2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
数学（理科）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．已知集合M ={-1,0,1}，N ={0,1,2}，则M N =
U
A.{-1,0,1} B.{-1,0,1,2} C.{-1,0,2} D.{0,1}
2．已知复数Z满足(3+4i)z =25，则Z=
A.3-4i B.3+4i C.-3-4i D.-3+4i
ì y£ x
ï
3．若变量x,y满足约束条件íx+ y£1且z =2x+ y的最大值和最小值分别为m和n，则m-n=
ï
y³-1
î
A.8 B.7 C.6 D.5
x2 y2 x2 y2
4．若实数k满足0<k <9，则曲线 - =1与曲线 - =1的
25 9-k 25-k 9
A.离心率相等 B.虚半轴长相等 C.实半轴长相等 D.焦距相等
5．已知向量a=1,0,-1，则下列向量中与a成60°夹角的是
A.（-1,1,0） B.（1,-1,0） C.（0,-1,1） D.（-1,0,1）
6．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成
原因，用分层抽样的方法抽取2％的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别是
近视率/%
小学生
高中生
3500名
2000名 50
初中生 30
4500名
10
O 小学 初中 高中 年级
A.200,20 B.100,20 C.200,10 D.100，10
7．若空间中四条两两不同的直线l ,l ,l ,l ，满足l ^l ,l ^l ,l ^l ，则下面结论一定正确的是
1 2 3 4 1 2 2 3 3 4
A.l ^l B.l //l C.l ,l 既不垂直也不平行 D.l ,l 的位置关系不确定
1 4 1 4 1 4 1 4
8．设集合A= x ,x ,x ,x ,x x Î{-1,0,1},i =1,2,3,4,5 ，那么集合A中满足条件“
1 2 3 4 5 i
1£ x + x + x + x + x £3”的元素个数为
1 2 3 4 5
A.60 B.90 C.120 D.130
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．
（一）必做题（9～13题）
9．不等式 x-1+ x+2 ³5的解集为 。
10．曲线y =e-5x +2在点(0,3)处的切线方程为 。
11．从0,1,2,3,4,5,6,7,8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为 。
a
12．在ABC中，角A,B,C所对应的边分别为a,b,c，已知bcosC +ccosB = 2b，则 =
b
。
第1页 | 共11页13．若等比数列 a 的各项均为正数，且a a +a a = 2e5，则lna +lna + +lna =
n 10 11 9 12 1 2 L 20
。
（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）
14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线C 和C 的方程分别为rsin2q=cosq和
1 2
rsinq=1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线
C 和C 交点的直角坐标为_________.
1 2
D C
15．（几何证明选讲选做题）如图3,在平行四边形ABCD中，
点E在AB上且EB =2AE，AC与DE交于点F ，则
CDF的面积 F
=
AEF的面积
A E B
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
5 3
16．（本小题满分12分）已知函数 f(x) = Asin(x+ ),xÎR，且 f( ) = ，
4 12 2
（1）求A的值；
3 3
（2）若 f(q)+ f(-q) = ，qÎ(0, )，求 f( -q)。
2 2 4
17．（本小题满分13分）随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），
获得数据如下：30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36，根据上述
数据得到样本的频率分布表如下：
分组 频数 频率
[25,30 ] 3 0.12
(30,35 ] 5 0.20
(35,40 ] 8 0.32
(40,45 ] n
1
f
1
(45,50 ] n
2
f
2
（1）确定样本频率分布表中n ,n , f 和 f 的值；
1 2 1 2
（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；
（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30,35］
的概率。
第2页 | 共11页18．（本小题满分13分）如图4，四边形ABCD为正方形，PD^平面ABCD，ÐDPC =300，
AF ^ PC于点F ，FE//CD，交PD于点E.
