2014年高考数学试卷（江苏）（解析卷）_历年高考真题合集_数学历年高考真题_新·PDF版2008-2025·高考数学真题_数学（按年份分类）2008-2025_2014·高考数学真题

2014年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 1. 已知集合A={2,1,3,4}，B{1,2,3}，则A  B ▲ . 开始 n0 2. 已知复数z(52i)2(i为虚数单位),则z的实部为 ▲ . nn1 3. 右图是一个算法流程图,则输出的n的值是 ▲ . N 2n 20 4. 从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的乘积为6的概率是 ▲ . Y 输出n 5. 已知函数ycosx与ysin(2x)(0≤),zxxk它们的图象有一个横坐标为 结束  （第3题） 的交点,则的值是 ▲ . 3 6. 设抽测的树木的底部周长均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的6 0株树木中,有 ▲ 株树木的底部周长小于100cm. 频率 组距 0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 80 90 100 110 120 130 底部周长/cm （第6题） 7. 在各项均为正数的等比数列{a }中,a 1, a a 2a ,则a 的值是 ▲ . n 2 8 6 4 6 8. 设甲、乙两个圆柱的底面分别为S ，S ，体积分别为V ，V ，若它们的侧面积相等 1 2 1 2 S 9 V ，且 1  ，则 1 的值是 ▲ . S 4 V 2 2 9. 在平面直角坐标系xOy中,直线x2y30被圆(x2)2 (y1)2 4截得的弦长为 ▲ . 第1页 | 共26页10. 已知函数 f(x)x2 mx1,若对于任意x[m,m1],都有 f(x)0成立,则实数m的取 值范围是 ▲ . b 11. 在平面直角坐标系xOy中，若曲线yax2  (a，b为常数) x zxxk过点P(2,5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x2y30平行，则ab的值 是 ▲ . 12. 如图，在平行四边形ABCD中，已知AB8， P D C AD5，CP3PD，APBP2，则ABAD的值 是 ▲ . 13. A （第12题） B 已知 f(x)是定义在R上且周期为3的函数,当x[0,3) 1 时, f(x)|x2 2x |.若函数y f(x)a在区间[3,4]上有10个零点(互不相同),则实 2 数a的取值范围是 ▲ . 14. 若△ABC的内角满足sinA 2sinB2sinC ,则cosC的最小值是 ▲ . 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，学科网解答时应写出 文字说明、证明过程或演算步骤． 15.(本小题满分14分)  5 已知( ,),sin . 2 5  (1)求sin( )的值； 4 5 (2)求cos( 2)的值. 6 16.(本小题满分14分) 如图，在三棱锥P ABC中，D，E，F分zxxk别为棱PC,AC,AB的中点.已知 第2页 | 共26页PA AC,PA6, BC 8,DF 5. 求证: (1)直线PA//平面DEF ； (2)平面BDE平面ABC. P D A C E F B （第16题） 17.(本小题满分14分) x2 y3 如图,在平面直角坐标系xOy中,F ,F 分别是椭圆  1(ab0)的左、右焦点 1 2 a2 b2 ，顶点B的坐标为(0,b)，连结BF 并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于 2 另一点C，连结FC. 1 4 1 (1)若点C的坐标为( , ),且BF  2 ,求椭圆的方程； 3 3 2 y (2)若FC  AB,求椭圆离心率e的值. 1 B C F O F x 1 2 A (第17题) 18.(本小题满分16分) 如图,为了保护河上古桥OA,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形学科网保护区.规划 要求:新桥BC与河岸AB垂直;保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆.且古 桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m. 第3页 | 共26页经测量，点A位于点O正北方向60m处, 点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸), 4 tanBCO . 3 (1)求新桥BC的长； (2)当OM多长时,圆形保护区的面积最大？ 北 B A 60 m M O 170 m C 东 （第18题） 19.(本小题满分16分) 已知函数 f(x)ex ex,其中e是自然对数的底数. (1)证明: f(x)是R上的偶函数； (2)若关于x的不等式mf(x)≤ex m1在(0,)上恒成立，学科网求实数m的取值范 围； (3)已知正数a满足：存在x [1,)，使得 f(x )a(x3 3x )成立.试比较ea1与 0 0 0 0 ae1的大小，并证明你的结论. 20.(本小题满分16分) 设数列{a }的前n项和为S .若对任意正整数n，学科网总存在正整数m，使得 n n S a ，则称{a }是“H数列”. n m n (1)若数列{a }的前n项和S 2n(nN),证明: {a }是“H数列”; n n n (2)设{a } 是等差数列,其首项a 1,公差d 0.若{a } 是“H数列”,求d的值； n 1 n (3)证明：对任意的等差数列{a }，总存在两个“H数列”{b }和{c }，使得 n n n a b c n n n (nN)成立. 第4页 | 共26页三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）（一）选择题（本题包括21、22、23、 24四小题，请选定其中两个小题作答，若多做，则按作答的前两个小题评分）【选修4- 1：几何证明选讲】 21．