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人教A版数学--高考解析几何复习专题三
知识点一 根据椭圆过的点求标准方程,椭圆中的直线过定点问题
典例1、椭圆 的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，过 的长轴，短轴端点的一条直
线方程是 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）过点 作直线交椭圆 于 ， 两点，若点 关于 轴的对称点为 ，证明直
线 过定点.
随堂练习：已知椭圆 经过点 和点 ．
（1求椭圆 的标准方程和离心率；
（2）若 、 为椭圆 上异于点 的两点，且点 在以 为直径的圆上，求证：直线
恒过定点．典例2、已知椭圆 经过点 ，其右顶点为 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）若点 、 在椭圆 上，且满足直线 与 的斜率之积为 ，证明直线 经过
定点．
随堂练习：已知F是椭圆 的左焦点，焦距为4，且C过点 ．
（1）求C的方程；
（2）过点F作两条互相垂直的直线l，l，若l与C交于A，B两点，l与C交于D，E
1 2 1 2
两点，记AB的中点为M，DE的中点为N，试判断直线MN是否过定点，若过点，请求
出定点坐标；若不过定点，请说明理由．典例3、已知椭圆 过点 ，离心率为 ，过点 作斜率为 ，
的直线 ， ，它们与椭圆的另一交点分别为 ， ，且 .
（1）求椭圆 的方程； （2）证明：直线 过定点.
随堂练习：已知椭圆 的离心率 ，上顶点是 ，左､右焦点分别是， ，若椭圆经过点 .
（1）求椭圆的方程；（2）点 和 是椭圆上的两个动点，点 ， ， 不共线，直线
和 的斜率分别是 和 ，若 ，求证直线 经过定点，并求出该定点的
坐标.
知识点二 根据a、b、c求椭圆标准方程,求椭圆的离心率或离心率的取值范围,求椭
圆的切线方程,椭圆中三角形（四边形）的面积
典例4、已知点A(0，－2)，椭圆E： (a>b>0)的离心率为 ，F是椭圆E的
右焦点，直线AF的斜率为 ，O为坐标原点.
(1)求E的方程； (2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点.当△OPQ的面积最大时，
求l的方程.随堂练习：已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，过 垂直于 轴
的直线被椭圆 所截得的线段长为 ，椭圆 上的点到一个焦点的最大距离为 ．
（1）求椭圆 的方程；（2）如图，点 为椭圆 上关于原点 对称的两个动点（非
长轴端点），线段 的延长线与椭圆 交于点 ，若 的面积为 ，求直线 的
方程．
典例5、已知 为椭圆 上任一点， ， 为椭圆的焦点，，离心率为 ．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线 ： 与椭圆的两交点为A， ，线段 的中点 在直线
上， 为坐标
原点，当 的面积等于 时，求直线 的方程．
随堂练习：已知椭圆 的对称中心为原点 ，焦点在 轴上，左、右焦点分别为 ， ，
且 ，点 在该椭圆上．
（1）求椭圆 的方程； （2）过 的直线 与椭圆 相交于 ， 两点，若 的面积
为 ，求以 为圆心且与直线 相切的圆的方程．典例6、如图，已知椭圆 ： 经过点 ，离心率为 .点
，以 为直径作圆 ，过点M作相互垂直的两条直线，分别交椭圆 与圆
于点A，B和点N.
（1）求椭圆 的标准方程； （2）当 的面积最大时，求直线 的方程.
随堂练习：已知椭圆C的左、右焦点分别为 ，离心率为 ，过点 且与x轴垂直的直线与椭圆C在第一象限交于点P，且 的面积为 ．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点 的直线与y轴正半轴交于点S，与曲线C交于点E， 轴，过点S
的另一直线与曲线C交于M，N两点，若 ，求 所在的直线方程．
人教A版数学--高考解析几何复习专题三答案
典例1、答案：（1） ；（2）见解析
解: （1）对于 ，当 时， ，即 ，当 ， ，即 ，
椭圆的方程为 ，
（2）证明：设直线 ，（ ）， 设 ， 两点的坐标分别为 ，
，则 ，
联立直线 与椭圆得 ， 得 ，
，解得 ， ，， 直线 ，
令 ，得
，
直线 过定点
随堂练习：答案：（1）椭圆 的标准方程为 ，离心率为 （2）证明见
解析
解：（1）将点 、 的坐标代入椭圆 的方程可得 ，解得 ，则
，
所以，椭圆 的标准方程为 ，离心率为 .
（2）分以下两种情况讨论：
①当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，设点 、
，
联立 可得 ， 可得
，
由韦达定理可得 ， ，，同理可得 ，
由已知 ，则
，
所以， ，即 ，解得 或 .
当 时，直线 的方程为 ，此时直线 过点 ，不合乎题
意；
当 时，直线 的方程为 ，此时直线 过定点 ，合乎题
意；
②当直线 轴，则点 、 关于 轴对称，所以， ， ，即点
，
由已知 可得 ， ， ，由已知
，
则 ，所以， ，因为
，解得 ，
此时直线 的方程为 ，则直线 过点 . 综上所述，直线 过定点.
典例2、答案：（1） （2）证明见解析
解：（1）由题意可知， ，将点 的坐标代入椭圆 的方程可得 ，可得
，
因此，椭圆 的方程为 .
