文档内容
第5节 椭 圆
考试要求 1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决
实际问题中的作用；2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单
几何性质.
1.椭圆的定义
在平面内与两定点F ，F 的距离的和等于常数(大于|F F |)的点的轨迹
1 2 1 2
叫做椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦
距.
其数学表达式：集合P＝{M||MF |＋|MF |＝2a}，|F F |＝2c，其中a＞
1 2 1 2
0，c＞0，且a，c为常数：
(1)若 a ＞ c ，则集合P为椭圆；
(2)若 a ＝ c ，则集合P为线段；
(3)若 a ＜ c ，则集合P为空集.
2.椭圆的标准方程和几何性质标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0)
图形
－a≤x≤a －b≤x≤b
范围
－b≤y≤b －a≤y≤a
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
A (0，－a)，
A (－a，0)，A (a，0)， 1
1 2 A (0，a)，
性 2
顶点 B (0，－b)，
质 1 B (－b，0)，
1
B (0，b)
2 B (b，0)
2
轴 长轴A A 的长为 2 a ；短轴B B 的长为 2 b
1 2 1 2
焦距 |F F |＝ 2 c
1 2
离心率 e＝∈ (0 ， 1)
a，b，c的关系 c2＝ a 2 － b 2
1.点P(x ，y )和椭圆的位置关系
0 0
(1)点P(x ，y )在椭圆内⇔＋<1；
0 0
(2)点P(x ，y )在椭圆上⇔＋＝1；
0 0
(3)点P(x ，y )在椭圆外⇔＋>1.
0 0
2.若点P在椭圆上，F为椭圆的一个焦点，则
(1)b≤|OP|≤a；(2)a－c≤|PF|≤a＋c.
3.焦点三角形：椭圆上的点 P(x ，y )与两焦点构成的△PF F 叫作焦
0 0 1 2
点三角形，r ＝|PF |，r ＝|PF |，∠F PF ＝θ，△PF F 的面积为 S，
1 1 2 2 1 2 1 2
则在椭圆＋＝1(a>b>0)中：
(1)当r ＝r 时，即点P的位置为短轴端点时，θ最大；
1 2
(2)S＝b2tan ＝c|y |，当|y |＝b 时，即点 P 的位置为短轴端点时，S 取
0 0
最大值，最大值为bc.
4.焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，
弦长l ＝.
min
5.AB 为椭圆＋＝1(a>b>0)的弦，A(x ，y )，B(x ，y )，弦中点 M(x ，
1 1 2 2 0
y )，则直线AB的斜率k ＝－.
0 AB
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面内与两个定点 F ，F 的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.(
1 2
)
(2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.( )(3)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形.( )
(4)＋＝1(a>b>0)与＋＝1(a>b>0)的焦距相同.( )
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√
解析 (1)由椭圆的定义知，当该常数大于|F F |时，其轨迹才是椭圆，
1 2
而常数等于|F F |时，其轨迹为线段 F F ，常数小于|F F |时，不存在
1 2 1 2 1 2
这样的图形.
(2)因为e＝＝＝，所以e越大，则越小，椭圆就越扁.
2.(易错题)(2022·济南联考)“20)的离心率e＝，则m的值为________.
答案 3或解析 若a2＝5，b2＝m，则c＝.
由＝，即＝，解得m＝3.
若a2＝m，b2＝5，则c＝.
由＝，即＝，解得m＝.
综上，m＝3或.
6.(2021·全国甲卷)已知F ，F 为椭圆C：＋＝1的两个焦点，P，Q为
1 2
C 上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F F |，则四边形 PF QF 的
1 2 1 2
面积为________.
答案 8
解析 根据椭圆的对称性及|PQ|＝|F F |可以得到四边形 PF QF 为对
1 2 1 2
角线相等的平行四边形，所以四边形PF QF 为矩形.
1 2
设|PF |＝m，则|PF |＝2a－|PF |＝8－m，则|PF |2＋|PF |2＝m2＋(8－
1 2 1 1 2
m)2＝2m2＋64－16m＝|F F |2＝4c2＝4(a2－b2)＝48，得 m(8－m)＝8，
1 2
所以四边形PF QF 的面积为|PF |·|PF |＝m(8－m)＝8.
1 2 1 2
第一课时 椭圆及其性质考点一 椭圆的定义及其应用
1.如图，圆 O 的半径为定长 r，A 是圆 O 内一个定点，P 是圆上任意
一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上
运动时，点Q的轨迹是( )
A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆
答案 A
解析 连接QA(图略).
