文档文本内容
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⾼三专题笔记-解三⻆形（⼀）
考点归纳：正弦定理与余弦定理
⼀余弦定理
;
+ A
→
1
. 证明
:
设
CB = d
,
CA = 5
,
AB =δ
,
b
ε
则
C
'
=
a
'
- B
1
由
1
>
2
= 8
. 8
=
( a - 5 )
. ( a
' -
b
)
c
r
'
a
→
B
=
a
.
a '
+
b '
,
. 5
- 2a
. y
'
= θ
a
+ B
2
- 21 |
1 CosC
a=+ b
2
-
C
2
2 结论
:
3
C
2
=
U=+ y
2
- 2 Qb
- Cosc
>
COSC
=
2ab
同理
:
θ=
+ Ct
-
2 bCcosA
,
CosA
=
b
2 + c
=
- Qs
2bc
b
2
=
c
2 +a
2
- 2aC
- cosB
>
CosB
=
(
2 tQ
=
- b
<
2QC
⼆
、正弦定理
1 之证明
:
2
当DABC 为锐⻆⼈时
:
1
当DABC
为
R 灶←时
:
在锐⻆DABC 中
. 过A 作Aδ 垂直的单位向量;
sinM
= {
.
sinB = 是
则☆与AB夹⻆为π
- A
,
j
'
与CB 的夹⻆为
2
Q
π -
C
SiMA
= 频
=
c
: Ac
'
+ CB
= AB
, :
5 .(AE
+ CB '
] =
⼚
. AB
⼜:
Sin c
=
1
即;
. AC t ;
.
CB'
= j
'
. AB
,
Q
SinA
: 频
=
台inc
即
⑤IAδ Isπ+↑ICB →} . COS[ π-
C )=
1
}( ABI · COS(π
-A)
「
A
即
asinc
= csinA
> 台inA
= Sinc
.
B
同理
: 过
C 作与CB 垂直的单位向量m 得
:
↑
c
b
→
b
j
7
m
sinB
= 台inc
: g
: nA
= 号: nB
= nc
= 2 R
T
Λ
B
A
c
上处接圆半往
”
”
c
a
3
当
LABC 为纯⻆三⻆形时
,
(
1
)
( 2
)
同上可得
A=
号inB =
台inc
= 2 R
🌶
🌶
🌶
🌶
🌶
📍
题型训练：正弦定理
D
5
4
7 B
⼸
a
b
bsinA
6 ×÷
.
5
解
: 油题
∵
CosB =⑤
:
sinB
= 岁
:
SinA
= sinB
: a
=
sinB
=
54
D
b
, simA
「
6 .
B
解
: 油题
:
nA
: 号nB
:
a
=
sinB
⼆
②
=
3
☆xr
=
3
A
□
解
:
∵
COSA
= 4
cosc = 15
, ;
sinA
=
号
sinc
=
13
.
5
了
B
江
- sinB = Sim ( A +ε )
= SinAcasc tCosAsinc
了A
ε
4
12
=
63
4
5
3
=× 135
+
5
×
B
65
b
a
a sinB
1
×
65
∴
,
b
=
sinA
6563
×55
=
21
SinB
= SiMA
=
5
=
3
D
次
b
b
. sinA
Ʃ×
2
解: 由题:
a
>
SinB
=
a
=
⼆之
SinA
=
sinB
2
∴
B
= 30
” 或
1500
⼜:
a
>
b
.
:
B
= 300
( ⼤边对⼤⻆
,
⼩边对⼩⻆)
A
b
. sinA
=
sx=Ʃ :
B
= 300或
1500
解: 由题
SinB
:
a
:
a > b
:
B
= 300
🌶
🌶
🌶
c
磁
B
1
c
解
:
∵
:CoSA
:-
⑩,
B =π i sinA =
河
. ∴sinc
: Sin( AtB
)
=
55
BC
∵
⼜
nc
=
SinA
,
BC
=
1
:
AB =☆
SOABC = DAB. BC
.
SinB = E
设BC 上⾼为h
.
S < ABc
: Ʃ
- Bc
.
h =
δ
. ih = 3
( 等⾯积)
B
解
: 由题
SinACosc t casAsinc
t
SinAsinc
-
SinAaosc
=
0
同除
: sinc
:
COs At
SinA
= 0
.