（1）证明：CF ^平面ADF A B
（2）求二面角D-AF -E的余弦值。
D
C
E
F
P
19．（本小题满分14分）设数列a 的前n和为S ,满足S =2na -3n2 -4n,nÎN*，且
n n n n+1
S =15，
3
(1)求a ,a ,a 的值;
1 2 3
(2)求数列a 的通项公式。
n
x2 y2 5
20．（本小题满分14分）已知椭圆C: + =1(a>b>0)的一个焦点为( 5,0)，离心率为
a2 b2 3
，
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若动点P(x ,y )为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程。
0 0
第3页 | 共11页1
21．（本小题满分14分） 设函数 f(x)= ，其中k <-2，
(x2 +2x+k)2 +2(x2 +2x+k)-3
（1）求函数 f(x)的定义域D（用区间表示）；
（2）讨论函数 f(x)在D上的单调性；
（3）若k <-6，求D上满足条件 f(x)> f(1)的x的集合（用区间表示）。
第4页 | 共11页2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
数学（理科） 答案
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1. 已知集合M ={-1,0,1},N ={0,1,2},则M ÈN =（B）
A．{-1,0,1} B. {-1,0,1,2} C. {-1,0,2} D. {0,1}
2.已知复数Z满足(3+4i)z =25,则Z=（A）
A．3-4i B. 3+4i C. -3-4i D. -3+4i
ì y£ x
ï
3.若变量x,y满足约束条件íx+ y£1且z =2x+ y的最大值和最小值分别为m和n，则m-n=（C
ï
y³-1
î
）
A．8 B.7 C.6 D.5
x2 y2 x2 y2
4.若实数k满足0<k <9,则曲线 - =1与曲线 - =1的（D）
25 9-k 25-k 9
A．离心率相等 B.虚半轴长相等 C. 实半轴长相等 D.焦距相等
5.已知向量a=1,0,-1,则下列向量中与a成60°夹角的是（B）
A．（-1,1,0） B. （1,-1,0） C. （0,-1,1） D. （-1,0,1）
6、已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成
原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（A
）
A、200,20 B、100,20 C、200,10 D、100,10
7、若空间中四条两两不同的直线l ,l ,l ,l 满足l ^l ,l ,^l ,l ^l ，则下列结论一定正确的是（
1 2 3 4 1 2 2 3 3 4
D）
A．l ^l B．l //l C．l ,l 既不垂直也不平行 D．l ,l 的位置关系不确定
1 4 1 4 1 4 1 4
第5页 | 共11页8.设集合A= x ,x ,x ,x ,x x Î-1,0,1,i =1,2,3,4,5 ，那么集合A中满足条件“
1 2 3 4 5 i
1£ x + x + x + x + x £3”的元素个数为（D）
1 2 3 4 5
A．60 B90 C.120 D.130
８.解：A中元素为有序数组x ,x ,x ,x ,x ，题中要求有序数组的5个数中仅1个数为±1、仅2个
1 2 3 4 5
数为±1或仅3个数为±1，所以共有C1´2+C2´2´2+C3´2´2´2=130个不同数组；
5 5 5
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．
（一）必做题（9～13题）
9．不等式 x-1+ x+2 ³5的解集为(-¥,-3) (2,+¥) 。
U
10．曲线y =e-5x +2在点(0,3)处的切线方程为y =-5x+3。
1
11．从0,1,2,3,4,5,6,7,8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为 。
6
C3×C3
1
11.解：6之前6个数中取3个，6之后3个数中取3个，P= 6 3 =
C3 6
10
a
12．在ABC中，角A,B,C所对应的边分别为a,b,c，已知bcosC +ccosB = 2b，则 = 2
b
。
13．若等比数列 a 的各项均为正数，且a a +a a = 2e5，
n 10 11 9 12
则lna +lna + +lna = 50 。
1 2 LL 2n
（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）
14、（坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线C 和C 的方程分别为rsin2q=cosq和
1 2
rsinq＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲
线C 和C 的交点的直角坐标为 (1,1) .
1 2
15、（几何证明选讲选做题）如图3，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB＝2AE，AC与DE交
CDF的面积
于点F，则 ＝ 9 .
