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第 3 讲 力的合成与分解
目标要求 1.会应用平行四边形定则及三角形定则求合力.2.能利用效果分解法和正交分解
法计算分力.3.知道“活结”与“死结”、“动杆”与“定杆”的区别．
考点一 共点力的合成
基础回扣
1．合力与分力
(1)定义：如果一个力单独作用的效果跟某几个力共同作用的效果相同，这个力叫作那几个
力的合力，那几个力叫作这个力的分力．
(2)关系：合力与分力是等效替代关系．
2．力的合成
(1)定义：求几个力的合力的过程．
(2)运算法则
①平行四边形定则：求两个互成角度的分力的合力，可以用表示这两个力的有向线段为邻边
作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就表示合力的大小和方向．如图1甲所示，F 、F
1 2
为分力，F为合力．
图1
②三角形定则：把两个矢量的首尾顺次连接起来，第一个矢量的起点到第二个矢量的终点的
有向线段为合矢量．如图乙，F、F 为分力，F为合力．
1 2
技巧点拨
1．共点力合成的方法
(1)作图法．
(2)计算法：根据平行四边形定则作出力的示意图，然后利用勾股定理、三角函数、正弦定
理等求出合力．
2．合力范围的确定
(1)两个共点力的合力范围：|F－F|≤F≤F＋F.
1 2 1 2
①两个力的大小不变时，其合力随夹角的增大而减小．
②合力的大小不变时，两分力随夹角的增大而增大．③当两个力反向时，合力最小，为|F－F|；当两个力同向时，合力最大，为F＋F.
1 2 1 2
(2)三个共点力的合力范围
①最大值：三个力同向时，其合力最大，为F ＝F＋F＋F.
max 1 2 3
②最小值：以这三个力的大小为边，如果能组成封闭的三角形，则其合力的最小值为零，即
F ＝0；如果不能，则合力的最小值等于最大的一个力减去另外两个力的大小之和，即 F
min min
＝F－(F＋F)(F 为三个力中最大的力)．
1 2 3 1
例1 如图2甲所示，射箭时，释放箭的瞬间若弓弦的拉力为100 N，对箭产生的作用力为
120 N，其弓弦的拉力如图乙中F 和F 所示，对箭产生的作用力如图中F所示，则弓弦的夹
1 2
角α应为(cos 53°＝0.6)( )
图2
A．53° B．127° C．143° D．106°
答案 D
解析 弓弦拉力的合成如图所示，
由于F＝F，
1 2
由几何知识得2Fcos ＝F，
1
有cos ＝＝0.6，所以＝53°
即α＝106°，故D正确．
1．(作图法求合力)一物体受到三个共面共点力F 、F 、F 的作用，三力的矢量关系如图3
1 2 3
所示(小方格边长相等)，则下列说法正确的是( )
图3
A．三力的合力有最大值F＋F＋F，方向不确定
1 2 3B．三力的合力有唯一值3F，方向与F 同向
3 3
C．三力的合力有唯一值2F，方向与F 同向
3 3
D．由题给条件无法求合力大小
答案 B
解析 先以力F 和F 为邻边作平行四边形，其合力与F 共线，大小F ＝2F ，如图所示，
1 2 3 12 3
F 再与第三个力F 合成求合力F ，可得F ＝3F，故选B.
