文档内容
2014年普通高等学校招生全国统一考试文科数学山东卷
第Ｉ卷（共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1) 已知a,bÎR,i是虚数单位. 若a+i＝2-bi，则(a+bi)2 =
(A) 3-4i (B) 3+4i (C) 4-3i (D) 4+3i
(2) 设集合A={x|x2 -2x<0},B={x|1£ x£4}，则A I B=
(A) (0,2] (B) (1,2) (C) [1,2) (D) (1,4)
1
(3) 函数 f(x)= 的定义域为
log x-1
2
(A) (0,2) (B) (0,2] (C) (2,+¥) (D) [2,+¥)
(4)
用反证法证明命题：“设a,b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是
(A)
方程x3+ax+b=0没有实根
(B)
方程x3+ax+b=0至多有一个实根
(C)
方程x3+ax+b=0至多有两个实根
(D)
方程x3+ax+b=0恰好有两个实根
(5)
已知实数x,y满足ax y3 (B) sinx>sin y
1 1
(C) ln(x2 +1)>ln(y2 +1) (D) >
x2 +1 y2 +1
(6) 已知函数y =log (x+c)(a,c为常数，其中a >0,a ¹1)的图象如右图，则下列结论成立的是
a
E
O x
(A) a>0,c>1 (B) a>1,01 (D) 00,b>0)在该约束条件下取到最
î2x- y-3³0,
小值2 5时，a2 +b2的最小值为
(A) 5 (B) 4 (C) 5 (D) 2
第II卷（共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
(11) 执行右面的程序框图，若输入的x的值为1，则输出的n的值为 .
开始
3
(12) 函数y = sin2x+cos2 x的最小正周期为 .
2
输入x
(13)
一个六棱锥的体积为2 3，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等
n=0
，则该六棱锥的侧面积为 。
(14) 否
圆心在直线x-2y =0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得 x3-4x+3£0
弦的长为2 3，则圆C的标准方程为 。 是
(15)
x=x+1 输入x
x2 y2
已知双曲线 - =1(a>0,b>0)的焦距为2c，右顶点为A，抛物线
a2 b2
n=n+1 结束
x2 =2py(p>0)的焦点为F，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c
，且|FA|=c，则双曲线的渐近线方程为 。
三、解答题：本大题共6小题，共75分.
(16)（本小题满分12分）
海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（
单位：件）如右表所示. 工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.
第2页 | 共10页地区 A B C
数量 50 150 100
（Ｉ）求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；
（II）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率.
(17) （本小题满分12分）
6 p
DABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c. 已知a=3,cosA= ,B= A+ .
3 2
（Ｉ）求b的值；
（II）求DABC的面积.
(18)（本小题满分12分）
如图，四棱锥P-ABCD中，
1
AP^平面PCD,AD∥BC,AB= BC = AD,E,F 分别为线段
P
2
AD,PC的中点.
（Ｉ）求证：AP∥平面BEF；
F
（II）求证：BE ^平面PAC.
D
(19) （本小题满分12分）
A E
在等差数列{a }中，已知公差d =2，a 是a 与a 的等比中项.
n 2 1 4 C
（Ｉ）求数列{a }的通项公式； B
n
（II）设b =a ，记T =-b +b -b +b -… +(-1)nb ，求T .
n n(n+1) n 1 2 3 4 n n
2
(20) （本小题满分13分）
x-1
设函数 f(x)=alnx+ ，其中a为常数.
x+1
（Ｉ）若a=0，求曲线y = f(x)在点(1, f(1))处的切线方程；
（II）讨论函数 f(x)的单调性.
(21)（本小题满分14分）
x2 y2 3
在平面直角坐标系xOy中，椭圆C: + =1(a>b>0)的离心率为 ，直线y = x被椭圆C截
a2 b2 2
4 10
得的线段长为 .
5
（Ｉ）求椭圆C的方程；
（II）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）.