AEF的面积
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
第6页 | 共11页 5 3
16、（12分）已知函数 f(x) = Asin(x+ ),xÎR，且 f( ) = ，
4 12 2
（1）求A的值；
3 3
（2）若 f(q)+ f(-q) = ，qÎ(0, )，求 f( -q)。
2 2 4
5 5 3
16.解：（1） f( )= Asin( + )= ，
12 12 4 2
3 3
\A× = ，A= 3； f(-q) f(q)
2 2
3
（2） f(q)+ f(-q)= 3sin(q+ )+ 3sin(-q+ )= ，
4 4 2
2 2 3
\ 3[ (sinq+cosq)+ (-sinq+cosq)]= ，
2 2 2
3 6
\ 6cosq= ，cosq= ，又qÎ(0, )，
2 4 2
10
\sinq= 1-cos2q= ，
4
3 30
f( -q) = 3sin(-q)= 3sinq= ．
4 4
17、（13分）随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如
下：
根据上述数据得到样本的频率分布表如下：
（1）确定样本频率分布表中n ,n , f 和 f 的值；
1 2 1 2
（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；
（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30,
50］
的概率。
17. 解：（1）n =7,n =2， f =0.28, f =0.08；
1 2 1 2
（2）样本频率分布直方图为
第7页 | 共11页频率
组距
0.064
0.056
0.04
0.024
0.016
0 25 30 35 40 45 50 日加工零件数
（3）根据样本频率分布直方图，每人的日加工零件数落在区间（30,35］的概率0.2，
设所取的4人中，日加工零件数落在区间（30,35］的人数为x，则x~ B(4,0.2)，
P(x³1)=1-P(x=0)=1-(1-0.2)4 =1-0.4096=0.5904，
所以4人中，至少有1人的日加工零件数落在区间（30,50］的概率约为0.5904．
18、（13分）如图4，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC＝30，AF⊥式PC于点F，FE∥CD
，交PD于点E。
（1）证明：CF⊥平面ADF；
（2）求二面角D－AF－E的余弦值。
18.（１） PD^平面ABCD，
Q
\PD^ AD，又CD^ AD，PD CD= D，
I
\AD^平面PCD，
\AD^ PC，又AF ^ PC，
\PC ^平面ADF，即CF ^平面ADF ；
（２）设AB=1，则RtPDC中，CD=1，又ÐDPC =300， z
\PC =2，PD= 3，由（１）知CF ^ DF A B
3 7
\DF = ，AF = AD2 +DF2 = ，
2 2
1
\CF = AC2 -AF2 = ，又FE//CD，
2
DE CF 1 3 3 3 D C
\ = = ，\DE = ，同理EF = CD= ，
PD PC 4 4 4 4 E y
F
如图所示，以D为原点，建立空间直角坐标系，则A(0,0,1)，
P
3 3 3
E( ,0,0)，F( , ,0)，P( 3,0,0)，C(0,1,0)，
4 4 4 x
uuur ìuuur 3
ìm r ^ AE ïAE =( ,0,0)
设m r =(x,y,z)是平面AEF 的法向量，则í uuur，又í 4 ，
îm r ^ EF
ï
u
E
u
F
ur
=(0,
3
,0)
î 4
ì r uuur 3
ïm×AE = x-z =0
所以í 4 ，令x=4，得z = 3，m r =(4,0, 3)，
r uuur 3
ïm×EF = y =0
î 4
uuur
由（１）知平面ADF的一个法向量PC =(- 3,1,0)，
设二面角D-AF -E的平面角为q，可知q为锐角，
第8页 | 共11页uuur
r
r uuur |m×PC| 4 3 2 57
cosq=|cos<m, PC >|= = = ，即所求．
uuuur
|m r |×|PC| 19´2 19
19. （14分）设数列a 的前n和为S ,满足S =2na -3n2 -4n,nÎN*，且S =15。
n n n n+1 3
(1)求a ,a ,a 的值;
1 2 3
(2)求数列a 的通项公式;
n
19.解：S =4a -20，S =S +a =5a -20，又S =15，
2 3 3 2 3 3 3
\a =7，S =4a -20=8，又S =S +a =(2a -7)+a =3a -7，
3 2 3 2 1 2 2 2 2
\a =5，a =S =2a -7=3，
2 1 1 2
综上知a =3，a =5，a =7；
1 2 3
（２）由（１）猜想a =2n+1，下面用数学归纳法证明．
n
①当n=1时，结论显然成立；
②假设当n=k（k ³1）时，a =2k+1，