-
tanA =
-
1 : A =π
C
. SinA
:
次
x Ʃ
:
Sinc
: nA
.
sinC
=
a
2
= 2
且a >
c
:
C=π
c
解
: 由题台nA
= 4
=
8
= 2 R
.
∴
btc
=
sinB
- 2R +
SinC
.
2 R
=
8 ( SinBtsinc
)
⼜
: B +
c =
π
:
C = 2
π
- 1
B
. : b +
c =
8 . [ sinBtsin(
π
-
B ) }
,
.
∴b +
C
= 8 [ sinB +
BcosB + IsinB }
: 8
Ʃ Ʃ
sinB +☆
. cosB 了
. :
b + c
:
8 r3 sincB+π )
.
at btc = 45 +
85 sin (Bt π )
b
a
. sinB
解:
∵A= SiuB
.
SinA
=
b
: 吃
: 5
:
a
>
B
B
=
300
:
A 有
2 个值
.
∵
有2 个解
📍
题型训练：余弦定理
🌶
🌶
🌶
🌶
🌶
🌶
c
b++ c
2
- a
=
a
+ 4
- 7
解
: 由题
CosA
=
2bc
=
12
=
⽂
: A =π
D
解
: 由题
2sinc
. cosc : ☆Sinc
>
:∴Cosc=
,
∴
C
由
' :
a ' +
b
' - 2 ab
.cos
c
, : 25
= 16
+
b
=
- 8
b
.19
∴
2 b
=
- ab
- 8
=
0
>
( b
-
6 ) ( ab + 3 )
=
0
:
b
= 6
A
解
:
由
CosC
=
2 CoƩ-
1
∴
COSC =
-
⑤:
AB '
:BCETACE
-
2 BC - AC
.
COSC
, AB
= 4Ʃ
c
解
: 由题
b
=
a ' + c
' tac
.
CosB
=
- Ʃ
: B :
1200
且
b
=
a =+ ( t
- 2 Qc
. cosB
B
解
: 油题
b +c )
P
- a== 3 bc
b
=+2 bc + c
2- a ==
3 bC
,
a
'
=
b
2
+ c
=
- bc
>
CosA = 之
且
a
=
=
b^+ c
'
- 2 bC
. cosA
c
解
: 由题
SinACosc
-
CosA sinc
= 2 CosA sinc
.
; 4a
*
- 2 b
'
= 4c
2
,
.
SiMACosC
=
3 cosAsinc
.
∴2
Q
* -
b
=
2 C
2
, ∴
a
.
a
2 + b
=
- c
2
b =+ ct
- a
<
.
i 2 ( a
=
-
c
2
} =
b
=
①
。
2ab
:
3
.
c
.
2bc
及:
a
=
-
ε
2
=
b
②
.
∴
a+ b
2
-
C
2
=
3
b
*
+ 3 c
=
-
3 d
*
.
:
b = zb
2 : b = 2
επ
.
📍
题型训练：边⻆互化
🌶
🌶
🌶
🌶
🌶
B
SinC
解
:
由题
SinB
-
SinAsinB
- Sinc
= SinAtSinB
,
sin
'
B
- sinFA
=
SinBsinc
- sin
'
c
.
:
b
= -
a == bc - ct ;
a
'
=btc
=
- bc
.
> CosA = 2
.
∴
A=π
且
Q==
b <+
C
2
- 2bC
. cosA
B
解
:Q
是:a
,
b
2
- a
2
= bc
-
c
2
, θ≤b
'+ C
'
- bc
: A=π
D
解
: 由题
2 SinBCosB
=
SinA cosct
SinccosA
,
2
SinB Cos) 3
=
sin (
A +
C )
=
Sin B
, ;LosB
= Ʃ
:
B =π
D
解: 油题
:
SinA Cosc t sinc
Cos A
= 2 sinBsinA
. :
Sin ( A +
C )
=
sinB
=
2 sin B SinA
:
SinA
= z
A
a=+ c
2
-
b
2
解由题sin C CosA + sinA cosc =
2 sinc
iCosB
:
2 QC
R
∴
sin ( A + c )
= 2sinc
=
4 C
2
⼆4
源
∴
Sin B
= 2 Sim
c
,
b : 2 c :
δ inB =
4
c