点D在椭圆C上，且AD^ AB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点.
（i）设直线BD，AM的斜率分别为k ,k ，证明存在常数l使得k =lk ，并求出l的值；
1 2 1 2
（ii）求DOMN 面积的最大值.
第3页 | 共10页2014年高考山东卷文科数学真题及参考答案
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，选
择符合题目要求的选项。
（1）已知a,bÎR,i是虚数单位，若a+i =2-bi，则（a+bi）2 =
（A）3-4i （B）3+4i （C）4-3i （D）4+3i
【解析】由a+i =2-bi得，a =2，b=-1，（a+bi）2 = (2-i)2 =4-4i+i2 =3-4i
故答案选A
（2）设集合A={xx2 -2x<0},B={x1£ x£4},则A
I
B=
（A）(0,2] （B） (1,2) （C） [1,2) （D）(1,4)
【解析】A=(0，2)，B= 1,4 ，数轴上表示出来得到A
I
B=[1,2)
故答案为C
1
（3）函数 f(x)= 的定义域为
log x-1
2
（A）(0，2) （B）(0,2] （C）(2,+¥)（D）[2，+¥)
【解析】log x-1>0故x>2。选D
2
（4）用反证法证明命题“设a,bÎR,则方程x2 +ax+b=0至少有一个实根”时要做的假设是
（A）方程x2 +ax+b=0没有实根 （B）方程x2 +ax+b=0至多有一个实根
（C）方程x2 +ax+b=0至多有两个实根 （D）方程x2 +ax+b=0恰好有两个实根
【解析】答案选A，解析略。
（5）已知实数x,y满足ax y3 （B）sinx>sin y
1 1
（C）ln(x2 +1)>ln(y2 +1) （D） >
x2 +1 y2 +1
【解析】由ax y，但是不可以确定x2与y2的大小关系，故C、D排除，而
y =sinx本身是一个周期函数，故B也不对，x3 > y3正确。
（6）已知函数y =log (x+c)(a,c为常数。其中a >0,a ¹1)的图像如右图，则下列结论成立的是
a
（A）a >1,c>1 （B）a >1,01 （D）00,b>0)在该约束条件下取
î2x-y-3³0,
得最小值2 5时，a2 +b2的最小值为
（A）5 （B）4 （C） 5 （D）2
ìx- y-1£0
【解析】：í 求得交点为
2,1
，则2a+b=2 5，即圆心
0,0
到直线
î2x- y-3³0
2
2 5
2a+b-2 5 =0的距离的平方 =22 =4。
5
答案： B
二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，答案须填在题中横线上。
11．执行右面的程序框图，若输入的x的值为1，则输出的n的值为 。
【解析】：根据判断条件x2 -4x+3£0，得1£ x£3，
输入x=1
第一次判断后循环，x= x+1=2,n=n+1=1
第二次判断后循环，x= x+1=3,n=n+1=2
第三次判断后循环，x= x+1=4,n=n+1=3
第四次判断不满足条件，退出循环，输出n=3
答案：3
第5页 | 共10页3
12．函数y = sin2x+cos2 x的最小正周期为 。
2
3 3 1 1 p 1
【解析】：y = sin2x+cos2 x= sin2x+ cos2x+ =sin
2x+
+
2 2 2 2 6 2
2p
T = =p.
2
答案：T =p
13．一个六棱锥的体积为2 3，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积
为 。
【解析】：设六棱锥的高为h，斜高为h，
1 1 2
则由体积V =
22sin606
h=2 3得：h=1，h= 3 +h2 =2
3 2
1
侧面积为 2h6=12.
