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专题14：正余弦定理与解三角形小题归类（解析版）
目录
一、热点题型归纳
【题型一】正余弦定理................................................................................................................................2
【题型二】求角............................................................................................................................................3
【题型三】判断三角形形状........................................................................................................................4
【题型四】面积与最值................................................................................................................................6
【题型五】周长与最值................................................................................................................................8
【题型六】角的最值....................................................................................................................................9
【题型七】最值.......................................................................................................................................... 11
【题型八】切弦互化求最值......................................................................................................................12
【题型九】解三角形应用题......................................................................................................................14
二、真题再现..............................................................................................................错误！未定义书签。
三、模拟检测..............................................................................................................错误！未定义书签。
正余弦定理
(1)正弦定理：a
sin A＝b
sin B＝
c
sin C＝2R，其中R 为外接圆半径；
注意：正弦定理变式与性质：
①边化正弦：a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C；②正弦化边：sin A＝a
2R，sin B＝b
2R，sin C＝c
2R；
③a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；
④
a＋b＋c
sin A＋sin B＋sin C
＝
2R
；
(2)余弦定理：①a2＝b2＋c2－2bccos_A；
②b2＝c2＋a2－2cacos_B；
③c2＝a2＋b2－2abcos_C
注意：变式：①cos A＝b2＋c2－a2
2bc
；
②cos B＝c2＋a2－b2
2ac
；
③cos C＝a2＋b2－c2
2ab
(3)三角形面积：①S△ABC＝1
2absin C＝1
2bcsin A＝1
2acsin B＝abc
4R
②S△ABC＝1
2(a＋b＋c)·r(r 是切圆的半径)
三角形中：
①sin(A＋B)＝sinC，cos(A＋B)＝－cosC；
②sin A＋B
2
＝cos C
2，
cosA＋B
2
＝sinC
2；
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③三角形中，任何一个角的正弦值恒大于0；
④a>b⇔A>B⇔sin A>sin B⇔cosA＜cosB．
【题型一】正余弦定理
【典例分析】
（2022·上海市松江一中高三阶段练习）在ABC
中，a 、b 、c分别是角A 、B 、C 所对的边，B 是A 、C 的等差中项，
则a
c
与2b 的大小关系是（
）
A．
2
a
c
b
B．
2
a
c
b
C．
2
a
c
b
D．
2
a
c
b
【答案】D
【分析】根据等差中项的性质及内角和的性质求出B ，再由余弦定理及基本不等式计算可得.
【详解】解：依题意，在ABC
中B 是A 、C 的等差中项，所以
2
A+C = B ，
又A
C
B
，所以
3
B
，由余弦定理
2
2
2
2
cos
b
a
c
ac
B
2
2
2
2
2
2
3
3
a
c
ac
a
c
ac
ac
a
c
ac
，
又
2
2
a
c
ac
，当且仅当a
c
时取等号，所以
2
3
3
2
a
c
ac
，
所以
2
2
2
2
1
3
3
2
4
a
c
a
c
ac
a
c
a
c
，即
2
2
1
4
b
a
c
，即
2
2
4b
a
c
，所以
2
a
c
b
；
故选：D
【提分秘籍】
基本规律
正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：
（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；
（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；
（3）证明化简过程中边角互化；
（4）求三角形外接圆半径.
【变式演练】
1..（2022·江西·丰城九中高三开学考试（文））已知ABC
的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且6
5
6 cos
a
c
b
C
，
则cos B （
）
A．7
8
B．5
6
C．3
4
D．2
3
【答案】B
【分析】根据题意，利用正弦定理边化角，由三角形内角和定理，展开化简得cos B ．
【详解】由6
5
6 cos
a
c
b
C
，边化角得6sin
5sin
6sin
cos
A
C
B
C
，
又
sin
sin
A
B
C
，所以
6sin
5sin
6sin
cos
B
C
C
B
C
，
展开得6sin
cos
6cos
sin
5sin
6sin
cos
B
C
B
C
C
B
C
，
所以6cos
sin
5sin
B
C
C
，
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因为sin
0
C
，所以
5
cos
6
B
．故选：B．
2.（2023·全国·高三专题练习）在ABC
中，
60 ,
3,
90
C
AC
B
，则b
a 的可能取值为（
）
A．2
3
B．4
3
C．5
3
D．7
3
【答案】D
【分析】通过正弦定理将所求表达式表示为关于A 的三角函数，求出范围即可得结果.
【详解】因为
60 ,
3,
90
C
AC
B
，
所以0
30
A
，
3
0
tan
3
A
，即得
1
3
tan A
，由正弦定理可得
1
3
sin
cos
sin
sin
1
3
1
2
2
2
sin
sin
sin
2
2
tan
A
A
A
C
b
B
a
A
A
A
A
，则b
a 的可能取值为7
3 ，故选：D.
3.面积（无最值型）
【题型二】求角
【典例分析】
（2022·山西吕梁·三模（文））在ABC
中，内角, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，若
,
6
b
c
b
c
ac C
，则B （
）
A．6
B．3
C．2
D．2
3
【答案】B
【分析】由
2
2
b
c
ac
结合余弦定理以及正弦定理的边化角公式得出sin
2sin cos
sin
A
C
B
C
，再由内角和定理以及三
角恒等变换得出B .
【详解】由
b
c
b
c
ac
得
2
2
b
c
ac
，
结合余弦定理
2
2
2
2
cos
b
a
c
ac
B
，可得
2 cos
a
c
B
c
，
再由正弦定理得sin
2sin cos
sin
A
C
B
C
，因为
sin
2sin cos
sin
2sin cos
sin
A
C
B
B
C
C
B
B
C
，
所以
sin
sin
B
C
C
，所以B
C
C
，得
2
B
C
．
因为
6
C
，所以
3
B
．
故选：B
【提分秘籍】
基本规律
1.构造正余弦定理，特别是余弦定理。
2.要主语三角形中条件，判定是锐角还是钝角。
【变式演练】
1.（2022·全国·高三专题练习）已知在ABC
中，
30 ,
2,
1
B
a
b
，则A 等于（
）
A．45
B．135
C．45或135
D．120
【答案】C
【分析】根据正弦定理，结合三角形中的边角关系，即可求得答案.
【详解】由正弦定理sin
sin
a
b
A
B
,得
1
2
sin
2
2
sin
1
2
a
B
A
b
，
因为
2
1,
(0,π)
a
b
A
，故
45
A
o 或135，
故选：C
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2.（2022·全国·高三专题练习）在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别是a，b，c，已知
2
2
4 3S
a
b
c
，则sin
4
C
（
）
A．
6
2
4
B．
6
2
4
C．
2
2
D．1
【答案】A
【分析】根据三角形面积公式及余弦定理化简条件求角C ，由此可求sin
4
C
.
【详解】因为
2
2
4 3S
a
b
c
，又
in
1
2
s
S
ab
C
，所以
2
2
2
2 3
sin
2
ab
C
ab
a
b
c
，
所以
2
2
2
3 sin
1
2
a
b
c
C
ab
，又
2
2
2
cos
2
a
b
c
C
ab
，所以
3 sin
cos
1
C
C
，所以
1
sin
6
2
C
，又
0,
C
，
所以
3
C
，所以
6
2
sin
=sin
sin
cos
cos
sin
4
3
4
3
4
3
4
4
C
，
所以
6
2
sin
4
4
C
，故选：A.
3.（2023·全国·高三专题练习）已知ABC
的内角, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，设
2
2
(sin
sin
)
sin
(2
2)sin
sin
B
C
A
B
C
，
2 sin
2sin
0
A
B
，则sinC （
）
A．
1
2
B．
3
2
C．
6
2
4
D．
6+ 2
4
【答案】C
【分析】根据给定条件利用正弦定理角化边，求出角A，再求出角B 即可计算作答.
【详解】在ABC
中，由
2
2
(sin
sin
)
sin
(2
2)sin
sin
B
C
A
B
C
及正弦定理得：
2
2
(
)
(2
2)
b
c
a
bc
，
即
2
2
2
2
b
c
a
bc
，由余弦定理得：
2
2
2
2
cos
2
2
b
c
a
A
bc
，而0
180
A
，解得
135
A
，
由
2 sin
2sin
0
A
B
得
2
1
sin
sin
2
2
B
A
，显然0
90
B
，则
30
B
，
15
C
，
所以
6
2
sin
sin(60
45 )
sin 60 cos45
cos60 sin 45
4
C
.