12 3 合 合 3
2．(合力的范围)有三个力，分别为12 N、6 N、7 N，则关于这三个力的合力，下列说法正
确的是( )
A．合力的最小值为1 N B．合力的最小值为零
C．合力不可能为20 N D．合力可能为30 N
答案 B
3．(力的合成的应用)(2020·全国卷Ⅲ·17)如图4，悬挂甲物体的细线拴牢在一不可伸长的轻
质细绳上O点处；绳的一端固定在墙上，另一端通过光滑定滑轮与物体乙相连．甲、乙两
物体质量相等．系统平衡时，O点两侧绳与竖直方向的夹角分别为α和β.若α＝70°，则β等
于( )
图4
A．45° B．55° C．60° D．70°
答案 B
解析 取O点为研究对象，在三力的作用下O点处于平衡状态，对其受力分析如图所示，
F ＝F ，两力的合力与F等大反向，根据几何关系可得2β＋α＝180°，所以β＝55°，故选
T1 T2
B.考点二 力的分解的两种常用方法
基础回扣
1．力的分解是力的合成的逆运算，遵循的法则：平行四边形定则或三角形定则．
2．分解方法：
(1)按力产生的效果分解；
(2)正交分解．
如图5，将结点O受力进行分解．
图5
3．矢量和标量
(1)矢量：既有大小又有方向的物理量，叠加时遵循平行四边形定则，如速度、力等．
(2)标量：只有大小没有方向的物理量，求和时按代数法则相加，如路程、速率等．
技巧点拨
1．力的效果分解法
(1)根据力的实际作用效果确定两个实际分力的方向．
(2)再根据两个分力方向画出平行四边形．
(3)最后由几何知识求出两个分力的大小和方向．
2．力的正交分解法
(1)建立坐标轴的原则：在静力学中，以少分解力和容易分解力为原则(使尽量多的力分布在
坐标轴上)；在动力学中，往往以加速度方向和垂直加速度方向为坐标轴建立坐标系．
(2)多个力求合力的方法：把各力向相互垂直的x轴、y轴分解．
x轴上的合力F＝F ＋F ＋F ＋…
x x1 x2 x3
y轴上的合力F＝F ＋F ＋F ＋…
y y1 y2 y3
合力大小F＝
若合力方向与x轴夹角为θ，则tan θ＝.
效果分解法例2 (多选)(2018·天津卷·7)明朝谢肇淛的《五杂组》中记载：“明姑苏虎丘寺塔倾侧，议
欲正之，非万缗不可．一游僧见之曰：无烦也，我能正之．”游僧每天将木楔从塔身倾斜一
侧的砖缝间敲进去，经月余扶正了塔身．假设所用的木楔为等腰三角形，木楔的顶角为 θ，
现在木楔背上加一力F，方向如图6所示，木楔两侧产生推力F ，则( )
N
图6
A．若F一定，θ大时F 大
N
B．若F一定，θ小时F 大
N
C．若θ一定，F大时F 大
N
D．若θ一定，F小时F 大
N
答案 BC
解析 根据力F的作用效果将F分解为垂直于木楔两侧的力F ，如图所示
N
则＝sin
故F ＝，
N
所以当F一定时，θ越小，F 越大；当θ一定时，F越大，F 越大，故选项B、C正确，
N N
A、D错误．
正交分解法
例3 建筑装修中，工人用质量为m的磨石对倾角为θ的斜壁进行打磨(如图7所示)，当对
磨石施加竖直向上大小为F的推力时，磨石恰好沿斜壁向上匀速运动，已知磨石与斜壁之
间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，则磨石受到的摩擦力大小是( )
图7
A．(F－mg)cos θ B．(F－mg)sin θ
C．μ(F－mg)cos θ D．μ(F－mg)tan θ
答案 A解析 磨石受重力、推力、斜壁的弹力及摩擦力作用而处于平衡状态，由图可知，F一定大
于重力mg；先将重力及向上的推力合成后，将二者的合力沿垂直于斜壁方向及平行于斜壁
方向分解，则在沿斜壁方向上有F＝(F－mg)cos θ，在垂直斜壁方向上有F ＝(F－mg)sin
f N
θ，则F＝μ(F－mg)sin θ，故A正确．
f
