圆
长轴的两个顶点分别为
、
，点
为椭圆上不同于
、
的任一点，若将
的三个内角记作
、
、
，且满足
，
则椭圆的离心率为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：因为
可得
，即
，
而在三角形中，
，所以上式可得
而
，
所以可得
，即
，
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由题意可得
，
，设
，
，
可得
，由双曲线的对称性设
在第一象限，如图所示：
在
中，
，
在
中，
，
所以
，
所以可得
，
所以离心率
故选：
．
5．已知
，
，
为双曲线
上不同三点，且满足
为坐标原
点），直线
，
的斜率记为
，
，则
的最小值为
A．8
B．4
C．2
D．1
【解答】解：
满足
为坐标原点），
，
关于原点对称，
设
，
，
，
，
，
，则
，
，
直线
，
的斜率记为
，
，满足
，
则
，
即
的最小值为4．
故选：
．
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6．已知
，
，
是双曲线
上不同的三点，且
，
连线经过坐标原点，若
直线
，
的斜率乘积为
，则该双曲线的离心率为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由题意，设
，
，
，
，则
，
，
，
，
，
两式相减可得
，
，
，
，
则
．
故选：
．
7．已知
，
，
是双曲线
上的不同的三点，直线
的斜率
为
，直线
的斜率为
，且
，
是关于
的方程
的两个实数根，若
，
为坐标原点，则双曲线
的离心率是
A．2
B．
C．
D．
【解答】解：设点
的坐标为
，点
的坐标为
，
，
因为
，所以点
的坐标为
，
，
因为
，所以
，即
，
又
，
在双曲线
上，所以
，
，
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两式相减得
，即
，
又因为
，所以
，
所以
，
所以
，
，
故选：
．
二．填空题（共4 小题）
8．已知
、
、
为双曲线
上不同三点，且满足
为坐标原
点），直线
、
的斜率记为
，
，则
的最小值为
【解答】解：由
为坐标原点），得
为
的中点，
设
，
，
，
，则
，
，
，
，故
，①
又由
、
、
为双曲线上的点，
，
，代入①，
可得
．
．
当且仅当
时上式“
”成立．
的最小值为
．
故答案为：
．
9．已知
，
是椭圆
和双曲线
的公共顶点，
是双曲线
上的动点，
是椭圆上的动点
，
都异于
，
，且
，其中
，设直线
，
，
，
的斜率分别为
，
，
，
，若
，
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则
．
【解答】解：根据题意可得
，
，
设
，
，
，
，
因为
其中
，
所以
，
，
，
，
，
所以
，
因为
，
都异于
，
，
所以
，
，
，
由
，①
因为
，②
由①②得，
，
，
又因为
，
所以
．
故答案为：
．
10．已知
，
椭圆
和双曲线
的左右顶点，
，
分
别为双曲线和椭圆上不同于
，
的动点，且满足
，设
直线
、
、
、
的斜率分别为
、
、
、
，则
0
．
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【解答】解：
、
为椭圆
和双曲线
的公共顶点，
、
分别为双曲线和椭圆上不同于
、
的动点，
由
，
，
即
，
可得
，
则点
，
，
三点共线．
设
，
，
，
，
则
，
同理，得：
，
，
，
，
，
．
故答案为：0．
11．已知
、
、
是双曲线
上不同的三点，且
、
两点关于原点
对称，
若直线
，
的斜率乘积
，则该双曲线的离心率
．
【解答】解：由题意，设
，
，
，
，则
，
，
，
两式相减可得
，
，
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，
故答案为：
三．解答题（共4 小题）
12．如图，在平面直角坐标系
中，
、
分别是椭圆
的顶点，过坐标原点
的直线交椭圆于
，
两点，其中点
在第一象限，过
作
轴的垂线，垂足为
，连接
，并延长交椭圆于点
，设直线
的斜率为
（1）若直线
平分线段
，求
的值；
（2）当
时，求点
到直线
的距离
；
（3）对任意
，求证：
．
【解答】解：（1）由题设知，
，
，
故
，
，所以线段
中点坐标为
．