故选：C
【题型三】判断三角形形状
【典例分析】
（2023·全国·高三专题练习）在ABC
中，A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若
2
2
2
2
a
b
c
bc
且cos
sin
b
C
a
B ，
则ABC
是（
）
A．等腰直角三角形
B．等边三角形
C．等腰三角形
D．直角三角形
【答案】A
【分析】由
2
2
2
2
a
b
c
bc
结合余弦定理可求得
π
4
A
，由cos
sin
b
C
a
B 结合正弦定理可求得
π
4
C
，从而可判断
出三角形的形状
【详解】由
2
2
2
2
a
b
c
bc
，得
2
2
2
2
b
c
a
bc
，
所以由余弦定理得
2
2
2
2
2
cos
2
2
2
b
c
a
bc
A
bc
bc
，
因为
(0,π)
A
，
所以
π
4
A
，
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因为cos
sin
b
C
a
B ，
所以由正弦定理得sin
cos
sin
sin
B
C
A
B
，
因为sin
0
B
，所以
π
2
cos
sin
sin 4
2
C
A
，
因为
(0,π)
C
，所以
π
4
C
，
所以
π
π
π
π
π
4
4
2
B
A
C
,
所以ABC
为等腰直角三角形，
故选：A
【提分秘籍】
基本规律
利用正余弦定理判断：
边化角或者角化边，转化为边的勾股或者相等，或者求角度相等（互余）
【变式演练】
1.
.(2021·广东·高三阶段练习）在△ABC 中，角A、B、C 所对的边分别为a、b、c，且
2
2
2
b
c
a
bc
，若
2
sin
sin
sin
B
C
A
，
则△ABC 的形状是（
）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
【答案】C
【分析】先依据条件
2
2
2
b
c
a
bc
求得
π
3
A
，再利用
2
sin
sin
sin
B
C
A
可以求得b
c
，从而判断△ABC 的形状是等
边三角形
【详解】△ABC 中，
2
2
2
b
c
a
bc
，则
2
2
2
1
cos
2
2
2
b
c
a
bc
A
bc
bc
又0
π
A
，则
π
3
A
由
2
sin
sin
sin
B
C
A
，可得
2
a
bc
，代入
2
2
2
b
c
a
bc
则有
2
2
2
b
c
bc
bc
bc
，则
2
0
b
c
，则b
c
又
π
3
A
，则△ABC 的形状是等边三角形故选：C
2.（2023·全国·高三专题练习）在ABC
中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c，若cos
cos
a
b
A
B
，
2
2
2
c
a
b
ab
，
则ABC
是（
）
A．钝角三角形
B．等边三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】利用正余弦定理可确定边角关系，进而可判定三角形形状.
【详解】在ABC
中，由正弦定理得sin
sin
a
b
A
B
，而cos
cos
a
b
A
B
，∴sin
sin
cos
cos
A
B
A
B
，即tan
tan
A
B
，
又∵A 、B 为ABC
的内角，∴A
B
，又∵
2
2
2
c
a
b
ab
，∴
2
2
2
ab
a
b
c
，
∴由余弦定理得：
2
2
2
1
cos
2
2
a
b
c
C
ab
，∴
3
C
，∴ABC
为等边三角形.故选：B.
3.（2023·全国·高三专题练习）已知三角形ABC，则“
2
2
2
cos
cos
cos
1
A
B
C
”是“三角形ABC 为钝角三角形”的（
）
条件.
A．充分而不必要
B．必要而不充分
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C．充要
D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】利用同角的三角函数的基本关系式、正余弦定理可判断两个条件之间的推出关系，从而可得正确的选项.
【详解】因为
2
2
2
cos
cos
cos
1
A
B
C
，故
2
2
2
1 sin
1 sin
1 sin
1
A
B
C
，
故
2
2
2
sin
sin
sin
C
A
B
，故
2
2
2
c
a
b
，
故
2
2
2
cos
0
2
a
b
c
C
ab
，而C 为三角形内角，故C 为钝角，
但若三角形ABC 为钝角三角形，比如取
2
,
6
3
C
B
A
，
此时
2
2
2
1
cos
cos
cos
1
4
A
B
C
，故
2
2
2
cos
cos
cos
1
A
B
C
不成立，
故选：A.
【题型四】面积与最值
【典例分析】
（2021·江苏·高三课时练习）在锐角三角形ABC 中,若
3 sin
cos
2
B
B
，且满足关系式cos
cos
sin
sin
3sin
B
C
A
B
b
c
C
，则
ABC
的面积的最大值为（
）
A．
3
B．2 3
C．3 3
D．4 3
【答案】C
【分析】由
3 sin
cos
2
B
B
结合同角三角函数基本关系，可求出B，根据正余弦定理由cos
cos
sin
sin
3sin
B
C
A
B
b
c
C
可
得b,再利用余弦定理及均值不等式求ac 最大值，代入面积公式即可.
【详解】由
3 sin
cos
2
B
B
得cos
2
3 sin
B
B
,所以
2
2
2
1
cos
sin
4
4sin
4 3sin
B
B
B
B
，
即
2
(2sin
3)
0
B
,解得
3
sin
2
B
,由锐角三角形知
3
B
,
cos
cos
sin
sin
3sin
B
C
A
B
b
c
C
Q
，
2
2
2
2
2
2
2
2
2 3
a
c
b
a
b
c
a
abc
abc
c
，即
2
2
2
2 3
a
a
abc
c
，得
2 3
b
，
2
2
2
2
12
6
cos
1
2
2
a
c
b
ac
B
ac
ac
ac
，当且仅当a
c
时等号成立，解得
12
ac
，
1
1
3
sin
12
3 3
2
2
2
ABC
S
ac
B
,当且仅当a
c
时等号成立，故选：C
【提分秘籍】
基本规律
多使用均值不等式来放缩求最值范围
【变式演练】
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1.（2020·全国·高三课时练习）在ABC
中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，
2 2
b
且ABC
面积为
2
2
2
3 (
)
12
S
b
a
c
，则ABC
面积S 的最大值为(
)
A．2
3
B．4
2 3
C．8
4 3
D．16
8 3
【答案】B
【解析】由已知利用三角形的面积公式可求tan B ，可得cos B ，sin B 的值，由余弦定理，基本不等式可求
8(2
3)
ac
-
，
根据三角形的面积公式即可求解其最大值．
【详解】解：
2
2
2
3
3
1
(
)
( 2
cos )
sin
12
12
2
S
b
a
c
ac
B
ac
B
，
3
tan
3
B
，
5
6
B
，
3
cos
2
B
，
1
sin
2
B
，
又
2 2
b
，由余弦定理可得：
2
2
8
3
(2
3)
a
c
ac
ac
.
，
8
8(2
3)
2
3
ac
-
，
当且仅当a
c
时取等号，
1
1
1
sin
8(2
3)
4
2 3
2
2
2
ABC
S
ac
B
-
．
面积S 的最大值为4
2 3
．故选：B ．
2.（2023·全国·高三专题练习）在△ABC 中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若
2
2
a
b
kab
，则△ABC 的面积
为
2
2
c 时，k 的最大值是（
）
A．2
B．5
C．4
D．2 5
【答案】B
【分析】由三角形的面积公式，可得
2
sin
c
ab
C
，
根据余弦定理，可得
2
2
sin
2
cos
a
b
ab
C
ab
C
，
则整理出以k 为函数值的三角函数，根据三角函数的性质，可得k 的最值.
【详解】由题意得
2
1
sin
2
2
ABC
c
S
ab
C
，所以
2
sin
c
ab
C
，
又因为
2
2
2
2
cos
c
a
b
ab
C
，所以
2
2
2
2
cos
sin
2
cos
a
b
c
ab
C
ab
C
ab
C
，
所以
2
2
sin
2cos
5 sin
a
b
k
C
C
C
ab
，其中tan
2
，且
0
k
，
所以k 的取值范围为0, 5，故选：B.
3.（2023·全国·高三专题练习）在ABC
中，角A，B，C 所对应的边分别为a，b，c，若
8,sin
2sin
cos
0
ac
B
C
A
，
则ABC
面积的最大值为(
)
A．1
B．3
C．2
D．4
【答案】C
【分析】根据sin
2sin
cos
0
B
C
A
利用三角恒等变换和正余弦定理得到
2
2
2
2b
a
c
，再根据余弦定理和基本不等式
可得cosB 的范围，由此得B 的范围，从而得到sinB 的最大值，从而根据
1
sin
2
ABC
S
ac
B
可求△ABC 面积的最大值．
【详解】
sin
2sin cos
0
B
C
A
，
sin
2sin cos
0
A
C
C
A
，即sin
cos
cos
sin
2sin
cos
0
A
C
A
C
C
A
，
即sin cos
3cos
sin
0
A
C
A
C
，则
2
2
2
2
2
2
3
0
2
2
b
a
c
b
c
a
a
c
ab
bc
，理得
2
2
2
2b
a
c
，
∴
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
2 3
3
2
cos
2
2
4
4
2
a
c
a
c
a
c
b
a
c
ac
B
ac
ac
ac
ac
.