由已知得|QA|＝|QP|，
所以|QO|＋|QA|＝|QO|＋|QP|＝|OP|＝r.
又因为点 A 在圆内，所以|OA|＜|OP|，根据椭圆的定义，点 Q的轨迹
是以O，A为焦点，r为长轴长的椭圆.
2.(2022·合肥模拟)已知 F 是椭圆 E：＋＝1(a>b>0)的左焦点，椭圆 E
上一点P(2，1)关于原点的对称点为 Q，若△PQF的周长为 4＋2，则
a－b＝( )A. B. C. D.
答案 A
解析 根据椭圆的对称性及椭圆的定义可知，△PQF 的周长为 2a＋
2×＝2a＋2.
又△PQF的周长为4＋2，
所以2a＝4，解得a＝2.
又点P(2，1)在椭圆上，
所以＋＝1，解得b＝，
所以a－b＝.
3.设点 P 为椭圆 C：＋＝1(a>2)上一点，F ，F 分别为 C 的左、右焦
1 2
点，且∠F PF ＝60°，则△PF F 的面积为________.
1 2 1 2
答案
解析 由题意知，c＝.
又∠F PF ＝60°，|F P|＋|PF |＝2a，|F F |＝2，
1 2 1 2 1 2
∴|F F |2＝(|F P|＋|PF |)2－2|F P|·|PF |－2|F P|·|PF |cos 60°
1 2 1 2 1 2 1 2
＝4a2－3|F P|·|PF |＝4a2－16，
1 2
∴|F P|·|PF |＝，
1 2∴S ＝|F P|·|PF |sin 60°
△PF1F2 1 2
＝××＝.
4.已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1，
1)是一定点，则|PA|＋|PF|的最大值为________，最小值为________.
答案 6＋ 6－
解析 椭圆方程化为＋＝1，
设F 是椭圆的右焦点，则F (2，0)，
1 1
∴|AF |＝，
1
∴|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF |＋6.
1
又－|AF |≤|PA|－|PF |≤|AF |(当P，A，F 三点共线时等号成立)，
1 1 1 1
∴6－≤|PA|＋|PF|≤6＋.
感悟提升 1.椭圆定义的应用主要有：判断平面内动点的轨迹是否为
椭圆，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等.
2.与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF |
1
＋|PF |＝2a，得到a，c的关系.
2
考点二 椭圆的标准方程
例1 (1)已知椭圆 C的焦点为 F (－1，0)，F (1，0)，过 F 的直线与 C
1 2 2交于A，B两点.若|AF |＝2|F B|，|AB|＝|BF |，则C的方程为( )
2 2 1
A.＋y2＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，(，)，
则椭圆方程为________.
(3)过点(，－)，且与椭圆＋＝1 有相同焦点的椭圆的标准方程为
________.
答案 (1)B (2)＋＝1 (3)＋＝1
解析 (1)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0).连接F A，
1
令|F B|＝m，则|AF |＝2m，|BF |＝3m.由椭圆的定义知，4m＝2a，得
2 2 1
m＝，故|F A|＝a＝|F A|，则点 A 为椭圆 C 的上顶点或下顶点.如图，
2 1
不妨设A(0，－b)，由F (1，0)，AF2＝2F2B，得B.
2
由点B在椭圆上，得＋＝1，
得a2＝3，b2＝a2－c2＝2，椭圆C的方程为＋＝1.(2)设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m，n>0，m≠n).
由
解得m＝，n＝，
∴椭圆方程为＋＝1.
(3)法一(待定系数法) 设所求椭圆方程为＋＝1(k<9)，
将点(，－)的坐标代入可得
＋＝1，
解得k＝5(k＝21舍去)，
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
法二(定义法) 椭圆＋＝1的焦点为(0，－4)，(0，4)，即c＝4.
由椭圆的定义知，
2a＝＋
，解得a＝2.
由c2＝a2－b2可得b2＝4.
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
感悟提升 根据条件求椭圆方程的主要方法有：
(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义.(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的 a，b.当不知焦点
在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为 mx2＋ny2＝
1(m>0，n>0，m≠n)，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出 m，n
的值即可.
(3)椭圆系方程
①与＋＝1共焦点的椭圆系为＋＝1(k0).