由于直线
平分线段
，故直线
过线段
的中点，又直线
过原点，
所以
．
（2）直线
的方程为
，代入椭圆方程得
，解得
，
因此
，
，
，
于是
，
，直线
的斜率为1，故直线
的方程为
．
因此，
．
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（3）设
，
，
，
，则
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
设直线
，
的斜率分别为
，
．
因为
在直线
上，所以
，
从而
．
因此
，所以
．
13．已知椭圆
的左焦点
，若椭圆上存在一点
，满足以
椭圆短轴为直径的圆与线段
相切于线段
的中点
．
（Ⅰ）求椭圆
的方程；
（Ⅱ）已知两点
，
及椭圆
，过点
作斜率为
的直线交椭
圆
于
，
两点，设线段
的中点为
，连接
，试问当
为何值时，直线
过
椭圆
的顶点？
（Ⅲ）过坐标原点
的直线交椭圆
于
、
两点，其中
在第一象限，
过
作
轴的垂线，垂足为
，连接
并延长交椭圆
于
，求证：
．
【解答】（本小题满分14 分）
解：（Ⅰ）连接
，
为坐标原点，
为右焦点），
由题意知：椭圆的右焦点为
因为
是△
的中位线，且
，
所以
，
所以
，
故
．
（2 分）
在
中，
即
，又
，解得
，
，
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所求椭圆
的方程为
．
（4 分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得椭圆
设直线的方程为
并代入
整理得：
由△
得：
，
（5 分）
设
，
，
，
，
，
则由中点坐标公式得：
（6 分）
①当
时，有
，直线
显然过椭圆
的两个顶点
，
．
（7 分）
②当
时，则
，直线
的方程为
此时直线
显然不能过椭圆
的两个顶点
，
；
若直线
过椭圆
的顶点
，则
，即
，
所以
，解得：
（舍去），
（8 分）
若直线
过椭圆
的顶点
，则
，即
，
所以
，
解得：
（舍去）．
（9 分）
综上，当
或
或
时，直线
过椭圆
的顶点．
（10 分）
（Ⅲ）法一：由（Ⅰ）得椭圆
的方程为
，
（11 分）
根据题意可设
，则
，
则直线
的方程为
，
①
过点
且与
垂直的直线方程为
，
②
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①
②并整理得：
，
又
在椭圆
上，所以
，
所以
，
即①、②两直线的交点
在椭圆
上，所以
．
（14 分）
法二：由（Ⅰ）得椭圆
的方程为
根据题意可设
，则
，
，
，
，
所以直线
，
化简得
，
所以
，
因为
，所以
，则
．
（12 分）
所以
，则
，故
．
（14 分）
14．如图，在平面直角坐标系
中，
、
分别是椭圆
的顶点，过坐标原点
的直线交椭圆于
，
两点，其中点
在第一象限，过
作
轴的垂线，垂足为
，设直
线
的斜率为
．
（1）若直线
平分线段
，求
的值；
（2）求
，面积
的最大值，并指出对应的点
的坐标；
（3）对任意的
，过点
作
的垂线交椭圆于
，求证：
，
，
三点共线．
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【解答】（1）解：由题设知，
，
，
故
，
，
线段
中点坐标为
．
由于直线
平分线段
，故直线
过线段
的中点，又直线
过原点，
；
（2）解：
，
，
，
设与
平行的直线方程为
，
联立
，得
．
由△
，解得：
．
由题意可知，当
时，直线
与直线
的距离最大，
最大值
．
即
面积
有最大值，等于
．
由
，解得
，
．
点坐标为
；
（3）证明：设
，
，
，
，
中点
，
，
则
，
，
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两式作差可得：
，
，即
．
，
，即
．
．
，
，
，即
．
．
．
故
，
，
三点共线．
15．椭圆
，过原点的直线交椭圆于
，
两点，其中
在第一
象限，过
作轴的垂线，垂足为
，连
，并延长交椭圆于
，若
，求
椭圆的离心率．
【解答】解：设
，
，
，
，则
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，①，
，②
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由①
②可得
，
即
，