，
当且仅当�2 = 3�2 ⇔�=
8
3, �=
8 3时取等号，
π
1
0
sin
6
2
B
B
，，
-
，
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则
1
1
1
sin
8
2
2
2
2
ABC
S
ac
B
-
．故选：C．
【题型五】周长与最值
【典例分析】
（2022·全国·高三专题练习）在ABC
中，角, ,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c ，若
3
sin
cos
6
2
A
A
，
4
b
c
，则
ABC
周长的取值范围是（
）
A．
6,8
B．
6,8
C．
4,6
D．
4,6
【答案】A
【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简已知可得
3
3
2
sin A
（
）
，结合A 的范围可求A ，再由余弦定理求得
2
16
3
a
bc
，再由基本不等式，求得bc 的范围，即可得到a 的范围，进而可求周长的范围．
【详解】∵
3
sin
6
2
A
cos A
，
3
1
3
2
2
2
sinA
cosA
sinA
，
可得：
3
3
2
sin A
（
）
，
4
0
3
3
3
A
A
（，），
（
，
），
2
3
3
A
，解得
3
A
，∵
4
b
c
，
∴由余弦定理可得
2
2
2
2
2
2
16
3
a
b
c
bccosA
b
c
bc
bc
bc
（
）
，
∵由
4
b
c
，
2
b
c
bc
，得0
4
bc
＜
，∴
2
4
16
a
＜
，即2
4
a
＜．
∴ABC
周长
4
[6 8
L
a
b
c
a
，）．故选：A．
【提分秘籍】
基本规律
注意条件合理的分析转化
1.角与对边型：正弦定理
2.对称边，可以余弦定理+均值不等式
【变式演练】
1.在ABC
中，角, ,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c ，若sin�+ ���(�+
�
6 ) =
3
2 ，�+ �= 4，则ABC
周长的取值范围是
A．[6,8)
B．[6,8]
C．[4,6)
D．(4,6]
【答案】A
【分析】
利用三角函数恒等变换的应用化简已知可得���（�+
�
3 ）=
3
2 ，结合A 的范围可求A ，再由余弦定理求
得�2 = 16 −3��，再由基本不等式，求得��的范围，即可得到a 的范围，进而可求周长的范围．
【详解】
∵sin�+ ���(�+
�
6 ) =
3
2 ，∴����+
3
2 ����−
1
2 ����=
3
2 ，
可得：���（�+
�
3 ）=
3
2 ，
∵�∈（0，�），�+
�
3 ∈（
�
3 ，
4�
3 ），∴�+
�
3 =
2�
3 ，解得�=
�
3，
∵�+ �= 4，
∴由余弦定理可得�2 = �2 + �2 −2������= （�+ �）
2 −2��−��= 16 −3��，
∵由�+ �= 4，�+ �≥2 ��，得0＜��≤4，∴4 ≤�2＜16，即2 ≤�＜4．
∴ABC
周长�= �+ �+ �= �+ 4 ∈[6，8）．故选A．
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2.（2022·贵州遵义·高三开学考试（文））在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若
sin
sin
2
B
C
b
a
B
，
2
a
，则△ABC 周长的最大值为________．
【答案】3 2
【分析】根据正弦定理，结合三角恒等变换可得
3
A
，再根据余弦定理与基本不等式求解周长最大值即可.
【详解】由正弦定理，sin
sin
2
B
C
b
a
B
即sin
sin
sin
sin
2
2
A
B
A
B
，又sin
0
B
，故sin
sin
2
2
A
A
，即
cos
sin
2
A
A
.
由二倍角公式有cos
2sin
cos
2
2
2
A
A
A
，因为
0,
2
2
A
，故cos
0
2
A
，所以
1
sin 2
2
A
，所以2
6
A
，即
3
A
.
由余弦定理
2
2
2
2
2
cos 3
b
c
bc
，结合基本不等式有
2
2
2
2
3
3
2
b
c
b
c
bc
b
c
，即
2
1
2
4 b
c
，
2
8
b
c
，故
2 2
b
c
，当且仅当
2
b
c
时取等号.
故△ABC 周长的最大值为a
b
c
的最大值为
2
2 2
3 2
.
故答案为：3 2
3.（2022·全国·高三专题练习）在三角形ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若
sin
3cos
2
2
A
B
a
b
，则
该三角形周长的最大值为___________.
【答案】3 6
2
【分析】利用正弦定理化简式子，求出tan B 的值，进而求出B 的大小，由余弦定理结合基本不等式即可求出
6
a
c
，
即可求出三角形周长的最大值.
【详解】由正弦定理变形有：sin
sin
A
B
a
b
，又因为sin
3cos
2
2
A
B
a
b
，所以
3 cos
sin
B
B
，则tan
3,
3
B
B
，
又因为
3 cos
2
2
B
b
，所以
1
2 3
2 3 cos
6
2
2
2
2
B
b
，
又因为
2
2
2
2
2
2
2
1
2
cos
3
3
4
4
a
c
b
a
c
ac
B
a
c
ac
a
c
a
c
，
所以
2
2
6
4
4
6
6
4
a
c
b
a
c
，当且仅当“a
c
”时取等.
则该三角形周长的最大值为
6
3 6
6
2
2
a
b
c
.
故答案为：3 6
2
.
【题型六】角的最值
【典例分析】
（2022·全国·高三专题练习（理）（文））已知△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若2csin C＝(a＋b)(sin B
－sin A)，则当角C 取得最大值时，B＝（
）
A．3
B．6
C．2
D．2
3
【答案】D
【分析】利用正弦定理化简已知条件，结合余弦定理与基本不等式求得C 的最大值，再通过三角形的形状，即可求得
此时对应的B .
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【详解】由正弦定理得2c2＝(a＋b)(b－a)，即b2－a2＝2c2．
又cos C＝
2
2
2
2
a
b
c
ab
＝
2
2
3
4
a
b
ab
≥
2
2
2 3
4
a b
ab
＝
3
2
.
当且仅当3a2＝b2，即b＝
3 a 时，cos C 取到最小值
3
2
，从而角C 取到最大值6
.
当b＝
3 a 时，3a2－a2＝2c2，则a＝c．
所以A＝C＝6
，从而B＝π－A－C＝2
3 π．
故选：D .
【提分秘籍】
基本规律
注意角度范围与三角形条件之间的限制关系
【变式演练】
1.（2022·安徽淮南·一模（文））在ABC
中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，若函数
3
2
2
2
1
2
3
f x
x
bx
a
c
ac x
无极值点，则角B 的最大值是（
）
A．3
4
B．2
C．4
D．6
【答案】A
【分析】由题知
2
2
2
2
2
0
f
x
x
bx
a
c
ac
无解或有两个相等的解，即
2
2
2
2
4
2
0
b
a
c
ac
，再由
余弦定理得角B 的范围．
【详解】解：因为
3
2
2
2
1
2
3
f x
x
bx
a
c
ac x
无极值点，
所以
2
2
2
2
2
0
f
x
x
bx
a
c
ac
无解或有两个相等的解，
所以
2
2
2
2
4
2
0
b
a
c
ac
，
所以
2
2
2
2
cos
2
2
a
c
b
B
ac
，因为
0,
B
，所以
3
0
4
B
．故选：A2.
2.（2022·全国·江西师大附中模拟预测（文））在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c．若2 sin
sin
sin
a
A
c
C
b
B
，
则角A 的最大值为（
）
A．π
6
B．π
4
C．π
3
D．2π
3
【答案】A
【分析】根据正弦定理先将角化边，再运用余弦定理和基本不等式得到cos A的范围进而得到最后的结果
【详解】因为2 sin
sin
sin
a
A
c
C
b
B
所以
2
2
2
2a
c
b
，进而可得
2
2
2
2a
b
c
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1 (
)
3
2
cos
2
2
4
b
c
b
c
b
c
a
b
c
A
bc
bc
bc
因为
2
2
2
2
3
2 3
2 3
b
c
b c
bc
，当且仅当
3
b
c
时等号成立
所以
2 3
3
cos
4
2
bc
A
bc
又因为
(0, )
A
所以角A 的最大值为6
故选：A
3.已知锐角△ABC 中,角、、
A
B
C 对应的边分别为a
b
c
、、,△ABC 的面积
2
2
2
3
12
S
a
b
c
,若24
)
tan
bc
a
b
B
（
,
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则c的最小值是
A．
3
B．3 3
4
C．2 3
3
D．
3
2
【答案】C
【详解】
分析：利用余弦定理列出关系式，代入已知等式中，并利用三角形面积公式化简求出C 的度数，再对24
)
tan
bc
a
b
B
（
进行化简整理，最后利用基本不等式求得.