2
答案：12
14．圆心在直线x-2y =0上的圆C与 y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得的弦的长2 3，则圆C
的标准方程为 。
2
a 2 a
【解析】 设圆心 a, a >0，半径为a. 由勾股定理 3 + =a2得：a =2
2 2
圆心为2,1，半径为2， 圆C的标准方程为x-22 +y-12 =4
答案：x-22 +y-12
=4
x2 y2
15．已知双曲线 - =1a >0,b>0的焦距为2c，右顶点为A，抛物线x2 =2pyp >0的焦
a2 b2
点为F ，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c，且 FA =c，则双曲线的渐近线方程为
。
P
【解析】 由题意知 = c2 -a2 =b，
2
P
抛物线准线与双曲线的一个交点坐标为 c, ，
2
c2 b2 c2
即c,-b代入双曲线方程为 - =1，得 =2，
a2 b2 a2
b c2
渐近线方程为y =x， = -1=1.
a a2
答案：1
三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（16）（本小题满分12分）
海关对同时从A,B,C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（
单位：件）如右表所示，工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测。
地区 A B C
数量 50 150 100
第6页 | 共10页（Ⅰ）求这6件样品中来自A,B,C各地区样品的数量；
（Ⅱ）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率
。
（16）【解析】：
（Ⅰ）因为工作人员是按分层抽样抽取商品，所以各地区抽取商品比例为：
A:B:C =50:150:100=1:3:2
1 3 2
所以各地区抽取商品数为：A:6 =1，B:6 =3，C:6 =2；
6 6 6
（Ⅱ）设各地区商品分别为：A,B,B ,B ,C ,C
1 2 3 1 2
基本时间空间W为：A,B ,A,B ,A,B ,A,C ,A,C ,B,B ,B,B
1 2 3 1 2 1 2 1 3
B,C ,B,C ,B ,B ,B ,C ,B ,C ,B ,C ,B ,C ,C ,C ，共15个.
1 1 1 2 2 3 2 1 2 2 3 1 3 2 1 2
样本时间空间为：B,B ,B,B ,B ,B ,C ,C
1 2 1 3 2 3 1 2
4
所以这两件商品来自同一地区的概率为：PA=
.
15
（17）（本小题满分12分）
6 p
在DABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c。已知a =3,cosA= ,B= A+ .
3 2
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）求DABC的面积。
（17）【解析】：
3
（Ⅰ）由题意知：sinA= 1-cos2 A = ，
3
p p p 6
sinB=sin A+ =sinAcos +cosAsin =cosA= ，
2 2 2 3
a b asinB
由正弦定理得： = b= =3 2
sin A sinB sin A
（Ⅱ）由余弦定理得：
b2 +c2 -a2 6
cosA= = c2 -4 3c+9=0c = 3,c =3 3,
2bc 3 1 2
p
又因为B= A+ 为钝角，所以b>c，即c= 3，
2
1 3 2
所以S = acsinB= .
ABC 2 2
（18）（本小题满分12分）
1
如图，四棱锥P-ABCD中，AP^平面PCD,AD//BC, AB= BC = AD,E,F分别为线段
2
AD,PC的中点。
（Ⅰ）求证：AP//平面BEF
（Ⅱ）求证：BE ^平面PAC
【解析】：（Ⅰ）连接AC交BE于点O，连接OF，不妨设AB=BC=1,则AD=2
AB= BC,AD//BC,四边形ABCE为菱形
O,F分别为AC,PC中点，OF// AP
第7页 | 共10页又 OF 平面BEF，AP//平面BEF
（Ⅱ） AP^平面PCD，CD平面PCD,AP^CD
BC//ED,BC = ED,BCDE为平行四边形，BE//CD,BE ^ PA
又 ABCE为菱形，BE ^ AC
又
PAAC = A,PA、AC 平面PAC,BE ^平面PAC
（19）（本小题满分12分）
在等差数列a 中，已知d =2，a 是a 与a 等比中项.
n 2 1 4
（Ⅰ）求数列a 的通项公式；
n
（Ⅱ）设b n =a nn+1 ,记T n =-b 1 +b 2 -b 3 +
+-1n
b n ，求T n .