训练 1 (1)与椭圆＋＝1有相同离心率且经过点(，)的椭圆标准方程为
______________.
(2)(2021·赣中南五校联考)已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在坐标轴
上，且经过点(0，)，过其中一焦点且垂直于 x 轴的直线交椭圆 C 于
A，B两点，若|AB|＝1，则椭圆C的标准方程为( )
A.x2＋＝1 B.＋y2＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案 (1)＋＝1或＋＝1 (2)C
解析 (1)若焦点在x轴上，设所求椭圆方程为＋＝a(a>0)，将点(，)代入，得a＝2.
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
若焦点在y轴上，
设所求椭圆方程为＋＝λ(λ>0)，
将点(，)代入，得λ＝.
故所求椭圆方程为＋＝1.
(2)由题意知，椭圆C的焦点在x轴上，
设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0).
由椭圆C经过点(0，)，得b＝.
不妨设A(c，y )，
1
代入椭圆方程得＋＝1，解得y＝，
所以|AB|＝＝1，由此解得a＝6，
所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
考点三 椭圆的几何性质
角度1 椭圆的离心率
例2 (1)(2022·昆明诊断)已知F ，F 分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左
1 2
右焦点，M 是椭圆短轴的端点，点 N 在椭圆上，若MF1＝3NF2，则椭圆E的离心率为( )
A. B. C. D.
(2)(2021·兰州调研)设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F ，
1
F ，P 是椭圆 C 上一点，且 PF 与 x 轴垂直，直线 PF 与椭圆 C 的另
2 1 2
一个交点为Q.若直线PQ的斜率为－，则椭圆C的离心率为( )
A. B. C. D.
答案 (1)C (2)B
解析 (1)设M(0，b)，F (－c，0)，F (c，0)，N(x，y)，
1 2
因为MF1＝3NF2，
所以(－c，－b)＝3(c－x，－y)，
所以代入椭圆方程并化简，
得e2＋＝1，解得e＝.
(2)由题意知F (－c，0)，F (c，0)，
1 2
由PF 与x轴垂直，PQ的斜率为－，
1
可得P，
由k ＝kPF ＝＝－，
PQ 2
整理得＝，即2c2＋3ac－2a2＝0，得2e2＋3e－2＝0，解得e＝或e＝－2(舍去).
感悟提升 求椭圆离心率的方法
(1)直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解.
(2)列出含有 a，b，c 的齐次方程，借助于 b2＝a2－c2消去 b，转化为
含有e的方程求解.
(3)利用公式e＝求解.
角度2 与椭圆几何性质有关的最值范围问题
例 3 (1)已知椭圆 E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为 F，短轴的一个端点
为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点.若|AF|＋|BF|＝4，点
M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
(2)已知点 A(0，2)及椭圆＋y2＝1 上任意一点 P，则|PA|的最大值是
________.
答案 (1)A (2)
解析 (1)设左焦点 F ，连接 F A，F B，则四边形 AFBF 为平行四边
0 0 0 0形.
∵|AF|＋|BF|＝4，
∴|AF|＋|AF |＝4，
0
∴a＝2.
设M(0，b)，则＝≥，
∴1≤b＜2.
离心率e＝＝＝＝∈，故选A.
(2)设P(x ，y )，则－2≤x ≤2，－1≤y ≤1，
0 0 0 0
∴|PA|2＝x＋(y －2)2.
0
∵＋y＝1，
∴|PA|2＝4(1－y)＋(y －2)2＝－3y－4y ＋8＝－3＋.
0 0
∵－1≤y ≤1，
0
∴当y ＝－时，|PA|＝，
0
即|PA| ＝.
max
感悟提升 利用椭圆几何性质求值域或范围的思路(1)将所求问题用椭圆上点的坐标表示，利用坐标范围构造函数或不
等关系.
(2)将所求范围用a，b，c表示，利用a，b，c自身的范围、关系求范
围.
训练2 (1)设A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点.若C上存在点 M
满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是( )
A.(0，1]∪[9，＋∞)
B.(0，]∪[9，＋∞)
C.(0，1]∪[4，＋∞)
D.(0，]∪[4，＋∞)
(2)(2022·成都质量检测)如图，椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点为 F，过 F
的直线交椭圆于 A，B 两点，点 C 是点 A 关于原点 O 的对称点，若
CF⊥AB且CF＝AB，则椭圆的离心率为________.
