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第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系
考试要求 1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定
两个圆的方程判断两圆的位置关系；2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；
3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.
1.直线与圆的位置关系
设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心C(a，b)到直线l的
距离为d，由
消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为Δ.
位置关系 相离 相切 相交
图形
方程观点 Δ<0 Δ＝0 Δ>0
量
化
几何观点 d>r d＝r d0，
所以r＝＋1或r＝－1.
6.(易错题)过点A(3，5)作圆O：x2＋y2－2x－4y＋1＝0的切线，则切线的方程为
________________.
答案 5x－12y＋45＝0或x－3＝0
解析 化圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0为标准方程得(x－1)2＋(y－2)2＝4，其圆心为
(1，2)，半径为2.
∵|OA|＝＝>2，
∴点A(3，5)在圆外.
显然，当切线斜率不存在时，直线与圆相切，即切线方程为x－3＝0.
当切线斜率存在时，可设所求切线方程为y－5＝k(x－3)，即kx－y＋5－3k＝0.
又圆心为(1，2)，半径r＝2，而圆心到切线的距离d＝＝2，
即|3－2k|＝2，∴k＝，
故所求切线方程为5x－12y＋45＝0或x－3＝0.
考点一 直线与圆的位置关系
1.若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是( )
A.[－3，－1]
B.[－1，3]
C.[－3，1]
D.(－∞，－3]∪[1，＋∞)
答案 C
解析 由题意可得，圆的圆心为(a，0)，半径为，∴≤，
即|a＋1|≤2，
解得－3≤a≤1.
2.(2022·成都诊断)直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是
( )
A.相交 B.相切C.相离 D.不确定
答案 A
解析 法一 (代数法)由
消去y，整理得(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0，因为Δ＝16m2＋20>0，所以直线l
与圆相交.
法二 (几何法)由题意知，圆心(0，1)到直线l的距离d＝<1<，故直线l与圆相交.
法三 易得直线l过定点(1，1)，
把点(1，1)代入圆的方程有1＋0<，
∴点(1，1)在圆的内部，故直线l与圆C相交.
3.“a＝3”是“直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8相切”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 A
解析 若直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8相切，则有＝2，
即|a＋1|＝4，所以a＝3或－5.
故“a＝3”是“直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8相切”的充分不必要条件.
感悟提升 判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法：利用d与r的关系.
(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断.
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交.
上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题.
考点二 圆的弦长问题
例1 (1)(2022·河南名校联考)已知圆C：(x－a)2＋y2＝4(a≥2)与直线x－y＋2－2＝
0相切，则圆C与直线x－y－4＝0相交所得弦长为( )
A.1 B. C.2 D.2
(2)已知圆x2＋y2－6x＝0，过点(1，2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为
( )
A.1 B.2 C.3 D.4答案 (1)D (2)B
解析 (1)根据题意，圆 C：(x－a)2＋y2＝4 的半径 r＝2.圆 C：(x－a)2＋y2＝
4(a≥2)与直线x－y＋2－2＝0相切，则圆心C到直线x－y＋2－2＝0的距离为
2，即＝2，解得a＝2或a＝2－4(舍去)，所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝4，则圆
心C(2，0)到直线x－y－4＝0的距离d＝＝，所以圆C与直线x－y－4＝0相交所
得弦长为2＝2.
(2)圆的方程可化为(x－3)2＋y2＝9，故圆心的坐标为C(3，0)，半径r＝3.
如图，记点M(1，2)，则当MC与直线垂直时，直线被圆截得的弦的长度最小，
此时|MC|＝2，
弦的长度l＝2＝2＝2.
感悟提升 弦长的两种求法
(1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程.在
判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长.
(2)几何方法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2.
训练1 (2022·南昌摸底测试)若直线x＋ay－a－1＝0与圆C：(x－2)2＋y2＝4交于
A，B两点，当|AB|最小时，劣弧AB的长为( )
A. B.π C.2π D.3π
答案 B
解析 圆C：(x－2)2＋y2＝4的圆心为C(2，0)，半径r＝2.直线的方程可化为x－
1＋a(y－1)＝0，可知直线恒过点D(1，1).