详解：
2
2
2
3
3
1
cos
sin
12
6
2
S
a
b
c
ab
C
ab
C
，即
3
tan
3
C
，
6
C
.
又A B C
，
5
6
A
B
,又△ABC 为锐角三角形，
0
2
5
0
6
2
B
B
，解得3
2
B
，
tan
3,
B
，又24
)
tan
bc
a
b
B
（
，
5
sin
24
24
6
tan
24
24
24
24
24
24
sin
sin
B
bc
a
a
sinA
B
c
c
c
b
b
B
B
，
即
1
3
tan
24
24 2tan
2
B
c
B
12
12
24
12 3
tan
2 tan
4 3
tan
tan
c
B
B
B
B
，当且仅当
12
tan
tan
B
B
，即
tan
2 3
B
时取等.
24
12 3
4 3
c
，解得
2 3
3
c
.故选C.
【题型七】最值
【典例分析】
在ABC
中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c，已知
6
B
且
1
ABC
S
△
，则
2
2
a
c
ca
c
ac
a
的最小值为（
）
A．
1
2
B．2
C．1
4
D．4
四川省成都市成都市石室中学2020-2021 学年高三下学期期中数学试题
【答案】A
【分析】由
1
sin
2
ABC
S
ac
B
△
可解得
4
ac
，结合基本不等式，知
2
4
a
c
ac
.
；经过变形化简可将原式整理为
2
2
2
(
)
2
(
)
a
c
a
c
ac
ca
c
ac
a
ac a
c
，令t
a
c
，则
[4
t
，
)
，
2
8
1
8
( )
(
)
4
4
t
f t
t
t
t
，结合函数的单调性即可得解．
【详解】由
1
sin
2
ABC
S
ac
B
△
可知，
1
1
1
2
2
ac
，解得
4
ac
，由基本不等式得，
2
2 4
4
a
c
ac
.
．
2
2
2
2
2
(
)
2
(
)
(
)
(
)
(
)
a
c
a
c
a
c
a
c
ac
ca
c
ac
a
c a
c
a c
a
ac a
c
ac a
c
，
令t
a
c
，则
[4
t
，
)
，
2
2
2
8
1
8
( )
(
)
4
4
a
c
t
f t
t
ca
c
ac
a
t
t
，在[4 ，
)
上单调递增，
( )min
f t
f
（4）
1
2
，即
2
2
a
c
ca
c
ac
a
的最小值为
1
2 ．
故选：A ．
【提分秘籍】
基本规律
求最值时，涉及到角度范围的限制
1.钝角或者锐角三角形限制
2.其他条件限制（如已知某角）
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【变式演练】
1..锐角△ABC 中，角A、B、C 所对的边分别为a、b、c，若2sinA(acosC + ccosA) =
3a，则
c
b的取值范围是（
）
A．(
1
2 , 2)
B．(
3
3 ,
2 3
3 )
C．(1,2)
D．(
3
2 , 1)
【答案】B
【分析】根据正弦定理，结合2sinA(acosC + ccosA) =
3a 可求得角B．又由三角形为锐角三角形，求得角C 的取值
范围，即可求解．
【详解】由正弦定理得，2sinA(sinAcosC + sinCcosA) =
3sinA ⇒sin(A + C) =
3
2 ⇒B =
π
3
又∵A, C ∈0,
π
2 ∴
π
6 < C <
π
2 ⇒
1
2 < sinC < 1 ⇒
c
b =
sinC
sinB =
2 3
3 sinC ∈(
3
3 ,
2 3
3 ) 故选B.
2.在锐角ABC
中，�= 2�，则
��
��的取值范围是
A．−1,3
B．1,3
C．( 2,
3)
D．1,2
【答案】D
【分析】根据在锐角ABC
中，每个角都是锐角确定B 的范围，利用正弦定理以及三倍角的正弦公式，化简表达式，求
出范围即可.
【详解】在锐角ABC
中，{
0 < 2∠�<
�
2
0 < ∠�<
�
2
0 < �−3∠�<
�
2
可得
�
6 < ∠�<
�
4，cos�∈(
2
2 ,
3
2 ), cos2�∈(
1
2 ,
3
4 )，
所以由正弦定理可知��
��=
�
�=
sin�
sin�=
���3�
sin�=
3����−4sin3�
sin�
= 3 −4sin2�= 4cos2�−1 ∈(1,2)，故选D.
3.△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，设△ABC 的面积为S，若
2
2
2
4 3
3
c
a
b
S
，则b
a 的取值范围为
A．（0，+∞）
B．（1，+∞）
C．
0
3
，
D．
3
，
【答案】A
【分析】
根据
2
2
2
4 3
3
c
a
b
S
以及面积公式可得
2
2
2
3 sin
2
3
a
b
c
C
ab
,可得
3
cos
sin
3
C
C
,可得tan
3
C
,可得
2
3
C
,
再利用正弦定理可得
sin
sin
b
B
a
A
,转化为
3
1
2tan
2
A
,根据A 的范围可得答案.
【详解】由
2
2
2
4 3
3
c
a
b
S
,得
2
2
2
4 3
1
sin
3
2
a
b
c
ab
C
,所以
2
2
2
3 sin
2
3
a
b
c
C
ab
,
所以
3
cos
sin
3
C
C
,所以tan
3
C
,又0
C
,所以
2
3
C
,
所以
sin(
)
sin
cos
cos
sin
)
sin
3
3
3
sin
sin
sin
A
A
A
b
B
a
A
A
A
3
1
cos
sin
3
1
2
2
sin
2 tan
2
A
A
A
A
,
因为0
3
A
,所以0
tan
3
A
,所以
1
3
tan
3
A
,所以
3
3
1
0
2
3
2
b
a
,
所以
b
a 的取值范围为(0,
)
.故选:A
【题型八】切弦互化求最值
【典例分析】
ABC
中，角, ,
A B C 的对边长分别为a,b,c，若acosB −bcosA=
3
5 c，则tan �−�的
最大值为
(
）
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A．4
3
B．1
C．
3
4
D．3
【全国百强校】黑龙江省鹤岗市第一中学2019 届高三上学期第二次月考数学（理）试题
【答案】C
【分析】
利用正弦定理，将已知等式化简整理得sin�cos�= 4sin�cos�，两边同除以cos�cos�，得到tan�= 4tan�，利用两角
差的正切公式，得tan �−�=
3
1
tan�+4tan�，最后利用基本不等式求最值.
【详解】∵�cos�−�cos�=
3
5 �，结合正弦定理与sin�= ����+ �，
可得sin�cos�−sin�cos�=
3
5 sin�cos�+ cos�sin�，整理得sin�cos�= 4sin�cos�，
同除以cos�cos�，得tan�= 4tan�，
由此可得tan �−�=
tan�−tan�
1+tan�tan�=
3tan�
1+4tan2�=
3
1
tan�+4tan�，∵�, �是三角形内角，且tan A 与tan B 同号，
∴�, �都是锐角，即tan�> 0, tan�> 0，∴tan �−�=
3
1
tan�+4tan�≤
3
4，当且仅当
1
tan�= 4tan�，
即tan�=
1
2时，tan �−�的最大值为
3
4，故选C.
【提分秘籍】
基本规律
解三角形题。对含有正切函数求最值范围，属于较难题型，一般从以下几方面分析：
1.切化弦
2.在三角形中，有
tan
tan
tan
tan
tan
tan
A
B
C
A
B
C
【变式演练】
1.在ABC
中，若
1
1
1
tan
tan
tan
B
C
A
，则cos A的取值范围为
A．
2
0, 3
B．2 ,1
3
C．
1
0, 3
D．1 ,1
3
【答案】B
【详解】
分析：由已知等式正切化为弦，可得
2
sin
cos
sin sin
A
A
B
C
，结合正弦定理、余弦定理以及基本不等式求得cosA 的最小值，
从而可得结果.
