2014年高考数学试卷（理）（安徽）（解析卷）_历年高考真题合集_数学历年高考真题_新·PDF版2008-2025·高考数学真题_数学（按年份分类）2008-2025_2014·高考数学真题

第I卷（选择题 共50分）
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的.
z
（1）设i是虚数单位，z表示复数z的共轭复数. 若z 1i,则 i×z （ ）
i
A. 2 B. 2i C. 2 D. 2i
（2）“x0”是“ln(x1)0”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
（3）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）
A. 34 B. 55 C. 78 D. 89
第1页 | 共21页4.以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，
ìxt1
已知直线l的参数方程是í （t为参数），圆C的极坐标方程是4cos，则直线l被圆C截得的
îy t3
弦长为（ ）
A. 14 B.2 14 C. 2 D.2 2
第2页 | 共21页考点：1.极坐标方程、参数方程与平面直角方程之间的转化；2.圆中弦长的求解.
ìx y20

5.x,y满足约束条件íx2y20，若z  yax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（ ）

2x y20
î
1 1
A, 或1 B.2或 C.2或1 D.2或1
2 2
23
6.设函数 f(x)(xR)满足 f(x) f(x)sinx.当0 x时， f(x)0，则 f( )（ ）
6
1 3 1
A. B. C.0 D.
2 2 2
【答案】A
【解析】
23 17 17 11 11 17
试题分析：由题意， f ( )  f ( )sin  f ( )sin sin
6 6 6 6 6 6
5 5 11 17 1 1 1 1
 f ( )sin sin sin 0    ，故选A.
6 6 6 6 2 2 2 2
第3页 | 共21页考点：1.函数的求值.
7.一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（ ）
A.21+ 3 B.18+ 3 C.21 D.18
考点：多面体的三视图与表面积.
8.从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有（ ）
A.24对 B.30对 C.48对 D.60对
第4页 | 共21页9.若函数 f(x) x1  2xa 的最小值为3，则实数a的值为（ ）
A.5或8 B.1或5 C.1或4 D.4或8
【答案】D
【解析】
ì a
3x(1a),x  

2

a  a a
试题分析：由题意，①当1  时，即a  2， f (x)  íxa1,  x  1，则当x   时，
2 2 2

3x(a1),x  1

î
a a a
f (x)  f ( ) | 1||aa|3，解得a 8或a  4（舍）；②当1  时，即a  2，
min 2 2 2
第5页 | 共21页r r r r r r uuur r r
10.在平面直角坐标系xOy中，已知向量a,b, a  b 1,a×b0,点Q满足OQ  2(ab).曲线
uuur r r uuur
C {P OPacosbsin,02}，区域{P 0r  PQ  R,r  R}.若C 为两段分离的

曲线，则( )
A.1 r R3 B.1 r3 R C.r 1 R3 D.1 r3 R
第I I卷（非选择题 共100分）
二. 选择题:本大题共5小题，每小题5分，共25分.
 
11.若将函数 f xsin  2x 的图像向右平移个单位，所得图像关于 y轴对称， 则的最小正值是
 4
第6页 | 共21页________.
12.数列{a }是等差数列，若a 1,a 3,a 5构成公比为q的等比数列，则q 
n 1 3 5
________.
n
 x
（13）设a 0,n是大于1的自然数，1  的展开式为a a xa x2  a xn.若点
 a 0 1 2  n
A(i,a )(i 0,1,2)的位置如图所示，则a  ______.
i i
第7页 | 共21页y2
（14）设F,F 分别是椭圆E:x2  1(0b1)的左、右焦点，过点F 的直线交椭圆E于A,B两点，
1 2 b2 1
若 AF 3BF ,AF  x轴，则椭圆E的方程为__________
1 1 2
考点：1.椭圆的标准方程；2.椭圆的性质.
（15）已知两个不相等的非零向量a,b,两组向量x ,x ,x ,x ,x 和y ,y ,y ,y ,y 均由2个a和3个b排
1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
列而成.记S  x ×y x ×y x ×y x ×y x ×y ，S 表示S 所有可能取值中的最小值.则下列命题
1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 min
第8页 | 共21页的是_________（写出所有正确命题的编号）.
①S 有5个不同的值.
②若ab,则S 与 a 无关.
min
③若a∥b,则S 与 b 无关.
min
④若 b 4a ，则S 0.
min
r r r 
⑤若|b| 2|a|,S 8|a|2，则a与b的夹角为
min 4
三．解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文子说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的
指定区域内.
（16）（本小题满分12分）设 ABC 的内角A,B,C 所对边的长分别是a,b,c，且b3,c 1,A2B.
V
（1）求a的值；