2
【解析】： （Ⅰ）由题意知：
a 为等差数列，设a =a + n-1d ， a 为a 与a 的等比中项
n n 1 2 1 4
a
2
2 =a
1
a
4
且a
1
¹0，即 a
1
+d 2 =a
1
a
1
+3d ，
d =2 解得：a
1
=2
a =2+(n-1)2=2n
n
（Ⅱ）由 （Ⅰ）知：a =2n，b =a =n(n+1)
n n n(n+1)
2
①当n为偶数时：
T =-12 + 23 - 34 + +n n+1
n
=2 -1+3 +4 -3+5 + +n - n-1 + n+1
=22+42+62+ +n2
=2 2+4+6+ +n
n
2+n
n2 +2n
2
=2 =
2 2
②当n为奇数时：
T =-12 + 23 - 34 + -n n+1
n
=2 -1+3 +4 -3+5 + + n-1 - n-2 +n -n n+1
=22+42+62+
+ n-1 2-n n+1
=2 2+4+6+ + n-1 -n n+1
n-1
2+n-1
n2 +2n+1
2
=2 -n n-1 =-
2 2
ì n2 +2n+1
- ，n为奇数
2
T =í
综上： n n2 +2n
,n为偶数
î 2
（20）（本小题满分13分）
x-1
设函数 f x=alnx+ ，其中a为常数.
x+1
（Ⅰ）若a =0，求曲线y = f x在点 1, f 1 处的切线方程；
（Ⅱ）讨论函数 f x的单调性.
第8页 | 共10页x-1 2
【解析】(1)当a =0时 f(x)= , f(x)=
x+1 (x+1)2
2 1
f(1)= =
(1+1)2 2
又 f(1)=0直线过点(1,0)
1 1
y = x-
2 2
a 2
(2) f(x)= + (x>0)
x (x+1)2
2
①当a =0时，f(x)= 恒大于0.f(x)在定义域上单调递增.
(x+1)2
a 2 a(x+1)2 +2x
②当a >0时，f(x)= + = >0.f(x)在定义域上单调递增.
x (x+1)2 x(x+1)2
1
③当a<0时，D=(2a+2)2 -4a2 =8a+4£0,即a£- .
2
开口向下，f(x)在定义域上单调递减。
1 -(2a+2) 8a+4 -a-1 2a+1
当- 0.x = =
2 1,2 2a a
2a+2 1
对称轴方程为x=- =-1- >0.且x x =1>0
2a a 1g 2
-a-1- 2a+1 -a-1- 2a+1 -a-1+ 2a+1
f(x)在(0, )单调递减，( , )单调递增，
a a a
-a-1+ 2a+1
( ，+¥)单调递减。
a
综上所述，a=0 时，f(x)在定义域上单调递增；a>0 时，f(x) 在定义域上单调递增
1 1 -a-1- 2a+1
a£- 时，f(x)在定义域上单调递减；- b>0的离心率为 ，直线y = x被椭圆C截
a2 b2 2
4 10
得的线段长为 .
5
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过原点的直线与椭圆C交于A,B两点（A,B不是椭圆C的顶点），点D在椭圆C上，且
AD^ AB，直线BD与x轴、y轴分别交于M,N 两点.
（i）设直线BD,AM 的斜率分别为k ,k .证明存在常数l使得k =lk ，并求出l的值；
1 2 1 2
（ii）求
OMN 面积的最大值.
3 c 3 c2 3 a2 -b2 3
【解析】(1) e= = 即 = , = a2 =4b2
2 a 2 a2 4 a2 4
设直线与椭圆交于 p,q两点。不妨设 p点为直线和椭圆在第一象限的交点。
第9页 | 共10页4 10 2 5 2 5
又 弦长为 ，p( , )
5 5 5
4 4
5 5
+ =1
a2 b2
联立解得a2 =4,b2 =1
x2
椭圆方程为 + y2 =1.
4
第10页 | 共10页