详解：
1
1
1
tan
tan
tan
B
C
A
，
cos
cos
cos
sin
sin
sin
B
C
A
B
C
A
，可得sin cos
cos sin
sin
cos
sin sin
sin sin
sin
C
B
C
B
A
A
B
C
B
C
A
，
2
sin
cos
sin sin
A
A
B
C
，又
2
2 ,cos
sin
sin
sin
a
b
c
a
R
A
A
B
C
bc
，
2
2
2
2
2
b
c
a
a
bc
bc
，可得
2
2
2
3a
b
c
，
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
cos
2
2
3
3
3
b
c
b
c
b
c
a
b
c
bc
A
bc
bc
bc
bc
，
cosA
的取值范围是2 ,1
3
，故选B.
2.在ABC 中，, ,
a b c 分别是角, ,
A B C 的对边，若�2 + �2 = 2014�2，则
2tan�⋅tan�
tan�(tan�+tan�)的值为
A．2013
B．1
C．0
D．2014
【答案】A
【分析】
由a2+b2=2014c2，利用余弦定理可得a2+b2﹣c2=2013c2=2abcosC．利用三角函数基本关系式和两角和的正弦公式、正弦
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定理可得
2����⋅����
����(����+����)=
2����
����⋅����
����
����
����(����
����+����
����)=
2������������
�������(�+�) =
2������
�2
即可得出．
【详解】∵a2+b2=2014c2，∴a2+b2﹣c2=2013c2=2abcosC．
∴
2����⋅����
����(����+����)=
2����
����⋅����
����
����
����(����
����+����
����)=
2������������
�������(�+�) =
2������
�2
=2013．故答案为：A
3.在ABC
中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c，若ABC
为锐角三角形，且满足
2
2
b
a
ac
，则
1
tanA −
1
tanB的
取值范围是
A．
2 3
1,
3
B．1,
2
C．2 3
3 ,
2
D．1, + ∞
【答案】A
根据余弦定理以及正弦定理化简条件得A 、B 关系，再根据二倍角正切公式以及函数单调性求范围.
【详解】
因为�2 −�2 = ��，
所以�2 −2��cos�= ��∴�−2�cos�= �∴sin�−2sin�cos�= sin�,
sin(�+ �) −2sin�cos�= sin�, ∴sin(�−�) = sin�∴�−�= �, �= 2�
因此1
tan�−
1
tan�=
1
tan�−
1
tan2�=
1
tan�−
1−tan2�
2tan�=
1+tan2�
2tan�=
1
2 (tan�+
1
tan�),
因为����为锐角三角形，
所以0 < �<
π
2 , 0 < �= 2�<
π
2 , 0 < �= π −�−�= π −3�<
π
2 ∴
π
6 < �<
π
4 ,
3
3 < tan�< 1
因为�=
1
2 (�+
1
�)在(
3
3 , 1)上单调递减，所以1
tan�−
1
tan�∈(1,
2 3
3 )，选A.
【题型九】解三角形应用题
【典例分析】
（2022·江苏·高三课时练习）如图，某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练，已知点A 到墙面的
距离为AB ，某目标点P 沿墙面上的射线CM 移动，此人为了准确瞄准目标点P ，需计算由点A 观察点P 的仰角的大
小，若
15
,
25
,
30
AB
cm AC
cm
BCM
，则tan的最大值是（
）.（仰角为直线AP 与平面ABC 所成的角）
A．
30
5
B．
30
10
C．4 3
9
D．5 3
9
【答案】D
【分析】由题可得，
20
BC
，过P 作PP
BC
，交BC 于P，连接
AP ，则tan
PP
AP
，设
(
0)
BP
x x
，分类讨论，
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若P在线段BC 上，则
20
CP
x
，可求出PP和
AP ，从而可得出
2
3
20
tan
3
225
x
x
，利用函数的单调性，可得出
0
x
时，取得最大值；若P在CB 的延长线上，同理求出PP和
AP ，可得出
2
3
20
tan
3
225
x
x
，可得当
45
4
x
时，函数
取得最大值；结合两种情况的结果，即可得出结论．
【详解】解：
15
,
25
AB
cm AC
cm
，AB
BC
，由勾股定理知，
20
BC
，过点P 作PP
BC
交BC 于P，连结
AP ，
则tan
PP
AP
，设
(
0)
BP
x x
，若P在线段BC 上，则
20
CP
x
，
由
30
BCM
，得
3
tan30
(20
)
3
PP
CP
x
，在直角
ABP
△
中，
2
225
AP
x
，
2
3
20
tan
3
225
x
x
，令
2
20
225
x
y
x
，则函数在
[0
x
，20]单调递减，
0
x
时，取得最大值为20 3
4 3
45
9
；
若P在CB 的延长线上，
3
tan30
(20
)
3
PP
CP
x
，在直角
ABP
△
中，
2
225
AP
x
，
2
3
20
tan
3
225
x
x
，令
2
2
(20
)
225
x
y
x
，则
0
y
可得
45
4
x
时，函数取得最大值5 3
9
.
故答案为：5 3
9
．
【变式演练】
1.（2022·全国·高三课时练习）如图，某城市有一条公路从正西方MO 通过市中心O 后转向东北方ON ，为了缓解城市
交通压力，现准备修建一条绕城高速公路L ，并在
,
MO ON 上分别设置两个出口,
A B ，若AB 部分为直线段，且要求市
中心O 与AB 的距离为20 千米，则AB 的最短距离为（
）
A．
20
2
1
千米
B．
40
2
1
千米
C．
20
2
1
D．
40
2
1
【答案】D
【分析】使用余弦定理及基本不等式，得到
2
2
2
AB
ab
，使用正弦定理及三角恒等变换得到
1600
2
2
ab
，
进而求得AB 的最短距离.
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【详解】
在ABC
中，
135
AOB
，设
,
AO
a BO
b
，
则
2
2
2
2
2
2
cos135
2
2
2
AB
a
b
ab
a
b
ab
ab
，当且仅当a
b
时取等号，
设
BAO
，则
45
ABO
，又O 到AB 的距离为20 千米，所以
20
sin
a
，
20
sin 45
b
，
故
400
1600
1600
sin
sin 45
2sin 2
45
2
2
2
ab
（
22.5
时取等号），
所以
2
2
1600 2
2
1600
2
1
2
2
AB
，得
40
2 1
AB
，故选：D
2.在一座尖塔的正南方地面某点A ，测得塔顶的仰角为22 30
，又在此尖塔正东方地面某点B ，测得塔顶的仰角为67 30
，
且A ，B 两点距离为540m ，在线段AB 上的点C 处测得塔顶的仰角为最大，则C 点到塔底O 的距离为（
）
A．90m
B．100m
C．110m
D．270m
【答案】A
【分析】
作出图示，根据正切的二倍角公式和解直角三角形求得塔的高度，再运用等面积法可求得选项.
【详解】
如下图所示，设
,
,OC
z
OA
x OB
y
，则
2
2
2
540
x
y
，
22.5 ,
67.5
OAP
OBP
，
则
2
2 tan 22.5
tan 45
1
1
tan 22.5
，解得tan 22.5
2
1
，
2
2 tan 67.5
tan135
1
1
tan 67.5
，解得tan67.5
2+1
，
所以
2
2
2
2
1
2+1
540
z
z
，解得
90 6
z
，
所以
90 6
2
1
180 3
90 6
x
，
90 6
2+1
180 3+90 6
y
，
要使点C 处测得塔顶的仰角为最大，则需tan
PCO
最大，也即需OC 最小，所以OC
AB
，
又
1
1
2
2
ABO
S
OA OB
AB
OC
，即
180 3
90 6
180 3+90 6
90
540
OA OB
OC
AB
，
所以C 点到塔底O 的距离为90m ，故选：A.
