高中数学正余弦定理与解三角形小题归类
一、题型归纳....................................................................................2
【题型一】正余弦定理......................................................................................2
【题型二】求角.................................................................................................. 3
【题型三】判断三角形形状..............................................................................4
【题型四】面积与最值......................................................................................5
【题型五】周长与最值......................................................................................5
【题型六】角的最值..........................................................................................6
【题型七】最值.................................................................................................. 7
【题型八】切弦互化求最值..............................................................................8
【题型九】解三角形应用题..............................................................................9
二、真题演练..................................................................................10
三、各地模拟...........................................................................12
正余弦定理
(1)正弦定理：a
sin A＝b
sin B＝
c
sin C＝2R，其中R 为外接圆半径；
注意：正弦定理变式与性质：
①边化正弦：a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C；②正弦化边：sin A＝a
2R，sin B＝b
2R，sin C＝c
2R；
③a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；
④
a＋b＋c
sin A＋sin B＋sin C
＝
2R
；
(2)余弦定理：①a2＝b2＋c2－2bccos_A；
②b2＝c2＋a2－2cacos_B；
③c2＝a2＋b2－2abcos_C
注意：变式：①cos A＝b2＋c2－a2
2bc
；
②cos B＝c2＋a2－b2
2ac
；
③cos C＝a2＋b2－c2
2ab
(3)三角形面积：①S△ABC＝1
2absin C＝1
2bcsin A＝1
2acsin B＝abc
4R
②S△ABC＝1
2(a＋b＋c)·r(r 是切圆的半
径)
三角形中：
①sin(A＋B)＝sinC，cos(A＋B)＝－cosC；
②sin A＋B
2
＝cos C
2
，
cosA＋B
2
＝sinC
2
；
③三角形中，任何一个角的正弦值恒大于0；
④a>b⇔A>B⇔sin A>sin B⇔cosA＜cosB．
【题型一】正余弦定理
【例题剖析】
（2022·上海市松江一中高三阶段练习）在ABC
中，a 、b、c 分别是角A 、B 、C 所对的边，B 是A 、C
的等差中项，则a
c
与2b 的大小关系是（
）
A．
2
a
c
b
B．
2
a
c
b
C．
2
a
c
b
D．
2
a
c
b
【提分笔记】
基本规律
正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：
（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；
（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；
（3）证明化简过程中边角互化；
求三角形外接圆半径.
【举一反三】
1..（2022·江西·丰城九中高三开学考试（文））已知ABC
的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b，c ，
且6
5
6 cos
a
c
b
C
，则cos B （
）
A．7
8
B．5
6
C．3
4
D．2
3
2.（2023·全国·高三专题练习）在ABC
中，
60 ,
3,
90
C
AC
B
，则b
a 的可能取值为（
）
A．2
3
B．4
3
C．5
3
D．7
3
【题型二】求角
【例题剖析】
（2022·山西吕梁·三模（文））在ABC
中，内角
, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，若
,
6
b
c
b
c
ac C
，
则B （
）
A．6
B．3
C．2
D．2
3
【提分笔记】
基本规律
基本规律
1.构造正余弦定理，特别是余弦定理。
2.要主语三角形中条件，判定是锐角还是钝角。
【举一反三】
1.（2022·全国·高三专题练习）已知在ABC
中，
30 ,
2,
1
B
a
b
，则A 等于（
）
A．45
B．135
C．45或135
D．120
2.（2022·全国·高三专题练习）在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别是a，b，c，已知
2
2
4 3S
a
b
c
，
则sin
4
C
（
）
A．
6
2
4
B．
6
2
4
C．
2
2
D．1
3.（2023·全国·高三专题练习）已知ABC
的内角
, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，设
2
2
(sin
sin
)
sin
(2
2)sin
sin
B
C
A
B
C
，
2 sin
2sin
0
A
B
，则sin C （
）
A．
1
2
B．
3
2
C．
6
2
4
D．
6+ 2
4
【题型三】判断三角形形状
【例题剖析】
（2023·全国·高三专题练习）在ABC
中，A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若
2
2
2
2
a
b
c
bc
且
cos
sin
b
C
a
B ，则ABC
是（
）
A．等腰直角三角形
B．等边三角形
C．等腰三角形
D．直角三角形
【提分笔记】
基本规律
利用正余弦定理判断：
边化角或者角化边，转化为边的勾股或者相等，或者求角度相等（互余）
【举一反三】
1..(2021·广东·高三阶段练习）在△ABC 中，角A、B、C 所对的边分别为a、b、c，且
2
2
2
b
c
a
bc
，若
2
sin
sin
sin
B
C
A
，则△ABC 的形状是（
）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
2.（2023·全国·高三专题练习）在
ABC
中，角A 、B 、C 的对边分别为a、b、c ，若cos
cos
a
b
A
B
，
2
2
2
c
a
b
ab
，则
ABC
是（
）
A．钝角三角形
B．等边三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
3.（2023·全国·高三专题练习）已知三角形ABC，则“
2
2
2
cos
cos
cos
1
A
B
C
”是“三角形ABC 为钝角三角
形”的（
）条件.
