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第25 讲 三角形面积问题
一．解答题（共19 小题）
1．已知焦点在
轴上的椭圆
上的点到两个焦点的距离和为10，椭圆
经过点
．
（1）求椭圆
的标准方程；
（2）过椭圆
的右焦点
作与
轴垂直的直线
，直线
上存在
、
两点满足
，求
面积的最小值．
（3）若与
轴不垂直的直线交椭圆
于
、
两点，交
轴于定点
，线段
的垂直平分线交
轴于
点
，且
为定值，求点
的坐标．
2．如图，椭圆
的离心率为
，其左焦点到椭圆上点的最远距离为3，点
为
椭圆外一点，不过原点
的直线与
相交于
，
两点，且线段
被直线
平分．
（1）求椭圆
的标准方程；
（2）求
面积最大值时的直线的方程．
3．如图，椭圆
的离心率为
，其左焦点到点
的距离为
，不过原点
的
直线与
相交于
、
两点，且线段
被直线
平分．
（1）求椭圆
的方程；
（2）求直线的斜率；
（3）求
面积的最大值．
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4．已知点
，椭圆
的长轴长是短轴长的2 倍，
是椭圆
的右焦点，直线
的斜率为
，
为坐标原点．
（1）求椭圆
的方程；
（2）设过点
的动直线与椭圆
相交于
，
两点．当
的面积最大时，求直线的方程．
5．已知
为抛物线
的焦点，点
在该抛物线上且位于
轴的两侧，
（其中
为坐标原
点）．
（1）求证：直线
过定点；
（2）求
与
面积之和的最小值．
6．如图，已知点
是
轴左侧（不含
轴）一点，点
为抛物线
的焦点，且抛物线
上存在不
同的两点
，
．
（1）若
中点为
，且满足
，
的中点均在
上，证明：
垂直于
轴；
（2）若点
，
在该抛物线上且位于
轴的两侧，
为坐标原点），且
与
的面
积分别为
和
，求
最小值．
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7．如图，已知点
是
轴左侧（不含
轴）一点，抛物线
上存在不同的两点
，
满足
，
的中点均在
上．
（Ⅰ）设
中点为
，证明：
垂直于
轴；
（Ⅱ）若
是半椭圆
上的动点，求
面积的取值范围．
8．已知椭圆
，
，
为左、右焦点，直线过
交椭圆于
，
两点．
（1）若直线垂直于
轴，求
；
（2）当
时，
在
轴上方时，求
、
的坐标；
（3）若直线
交
轴于
，直线
交
轴于
，是否存在直线，使得
，若存在，求出
直线的方程；若不存在，请说明理由．
9．已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，过右焦点
且斜率为1 的直线交椭圆
于
，
两点，
为弦
的中点，且
的斜率为
．
（1）求椭圆
的离心率的值；
（2）若
，为过椭圆
的右焦点
的任意直线，且直线交椭圆
于点
，
，求△
内切圆
面积的最大值．
10．已知椭圆
的左、右焦点分别是
和
，离心率为
，以
在椭圆
上，且△
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的面积的最大值为
．
（1）求椭圆
的方程；
（2）直线过椭圆
右焦点
，交该椭圆于
、
两点，
中点为
，射线
交椭圆于
，记
的面积为
，
的面积为
，若
，求直线的方程．
11．已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，离心率
，点
在椭圆
上，直线过
交椭圆于
，
两点．
（1）求椭圆
的标准方程；
（2）当
时，点
在
轴上方时，求点
，
的坐标；
（3）若直线
交
轴于点
，直线
交
轴于点
，是否存在直线，使得
与
的面积
满足
，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
12．已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，
，椭圆离心率
．
（1）求椭圆
的方程；
（2）直线过椭圆的右焦点
，交椭圆于
，
两点，若△
的面积为
，求直线的方程．
13．已知椭圆
的离心率为
，其左、右焦点分别为
，
，点
，
是坐
标平面内一点，且
．
（1）求椭圆
的方程；
（2）过点
且斜率为
的动直线交椭圆于
、
两点，问：在
轴上是否存在定点
，使以
为直径的圆恒过这个点？若存在，求出
的坐标和
面积的最大值；若不存在，说明理由．
14．已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，离心率为
，过椭圆右焦点的直线交椭
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圆于
，
两点，△
的周长为8，
为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求
面积的最大值．
15．已知抛物线
上有一点
到焦点
的距离为
．
（Ⅰ）求
及
的值；
（Ⅱ）如图，设直线
与抛物线交于两点
，
，
，
，且
，过弦
的中
点
作垂直于
轴的直线与抛物线交于点
，连接
，
．试判断
的面积是否为定值？若是，
求出定值；否则，请说明理由．
16．已知点
是抛物线
上的动点，点
到抛物线准线与到点
，
的距离之和的最
小值为
．
（1）求抛物线
的方程；
（2）如图，设直线
与抛物线
交于两点
，
，
，
且
，过弦
的中点
作垂直于
轴的直线与抛物线
交于点
，求
的面积．
17．如图，在平面直角坐标系
中，椭圆
的离心率是
，曲线
是抛物线
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在椭圆
内的一部分，抛物线
的焦点
在椭圆
上．
（1）求椭圆
的方程；
（2）设
是
上的动点，且位于第一象限，
在点
处的切线与
交于不同的两点
，
，线段
的
中点为
，直线
与过
且垂直于
轴的直线交于点
．
（ⅰ）求证：点
在定直线上；
（ⅱ）直线与
轴交于点
，记
的面积为
，
的面积为
，求
的最大值及取得最大值
时点
的坐标．
18．已知
，椭圆
的离心率
，
是椭圆
的右焦点，直线
的斜率为
，
为坐标原点．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点
的动直线与椭圆
相交于
，
两点，当
的面积最大时，求直线的方程．
19．椭圆
的离心率为
，其右焦点到椭圆
外一点
的距离为
，不过原
点
的直线与椭圆
相交于
，
两点，且线段
的长度为2．
（Ⅰ）求椭圆
的方程；
（Ⅱ）求
面积
的最大值．