因为点D(1，1)的坐标满足(1－2)2＋12<4，
所以点D(1，1)恒在圆C内，且|CD|＝，
易知，当CD⊥AB时，|AB|取得最小值，且最小值为2＝2.
此时，劣弧AB对应的圆心角为，所以劣弧AB对应的弧长为×2＝π.
考点三 圆的切线问题
例2 (经典母题)过点P(2，4)引圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1的切线，则切线方程为________________.
答案 x＝2或4x－3y＋4＝0
解析 当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝2，此时，圆心到直线的距离等
于半径，直线与圆相切，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为 y－4
＝k(x－2)，即kx－y＋4－2k＝0.∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径，
即d＝＝＝1，解得k＝，
∴所求切线方程为x－y＋4－2×＝0，
即4x－3y＋4＝0.
综上，切线方程为x＝2或4x－3y＋4＝0.
迁移1 在例2中，若点P坐标变为，其他条件不变，求切线方程.
解 易知点P在圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1上，则k ＝＝1，∴所求切线方程的
PC
斜率为－1，则切线方程为y－＝－，即x＋y－－2＝0.
迁移2 在例2中，已知条件不变，设两个切点为A，B，求切点弦AB所在的直线
方程.
解 由题意得，点P，A，C，B在以PC为直径的圆上，此圆的方程为(x－2)(x－
1)＋(y－4)(y－1)＝0，
整理得x2＋y2－3x－5y＋6＝0.①
圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1展开得x2＋y2－2x－2y＋1＝0，②
由②－①得x＋3y－5＝0，即为直线AB的方程.
感悟提升 求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切
线方程.若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该
点的切线有两条，此时注意斜率不存在的切线.
训练2 (1)过直线y＝2x＋3上的点作圆C：x2＋y2－4x＋6y＋12＝0的切线，则切
线长的最小值为( )
A. B.2 C. D.
(2)(2021·晋中模拟)过点P(2，)作圆C：x2＋y2－2x＝0的两条切线，切点分别为
A，B，则PA·PB＝________.
答案 (1)A (2)
解析 (1)圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝1，要使切线长最小，只需直线 y＝
2x＋3上的点和圆心之间的距离最短，此最小值即为圆心(2，－3)到直线y＝2x＋3的距离d，d＝＝2，故切线长的最小值为＝.
(2)由x2＋y2－2x＝0得(x－1)2＋y2＝1，所以圆心C(1，0)，半径为1，所以|PC|＝
2，|PA|＝|PB|＝，∠APB＝60°，
所以PA·PB＝|PA||PB|cos 60°＝.
考点四 圆与圆的位置关系
例3 已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0，x2＋y2－10x－12y＋m＝0.
(1)m取何值时两圆外切？
(2)m取何值时两圆内切？
(3)当m＝45时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.
解 因为两圆的标准方程分别为
(x－1)2＋(y－3)2＝11，
(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，
所以两圆的圆心分别为(1，3)，(5，6)，半径分别为，，
(1)当两圆外切时，由＝＋，得m＝25＋10.
(2)当两圆内切时，因为定圆半径小于两圆圆心之间的距离 5，所以－＝5，解得
m＝25－10.
(3)由(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，得两圆的公共弦所在直
线的方程为4x＋3y－23＝0，
故两圆的公共弦的长为
2＝2.
感悟提升 1.判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与
两圆半径之间的关系，一般不采用代数法.
2.若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去 x2，y2项
得到.
训练3 (1)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，
则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是( )
A.内切 B.相交 C.外切 D.相离
(2)(2022·东北三省三校联考)圆x2－4x＋y2＝0与圆x2＋y2＋4x＋3＝0的公切线共
有( )
A.1条 B.2条C.3条 D.4条
答案 (1)B (2)D
解析 (1)由题意得圆M的标准方程为x2＋(y－a)2＝a2，圆心(0，a)到直线x＋y＝
0的距离d＝，所以2＝2，解得a＝2.
圆M，圆N的圆心距|MN|＝小于两圆半径之和1＋2，大于两圆半径之差1，故两
圆相交.
(2)x2－4x＋y2＝0 (x－2)2＋y2＝22，圆心坐标为(2，0)，半径为2；x2＋y2＋4x＋3
＝0 (x＋2)2＋y2＝12，圆心坐标为(－2，0)，半径为1，圆心距为4，两圆半径和
⇒
为3.