3..某制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，如图所示，长方形ABCD的周长为4 米，沿AC 折叠使B 到�'位置，��'交��
于P ，研究发现，当����的面积最大时最节能，则最节能时ABCD的面积为
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A．3 −2 2
B．2 3
C．2( 2 −1)
D．2
【答案】C
【分析】
本题可以先通过设��、��分别为�、y，再通过题目所给信息以及��2 + ��2 = PA2得出�、y 之间的关系，然后通过
����的面积列出算式，当其最大时求出��的值，最后得出结果．
【详解】
设��为x ，��为y ，
因为四边形����是周长为4 的长方形，��为x
所以��为2 −�，��为x ，
因为��为y ，所以PC 为�−�，
由题意可知，PC = PA，
所以有��2 + ��2 = PA2，即2 −�2 + �2 = �−�2，化简得�= 2 −
2
�，
所以�����=
1
2 2 −�
2 −
2
�，化简得�����= 3 −
2
�+ 2 ，
所以当�=
2时����面积最大，此时�����=
2 2 −
2 = 2
2 −1 ，故选C．
1．（2020·山东·高考真题）在ABC
中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若
2
2
2
sin
a
b
c
ab
C
，且sin
cos
a
B
C
2
sin
cos
2
c
B
A
b
，则tan A 等于（
）
A．3
B．
1
3
C．3 或
1
3
D．-3 或1
3
【答案】A
【分析】利用余弦定理求出tan
2
C
，并进一步判断
4
C
，由正弦定理可得
2
2
sin(
)
sin
2
2
A
C
B
，最后利用
两角和的正切公式，即可得到答案；
【详解】
2
2
2
sin
cos
tan
2
2
2
a
b
c
C
C
C
ab
，
4
C
，
2
sin
sin
sin
a
b
c
R
A
B
C
，
2
sin
sin
cos
sin
sin
cos
sin
2
A
B
C
C
B
A
B
，
2
2
sin(
)
sin
2
2
A
C
B
，
4
B
，
tan
1
B
，
tan
tan
tan
tan(
)
3
1 tan
tan
B
C
A
B
C
B
C
，
故选：A.
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2．（2021·全国·高考真题（文））在ABC
中，已知
120
B
，
19
AC
，
2
AB
，则BC （
）
A．1
B．2
C．
5
D．3
【答案】D
【分析】利用余弦定理得到关于BC 长度的方程，解方程即可求得边长.
【详解】设
,
,
AB
c AC
b BC
a
，
结合余弦定理：
2
2
2
2
cos
b
a
c
ac
B
可得：
2
19
4
2
cos120
a
a c
，
即：
2
2
15
0
a
a
，解得：
3
a
（
5
a 舍去），
故
3
BC .
故选：D.
3．（2020·全国·高考真题（文））在△ABC 中，cosC= 2
3 ，AC=4，BC=3，则tanB=（
）
A．
5
B．2 5
C．4 5
D．8 5
【答案】C
【分析】先根据余弦定理求c ，再根据余弦定理求cos B ，最后根据同角三角函数关系求tan .
B
【详解】设
,
,
AB
c BC
a CA
b
2
2
2
2
2
cos
9
16
2 3 4
9
3
3
c
a
b
ab
C
c
2
2
2
2
1
1
4 5
cos
sin
1 ( )
tan
4 5
2
9
9
9
a
c
b
B
B
B
ac
故选：C
4．（2014·江西·高考真题（文））在ABC
中，内角A，B，C 所对的边分别是a，b，c.若3
2
a
b
，则
2
2
2
2sin
sin
sin
B
A
A
的
值为（
）
A．1
9
B．1
3
C．1
D．7
2
【答案】D
【分析】根据正弦定理边化角求解即可.
【详解】由正弦定理有
2
2
2
2
2
2
2
2sin
sin
2
2
1
sin
B
A
b
a
b
A
a
a
.又
3
3
2
2
b
a
b
a
,
故
2
9
7
2
1
2
1
4
2
b
a
.
故选：D
5．（2020·全国·高考真题（理））在△ABC 中，cosC= 2
3 ，AC=4，BC=3，则cosB=（
）
A．1
9
B．1
3
C．
1
2
D．2
3
【答案】A
【分析】根据已知条件结合余弦定理求得AB ，再根据
2
2
2
cos
2
AB
BC
AC
B
AB BC
，即可求得答案.
【详解】在ABC
中，
2
cos
3
C
，
4
AC
，
3
BC
根据余弦定理：
2
2
2
2
cos
AB
AC
BC
AC BC
C
2
2
2
4
3
2
2
4 3
3
AB
可得
2
9
AB
，即
3
AB
由
2
2
2
9
9 16
1
cos
2
2 3 3
9
AB
BC
AC
B
AB BC
故
1
cos
9
B
.故选：A.
6．（2019·全国·高考真题（文））△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB=4csinC，cosA=－1
4 ，
则b
c =
A．6
B．5
C．4
D．3
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【答案】A
【分析】利用余弦定理推论得出a，b，c 关系，在结合正弦定理边角互换列出方程，解出结果.
【详解】详解：由已知及正弦定理可得
2
2
2
4
a
b
c
，由余弦定理推论可得
2
2
2
2
2
1
4
1
3
1
3
cos
,
,
,
4
6
4
2
2
4
2
4
2
b
c
a
c
c
c
b
A
bc
bc
b
c
，故选A．
7．·湖南·高考真题（文））在△ABC 中，AC=
7 ，BC=2，B =60°，则BC 边上的高等于
A．
3
2
B．3 3
2
C．
3
6
2
D．
3
39
4
【答案】B
【详解】由正弦定理可得
7
2
3
21
2 7
sin
,cos
sin60
sin
7
7
7
A
A
A
，
所以
3 21
sin
sin(
)
sin
cos
cos
sin
14
C
A
B
A
B
A
B
，
则BC 边上的高
3 21
3 3
7 sin
7
14
2
h
C
，应选答案B.
点睛：解答本题的思路是先运用正弦定理求出cos
7
2 7
A
，再运用两角和的正弦公式求得
3 21
sin
14
C
，再解直角三
角形可求得三角形的高
3 3
7 sin
2
h
C
，从而使得问题获解.
8．（2018·全国·高考真题（理））ABC
的内角A
B
C
，，的对边分别为a ，b ，c ，若ABC
的面积为
2
2
2
4
a
b
c
，则C
A．π
2
B．π
3
C．π
4
D．π
6
【答案】C
【详解】分析：利用面积公式
1
2
ABC
S
absinC
和余弦定理
2
2
2
2
a
b
c
abcosC
进行计算可得．
详解：由题可知
2
2
2
1
2
4
ABC
a
b
c
S
absinC
所以
2
2
2
2absinC
a
b
c
由余弦定理
2
2
2
2
a
b
c
abcosC
所以sinC
cosC
C
0,π
C
4
故选C.
9.（2022·浙江·高考真题）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜
求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是
2
2
2
2
2
2
1
4
2
c
a
b
S
c a
，其中a，
b，c 是三角形的三边，S 是三角形的面积．设某三角形的三边
2,
3,
2
a
b
c
，则该三角形的面积S ___________．
【答案】
23
4
.
【分析】根据题中所给的公式代值解出．
【详解】因为
2
2
2
2
2
2
1
4
2
c
a
b
S
c a
，所以
2
4
2
3
1
23
4
2
4
4 2
S
．
故答案为：
23
4
.
10．（2022·全国·高考真题（理））已知ABC
中，点D 在边BC 上，
120 ,
2,
2
ADB
AD
CD
BD
．当AC
AB 取得最小
值时，BD ________．
【答案】
3
1
## 1+ 3
【分析】设
2
2
0
CD
BD
m
，利用余弦定理表示出
2
2
AC
AB 后，结合基本不等式即可得解.
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【详解】设
2
2
0
CD
BD
m
，
则在
ABD
△
中，
2
2
2
2
2
cos
4
2
AB
BD
AD
BD AD
ADB
m
m
，
在
ACD
△
中，
2
2
2
2
2
cos
4
4
4
AC
CD
AD
CD AD
ADC
m
m
，
所以
2
2
2
2
2
2
4
4
2
12 1
4
4
4
12
4
3
4
2
4
2
1
1
m
m
m
AC
m
m
AB
m
m
m
m
m
m
12
4
4
2 3
3
2
1
1
m
m
，
当且仅当
3
1
1
m
m
即
3
1
m
时，等号成立，
所以当AC
AB 取最小值时，
3
1
m
.故答案为：
3
1
.
11．（2022·上海·高考真题）在△ABC 中，
3
A
，
2
AB
，
3
AC
，则△ABC 的外接圆半径为________
【答案】
21
3 ## 1
21
3
【分析】运用正弦定理及余弦定理可得解.
【详解】根据余弦定理：
2
2
2
1
2
cos
4
9
2
2 3
7
2
BC
AB
AC
AB AC
BAC
，
得
7
BC
，由正弦定理△ABC 的外接圆半径为
1
7
21
2
3
sin 3
.故答案为:
21
3 .
12．（2021·全国·高考真题（理））记ABC
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，面积为
3 ，
60
B
，
2
2
3
a
c
ac
，
则b ________．
【答案】2 2
【分析】由三角形面积公式可得
4
ac
，再结合余弦定理即可得解.