（2）求sin(A )的值.
4
第9页 | 共21页4 2
【答案】（1）a  2 3；（2） .
6
（17）（本小题满分12分）
甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多
2 1
者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为 ，各局比赛结果相互独立.
3 3
(1)求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；
(2)记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和均值（数学期望）.
56 224
【答案】（1） ；（2） .
81 81
【解析】
第10页 | 共21页试题分析：（1）甲在4局以内（含4局）赢得比赛的情况有：前2局甲赢；第1局乙赢、第2、3局甲赢；
第1局甲赢、第2局乙赢、第3、4局甲赢，从而就可以求出概率.（2）根据题意X 的可能取值为
2,3,4,5.
故X 的分布列为
第11页 | 共21页X 2 3 4 5
P
5 2 10 8
9 9 81 81
5 2 10 8 224
所以EX  2 3 4 5  .
9 9 81 81 81
考点：1.概率的求解；2.期望的求解.
（18）（本小题满分12分）
设函数 f (x) 1(1a)xx2 x3,其中a 0.
（1） 讨论 f (x)在其定义域上的单调性；
（2） 当x[0,1]时，求 f (x)取得最大值和最小值时的x的值.
试题解析：（1） f (x)的定义域为R， f '(x) 1a2x3x2 .令 f '(x) 0，得
第12页 | 共21页1 43a 1 43a
x  ,x  ,x  x ，所以 f '(x)  3(xx )(xx ).当x  x 或x  x
1 3 2 3 1 2 1 2 1 2
时 f '(x)0；当x  x  x 时， f '(x) 0.故 f (x)在(,x )和(x ,)内单调递减，在(x ,x )内
1 2 1 2 1 2
单调递增.
(19)(本小题满分13分)
如图，已知两条抛物线E : y2 2p x  p 0  和E : y2 2p x  p 0  ，过原点O的两条直线l 和l ，l
1 1 1 2 2 2 1 2 1
与E ,E 分别交于A,A 两点，l 与E ,E 分别交于B ,B 两点.
1 2 1 2 2 1 2 1 2
(1)证明：AB // A B ;
1 1 2 2
(2)过原点O作直线l（异于l ，l ）与E ,E 分别交于C ,C 两点.记ABC 与A B C 的面积分别为S
1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 1
S
与S ,求 1 的值.
2 S
2
第13页 | 共21页S p2
【答案】（1）AB / /A B ；（2） 1  1 .
1 1 2 2 S p 2
2 2
第14页 | 共21页（20）(本题满分13分)
如图，四棱柱ABCDABC D 中，AA 底面ABCD.四边形ABCD为梯形，AD//BC,且
1 1 1 1 1
AD2BC .过A,C,D三点的平面记为，BB 与的交点为Q.
1 1
（1）证明：Q为BB 的中点；
1
（2）求此四棱柱被平面所分成上下两部分的体积之比；
（3）若AA 4，CD 2，梯形ABCD的面积为6，求平面与底面ABCD所成二面角大小.
1
第15页 | 共21页uuur uuuur
角的平面角.第二种方法，建立空间直角坐标系，以D为原点，DA,DD 分别为x轴和z轴正方向建立空间
1
a2a 2
直角坐标系.设CDA=.因为S  ×2sin6，所以a  .从而C2cos,2sin,0，
ABCD 2 sin
 4  uuur uuuur  4 
A  ,0,4 ，所以DC 2cos,2sin,0，DA   ,0,4 .设平面ADC 的法向量
1 sin  1 sin  1
r
nx,y,1，再利用向量求出二面角.
第16页 | 共21页第17页 | 共21页ur
又因为平面ABCD的法向量m 0,0,1 ，
第18页 | 共21页r ur
r ur n×m 2
所以cos n,m   ，
r ur
n m 2
π
故平面与底面ABCD所成的二面角的大小为 .
4
考点：1.二面角的求解；2.几何体的体积求解.
（21） （本小题满分13分）
设实数c0，整数 p 1，nN*.
（1）证明：当x1且x0时，(1x)p 1 px；
1 1
p1 c
（2）数列  a  满足a cp，a  a  a 1p，证明：a a cp .
n 1 n1 p n p n n n1
1
p1 c
f (x)  x x1p,x cp，则xp c，并且
p p
第19页 | 共21页1 1
p1 c p1 c
f '(x)   (1 p)xp  (1 ) 0,x cp .由此可得， f (x)在[cp,)上单调递增，
p p p xp
1 1 1 1
因而，当x cp时， f (x)  f (cp) cp .再利用数学归纳法证明a  a cp .
n n1
第20页 | 共21页第21页 | 共21页