A．充分而不必要
B．必要而不充分
C．充要
D．既不充分也不必要
【题型四】面积与最值
【例题剖析】
（2021·江苏·高三课时练习）在锐角三角形ABC 中,若
3 sin
cos
2
B
B
，且满足关系式
cos
cos
sin
sin
3sin
B
C
A
B
b
c
C
，则ABC
的面积的最大值为（
）
A．
3
B．2 3
C．3 3
D．4 3
【提分笔记】
基本规律
多使用均值不等式来放缩求最值范围
【举一反三】
1.（2020·全国·高三课时练习）在ABC
中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b，c ，
2 2
b
且ABC
面
积为
2
2
2
3 (
)
12
S
b
a
c
，则ABC
面积S 的最大值为(
)
A．2
3
B．4
2 3
C．8
4 3
D．16
8 3
2.（2023·全国·高三专题练习）在△ABC 中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若
2
2
a
b
kab
，则△ABC
的面积为
2
2
c 时，k 的最大值是（
）
A．2
B．5
C．4
D．2 5
3.（2023·全国·高三专题练习）在ABC
中，角A，B，C 所对应的边分别为a，b，c，若
8,sin
2sin
cos
0
ac
B
C
A
，则ABC
面积的最大值为(
)
A．1
B．3
C．2
D．4
【题型五】周长与最值
【例题剖析】
（2022·全国·高三专题练习）在
ABC
中，角
, ,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c ，若
3
sin
cos
6
2
A
A
，
4
b
c
，则
ABC
周长的取值范围是（
）
A．
6,8
B．
6,8
C．
4,6
D．
4,6
【提分笔记】
基本规律
注意条件合理的分析转化
1.角与对边型：正弦定理
2.对称边，可以余弦定理+均值不等式
【举一反三】
1.在ABC
中，角
, ,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c ，若sin�+ ���(�+
�
6 ) =
3
2 ，�+ �= 4，则ABC
周长的取
值范围是
A．[6,8)
B．[6,8]
C．[4,6)
D．(4,6]
2.（2022·贵州遵义·高三开学考试（文））在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若
sin
sin
2
B
C
b
a
B
，
2
a
，则△ABC 周长的最大值为________．
3.（2022·全国·高三专题练习）在三角形ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若
sin
3cos
2
2
A
B
a
b
，
则该三角形周长的最大值为___________.
【题型六】角的最值
【例题剖析】
（2022·全国·高三专题练习（理）（文））已知△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若2csin C＝(a
＋b)(sin B－sin A)，则当角C 取得最大值时，B＝（
）
A．3
B．6
C．2
D．2
3
【提分笔记】
基本规律
注意角度范围与三角形条件之间的限制关系
【举一反三】
1.（2022·安徽淮南·一模（文））在ABC
中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b，c ，若函数
3
2
2
2
1
2
3
f x
x
bx
a
c
ac x
无极值点，则角B 的最大值是（
）
A．3
4
B．2
C．4
D．6
2.（2022·全国·江西师大附中模拟预测（文））在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c．若
2 sin
sin
sin
a
A
c
C
b
B
，则角A 的最大值为（
）
A．π
6
B．π
4
C．π
3
D．2π
3
3.已知锐角△ABC 中,角、、
A B
C 对应的边分别为a
b
c
、、,△ABC 的面积
2
2
2
3
12
S
a
b
c
,若
24
)
tan
bc
a
b
B
（
, 则c 的最小值是
A．3
B．3 3
4
C．2 3
3
D．
3
2
【题型七】最值
【例题剖析】
在ABC
中，角A 、B 、C 的对边分别为a、b、c ，已知
6
B
且
1
ABC
S
△
，则
2
2
a
c
ca
c
ac
a
的最小值
为（
）
A．
1
2
B．2
C．1
4
D．4
【提分笔记】
基本规律
求最值时，涉及到角度范围的限制
1.钝角或者锐角三角形限制
2.其他条件限制（如已知某角）
【举一反三】
1..锐角△ABC 中，角A、B、C 所对的边分别为a、b、c，若2sinA(acosC + ccosA) =
3a，则
c
b的取值范围
是（
）
A．(
1
2 , 2)
B．(
3
3 ,
2 3
3 )
C．(1,2)
D．(
3
2 , 1)
2.在锐角ABC
中，�= 2�，则
��
��的取值范围是
A．−1,3
B．1,3
C．( 2,
3)
D．1,2