【详解】由题意，
1
3
sin
3
2
4
ABC
S
ac
B
ac
，
所以
2
2
4,
12
ac
a
c
，
所以
2
2
2
1
2
cos
12
2 4
8
2
b
a
c
ac
B
，解得
2 2
b
（负值舍去）.
故答案为：2 2 .
13．（2020·江苏·高考真题）在△ABC 中，
4
3
=90
AB
AC
BAC
，
，∠
，D 在边BC 上，延长AD 到P，使得AP=9，若
3
(
)
2
PA
mPB
m PC
（m 为常数），则CD 的长度是________．
【答案】18
5 或0
【分析】根据题设条件可设
0
PA
PD
，结合
3
2
PA
mPB
m PC
与
,
,
B D C 三点共线，可求得，再根据勾股定理
求出BC ，然后根据余弦定理即可求解.
【详解】∵,
,
A D P三点共线，∴可设
0
PA
PD
，∵
3
2
PA
mPB
m PC
，
∴
3
2
PD
mPB
m PC
，即
3
2
m
m
PD
PB
PC
，若
0
m
且
3
2
m
，则
,
,
B D C 三点共线，
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∴
3
2
1
m
m
，即
3
2
，∵
9
AP
，∴
3
AD
，∵
4
AB
,
3
AC
,
90
BAC
，
∴
5
BC
，设CD
x
，
CDA
，则
5
BD
x
，
BDA
.
∴根据余弦定理可得
2
2
2
cos
2
6
AD
CD
AC
x
AD CD
，
2
2
2
2
5
7
cos
2
6 5
x
AD
BD
AB
AD BD
x
，
∵
cos
cos
0
，∴
2
5
7
0
6
6 5
x
x
x
，解得
18
5
x
，∴CD 的长度为18
5 .
当
0
m
时，
3
2
PA
PC
，
,
C D 重合，此时CD 的长度为0 ，
当
3
2
m
时，
3
2
PA
PB
，
,
B D重合，此时
12
PA
，不合题意，舍去.
故答案为：0 或18
5 .
14．（2020·全国·高考真题（理））如图，在三棱锥P–ABC 的平面展开图中，AC=1，
3
AB
AD
，AB⊥AC，AB⊥AD，
∠CAE=30°，则cos∠FCB=______________.
【答案】
1
4
【分析】在ACE
中，利用余弦定理可求得CE ，可得出CF ，利用勾股定理计算出BC 、BD ，可得出BF ，然后在
BCF
△
中利用余弦定理可求得cos
FCB
的值.
【详解】
AB
AC
，
3
AB
，
1
AC ，由勾股定理得
2
2
2
BC
AB
AC
，
同理得
6
BD
，
6
BF
BD
，在ACE
中，
1
AC ，
3
AE
AD
，
30
CAE
，
由余弦定理得
2
2
2
3
2
cos30
1 3
2 1
3
1
2
CE
AC
AE
AC AE
，
1
CF
CE
，在
BCF
△
中，
2
BC
，
6
BF
，
1
CF ，
由余弦定理得
2
2
2
1
4
6
1
cos
2
2 1 2
4
CF
BC
BF
FCB
CF BC
.故答案为：
1
4
.
15．（2019·全国·高考真题（文））ABC
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c.已知bsinA+acosB=0，则B=___________.
【答案】3
4
.
【分析】先根据正弦定理把边化为角，结合角的范围可得.
【详解】由正弦定理，得sin
sin
sin
cos
0
B
A
A
B
．
(0, ),
(0, )
A
B
，sin
0,
A
得sin
cos
0
B
B
，即tan
1
B ，
3 .
4
B
故选D．
【点睛】本题考查利用正弦定理转化三角恒等式，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取定理法，利用转化与化归思
想解题．忽视三角形内角的范围致误，三角形内角均在(0, )
范围内，化边为角，结合三角函数的恒等变化求角．
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16．（2019·全国·高考真题（理））ABC
的内角, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c .若
π
6,
2 ,
3
b
a
c B
，则ABC
的面积为
__________.
【答案】6 3
【分析】本题首先应用余弦定理，建立关于c的方程，应用,a c 的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，
难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查．
【详解】由余弦定理得
2
2
2
2
cos
b
a
c
ac
B
，所以
2
2
2
1
(2 )
2
2
6
2
c
c
c
c
，
即
2
12
c
解得
2 3,
2 3
c
c
（舍去）所以
2
4 3
a
c
，
1
1
3
sin
4 3
2 3
6 3.
2
2
2
ABC
S
ac
B
1.（2022·江西·模拟预测（文））在△ABC 中，角A、B、C 所对的边分别为a、b、c，且满足
3
1 cos
sin
3
A
A
，
sin
6cos
sin
A
B
C
，则b
c 的值为（
）
A．1
6
B．1
2 2
C．1
3 2
D．1
3 3
【答案】A
【分析】由题设化简
3
1 cos
sin
3
A
A
可得
120
A
，余弦定理结合sin
6cos
sin
A
B
C
可得
1
6
b
c
，即可得出答
案.
【详解】由题设可得
2
2 3cos
2sin
cos
2
2
2
A
A
A
，即tan
3
2
A
，则
120
A
，故由余弦定理可得
2
2
2
a
b
c
bc
；又由
sin
6cos
sin
A
B
C
可得
2
2
2
6
2
a
c
b
a
c
ac
，
即
2
2
2
2
3
a
a
c
b
，将
2
2
2
a
b
c
bc
代入化简可得
2
2
2
5
0
b
bc
c
，解得：
1
6
b
c
，故
1
6
b
c
.
故选：A.
2.（2021·黑龙江绥化·高三阶段练习（文））已知锐角ABC
的三个内角A，B，C 的对边分别是a，b，c，且
cos
cos
cos
a
b
c
A
B
C
，则角C 的大小为(
)
A．5
12
B．3
C．4
D．6
【答案】B
【分析】利用余弦定理将已知等式里面的余弦化为边，化简后再利用余弦定理即可求角C.
【详解】∵cos
cos
cos
a
b
c
A
B
C
，∴
cos
cos
cos
a
b
C
c
A
B
，∴根据余弦定理得，
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
a
b
c
b
c
a
a
c
b
a
b
c
c
ab
bc
ac
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
a
b
a
b
c
a b
c
a
b a
c
b
ab
ab
ab
2
2
2
2
2
2
2
2
2
a
b
a
b
c
ac
a a
b
bc
b a
b
2
2
2
2
2
2
a
b
a
b
c
a
b c
a
b
b
a
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2
2
2
2
2
(
)
a
b
a
b
c
a
b c
a
b
a
b
0
a
b
，
∴
2
2
2
2
2
(
)
a
b
c
c
a
b
2
2
2
2
2
2
2
0
a
b
c
a
ab
b
2
2
2
2
2
2
2
0
a
b
c
ab
∴
2
2
2
c
a
b
ab
根据余弦定理可知，
2
2
2
2
cos
c
a
b
ab
C
∴2cos
1
C ，∵
0,
C
，∴
3
C
.故选：B.
3.（2023·全国·高三专题练习）ABC
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若
2
2
2
cos
2
cos
c
b
A
bc
A
，则ABC
为
（
）
A．等腰非等边三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等边三角形
【答案】B
【分析】由条件可得
cos
c
b
A ，由正弦定理结合三角形中有
sin
sin
C
A
B
，利用正弦的和角公式可得sin
cos
0
A
B
，
从而可得出答案.
【详解】由
2
2
cos
2
cos
0
c
b
A
cb
A
，可得
2
cos
0
c
b
A
，所以
cos
c
b
A ，
所以sin
cos
sin
C
A
B
.
在ABC
中，
sin
sin
sin
cos
cos
sin
C
A
B
A
B
A
B
，故sin
cos
0
A
B
，
因为sin
0
A
，所以cos
0
B
，因为0
π
B
，所以
π
2
B
，
故ABC
为直角三角形.故选：B
4.（2022·安徽·蒙城第一中学高三阶段练习（文））ABC
的内角A、B、C 的对边分别为a 、b 、c，已知
2
b
，且
2 cos
cos
cos
a
B
a
C
c
A
a
b
，则ABC
面积的最大值是（
）
A．
3
2
B．
3
C．2
D．5
【答案】B
【分析】先由题给条件求得角cos B 的值，再构造不等式求得ac 的最大值，进而可求得ABC
面积的最大值
【详解】由正弦定理得：2sin
cos
sin
cos
sin
cos
sin
sin
A
B
A
C
C
A
A
B
，
所以
2sin
cos
sin
sin
sin
sin
A
B
A
C
A
B
A
，
又由0
π
A
，可得sin
0
A
，则有
1
cos
2
B
.又0
π
B
，则
3
sin
2
B
由余弦定理得：
2
2
2
1
cos
2
2
a
c
b
B
ac
，
所以
2
2
4
2
a
c
ac
ac
，所以
4
ac
（当且仅当
2
a
c
时等号成立），
则
1
1
3
sin
4 3
3
2
2
2
ABC
S
ac
B
△
，故选：B.