4．(效果分解法)刀、斧、凿等切削工具的刃部叫作劈，如图 8是斧头劈木柴的情景．劈的
纵截面是一个等腰三角形，使用劈的时候，垂直劈背加一个力F，这个力产生两个作用效果，
使劈的两个侧面推压木柴，把木柴劈开．设劈背的宽度为d，劈的侧面长为l，不计斧头自
身的重力，则劈的侧面推压木柴的力为( )
图8
A.F B.F C.F D.F
答案 B
解析 斧头劈木柴时，设两侧面推压木柴的力分别为F 、F 且F ＝F ，利用几何三角形与
1 2 1 2
力的三角形相似有 ＝＝，得推压木柴的力F＝F＝F，所以B正确，A、C、D错误．
1 2
5.(正交分解的应用)如图9所示，一物块置于水平地面上．当用与水平方向成60°角的力F
1
拉物块时，物块做匀速直线运动；当改用与水平方向成30°角的力F 推物块时，物块仍做匀
2
速直线运动．若F 和F 的大小相等，则物块与地面之间的动摩擦因数为( )
1 2
图9
A.－1 B．2－
C.－ D．1－答案 B
解析 当用F 拉物块做匀速直线运动时，受力分析如图甲所示，将F 正交分解，
1 1
则水平方向有Fcos 60°＝F
1 f1
竖直方向有Fsin 60°＋F ＝mg
1 N1
其中F ＝μF
f1 N1
联立解得F＝
1
同理，当用F 推物块做匀速直线运动时，受力分析如图乙，
2
水平方向有Fcos 30°＝F
2 f2
竖直方向有Fsin 30°＋mg＝F
2 N2
其中F ＝μF
f2 N2
联立解得F＝
2
根据题意知F＝F，
1 2
解得μ＝2－，B正确．
考点三 “活结”与“死结”、“动杆”与“定杆”
1．活结：当绳绕过光滑的滑轮或挂钩时，绳上的力是相等的，即滑轮只改变力的方向，不
改变力的大小，如图10甲，滑轮B两侧绳的拉力相等．
2．死结：若结点不是滑轮，而是固定点时，称为“死结”结点，则两侧绳上的弹力不一定
相等，如图乙，结点B两侧绳的拉力不相等．
3．动杆：若轻杆用光滑的转轴或铰链连接，当杆平衡时，杆所受到的弹力方向一定沿着杆，
否则杆会转动．如图乙所示，若C为转轴，则轻杆在缓慢转动中，弹力方向始终沿杆的方
向．
图104．定杆：若轻杆被固定，不发生转动，则杆受到的弹力方向不一定沿杆的方向，如图甲所
示．
例4 如图11甲所示，轻绳AD跨过固定在水平横梁BC右端的光滑定滑轮挂住一个质量为
m 的物体，∠ACB＝30°；图乙所示的轻杆HG一端用铰链固定在竖直墙上，另一端G通过
1
细绳EG拉住，EG与水平方向成30°角，轻杆的G点用细绳GF拉住一个质量为m 的物体，
2
重力加速度为g，则下列说法正确的是( )
图11
A．图甲中BC对滑轮的作用力为
B．图乙中HG杆受到绳的作用力为mg
2
C．细绳AC段的拉力F 与细绳EG段的拉力F 之比为1∶1
AC EG
D．细绳AC段的拉力F 与细绳EG段的拉力F 之比为m∶2m
AC EG 1 2
答案 D
解析 题图甲中，是一根绳跨过光滑定滑轮，绳中的弹力相等，两段绳的拉力都是 mg，互
1
成120°角，则合力的大小是mg，方向与竖直方向成60°角斜向左下方，故BC对滑轮的作
1
用力大小也是mg，方向与竖直方向成60°角斜向右上方，A选项错误；题图乙中HG杆受
1
到绳的作用力为mg，B选项错误；题图乙中F sin 30°＝mg，得F ＝2mg，则＝，C选项
2 EG 2 EG 2
错误，D选项正确．
6．(活结的应用)(2021·辽宁葫芦岛市第一次模拟)如图12所示，细绳一端固定在A点，跨过
与A等高的光滑定滑轮B后在另一端悬挂一个沙桶Q.现有另一个沙桶P通过光滑轻质挂钩
挂在AB之间，稳定后挂钩下降至C点，∠ACB＝120°，下列说法正确的是( )
图12
A．若只增加Q桶内的沙子，再次平衡后C点位置不变
B．若只增加P桶内的沙子，再次平衡后C点位置不变
C．若在两桶内增加相同质量的沙子，再次平衡后C点位置不变