⇒
因为4>3，所以两圆的位置关系是外离，故两圆的公切线共有4条.
阿波罗尼斯圆
公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯(Apollonius)在《平面轨迹》一书中，
曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：
到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆.如图，点A，B为两定点，
动点P满足|PA|＝λ|PB|.
则λ＝1时，动点P的轨迹为直线；当λ>0且λ≠1时，动点P的轨迹为圆，后世
称之为阿波罗尼斯圆.
证明：设|AB|＝2m(m>0)，|PA|＝λ|PB|，以AB的中点为原点，直线AB为x轴，线
段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(图略)，
则A(－m，0)，B(m，0).
又设P(x，y)，则由|PA|＝λ|PB|得＝λ，
两边平方并化简整理得(λ2－1)x2－2m(λ2＋1)x＋(λ2－1)y2＝m2(1－λ2).
当λ＝1时，x＝0，轨迹为线段AB的垂直平分线；
当λ>0且λ≠1时，＋y2＝，轨迹为以点为圆心，为半径的圆.
例1 如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，直线l：y＝2x－4，设圆
C的半径为1，圆心在l上.(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；
(2)若圆C上存在点M，使|MA|＝2|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围.
解 (1)联立得圆心为C(3，2).
由题意知切线的斜率存在，设切线方程为y＝kx＋3，
圆心C到切线的距离d＝＝r＝1，得k＝0或k＝－.
故所求切线方程为y＝3或3x＋4y－12＝0.
(2)设点M(x，y)，由|MA|＝2|MO|，
知＝2，
化简得x2＋(y＋1)2＝4，
即点M的轨迹为以(0，－1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D.
又因为点M也在圆C上，故圆C与圆D的关系为相交或相切，
故1≤|CD|≤3，
其中|CD|＝，
解得0≤a≤.
即圆心C的横坐标a的取值范围是.
例2 在平面直角坐标系xOy中，设点A(1，0)，B(3，0)，C(0，a)，D(0，a＋2)，
若存在点P，使得|PA|＝|PB|，|PC|＝|PD|，则实数a的取值范围是________.
答案 [－2－1，2－1]
解析 设P(x，y)，
则＝·，
整理得(x－5)2＋y2＝(2)2，即动点P在以(5，0)为圆心，2为半径的圆上运动.
另一方面，由|PC|＝|PD|知动点P在线段CD的垂直平分线y＝a＋1上运动，因
而问题就转化为直线y＝a＋1与圆(x－5)2＋y2＝(2)2有交点.
所以|a＋1|≤2.
故实数a的取值范围是[－2－1，2－1].1.(2022·兰州质检)“k＝”是“直线l：y＝k(x＋2)与圆x2＋y2＝1相切”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 A
解析 若直线l与圆相切，则有＝1，解得k＝±，所以“k＝”是“直线l：y＝k(x
＋2)与圆x2＋y2＝1相切”的充分不必要条件.
2.(2021·福州调研)已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得的弦的长
度为4，则实数a的值是( )
A.－2 B.－4 C.－6 D.－8
答案 B
解析 将圆的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a，所以圆心为(－1，
1)，半径r＝，圆心到直线x＋y＋2＝0的距离d＝＝，故r2－d2＝4，即2－a－2
＝4，所以a＝－4.
3.圆x2＋2x＋y2＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为的点共有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
答案 C
解析 圆的方程可化为(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，圆心(－1，－2)到直线的距离d＝
＝，半径是2，结合图形(图略)可知有3个符合条件的点.
4.(2021·南昌模拟)已知圆O：(x－1)2＋(y－1)2＝1，则下列选项所对应的图形中，
与圆O相切的是( )
A.x2＋y2＝1
B.(x－4)2＋(y－5)2＝16
C.x＋y＝1
D.x－y＝2
答案 B解析 圆O：(x－1)2＋(y－1)2＝1的圆心坐标为(1，1)，半径r＝1.
对于选项A，x2＋y2＝1表示的是圆心坐标为(0，0)，半径r ＝1的圆，此圆与圆
1
O的圆心距为＝1，故直线x－y＝2与圆O相
离.