（10分）（2014•江苏）如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上位于AB异侧的两点， 证明：∠OCB=∠D． 【选修4-2：矩阵与变换】 22．（10分）（2014•江苏）已知矩阵A= ，B= ，向量 = ，x，y为 实数，若A =B ，求x+y的值． 【选修4-3：极坐标及参数方程】 23．（2014•江苏）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为 （t为 参数），直线l与抛物线y2=4x相交于A，B两点，求线段AB的长． 【选修4-4：不等式选讲】 24．（2014•江苏）已知x＞0，y＞0，证明（1+x+y2）（1+x2+y）≥9xy． (二）必做题（本部分包括25、26两题，每题10分，共计20分） 25．（10分）（2014•江苏）盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球 除颜色外完全相同． 第5页 | 共26页（1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P； （2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x ，x ，x ，随 1 2 3 机变量X表示x ，x ，x 中的最大数，求X的概率分布和数学期望E（X）． 1 2 3 26．（10分）（2014•江苏）已知函数f （x）= （x＞0），设f （x）为f （x）的导 0 n n﹣1 数，n∈N*． （1）求2f （ ）+ f （ ）的值； 1 2 （2）证明：对任意n∈N*，等式|nf （ ）+ f （ ）|= 都成立． n﹣1 n 2014年江苏省高考数学试卷 参考答案与试题解析 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分） 1．（5分）（2014•江苏）已知集合A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}，则A∩B= {﹣1，3} ． 考点 交集及其运算． 菁优网版权所有 ： 专题 集合． ： 分析 根据集合的基本运算即可得到结论． ： 解答 解：∵A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}， ： ∴A∩B={﹣1，3}， 故答案为：{﹣1，3} 点评 本题主要考查集合的基本运算，比较基础． ： 第6页 | 共26页2．（5分）（2014•江苏）已知复数z=（5+2i）2（i为虚数单位），则z的实部为 21 ． 考点 复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算． 菁优网版权所有 ： 专题 数系的扩充和复数． ： 分析 根据复数的有关概念，即可得到结论． ： 解答 解：z=（5+2i）2=25+20i+4i2=25﹣4+20i=21+20i， ： 故z的实部为21， 故答案为：21 点评 本题主要考查复数的有关概念，利用复数的基本运算是解决本题的关键，比较基础 ： ． 3．（5分）（2014•江苏）如图是一个算法流程图，则输出的n的值是 5 ． 考点 程序框图． 菁优网版权所有 ： 专题 算法和程序框图． ： 分析 算法的功能是求满足2n＞20的最小的正整数n的值，代入正整数n验证可得答案． ： 解答 解：由程序框图知：算法的功能是求满足2n＞20的最小的正整数n的值， ： ∵24=16＜20，25=32＞20， ∴输出n=5． 故答案为：5． 点评 本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的 ： 关键． 第7页 | 共26页4．（5分）（2014•江苏）从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数，则所取2个数的乘 积为6的概率是 ． 考点 古典概型及其概率计算公式． 菁优网版权所有 ： 专题 概率与统计． ： 分析 首先列举并求出“从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数”的基本事件的个数再 ： 从中找到满足“所取2个数的乘积为6”的事件的个数，利用概率公式计算即可． 解答 解：从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数的所有基本事件有（1，2），（1， ： 3），（1，6），（2，3），（2，6），（3，6）共6个， 所取2个数的乘积为6的基本事件有（1，6），（2，3）共2个， 故所求概率P= ． 故答案为： ． 点评 本题主要考查了古典概型的概率公式的应用，关键是一一列举出所有的基本事件． ： 5．（5分）（2014•江苏）已知函数y=cosx与y=sin（2x+φ）（0≤φ＜π），它们的图象有一 个横坐标为 的交点，则φ的值是 ． 考点 三角方程；函数的零点． 菁优网版权所有 ： 专题 三角函数的求值；三角函数的图像与性质． ： 分析 由于函数y=cosx与y=sin（2x+φ），它们的图象有一个横坐标为 的交点，可得 ： = ．根据φ的范围和正弦函数的单调性即可得出． 解答 解：∵函数y=cosx与y=sin（2x+φ），它们的图象有一个横坐标为 的交点， ： ∴ = ． ∵0≤φ＜π，∴ ， ∴ +φ= ， 解得φ= ． 故答案为： ． 第8页 | 共26页点评 本题考查了三角函数的图象与性质、三角函数求值，属于基础题． ： 6．（5分）（2014•江苏）为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底 部周长（单位：cm），所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在 抽测的60株树木中，有 24 株树木的底部周长小于100cm． 考点 频率分布直方图． 菁优网版权所有 ： 专题 概率与统计． ： 分析 根据频率=小矩形的面积=小矩形的高×组距底部求出周长小于100cm的频率，再根据 ： 频数=样本容量×频率求出底部周长小于100cm的频数． 解答 解：由频率分布直方图知：底部周长小于100cm的频率为（0.015+0.025）×10=0.4， ： ∴底部周长小于100cm的频数为60×0.4=24（株）． 