D．若在两桶内增加相同质量的沙子，再次平衡后沙桶Q位置上升
答案 C
解析 对沙桶Q受力分析有F ＝G ，设两绳的夹角为θ，对C点受力分析可知，C点受三
T Q力而平衡，而C点为活结绳上的点，两侧绳的张力相等，有2F cos ＝G ，联立可得2G
T P Q
cos ＝G ，故增大Q的重力，夹角θ变大，C点上升；只增大P的重力时，夹角θ变小，C
P
点下降，故A、B错误；当θ＝120°时，G ＝G ，故两沙桶增加相同的质量，P和Q的重力
P Q
仍相等，C点的位置不变，故C正确，D错误．
7.(活结与动杆组合)(多选)如图13所示，轻杆BC一端用铰链固定于墙上，另一端有一小滑
轮C，重物系一绳经C固定在墙上的A点，滑轮与绳的质量及摩擦力均不计，若将绳一端从
A点沿墙稍向上移，系统再次平衡后，则( )
图13
A．绳的拉力增大
B．轻杆受到的压力减小，且杆与AB的夹角变大
C．绳的拉力大小不变
D．轻杆受的压力不变
答案 BC
解析 对C进行受力分析如图所示，根据力的平衡条件和对称性可知 F ＝F ＝G.A点上移
AC CD
后绳上拉力大小不变，等于重物的重力，故A错误，C正确；A点上移后AC与CD的夹角
变大，则合力变小，即轻杆受到的压力减小，方向沿杆方向并且沿∠ACD的角平分线，根据
几何知识知∠BCD变大，即杆与AB的夹角变大，故B正确，D错误．
课时精练
1．三个共点力大小分别是F 、F 、F ，关于它们合力F的大小，下列说法中正确的是(
1 2 3
)
A．F大小的取值范围一定是0≤F≤F＋F＋F
1 2 3
B．F至少比F、F、F 中的某一个大
1 2 3C．若F∶F∶F＝3∶6∶8，只要适当调整它们之间的夹角，一定能使合力为零
1 2 3
D．若F∶F∶F＝3∶6∶2，只要适当调整它们之间的夹角，一定能使合力为零
1 2 3
答案 C
2.(多选)研究两共点力的合成实验中，得出合力F随夹角θ变化的规律如图1所示，则( )
图1
A．两个分力分别为8 N、10 N
B．两个分力分别为6 N、8 N
C．2 N≤F≤18 N
D．2 N≤F≤14 N
答案 BD
解析 当两个分力方向垂直时，两个力合力为＝10 N，当两个力方向相反时，合力最小，为
两个力大小之差，即F －F ＝2 N，解得这两个分力分别为8 N、6 N，选项B正确，A错误；
1 2
当两个力方向相同时，合力最大，为两个力大小之和，则有 2 N≤F≤14 N，选项D正确，
C错误．
3.(2017·浙江4月选考·10)重力为G的体操运动员在进行自由体操比赛时，有如图2所示的比
赛动作，当运动员竖直倒立保持静止状态时，两手臂对称支撑，夹角为θ，则( )
图2
A．当θ＝60°时，运动员单手对地面的正压力大小为
B．当θ＝120°时，运动员单手对地面的正压力大小为G
C．当θ不同时，运动员受到的合力不同
D．当θ不同时，运动员与地面之间的相互作用力不相等
答案 A
解析 对运动员受力分析如图，运动员单手对地面的正压力大小与θ无关F＝F＝
1 2
而手臂受力与夹角θ有关，所以选项A正确，B错误；不管角度如何，运动员受到的合力为
零，选项C错误；不管角度如何，运动员与地面之间的相互作用力总是等大，选项D错误．
4．某物体同时受到同一平面内的三个共点力作用，在如图3所示的四种情况中(坐标纸中每
格边长表示1 N大小的力)，该物体所受的合外力大小正确的是( )
图3
A．甲图中物体所受的合外力大小等于4 N
B．乙图中物体所受的合外力大小等于2 N
C．丙图中物体所受的合外力大小等于0
D．丁图中物体所受的合外力大小等于0
答案 D
5．(2019·全国卷Ⅲ·16)用卡车运输质量为m的匀质圆筒状工件，为使工件保持固定，将其置
于两光滑斜面之间，如图4所示．两斜面Ⅰ、Ⅱ固定在车上，倾角分别为30°和60°.重力加