答案 (1)A (2)－解析 (1)①当焦点在x轴上，依题意得
03，且≥tan＝，∴m≥9，
综上，m的取值范围是(0，1]∪[9，＋∞).
(2)设椭圆的左焦点为 F′，连接AF′，BF′，CF′，由题意和对称性，得
四边形FAF′C为矩形，
三角形 ABF′为等腰直角三角形，设 AF′＝AB＝x(x>0)，则 x＋x＋x＝
4a，解得 x＝(4－2)a，则 AF＝(2－2)a，在直角三角形 AFF′中，由勾
股定理得AF′2＋AF2＝(2c)2，所以e2＝9－6，e＝－.
1.椭圆＋＝1的焦距为2，则m的值等于( )
A.5 B.3C.5或3 D.8
答案 C
解析 由题意知椭圆焦距为 2，即 c＝1，又满足关系式 a2－b2＝c2＝
1，故当a2＝4时，m＝b2＝3；当b2＝4时，m＝a2＝5.
2.(2022·西安模拟)已知椭圆 C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为
F ，F ，离心率为，过 F 的直线l交C于A，B两点，若△AF B的周
1 2 2 1
长为12，则C的方程为( )
A.＋y2＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案 D
解析 由题意可得＝，4a＝12，解得a＝3，c＝2，则b＝＝，所以椭
圆C的方程为＋＝1.
3.已知两圆 C ：(x－4)2＋y2＝169，C ：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆 C
1 2 1
内部且和圆 C 相内切，和圆 C 相外切，则动圆圆心 M的轨迹方程为
1 2
( )
A.－＝1 B.＋＝1C.－＝1 D.＋＝1
答案 D
解析 设圆M的半径为r，
则|MC |＋|MC |＝(13－r)＋(3＋r)＝16>8＝|C C |，
1 2 1 2
所以M的轨迹是以C ，C 为焦点的椭圆，
1 2
且2a＝16，2c＝8，
所以a＝8，c＝4，b＝＝4，
故所求动圆圆心M的轨迹方程为＋＝1.
4.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，过点F作圆x2＋y2＝b2的
切线，若两条切线互相垂直，则椭圆C的离心率为( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 如图，由题意可得，b＝c，则2b2＝c2，
即2(a2－c2)＝c2，
则2a2＝3c2，∴＝，即e＝＝.
5.(2021·盐城调研)已知 F ，F 为椭圆＋＝1 的左、右焦点，P 是椭圆
1 2
上一点，若S ＝4，则∠F PF 等于( )
△F1PF2 1 2
A.30° B.45°
C.60° D.90°
答案 D
解析 由＋＝1，可得a＝2，b＝2，c＝＝2.
设P(x ，y )且y >0，
1 1 1
所以S ＝|F F |·y ＝×4×y ＝4，解得y ＝2，
△F1PF2 1 2 1 1 1
此时点P的坐标为(0，2)，
所以|PF |＝|PF |＝2.
1 2
又因为|PF |2＋|PF |2＝|F F |2，
1 2 1 2
所以∠F PF ＝90°.
1 2
6.设 F ，F 分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，若在直线 x＝上
1 2
存在点 P，使线段 PF 的中垂线过点 F ，则椭圆离心率的取值范围是
1 2
( )
A. B.C. D.
答案 D
解析 设P，F (－c，0)，F (c，0)，
1 2
由线段PF 的中垂线过点F
1 2
得|PF |＝|F F |，即＝2c，
2 1 2
得m2＝4c2－＝－＋2a2＋3c2≥0，
即3c4＋2a2c2－a4≥0，
得3e4＋2e2－1≥0，解得e2≥.
又00)，将点(2，－)代入，得
t＝＋＝2，
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
若焦点在y轴上，设方程为＋＝λ(λ>0)代入点(2，－)，得λ＝，∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
8.(2021·皖北协作体联考)“天问一号”推开了我国行星探测的大门，
通过一次发射，将实现火星环绕、着陆、巡视，是世界首创，也是我
国真正意义上的首次深空探测.2021年2月10日，“天问一号”探测
器顺利进入火星的椭圆环火轨道(将火星近似看成一个球体，球心为
椭圆的一个焦点).2 月 15 日 17 时，“天问一号”探测器成功实施捕
获轨道“远火点(椭圆轨迹上距离火星表面最远的一点)平面机动”，
同时将近火点高度调整至约 265 公里.若此时远火点距离约为 11 945
公里，火星半径约为 3 400 公里，则调整后“天问一号”的运行轨迹
(环火轨道曲线)的离心率约为________(精确到0.1).