5.过点P(1，－2)作圆C：(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则AB
所在直线的方程为( )
A.y＝－ B.y＝－
C.y＝－ D.y＝－
答案 B
解析 由题意知，点P，A，C，B在以PC为直径的圆上，
易求得这个圆为(x－1)2＋(y＋1)2＝1，
此圆的方程与圆C的方程作差可得AB所在直线的方程为y＝－.
6.(2022·宜宾诊断)已知直线l：y＝x＋m与圆C：x2＋(y－3)2＝6相交于A，B两点，
若∠ACB＝120°，则实数m的值为( )
A.3＋或3－ B.3＋2或3－2
C.9或－3 D.8或－2
答案 A
解析 由题意知圆心C(0，3)到直线l的距离d＝＝.
因为∠ACB＝120°，所以×2＝，解得m＝3±.
7.已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于
点A(－2，－1)，则m＝________，r＝________.
答案 －2
解析 根据题意画出图形，可知A(－2，－1)，C(0，m)，B(0，3)，则|AB|＝＝2，
|AC|＝＝，
|BC|＝|m－3|.
∵直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A，
∴∠BAC＝90°，
∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2.
即20＋4＋(m＋1)2＝(m－3)2，解得m＝－2.
因此r＝|AC|＝＝.
8.(2021·长春模拟)已知点P(1，2)和圆C：x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，过点P作圆C
的切线有两条，则实数k的取值范围是________.
答案
解析 因为C：x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0为圆，
所以k2＋4－4k2>0，解得－0，解得k∈R，
综上可知－0，∴k＝1，
∴直线l的方程为y＝x＋1.
12.(2022·宝鸡模拟)过点P(x，y)作圆C ：x2＋y2＝1与圆C ：(x－2)2＋(y－2)2＝1
1 2
的切线，切点分别为A，B，若|PA|＝|PB|，则x2＋y2的最小值为( )
A. B.2 C.2 D.8
答案 B
解析 由(x2＋y2－1)－(x2＋y2－4x－4y＋7)＝0得x＋y－2＝0，则P点在直线l：x
＋y－2＝0上，原点到直线l的距离d＝，所以(x2＋y2) ＝d2＝2.
min
13.(2022·南阳联考)阿波罗尼斯(约公元前262～公元前190年)证明过这样一个命
题：平面内到两定点距离之比为常数k(k>0，且k≠1)的点的轨迹是圆，后人将此
圆称为阿氏圆.若平面内两定点A，B间的距离为4，动点P满足＝，则动点P的
轨迹所围成的图形的面积为________；PA·PB的最大值是________.
答案 12π 24＋16
解析 以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，
则A(－2，0)，B(2，0).
设P(x，y)，∵＝，
∴＝，
得x2＋y2－8x＋4＝0，
即(x－4)2＋y2＝12，所以点P的轨迹为圆，其面积为12π.
PA·PB＝(－2－x，－y)·(2－x，－y)＝x2－4＋y2＝|OP|2－4，
如图，当P位于点D时，|OP|2最大，|OP|2的最大值为(4＋2)2＝28＋16，
故PA·PB的最大值是24＋16.
14.(2021·北京海淀区模拟)已知A(2，0)，直线4x＋3y＋1＝0被圆C：(x＋3)2＋(y
－m)2＝13(m<3)所截得的弦长为4，且P为圆C上任意一点.
(1)求|PA|的最大值与最小值；
(2)圆C与坐标轴相交于三点，求以这三个点为顶点的三角形的内切圆的半径.
解 (1)∵直线4x＋3y＋1＝0被圆C：(x＋3)2＋(y－m)2＝13(m<3)所截得的弦长为
4，
∴圆心到直线的距离
d＝＝＝1.
∵m<3，∴m＝2，
∴|AC|＝＝，
∴|PA|的最大值与最小值分别为＋，－.
(2)由(1)可得圆C的方程为(x＋3)2＋(y－2)2＝13，令x＝0，得y＝0或4；
令y＝0，得x＝0或－6，
∴圆C与坐标轴相交于三点M(0，4)，O(0，0)，N(－6，0)，
∴△MON为直角三角形，斜边|MN|＝2，
∴△MON内切圆的半径为＝5－.
