文档内容
专题 10-1 极坐标与参数方程题型归类
目录
讲高考................................................................................................................................................................................1
题型全归纳.......................................................................................................................................................................2
【题型一】极坐标1：三线及三线段型.................................................................................................................2
【题型二】极坐标2：极坐标求面积型.................................................................................................................3
【题型三】极坐标3：极坐标最值型.....................................................................................................................4
【题型四】极坐标4：面积最值...............................................................................................................................5
【题型五】极坐标5：极坐标求轨迹型.................................................................................................................6
【题型六】参数方程1：三等分点型.....................................................................................................................7
【题型七】参数方程2：参数点型..........................................................................................................................8
【题型八】参数方程3：最值 求参........................................................................................................................8
【题型九】参数方程4：复杂参数型最值与范围..............................................................................................9
【题型十】参数方程5：取得最值时求对应点的坐标型..............................................................................10
【题型十一】参数方程6：交点求参数型.........................................................................................................11
专题训练.........................................................................................................................................................................12
讲高考
1.（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）在直角坐标系 中，曲线C的参数方程为
，（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知
直线l的极坐标方程为 ．
(1)写出l的直角坐标方程；
(2)若l与C有公共点，求m的取值范围．
2．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））在直角坐标系xOy中，曲线
C的参数方程为 （t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立
极坐标系，直线l的极坐标方程为 ．
（1）求C和l的直角坐标方程；
（2）求C上的点到l距离的最小值．
3．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））已知曲线
，直线 ： （ 为参数）.
（I）写出曲线 的参数方程，直线 的普通方程；
（II）过曲线 上任意一点 作与 夹角为 的直线，交 于点 ， 的最大值与最小值．
题型全归纳【题型一】极坐标1：三线及三线段型
【讲题型】
例题1.在极坐标系下，曲线E的极坐标方程为：
(1)以极坐标系的极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系 ，求E直角
坐标方程，并说明E的轨迹是什么图形；
(2)A，B，C为曲线E上不同的三点，O为极点， ，证明：
为定值．
例题2.在直角坐标系 中，曲线 的方程为 ，曲线 的方程为
以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为
(1)求曲线 ， 的极坐标方程；
(2)若 ，直线 与曲线 交于 ， 两点，与曲线 的一个交点为点 ，且
，求 的值
【讲技巧】
极坐标基础型：
【练题型】
在平面直角坐标系 中，圆 的方程为 ，圆 以 为圆心且与圆 外切.以
坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求圆 的极坐标方程.(2)若射线 与圆 交于点 ，与圆 交于点 且
，求直线 的斜率.
【题型二】极坐标2：极坐标求面积型
【讲题型】
例题1.如图，在极坐标系中，曲线 是以 为圆心的半圆，曲线 是以
为圆心的圆，曲线 都过极点 .
(1)分别写出半圆 ，圆 的极坐标方程；
(2)直线 与曲线 分别交于 两点（异于极点 ），求 的面
积.
例题2.在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标
原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线 的极坐标方程；
(2)若直线 ， 的极坐标方程分别为 ， ，设直线 ， 与曲
线 的交点分别为 和 ，求 的面积.
【讲技巧】
极坐标中求面积：
1.直接转化为直角坐标系求解
2.在 极坐标系中，三角形底边是极坐标弦长公式求解，高，可以用极径与夹角的极角正弦求解。
【练题型】
1.在平面直角坐标系 中，伯努利双纽线C（如图）的普通方程为 ，
直线l的参数方程为 （其中 为直线l倾斜角，t为参数）．
(1)以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求C和l的极坐标方程；(2)设A、B是C与x轴异于原点的交点，当 时，l与C在第一象限的交点为M，求
的面积．
2.已知在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标
原点 为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为
，点 的极坐标为 .
(1)求直线 的极坐标方程以及曲线 的直角坐标方程；
(2)记 为直线 与曲线 的一个交点，其中 ，求 的面积.