速度为g.当卡车沿平直公路匀速行驶时，圆筒对斜面Ⅰ、Ⅱ压力的大小分别为F 、F ，则(
1 2
)
图4
A．F＝mg，F＝mg B．F＝mg，F＝mg
1 2 1 2
C．F＝mg，F＝mg D．F＝mg，F＝mg
1 2 1 2
答案 D
6.(2019·陕西宝鸡市高考模拟检测(二))如图5所示，一条细绳跨过定滑轮连接物体A、B，A
悬挂起来，B穿在一根竖直杆上，两物体均保持静止，不计绳与滑轮、B与竖直杆间的摩擦，
已知绳与竖直杆间的夹角为θ，则物体A、B的质量之比m ∶m 等于( )
A B
图5A．1∶cos θ B．cos θ∶1
C．tan θ∶1 D．1∶sin θ
答案 A
解析 设绳子的拉力为F ，隔离A分析有
T
F ＝m g①
T A
隔离B分析有：
F cos θ＝m g②
T B
由①②得：
m ∶m ＝1∶cos θ，故A正确，B、C、D错误．
A B
7.(2019·天津卷·2)2018年10月23日，港珠澳跨海大桥正式开通．为保持以往船行习惯，在
航道外建造了单面索(所有钢索均处在同一竖直面内)斜拉桥，其索塔与钢索如图6所示．下
列说法正确的是( )
图6
A．增加钢索的数量可减小索塔受到的向下的压力
B．为了减小钢索承受的拉力，可以适当降低索塔的高度
C．索塔两侧钢索对称且拉力大小相同时，钢索对索塔的合力竖直向下
D．为了使索塔受到钢索的合力竖直向下，索塔两侧的钢索必须对称分布
答案 C
解析 增加钢索的数量不能减小索塔受到的向下的压力，A错误；当索塔受到的力F一定时，
降低索塔的高度，钢索与水平方向的夹角α减小，则钢索受到的拉力将增大，B错误；如果
索塔两侧的钢索对称且拉力大小相同，则两侧拉力在水平方向的合力为零，钢索的合力一定
竖直向下，C正确；索塔受到钢索的拉力合力竖直向下，当两侧钢索的拉力大小不等时，由
图可知，两侧的钢索不一定对称，D错误．
8.(多选)如图7所示，质量为m的物体在水平恒力F的作用下沿粗糙斜面匀速向上滑动，斜
面与水平方向的夹角为θ，物体与斜面之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，则物体受
到的摩擦力大小是( )图7
A．Fcos θ＋mgsin θ
B．Fcos θ－mgsin θ
C．μ(mg＋Fsin θ)
D．μ(mgcos θ＋Fsin θ)
答案 BD
9.(2019·福建泉州市期末质量检查)如图8所示，总重为G的吊灯用三条长度相同的轻绳悬挂
在天花板上，每条轻绳与竖直方向的夹角均为θ，则每条轻绳对吊灯的拉力大小为( )
图8
A. B. C.Gcos θ D.Gsin θ
答案 A
解析 对吊灯，由平衡条件可知：3F cos θ＝G，解得F ＝，故选A.
T T
10.(多选)如图9所示是剪式千斤顶，当摇动把手时，螺纹轴就能迫使千斤顶的两臂靠拢，从
而将汽车顶起．当车轮刚被顶起时汽车对千斤顶的压力为1.0×105 N，此时千斤顶两臂间的
夹角为120°，则下列判断正确的是( )
图9
A．此时两臂受到的压力大小均为5.0×104 N
B．此时千斤顶对汽车的支持力为1.0×105 N
C．若继续摇动把手，将汽车顶起，两臂受到的压力将增大
D．若继续摇动把手，将汽车顶起，两臂受到的压力将减小
答案 BD
解析 设两臂受到的压力大小均为F ，汽车对千斤顶的压力为F，两臂间夹角为θ，则有F
1
＝2Fcos ，由此可知，当F＝1.0×105 N，θ＝120°时，F ＝1.0×105 N，A错误；由牛顿第
1 1
三定律知，B正确；若继续摇动把手，F不变，θ减小，则F 将减小，C错误，D正确．
111.(多选)(2017·天津卷·8)如图10所示，轻质不可伸长的晾衣绳两端分别固定在竖直杆M、N
上的a、b两点，悬挂衣服的衣架挂钩是光滑的，挂于绳上处于静止状态．如果只人为改变
