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专练 26 正弦定理、余弦定理及解三角形
授课提示：对应学生用书53页
[基础强化]
一、选择题
1．设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若a＝，b＝，B＝，则A＝(
)
A． B．π C． D．或π
答案：C
解析：由正弦定理得＝，∴sin A＝＝＝，又a1，∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在．
3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2，b＝3，c＝，则角C
＝( )
A． B． C． D．
答案：C
解析：由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C，
得cos C＝＝＝，又C为△ABC内角，∴C＝.
4．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2＋c2－bc，bc＝4，
则△ABC的面积为( )
A． B．1 C． D．2
答案：C
解析：由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A，又a2＝b2＋c2－bc，∴2cos A＝1，cos A
＝，∴sin A＝＝，∴S ＝bc sinA＝×4×＝.
△ABC
5．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边．若b sin A＝3c sin B，a＝
3，cos B＝，则b＝( )
A.14 B．6 C． D．
答案：D
解析：∵b sin A＝3c sin B，由正弦定理得ab＝3bc，∴a＝3c，又a＝3，∴c＝1，
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac·cos B＝9＋1－2×3×＝6，∴b＝.
6．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B＝a sin
A，则△ABC的形状为( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
答案：B
解析：∵b cos C＋c cos B＝a sin A，∴sin B cos C＋sin C cos B＝sin2A，∴sinA＝
1，又A为△ABC的内角，∴A＝90°，∴△ABC为直角三角形．
7．钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝，则AC＝( )
A．5 B． C．2 D．1
答案：B
解析：∵S ＝AB×BC×sin B＝sin B＝，∴sin B＝，若B＝45°，由余弦定理得AC2
△ABC
＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos 45°＝1＋2－2××＝1，则AC＝1，则AB2＋AC2＝BC2，△ABC为
直角三角形，不合题意；当B＝135°时，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos 135°
＝1＋2＋2××＝5，∴AC＝.8．如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测
出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为(
)
A．50 m B．50 m
C．25 m D． m
答案：A
解析：由正弦定理得＝，
∴AB＝＝＝50.
9．[2024·全国甲卷(理)]记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝
60°，b2＝ac，则sin A＋sin C＝( )
A． B．
C． D．
答案：C
解析：∵b2＝ac，∴由正弦定理可得sin2B＝sinA sin C．
∵B＝60°，∴sin B＝，∴＝sin A sin C，∴sin A sin C＝.由余弦定理可得b2＝a2＋c2－
2ac cos B＝a2＋c2－ac，将b2＝ac代入整理得，a2＋c2＝ac，∴由正弦定理得sin2A＋sin2C＝
sinA sin C，则(sin A＋sin C)2＝sin2A＋sin2C＋2sinA sin C＝sin A sin C＋2sin A sin C＝
sin A sin C＝×＝，∴sin A＋sin C＝或－(舍).故选C.
二、填空题
10．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(a＋b＋c)(a－b＋c)＝
ac，则B＝________．
答案：π
解析：由(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac得a2＋c2－b2＋ac＝0.
由余弦定理得cos B＝＝－，又B为△ABC的内角，∴B＝π.
11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c＝a cos B，①则A＝
________；②若sin C＝，则cos (π＋B)＝________．
答案：①90° ②－
解析：①∵c＝a·cos B，∴c＝a·，得a2＝b2＋c2，∴∠A＝90°；②∵cos B＝cos (π－A－C)
＝sin C＝.∴cos (π＋B)＝－cos B＝－sin C＝－.
12．[2023·全国甲卷(理)]在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，BC＝，∠BAC的角平分
线交BC于D，则AD＝________．
答案：2
解析：方法一 由余弦定理得 cos 60°＝，整理得AC2－2AC－2＝0，得AC＝1＋.又
S ＝S ＋S ，所以×2AC sin 60°＝×2AD sin 30°＋AC×AD sin 30°，所以AD＝＝
△ABC △ABD △ACD
＝2.
方法二 由角平分线定理得＝，又BD＋CD＝，所以BD＝，CD＝.由角平分线长公式
得AD2＝AB×AC－BD×CD＝2AC－，又由方法一知AC＝1＋，所以AD2＝2＋2－＝2＋2
－(2－2)＝4，所以AD＝2.
[能力提升]
13．(多选)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝8，b<4，c＝7，且满
足(2a－b)cos C＝c·cos B，则下列结论正确的是( )
A．C＝60°
B．△ABC的面积为6
C．b＝2
D．△ABC为锐角三角形
答案：AB
解析：∵(2a－b)cos C＝c cos B，∴(2sin A－sin B)cos C＝sin C cos B，∴2sin A cosC＝sin B cos C＋cos B sin C，即2sin A cos C＝sin (B＋C)，∴2sin A cos C＝sin A．∵
在△ABC中，sin A≠0，∴cos C＝，∴C＝60°，A正确．由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2ab
cos C，得49＝64＋b2－2×8b cos 60°，即b2－8b＋15＝0，解得b＝3或b＝5，又b<4，∴b
＝3，C错误．∴△ABC的面积S＝ab sin C＝×8×3×＝6，B正确．又cos A＝＝<0，∴A
为钝角，△ABC为钝角三角形，D错误．
14．[2023·全国甲卷(理)]已知四棱锥PABCD的底面是边长为4的正方形，PC＝PD＝
3，∠PCA＝45°，则△PBC面积为( )
A．2 B．3
C．4 D．6
答案：C
解析：如图，过点P作PO⊥平面ABCD，垂足为O，取DC的中点M，AB的中点N，
连接 PM，MN，AO，BO.由 PC＝PD，得 PM⊥DC，又 PO⊥DC，PO∩PM＝P，所以
DC⊥平面POM，又OM 平面POM，所以DC⊥OM.在正方形ABCD中，DC⊥NM，所以
M，N，O三点共线，所以OA＝OB，所以Rt△PAO≌Rt△PBO，所以PB＝PA.在△PAC中，
⊂
由余弦定理，得PA＝＝，所以PB＝.在△PBC中，由余弦定理，得cos ∠PCB＝＝，所以
sin ∠PCB＝，所以S ＝PC·BC sin ∠PCB＝4，故选C.
△PBC
15．[2022·全国甲卷(理)，16]已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB＝120°，AD＝
2，CD＝2BD.当取得最小值时，BD＝________．
答案：－1
解析：以D为坐标原点，DC所在的直线为x轴，DC的方向为x轴的正方向，过点D
且垂直于DC的直线为y轴，建立平面直角坐标系(图略)，易知点A位于第一象限．由AD
＝2，∠ADB＝120°，得A(1，).因为CD＝2BD，所以设B(－x，0)，x＞0，则C(2x，0).所以
AC＝＝，AB＝＝，所以＝.令f(x)＝，x＞0，
则f′(x)＝
＝
＝．令x2＋2x－2＝0，解得x＝－1－(舍去)或x＝－1.当0＜x＜－1时，f′(x)＜0，所以
f(x)在(0，－1)上单调递减；当x＞－1时，f′(x)＞0，所以f(x)在(－1，＋∞)上单调递增．所
以当x＝－1时，f(x)取得最小值，即取得最小值，此时BD＝－1.
16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且6S
＝(a＋b)2－c2，则tan C＝________．
答案：
解析：由余弦定理得2ab cos C＝a2＋b2－c2，又6S＝(a＋b)2－c2，所以6×ab sin C＝
(a＋b)2－c2＝a2＋b2－c2＋2ab＝2ab cos C＋2ab，化简得3sin C＝2cos C＋2，结合sin2C＋
cos2C＝1，解得sinC＝，cos C＝，所以tan C＝.