【题型三】极坐标3：极坐标最值型
【讲题型】
例题1.．数学中有许多美丽的曲线，如在平面直角坐标系xOy中，曲线
，（ ）的形状如心形（如图），我们称这类曲线为笛卡尔
心形曲线．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，当 时．
(1)求曲线E的极坐标方程；
(2)已知P，Q为曲线E上异于O的两点，且 ，求 的最大值．
例题2.在平面直角坐标系 中，直线 的直角坐标方程为 ，曲线 的参数方
程为 （ 为参数），以原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求直线 、曲线 的极坐标方程；
(2)若射线 ： 分别交直线 ，曲线C于M、N两点（点N异于原点
О），求 的最大值.
【练题型】
1.在直角坐标系xOy中，曲线 的参数方程为 （其中 为参数），以 为极
点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
(1)求曲线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程；
(2)射线 ： 与曲线 ， 分别交于点A，B（均异于极点），当 时，求的最小值.
2.在极坐标系 中，若点A为曲线 ： 上一动点，点B在射线AO
上，且满足 ，记动点B的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的极坐标方程；
(2)若过极点的直线 交曲线C和曲线 分别于P，Q两点，且线段PQ的中点为M，求
的最大值．
【题型四】极坐标4：面积最值
【讲题型】
例题1.如图，在极坐标系中，曲线 是以 为圆心的半圆，曲线 是以 为
圆心的圆，曲线 、 都过极点O．
(1)分别写出半圆 和圆 的极坐标方程；
(2)直线 与曲线 、 分别交于M、N两点（异于极点O），P为 上的动
点，求 面积的最大值．
例题2.如图，在极坐标系 中，圆O的半径为2，半径均为1的两个半圆弧 所在圆
的圆心分别为 ，M是半圆弧 上的一个动点.
(1)若点A是圆O与极轴的交点，求 的最大值；
(2)若点N是射线 与圆O的交点，求 面积的取值范围.
【练题型】
1.在平面直角坐标系 中，已知曲线T的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线T经过点 .
(1)求曲线T的极坐标方程.
(2)若直线 和直线 分别与曲线T相交于A，C和B，D两点，求四边形
的面积的最小值.
2.在直角坐标系 中，已知曲线 ： （ 为参数）.经伸缩变换
后的曲线为 ，以原点О为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线 的极坐标方程；
(2)M，N是曲线 上的两点，且 ，求 面积的取值范围.
【题型五】极坐标5：极坐标求轨迹型
【讲题型】
例题1.如图，在极坐标系Ox中，点 ，曲线M是以OA为直径， 为圆心的半圆，
点B在曲线M上，四边形OBCD是正方形．
(1)当 时，求B，C两点的极坐标；
(2)当点B在曲线M上运动时，求D点轨迹的极坐标方程．
例题2.如图，在极坐标系Ox中，圆O的半径为2，半径均为1的两个半圆弧 ， 所在
圆的圆心分别为 ， ，M是半圆弧 上的一个动点．
(1)当 时，求点M的极坐标；(2)以O为坐标原点，极轴Ox为x轴正半轴， 的方向为y轴正方向建立平面直角坐标
系．若点N为线段 的中点，求点N的轨迹方程．
【练题型】
1.在极坐标系下，设点 为曲线 ： 在极轴 上方的一点，且 ，以极
点为原点，极轴为 轴正半轴建立平面直角坐标系 ．
(1)求曲线 的参数方程；
(2)以 为直角顶点， 为一条直角边作等腰直角三角形 在 的右下方 ，求点
轨迹的极坐标方程．
2.以坐标原点为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为
.
(1)求曲线 的直角坐标方程；
(2)若 是 上一动点， ，作线段 的中垂线交直线 于点 ，求点
的轨迹方程.