一个条件，当衣架静止时，下列说法正确的是( )
图10
A．绳的右端上移到b′，绳子拉力不变
B．将杆N向右移一些，绳子拉力变大
C．绳的两端高度差越小，绳子拉力越小
D．若换挂质量更大的衣服，则衣架悬挂点右移
答案 AB
解析 设两杆间距离为d，绳长为l，Oa、Ob段长度分别为l 和l ，则l＝l ＋l ，两部分绳
a b a b
子与竖直方向夹角分别为α和β，受力分析如图所示．绳子中各部分张力相等，F ＝F ＝
Ta Tb
F ，则α＝β.对O点受力分析可得2F cos α＝mg，d＝lsin α＋lsin β＝lsin α，即sin α＝，
T T a b
F ＝，当绳右端上移或两端高度差减小时，d和l均不变，则sin α为定值，α为定值，
T
cos α为定值，绳子的拉力保持不变，故 A正确，C错误；将杆N向右移一些，d增大，则
sin α增大，cos α减小，绳子的拉力增大，故B正确；若换挂质量更大的衣服，d和l均不
变，绳中拉力增大，但衣架悬挂点的位置不变，故D错误．
12.(2016·全国卷Ⅲ·17)如图11，两个轻环a和b套在位于竖直面内的一段固定圆弧上；一细
线穿过两轻环，其两端各系一质量为m的小球．在a和b之间的细线上悬挂一小物块．平衡
时，a、b间的距离恰好等于圆弧的半径．不计所有摩擦．小物块的质量为( )
图11
A. B.m
C．m D．2m
答案 C
解析 如图所示，圆弧的圆心为O，悬挂小物块的点为c，由于ab＝R，则△aOb为等边三角
形，同一条细线上的拉力相等，F ＝mg，合力沿Oc方向，则Oc为角平分线，由几何关系
T知，∠acb＝120°，故线的拉力的合力与物块的重力大小相等，即每条细线上的拉力F ＝G＝
T
mg，所以小物块质量为m，故C对．
13．如图12所示，质量为m的物体置于倾角为θ的固定斜面上，物体与斜面之间的动摩擦
因数为μ，先用平行于斜面的推力F 作用于物体上使其能沿斜面匀速上滑，若改用水平推力
1
F 作用于物体上，也能使物体沿斜面匀速上滑，则两次的推力之比为多少？
2
图12
答案 cos θ－μsin θ
解析 物体在力F 作用下和力F 作用下运动时的受力如图所示
1 2
将重力mg、力F 沿斜面方向和垂直于斜面方向正交分解，
2
由平衡条件可得：F＝mgsin θ＋F ，
1 f1
F ＝mgcos θ，
N1
F ＝μF ，
f1 N1
Fcos θ＝mgsin θ＋F ，
2 f2
F ＝mgcos θ＋Fsin θ，
N2 2
F ＝μF ，
f2 N2
解得：F＝mgsin θ＋μmgcos θ，
1
F＝，
2
故＝cos θ－μsin θ.
14．一重为G的圆柱体工件放在V形槽中，槽顶角α＝60°，槽的两侧面与水平方向的夹角
相同，槽与工件接触处的动摩擦因数处处相同，大小为μ＝0.25，则：图13
(1)要沿圆柱体的轴线方向(如图13甲所示)水平地把工件从槽中拉出来，人至少要施加多大
的拉力？
(2)现把整个装置倾斜，使圆柱体的轴线与水平方向成37°角，如图乙所示，且保证圆柱体对
V形槽两侧面的压力大小相等，发现圆柱体能自动沿槽下滑，求此时工件所受槽的摩擦力大
小．(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
答案 (1)0.5G (2)0.4G
解析 (1)分析圆柱体的受力可知，沿轴线方向受到拉力F、两个侧面对圆柱体的滑动摩擦力
由题给条件知F＝2F，由圆柱体重力产生的效果将重力进行分解，如图所示：
f
由平衡条件可得G＝F＝F，
1 2
由F＝μF 得F＝0.5G.
f 1
(2)把整个装置倾斜，则重力沿压紧两侧的斜面的分力F′＝F′＝Gcos 37°＝0.8G，
1 2
此时工件所受槽的摩擦力大小F′＝2μF′＝0.4G.
f 1