k
3+(2k+1)
则S =3+5+7+(2k+1)= ´k =k(k+2)，又S =2ka -3k2 -4k ，
k 2 k k+1
\k(k +2)=2ka -3k2 -4k ，解得2a =4k +6，
k+1 k+1
\a =2(k +1)+1，即当n=k+1时，结论成立；
k+1
由①②知，"nÎN*, a =2n+1．
n
x2 y2 5
20. （14分）已知椭圆C: + =1(a>b>0)的一个焦点为( 5,0)，离心率为 ，
a2 b2 3
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若动点P(x ,y )为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程。
0 0
c 5
20.解：（１）可知c= 5，又 = ，\a=3，b2 =a2 -c2 =4，
a 3
x2 y2
椭圆C的标准方程为 + =1；
9 4
（２）设两切线为l ,l ，
1 2
①当l ^ x轴或l //x轴时，对应l //x轴或l ^ x轴，可知P(±3,±2)；
1 1 2 2
1
②当l 与x轴不垂直且不平行时，x ¹±3，设l 的斜率为k，则k ¹0，l 的斜率为- ，
1 0 1 2 k
x2 y2
l 的方程为y- y =k(x-x )，联立 + =1，
1 0 0 9 4
得(9k2 +4)x2 +18(y -kx )kx+9(y -kx )2 -36=0，
0 0 0 0
因为直线与椭圆相切，所以=0，得9(y -kx )2k2 -(9k2 +4)[(y -kx )2 -4]=0，
0 0 0 0
\-36k2 +4[(y -kx )2 -4]=0，
0 0
\(x 2 -9)k2 -2x y k+ y 2 -4=0
0 0 0 0
所以k是方程(x 2 -9)x2 -2x y x+ y 2 -4=0的一个根，
0 0 0 0
第9页 | 共11页1
同理- 是方程(x 2 -9)x2 -2x y x+ y 2 -4=0的另一个根，
k 0 0 0 0
1 y 2 -4
\k×(- )= 0 ，得x 2 + y 2 =13，其中x ¹±3，
k x 2 -9 0 0 0
0
所以点P的轨迹方程为x2 + y2 =13（x¹±3），
因为P(±3,±2)满足上式，综上知：点P的轨迹方程为x2 + y2 =13．
1
21.（本题14分）设函数 f(x)= ，其中k <-2，
(x2 +2x+k)2 +2(x2 +2x+k)-3
（1）求函数 f(x)的定义域D；（用区间表示）
（2）讨论 f(x)在区间D上的单调性；
（3）若k <-6，求D上满足条件 f(x)> f(1)的x的集合。
21.解：（１）可知(x2 +2x+k)2 +2(x2 +2x+k)-3>0，
\[(x2 +2x+k)+3]×[(x2 +2x+k)-1]>0，
\x2 +2x+k <-3或x2 +2x+k >1，
\(x+1)2 <-2-k (-2-k >0)或(x+1)2 >2-k (2-k >0)，
\|x+1|< -2-k 或|x+1|> 2-k ，
\-1- -2-k < x<-1+ -2-k 或x<-1- 2-k 或x>-1+ 2-k ，
所以函数 f(x)的定义域D为
(-¥,-1- 2-k) (-1- -2-k, -1+ -2-k) (-1+ 2-k,+¥)；
U U
2(x2 +2x+k)(2x+2)+2(2x+2)
（２） f '(x)=-
3
2 (x2 +2x+k)2 +2(x2 +2x+k)-3
(x2 +2x+k+1)(2x+2)
=- ，
3
(x2 +2x+k)2 +2(x2 +2x+k)-3
由 f '(x)>0得(x2 +2x+k+1)(2x+2)<0，即(x+1+ k)(x+1- k)(x+1)<0，
\x<-1- -k 或-1< x<-1+ -k ，结合定义域知x<-1- 2-k 或-1< x<-1+ -2-k ，
所以函数 f(x)的单调递增区间为(-¥,-1- 2-k)，(-1,-1+ -2-k)，
同理递减区间为(-1- -2-k,-1)，(-1+ 2-k,+¥)；
（３）由 f(x)= f(1)得(x2 +2x+k)2 +2(x2 +2x+k)-3=(3+k)2 +2(3+k)-3，
\[(x2 +2x+k)2 -(3+k)2]+2[(x2 +2x+k)-(3+k)]=0，
\(x2 +2x+2k+5)×(x2 +2x-3)=0，
\(x+1+ -2k-4)(x+1- -2k-4)×(x+3)(x-1)=0，
\x=-1- -2k-4或x=-1+ -2k-4或x=-3或x=1，
k <-6，\1Î(-1,-1+ -2-k)，-3Î(-1- -2-k,-1)，
Q
-1- -2k-4 <-1- 2-k ，-1+ -2k-4 >-1+ 2-k ，
结合函数 f(x)的单调性知 f(x)> f(1)的解集为
第10页 | 共11页(-1- -2k-4,-1- 2-k) (-1- -2-k,-3) (1,-1+ -2-k)
U U U
(-1+ 2-k,-1+ -2k-4)．
第11页 | 共11页