（2）证明：若 轴，则点 、 关于 轴对称，则直线 与 也关于 轴对称，
从而直线 与 的斜率互为相反数，不合乎题意.
设直线 方程为 ，设点 、 ，
联立 ，可得 ， ，
可得 ，
由韦达定理可得 ， ，
因为 ，
整理可得 ，
即 ，化简得 ，
即 ，可得 或 .当 时，直线 的方程为 ，此时直线 过点 ，不合乎题意；
当 时，直线 的方程为 ，此时直线 过定点 ，合乎题意.
综上所述，直线 过定点 ．
随堂练习：答案：（1） （2）过定点，定点坐标为
解：（1）依题意 ， 由 解得 ， 所以椭圆 的方程为
.
（2）由题意知，当 其中一条的斜率不存在时，另外一条的斜率为 ，此时直线
为 轴；
当 的斜率都存在且不为 时，设 ，
设 ，联立 ，整理得 ，
， ，
则 ， 所以 的中点 ，
同理由 ，可得 的中点 ， 则，
所以直线 的方程为 ，化简得
，
故直线 恒过定点 ． 综上，直线 过定点 .
典例3、答案：（1） ；（2）证明见解析.
解:（1）由于 ，故 ， 所以 .
又椭圆 过点 ，故 ， 从而 ， ，椭圆 的标准方程为 .
（2）当直线 的斜率不存在时， ，不合题意，舍去.
当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，
由 得 ， 设 ，则
.
又由 得：，
所以 ，化简得 ， 解得 或
（舍去）.
当 时，直线 过定点 ，符合要求.
综上可知，直线 过定点 .
随堂练习：答案：（1） ；（2）直线 过定点
解：（1）因为椭圆的离心率 ，椭圆经过点 ， 所以 ，又
，
解得 ， ， ， 所以椭圆的方程为 ．
（2）证明：设直线 的方程为 ， ， ， ， ，
联立 ，得 ， 所以 ，
，
所以 ， ， 所以 ，
解得 ， 所以直线 过定点 ．典例4、答案：（1） （2）
解：（1）设 ，因为直线 的斜率为 ， 所以 ， .
又 解得 ， 所以椭圆 的方程为 .
（2）解：设 由题意可设直线 的方程为： ，
联立 消去 得 ，
当 ，所以 ，即 或 时
.
所以
点 到直线 的距离 所以 ，
设 ，则 ， ，
当且仅当 ，即 ， 解得 时取等号， 满足
所以 的面积最大时直线 的方程为： 或 .
随堂练习：答案： （1） （2） 或
解：（1）设 的半焦距为 ，则 ，故过 垂直于 轴的直线方程为 ，
与 的方程联立，得 ，由题意得 ，所以 ，又 ， 所以 ， ，
因为椭圆 上的点到一个焦点的最大距离为 ，所以 ， 所以
， ，
故椭圆 的方程为 ；
（2）由题意，直线 不垂直于 轴，设直线 的方程为 ， ，
，
由 ，消去 并整理得 ，
所以 ， ，
所以
，
因为点 到直线 的距离 ，且 是线段 的中点，所以点 到直线
的距离为 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，解得 或 （舍去），
所以 ，此时直线 的方程为 ，即 或
典例5、答案：（1） （2） 或
解：（1）由椭圆定义得 ， ，所以 ，故 ， 所以椭圆的方程为
．（2）设 代入方程 ， 得
所以 ， ， 所以 ，解得
，
则 式变为 则 ，
底边 上的高 ，所以 的面积 ．
令 ，解得 ， 把 ， 代入 式，经检验，
均满足 ，
此时直线 的方程为 或 ．
随堂练习：答案：（1） ； （2） .
解：（1）由题意知 ，所以 ， ， 所以，由椭圆定义知：
，
则 ， ， 故椭圆 的方程为 ．
（2）①当直线 轴时，令 ，可得 ，解得 ，
可取 ， ，此时 的面积 ，与题设矛盾，舍
去．
②当直线 与 轴不垂直时，
设直线 的方程为 ，代入椭圆方程得 ，成立，
设 ， ，则 ， ，
可得 ． 又圆 的半径 ，
∴ 的面积为 ， 化简得 ，解得
，
∴ ， ∴圆 的方程为 ．
典例6、答案：（1） （2）
解：（1）将点 代入 得， ， 又 ， ，得
，
所以 ， ，即 .
（2）因为 ，设直线 的方程为 ，设 ， ，
联立 ，得 ， 且 ，则 ，
，
则 ，且 ， 直线 的方程为 ，即
，
则圆心 到直线 的距离为 ， ∴
，∴ 面积 ，
当且仅当 时，取到等号，此时 ， 所以直线 的方程为
.
随堂练习：答案： （1） （2） 或 .
解：（1）由题意知 ， ， 又 ，∴ ， ，
∴椭圆标准方程为 .
（2）∵ 轴，∴ ， 设 ，则 ，∴ ，即 ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ，即 ，
设 ， ，则 ， ， ∴ .
①当直线 的斜率不存在时， 的方程为 ，此时∴ 不符
合条件.
②当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，
联立 得 .
得 ， ∴ ，即 ，解得.
故直线 的方程为 或 .