【题型六】参数方程1：三等分点型
【讲题型】
例题1.已知 的极坐标方程为 ，以极点O为坐标原点，极轴为x轴正半轴，建
立平面直角坐标系，
(1)求 的直角坐标方程，
(2)过 作直线l交圆 于P，Q两点，且 ，求直线l的斜率．
例题2.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 （t为参数）．以坐标原
点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为
．
(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程：
(2)在平面直角坐标系xOy中，设直线l与曲线C相交于A，B两点，若点 恰为线段
AB的一个三等分点，求正数m的值．
【讲技巧】
直线参数方程，涉及到线段时，有以下基本公式
【练题型】
1.在直角坐标系 中，点 ，曲线C的参数方程为 （ 为参数），
以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为
．
(1)写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
(2)设点M为C上的动点，点P满足 ，写出P的轨迹 的参数方程，并判断l与是否有公共点．
2.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 （t为参数），以坐标原点为极点，
x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 .
(1)写出直线l的直角坐标方程；
(2)设曲线C与x轴的交点为A，B（点A在点B的左侧），若直线l上存在点M，满足
，求实数m的取值范围.
【题型七】参数方程2：参数点型
【讲题型】
例题1.已知直线 过点 且倾斜角为150°，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴
建立极坐标系，圆C的极坐标方程为 .
(1)求圆C的直角坐标方程；
(2)点 是直线 与圆面 的公共点，求 的取值范围.
例题2.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 ，（t为参数）．
(1)求C的直角坐标方程；
(2)点 是曲线C上在第一象限内的一动点，求 的最小值．
【练题型】
1.在平面直角坐标系 中，以原点 为极点， 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，
曲线 的参数方程为 为参数).
(Ⅰ)求曲线 的极坐标方程；
(Ⅱ)若曲线 向左平移一个单位,再经过伸缩变换 得到曲线 ，设 为曲线
上任一点，求 的最小值，并求相应点M的直角坐标.
2.已知在平面直角坐标系 中，椭圆 的方程为 ，以 为极点， 轴非负半轴
为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 .
(1)求直线 的直角坐标方程和椭圆 的参数方程；
(2)设 为椭圆 上任意一点，求 的最大值.
【题型八】参数方程3：最值 求参【讲题型】
例题1.在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 ，直线 的参数方
程为 .
(1)若 ，求 与 的交点坐标；
(2)若 时，曲线 上的点到 距离的最大值为 ，求 .
例题2.在直角坐标系中，直线l的参数方程为 （t为参数）.以直角坐标系的原点
O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.在极坐标系中，曲线S的极坐标方程为
.
(1)①求直线l的普通方程；
②当曲线S过极坐标系中的点 时，求曲线S的直角坐标方程.
(2)若直线l与曲线S交于A、B两点，定点 ，且 .求m的值.
【练题型】
1.在直角坐标系 中，曲线 的参数方程是 （ 为参数）.以坐标原点为
极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，
(1)求曲线 的直角坐标方程，
(2)设A，B分别在曲线 上运动，若 的最小值是1，求m的值.
2.在平面直角坐标系中，已知直线l： ．以平面直角坐标系的原点O
为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C的极坐标方程为 ．
(1)求直线l的极坐标方程和圆C的一个参数方程；
(2)若直线l与圆C交于A，B两点，且 ，求m的值．
【题型九】参数方程4：复杂参数型最值与范围
【讲题型】
例题1.在平面直角坐标系xOy中有一点 ，圆C的方程为 点
为C上的动点，M为PQ的中点.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建
立极坐标系.
(1)求点M的轨迹 的极坐标方程；
(2)设点N的直角坐标为 ，若直线l经过点N且与曲线 交于点E，F，弦EF的中点为D，求 的最大值.
例题2.在平面直角坐标系 中，已知直线 的参数方程为 （ 为参数），以
坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为
.
(1)求直线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程；
(2)设点 ，直线 与曲线 的交点为 ， ，求 的值.