3.△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，设△ABC 的面积为S，若
2
2
2
4 3
3
c
a
b
S
，则b
a 的取
值范围为
A．（0，+∞）
B．（1，+∞）
C．
0
3
，
D．
3
，
【题型八】切弦互化求最值
【例题剖析】
ABC
中，角
, ,
A B C 的对边长分别为a,b,c，若acosB −bcosA=
3
5 c，则tan �−�的
最大值为
(
）
A．4
3
B．1
C．
3
4
D．3
【提分笔记】
基本规律
解三角形题。对含有正切函数求最值范围，属于较难题型，一般从以下几方面分析：
1.切化弦
2.在三角形中，有
tan
tan
tan
tan
tan
tan
A
B
C
A
B
C
【举一反三】
1.在ABC
中，若
1
1
1
tan
tan
tan
B
C
A
，则cos A的取值范围为
A．
2
0, 3
B．2 ,1
3
C．
1
0, 3
D．1 ,1
3
2.在ABC 中，, ,
a b c 分别是角
, ,
A B C 的对边，若�2 + �2 = 2014�2，则
2tan�⋅tan�
tan�(tan�+tan�)的值为
A．2013
B．1
C．0
D．2014
3.在ABC
中，角A 、B 、C 所对的边分别为a、b、c ，若ABC
为锐角三角形，且满足
2
2
b
a
ac
，则
1
tanA −
1
tanB
的取值范围是
A．
2 3
1, 3
B．1,
2
C．2 3
3 ,
2
D．1, + ∞
【题型九】解三角形应用题
【例题剖析】
（2022·江苏·高三课时练习）如图，某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练，已知点
A 到墙面的距离为AB ，某目标点P 沿墙面上的射线CM 移动，此人为了准确瞄准目标点P ，需计算由点A
观察点P 的仰角的大小，若
15
,
25
,
30
AB
cm AC
cm
BCM
，则tan的最大值是（
）.（仰角
为直线AP 与平面ABC 所成的角）
A．
30
5
B．
30
10
C．4 3
9
D．5 3
9
【举一反三】
1.（2022·全国·高三课时练习）如图，某城市有一条公路从正西方MO 通过市中心O后转向东北方ON ，为
了缓解城市交通压力，现准备修建一条绕城高速公路L ，并在
,
MO ON 上分别设置两个出口
,
A B ，若AB 部
分为直线段，且要求市中心O与AB 的距离为20 千米，则AB 的最短距离为（
）
A．
20
2
1
千米
B．
40
2
1
千米
C．
20
2
1
D．
40
2
1
2.在一座尖塔的正南方地面某点A ，测得塔顶的仰角为22 30
，又在此尖塔正东方地面某点B ，测得塔顶
的仰角为67 30
，且A ，B 两点距离为540m ，在线段AB 上的点C 处测得塔顶的仰角为最大，则C 点到塔
底O的距离为（
）
A．90m
B．100m
C．110m
D．270m
3..某制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，如图所示，长方形ABCD的周长为4 米，沿AC 折叠使B 到�'
位置，��'交��于P ，研究发现，当����的面积最大时最节能，则最节能时ABCD的面积为
A．3 −2 2
B．2 3
C．2( 2 −1)
D．2
1．（2020·山东·高考真题）在ABC
中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b，c ，若
2
2
2
sin
a
b
c
ab
C
，
且sin
cos
a
B
C
2
sin
cos
2
c
B
A
b
，则tan A 等于（
）
A．3
B．
1
3
C．3 或
1
3
D．-3 或1
3
2．（2021·全国·高考真题（文））在ABC
中，已知
120
B
，
19
AC
，
2
AB
，则BC （
）
A．1
B．
2
C．5
D．3
3．（2020·全国·高考真题（文））在△ABC 中，cosC= 2
3 ，AC=4，BC=3，则tanB=（
）
A．5
B．2 5
C．4 5
D．8 5
4．
（2014·江西·高考真题（文））在ABC
中，内角A，B，C 所对的边分别是a，b，c.若3
2
a
b
，则
2
2
2
2sin
sin
sin
B
A
A
的值为（
）
A．1
9
B．1
3
C．1
D．7
2
5．（2020·全国·高考真题（理））在△ABC 中，cosC= 2
3 ，AC=4，BC=3，则cosB=（
）
A．1
9
B．1
3
C．
1
2
D．2
3
6．（2019·全国·高考真题（文））△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB=4csinC，
cosA=－1
4 ，则b
c =
A．6
B．5
C．4
D．3
7．·湖南·高考真题（文））在△ABC 中，AC= 7 ，BC=2，B =60°，则BC 边上的高等于
A．
3
2
B．3 3
2
C．
3
6
2
D．
3
39
4
8．
（2018·全国·高考真题（理））ABC
的内角A
B
C
，，的对边分别为a，b，c ，若ABC
的面积为
2
2
2
4
a
b
c
，
则C
A．π
2
B．π
3
C．π
4
D．π
6