答案 0.6
解析 设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，由椭圆的性质可得椭圆上的点
到焦点的距离的最小值为a－c，最大值为a＋c，
根据题意可得近火点满足 a－c＝3 400＋265＝3 665，远火点满足 a＋
c＝3 400＋11 945＝15 345，
解得a＝9 505，c＝5 840，所以椭圆的离心率为e＝＝≈0.6.
9.已知点 P(0，1)，椭圆＋y2＝m(m>1)上两点 A，B满足AP＝2PB，则
当m＝________时，点B横坐标的绝对值最大.
答案 5
解析 设A(x ，y )，B(x ，y )，
1 1 2 2
由AP＝2PB，
得
即x ＝－2x ，y ＝3－2y .
1 2 1 2
因为点A，B在椭圆上，
所以
得y ＝m＋，
2
所以 x＝m－(3－2y )2＝－m2＋m－＝－(m－5)2＋4≤4，所以当 m＝5
2
时，
点B横坐标的绝对值最大，最大值为2.
10.已知椭圆的中心在原点，两焦点 F ，F 在x轴上，且过点A(－4，
1 2
3).若F A⊥F A，求椭圆的标准方程.
1 2
解 设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0).设焦点F (－c，0)，F (c，0)(c>0)，
1 2
∵F A⊥F A，∴F1A·F2A＝0.
1 2
而F1A＝(－4＋c，3)，F2A＝(－4－c，3)，
∴(－4＋c)·(－4－c)＋32＝0，
∴c2＝25，即c＝5，
∴F (－5，0)，F (5，0)，
1 2
∴2a＝|AF |＋|AF |＝＋
1 2
＝＋＝4，
∴a＝2，
∴b2＝a2－c2＝(2)2－52＝15.
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
11.已知F ，F 是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F PF ＝60°.
1 2 1 2
(1)求椭圆离心率的范围；
(2)求证：△F PF 的面积只与椭圆的短轴长有关.
1 2
(1)解 设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，|PF |＝m，|PF |＝n，则 m＋n＝
1 2
2a.
在△PF F 中，由余弦定理可知，
1 24c2＝m2＋n2－2mncos 60°＝(m＋n)2－3mn＝4a2－3mn≥4a2－
3·＝4a2－3a2＝a2(当且仅当 m＝n 时取等号)，∴≥，即 e≥.又
0b>0)的右焦点，
过 E 的下顶点 B 和 F 的直线与 E 的另一个交点为 A，若 4BF＝5FA，
则a＝________.
答案 3
解析 如图，设椭圆的左焦点为F′，则F′(－1，0).
连接AF′，BF′，则|BF|＝|BF′|＝a.
由4BF＝5FA，得|AF|＝.
由椭圆的定义可知，|AF′|＝2a－|AF|＝a，
设∠AFF′＝θ，则∠BFF′＝π－θ，
则cos θ＝
＝＝＝①，
而cos(π－θ)＝
＝＝②，
由①＋②得＋＝0，解得a＝3.
14.已知F ，F 是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为C上的点，
1 2
O为坐标原点.
(1)若△POF 为等边三角形，求C的离心率；
2
(2)如果存在点P，使得PF ⊥PF ，且△F PF 的面积等于16，求b的
1 2 1 2
值和a的取值范围.
解 (1)连接 PF .由△POF 为等边三角形可知在△F PF 中，∠F PF
1 2 1 2 1 2
＝90°，|PF |＝c，|PF |＝c，
2 1
于是2a＝|PF |＋|PF |＝(＋1)c，
1 2
故C的离心率为e＝＝－1.
(2)由题意可知，满足条件的点P(x，y)存在当且仅当|y|·2c＝16，
·＝－1，＋＝1，
即c|y|＝16，①
x2＋y2＝c2，②＋＝1.③
由②③及a2＝b2＋c2得y2＝.
又由①知y2＝，故b＝4.
由②③及a2＝b2＋c2得x2＝ (c2－b2)，
所以c2≥b2，从而a2＝b2＋c2≥2b2＝32，
故a≥4.
当b＝4，a≥4时，存在满足条件的点P，
所以b＝4，a的取值范围为[4，＋∞).