5.．
（2022·全国·高三专题练习（理））在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，其中a=3，2
3cos
3 3sin
c
C
b
C
，
则△ABC 的面积与周长之比的取值范围是___________.
【答案】
3
0, 4
【分析】由正弦定理化边为角，然后由三角函数恒等变换求得A 角，现由余弦定理得b
c
与bc 的关系，结合基本不等
式求得b
c
的范围，计算S
l 可得结论．
【详解】由正弦定理得，2
cos
3 sin
c
a
C
b
a
C
2sin
sin
cos
sin
3sin
sin
C
A
C
B
A
C
，
即2sin
sin
cos
sin
cos
cos
sin
3sin
sin
C
A
C
A
C
A
C
A
C
，
即2sin
3sin
sin
cos
sin
C
A
C
A
C
，三角形中sin
0
C
，
所以
3
1
sin
cos
1
2
2
A
A
，即sin
1
6
A
，
因为0
A
，所以
3
A
；
由余弦定理可得
2
2
9
b
c
bc
，所以
2
9
3
b
c
bc
（*）.
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△ABC 的周长l=a+b+c=3+b+c，面积
1
3
sin
2
4
S
bc
A
bc
，
所以
2
3
9
3
3
3
4 3
12 3
12
b
c
S
bc
b
c
l
b
c
b
c
；
因为
2
4
b
c
bc
，所以由（*）式可得
2
2
3
9
4
b
c
b
c
，即3
6
b
c
，当且仅当b=c=3 时等号成立，
故△ABC 的面积与周长之比的取值范围是
3
0, 4
.
故答案为：
3
0, 4
.
6.已知ABC
的内角、、
A
B
C 的对边分别为�、�、�，若�= 2�，则
�
�+
2�
�的取值范围为__________．
吉林省白城市第一中学2021 届高三五模数学（文）试题
【答案】(2,4)
【详解】
由正弦定理可知．
�
�+
2�
�=
sin�
sin�+
2sin�
sin�=
sin(�+�)
sin�
+
2sin�
sin�=
sin�cos�
sin�
+ cos�+
2sin�
sin�，又�= 2�，则
sin�cos�
sin�
=
sin2�cos�
sin�
=
2sin�cos2�
sin�
= 2cos2�，
2sin�
sin�=
2sin�
sin2�=
1
cos�，从而
�
�+
2�
�= 4cos2�−1 +
1
cos�，又�= 2�，知�+ �= 3�< π，所以0 < �<
π
3，
则
1
2 < cos�< 1，换元可令�= cos�，则(
�
�+
2�
�)min > (4�2 +
1
�−1)|�=1
2 = 2, (
�
�+
2�
�)max < (4�2 +
1
�−1)|�=1 = 4，故本
题应填(2,4)．
7.已知ABC
的面积为2 3 ，
3
A
，则
4sin
2sin
sin
sin
2sin
sin
C
B
B
C
B
C
的最小值为（
）
A．
1
6
2
B．
1
6
2
C．
6
1
D．
6
1
【答案】B
【分析】
将原式分离常数，然后利用正弦定理进行边角互化，化简为对勾函数，利用不等式求最值即可.
【详解】
解：
1
sin
2 3
2
ABC
s
bc
A
，又
3
A
，
8
bc
4sin
2sin
sin
3sin
sin
3
1
1
sin
2sin
sin
sin
2sin
sin
2
C
B
B
C
B
c
b
C
B
C
C
B
C
c
b
c
= 1
3
1
2
2
2
c
b
c
b
c
= 1
3
2
1
3
1
2
6
2
2
2
2
2
2
c
c
b
c
b
c
，当且仅当
2
4 6
4
b
时，等号成立.
故选：B.
8.在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若
2
2
2
2 19
0
a
b
c
，
tan�
tan�+
tan�
tan�=（
）
A．
1
1009
B．
1
1008
C．
1
2018
D．
1
2017
【答案】A
【分析】
根据题中条件，结合正弦定理可得sin2�+ sin2�= 2019sin2�，再由余弦定理可得cos�=
1009sin2�
sin�sin�，从而得到
sin�sin�cos�= 1009sin2�，再利用同角三角函数关系式化简要求的式子，可得结果.
【详解】
因为ABC
中，
2
2
2
2 19
0
a
b
c
，
由正弦定理可得sin2�+ sin2�= 2019sin2�，
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再由余弦定理可得cos�=
�2+�2−�2
2��
=
2018�2
2��
=
1009sin2�
sin�sin�，
所以sin�sin�cos�= 1009sin2�,
tan�
tan�+ tan�
tan�= sin�cos�
cos�sin�+ sin�cos�
cos�sin�= sin�sin�cos�+ sin�sin�cos�
sin�sin�cos�
=
sin�sin(�+�)
1009sin2�
=
sin2�
1009sin2�=
1
1009，故选A.
9.如图，某景区内有一半圆形花圃，其直径AB 为6，O 为圆心，且OC
AB
，在OC 上有一座观赏亭Q ，其中
2
3
AQC
，
计划在圆弧BC 上再建一座观赏亭P ，记
POB
0
2
，当
OPQ
越大时，游客在观赏亭P 处的观赏效果越佳，
则观赏效果最佳时，sin（
）
A．
3
3
B．
2
2
C．
3
2
D．
1
2
【答案】A
【分析】设
OPQ
，在OPQ
中，由正弦定理得
3
3
sin
sin(
(
))
2
，变形可得( 3
sin )sin
cos
cos
，
记
cos
( )
3
sin
f
求导可得，由导数与函数的单调性的关系分析可得答案．
【详解】
解：设
OPQ
，在OPQ
中，
3
OP
，
2
POQ
，
由正弦定理得sin
sin
OQ
OP
OPQ
OQP
，即
3
3
sin
sin
2
，
所以3sin
sin
sin
(
)
cos(
)
cos
cos
sin
sin
2
2
，
从而( 3
sin )sin
cos
cos
，其中
3
sin
0
，cos
0
，所以
cos
tan
3
sin
，
记
cos
( )
3
sin
f
，则
2
1
3sin
( )
( 3
sin )
f
，
0, 2
，
令
( )
0
f
，
3
sin
3
，存在唯一
0
0, 2
使得
0
3
sin
3
，
当
0
0,
时
( )
0
f
，
f 单调递增，当
0, 2
时
0
f
，
f 单调递减，
所以当
0
时，
f 最大，即tan
OPQ
最大，又
OPQ
为锐角，从而
OPQ
最大，此时
3
sin
3
，
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故选：A .
10.设锐角ABC
的内角, ,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c ，若
,
3
3
A
a
，则
2
b
2c
bc
的取值范围为（
）
A．(1，9]
B．(3，9]
C．(5，9]
D．(7，9]
【答案】D
【分析】由正弦定理求出
2
2sin ,
2sin
3
b
B c
B
，再由余弦定理可得
2
b
2c
bc
2
8sin sin
3
3
B
B
，化为
5
4sin 2
6
B
，结合角的范围，利用正弦函数的性质可得结论.
【详解】因为
,
3
3
A
a
，由正弦定理可得
3
2
2
sin
sin
3
sin
3
2
a
b
c
A
B
B
，
则有
2
2sin ,
2sin
3
b
B c
B
，由ABC
的内角, ,
A B C 为锐角，可得
0
,
2
2
0
,
3
2
B
B
，
5
1
2
sin 2
1
2
4sin 2
4
6
2
6
6
6
2
6
6
B
B
B
B
，
由余弦定理可得
2
2
2
2
2
2
cos
3
,
a
b
c
bc
A
b
c
bc
因此有
2
2
2
3
b
c
bc
bc
2
8sin sin
3
3
B
B
2
4 3 sin
cos
4sin
3
B
B
B
2 3 sin 2
2cos 2
5
B
B
5
4sin 2
7,9
6
B
故选：D.