9.（2022·浙江·高考真题）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法
称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是
2
2
2
2
2
2
1
4
2
c
a
b
S
c a
，其中a，b，c 是三角形的三边，S 是三角形的面积．设某三角形的三边
2,
3,
2
a
b
c
，则该三角形的面积S ___________．
10．（2022·全国·高考真题（理））已知ABC
中，点D 在边BC 上，
120 ,
2,
2
ADB
AD
CD
BD
．当AC
AB
取得最小值时，BD ________．
11．（2022·上海·高考真题）在△ABC 中，
3
A
，
2
AB
，
3
AC ，则△ABC 的外接圆半径为________
12．
（2021·全国·高考真题（理））记ABC
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，面积为
3 ，
60
B
，2
2
3
a
c
ac
，
则b ________．
13．（2020·江苏·高考真题）在△ABC 中，
4
3
=90
AB
AC
BAC
，
，∠
，D 在边BC 上，延长AD 到P，使得AP=9，
若
3
(
)
2
PA
mPB
m PC
（m 为常数），则CD 的长度是________．
14．（2020·全国·高考真题（理））如图，在三棱锥P–ABC 的平面展开图中，AC=1，
3
AB
AD
，AB⊥AC，
AB⊥AD，∠CAE=30°，则cos∠FCB=______________.
15．（2019·全国·高考真题（文））ABC
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c.已知bsinA+acosB=0，则
B=___________.
16．（2019·全国·高考真题（理））ABC
的内角
, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c .若
π
6,
2 ,
3
b
a
c B
，则ABC
的面积为__________.
1.（2022·江西·模拟预测（文））在△ABC 中，角A、B、C 所对的边分别为a、b、c，且满足
3
1
cos
sin
3
A
A
，
sin
6cos
sin
A
B
C
，则b
c 的值为（
）
A．1
6
B．1
2 2
C．1
3 2
D．1
3 3
2.（2021·黑龙江绥化·高三阶段练习（文））已知锐角ABC
的三个内角A，B，C 的对边分别是a，b，c，
且cos
cos
cos
a
b
c
A
B
C
，则角C 的大小为(
)
A．5
12
B．3
C．4
D．6
3.（2023·全国·高三专题练习）ABC
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若
2
2
2
cos
2
cos
c
b
A
bc
A
，
则ABC
为（
）
A．等腰非等边三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等边三角形
4.（2022·安徽·蒙城第一中学高三阶段练习（文））ABC
的内角A、B、C 的对边分别为a 、b、c ，已知
2
b
，
且2 cos
cos
cos
a
B
a
C
c
A a
b
，则ABC
面积的最大值是（
）
A．
3
2
B．
3
C．2
D．5
5．（2022·全国·高三专题练习（理））在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，其中a=3，
2
3cos
3 3sin
c
C
b
C
，则△ABC 的面积与周长之比的取值范围是___________.
6.已知ABC
的内角、、
A B
C 的对边分别为�、�、�，若�= 2�，则
�
�+
2�
�的取值范围为__________．
7.已知ABC
的面积为2 3 ，
3
A
，则
4sin
2sin
sin
sin
2sin
sin
C
B
B
C
B
C
的最小值为（
）
A．
1
6
2
B．
1
6
2
C．
6
1
D．6
1
8.在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若
2
2
2
2 19
0
a
b
c
，
tan�
tan�+
tan�
tan�=（
）
A．
1
1009
B．
1
1008
C．
1
2018
D．
1
2017
9.如图，某景区内有一半圆形花圃，其直径AB 为6，O为圆心，且OC
AB
，在OC 上有一座观赏亭Q，
其中
2
3
AQC
，计划在圆弧BC 上再建一座观赏亭P ，记
POB
0
2
，当
OPQ
越大时，游
客在观赏亭P 处的观赏效果越佳，则观赏效果最佳时，sin（
）
A．
3
3
B．
2
2
C．
3
2
D．
1
2
10.设锐角ABC
的内角
, ,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c ，若
,
3
3
A
a
，则
2b
2c
bc
的取值范围为
（
）
A．(1，9]
B．(3，9]
C．(5，9]
D．(7，9]