【练题型】
1.在直角坐标系 中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点A
的极坐标为 ，将点A按逆时针方向旋转 得到点B，按顺时针方向转 得到点
C．
(1)求点B和点C的极坐标，并求点B和点C的直角坐标；
(2)设P为坐标系中的任意一点，求 的最小值．
2.已知曲线 ，直线 为参数)．
（Ⅰ）写出曲线 的参数方程，直线 的普通方程；
（Ⅱ）过曲线 上任意一点 作与直线 夹角为 的直线，交 于点 ，求 的最大值
与最小值．
【题型十】参数方程5：取得最值时求对应点的坐标型
【讲题型】
例题1.在平面直角坐标系xOy中，曲线 方程为： （t为参数），以坐标原点
O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为：
(1)求曲线 的直角坐标方程；
(2)已知点P、点Q分别是曲线 和 上的动点，求 的最小值以及取得最小值时P点
坐标．
例题2.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 (t为参数)，以坐标原点为极
点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2+2ρcos θ+4ρsin θ+4=0．
(1)求l的普通方程和C的参数方程；
(2)已知点M是曲线C上任一点，求点M到直线l距离的最大值，并求出此时点M的坐标．【讲技巧】
参数方程最值时求对应点的坐标，实际上就是三角函数辅助角的知识点：
【练题型】
1.已知曲线 的参数方程为 （ 为参数），直线 的极坐标方程为
，以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线 的普通方程和直线 的直角坐标方程；
(2)设点 在曲线 上，点 在直线 上，求 的最小值及此时点 的坐标．
2.在直角坐标系 中，曲线 经过伸缩变换 后得到曲线 ，以原点O
为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为： .
(1)写出曲线 的参数方程和直线l的直角坐标方程；
(2)已知点P为曲线 上一动点，求点P到直线l距离的最小值，并求出取最小值时点P的
直角坐标.
【题型十一】参数方程6：交点求参数型
【讲题型】
例题1.在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），以 为
极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
(1)求直线 和曲线 的直角坐标方程；
(2)若曲线 经过伸缩变换 得到曲线 ，若直线 与与曲线 有公共点，试求 的取值范围.
例题2.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点
为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为 ．
(1)写出曲线C和直线l的直角坐标方程；
(2)若 ，且直线l与曲线C没有公共点，求m的取值范围．
【练题型】
1.在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数， ）以
为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 .
(1)若 ，写出曲线 普通方程和直线 的直角坐标方程；
(2)若 与 恰一个公共点，求 的值.
2.在直角坐标系 中，曲线C的参数方程为 （θ为参数， ），以坐
标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线 的极坐标方程为
.
(1)求直线l的直角坐标方程；
(2)若l与C有公共点，求m的取值范围.
1．在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点
为极点， 轴为正半轴建立极坐标，椭圆 的极坐标方程为 ，其右
焦点为 ，直线 与椭圆 交于 两点.
(1)求 的值；
(2)若点 是椭圆上任意一点，求 的面积最大值.
.
2．在平面直角坐标系 中，曲线C的参数方程为 （ 为参数），
以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为
．
(1)求直线 和曲线 的直角坐标方程；
(2)从原点 引一条射线分别交曲线 和直线 于 两点，求 的最大值．3．面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （t为参数， ），
曲线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点 为极点，以 轴正
半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线 的极坐标方程；
(2)若点 ，直线 与曲线 交于A，B两点，且 ，求直线 的普
通方程．
4．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 （α为参数），
以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为
(1)求 的普通方程与 的直角坐标方程；
(2)求 与 交点的极坐标.
5．在直角坐标系xOy中，已知直线l的方程为 ，曲线C的参数方程为
（α为参数）．以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求直线l的极坐标方程和曲线C的普通方程；
(2)设直线 与曲线C相交于点A，B，与直线l相交于点C，求
的最大值．
6．在平面直角坐标系 中，曲线C的参数方程为 （ 为参数），以O
为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 ．
(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
(2)P为l上一点，过P作曲线C的两条切线，切点分别为A，B，若 ，求点P横
坐标的取值范围．