故答案为：24． 点评 本题考查了频率分布直方图，在频率分布直方图中频率=小矩形的面积=小矩形的高× ： 组距= ． 7．（5分）（2014•江苏）在各项均为正数的等比数列{a }中，若a =1，a =a +2a ，则a 的 n 2 8 6 4 6 值是 4 ． 考点 等比数列的通项公式． 菁优网版权所有 ： 专题 等差数列与等比数列． ： 分析 利用等比数列的通项公式即可得出． ： 解答 解：设等比数列{a }的公比为q＞0，a ＞0． n 1 ： ∵a =a +2a ， 8 6 4 ∴ ， 化为q4﹣q2﹣2=0，解得q2=2． 第9页 | 共26页∴a = = =1×22=4． 6 故答案为：4． 点评 本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题． ： 8．（5分）（2014•江苏）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S ，S ，体积分别为V ，V 1 2 1 2 ，若它们的侧面积相等，且 = ，则 的值是 ． 考点 棱柱、棱锥、棱台的体积；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）． 菁优网版权所有 ： 专题 立体几何． ： 分析 设出两个圆柱的底面半径与高，通过侧面积相等，推出高的比，然后求解体积的比 ： ． 解答 解：设两个圆柱的底面半径分别为R，r；高分别为H，h； ： ∵ = ， ∴ ，它们的侧面积相等， ∴ ， ∴ = = = ． 故答案为： ． 点评 本题考查柱体体积公式以及侧面积公式的直接应用，是基础题目． ： 9．（5分）（2014•江苏）在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）2+（y+1 ）2=4截得的弦长为 ． 考点 直线与圆的位置关系． 菁优网版权所有 ： 专题 直线与圆． ： 分析 求出已知圆的圆心为C（2，﹣1），半径r=2．利用点到直线的距离公式，算出点C到 ： 直线直线l的距离d，由垂径定理加以计算，可得直线x+2y﹣3=0被圆截得的弦长． 解答 解：圆（x﹣2）2+（y+1）2=4的圆心为C（2，﹣1），半径r=2， 第10页 | 共26页： ∵点C到直线直线x+2y﹣3=0的距离d= = ， ∴根据垂径定理，得直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的弦长为2 =2 = 故答案为： ． 点评 本题给出直线与圆的方程，求直线被圆截得的弦长，着重考查点到直线的距离公式 ： 、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于基础题． 10．（5分）（2014•江苏）已知函数f（x）=x2+mx﹣1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（ x）＜0成立，则实数m的取值范围是 （﹣ ，0） ． 考点 二次函数的性质． 菁优网版权所有 ： 专题 函数的性质及应用． ： 分析 由条件利用二次函数的性质可得 ： ，由此求得m的范围． 解答 解：∵二次函数f（x）=x2+mx﹣1的图象开口向上， ： 对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，∴ ， 即 ，解得﹣ ＜m＜0， 故答案为：（﹣ ，0）． 点评 本题主要考查二次函数的性质应用，体现了转化的数学思想，属于基础题． ： 11．（5分）（2014•江苏）在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=ax2+ （a，b为常数）过点 P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b的值是 ﹣3 ． 考点 利用导数研究曲线上某点切线方程． 菁优网版权所有 ： 专题 导数的概念及应用． ： 第11页 | 共26页分析 由曲线y=ax2+ （a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x ： +2y+3=0平行，可得y| =﹣5，且y′| = ，解方程可得答案． x=2 x=2 解答 解：∵直线7x+2y+3=0的斜率k= ， ： 曲线y=ax2+ （a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2 y+3=0平行， ∴y′=2ax﹣ ， ∴ ， 解得： ， 故a+b=﹣3， 故答案为：﹣3 点评 本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，其中根据已知得到y| =﹣ x=2 ： 5，且y′| = ，是解答的关键． x=2 12．（5分）（2014•江苏）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5， =3 ， • =2，则 • 的值是 22 ． 考点 向量在几何中的应用；平面向量数量积的运算． 菁优网版权所有 ： 专题 平面向量及应用． ： 分析 由 =3 ，可得 = + ， = ﹣ ，进而由AB=8，AD=5， =3 ， ： • =2，构造方程，进而可得答案． 解答 解：∵ =3 ， ： 第12页 | 共26页∴ = + ， = ﹣ ， 又∵AB=8，AD=5， ∴ • =（ + ）•（ ﹣ ）=| |2﹣ • ﹣ | |2=25﹣ • ﹣1 2=2， 故 • =22， 故答案为：22． 点评 本题考查的知识点是向量在几何中的应用，平面向量数量积的运算，其中根据已知 ： 得到 = + ， = ﹣ ，是解答的关键． 13．（5分）（2014•江苏）已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f （x）=|x2﹣2x+ |，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），则实 数a的取值范围是 （0， ） ． 考点 根的存在性及根的个数判断． 菁优网版权所有 ： 专题 函数的性质及应用． ： 分析 在同一坐标系中画出函数的图象与直线y=a的图象，利用数形结合判断a的范围即可 ： ． 解答 解：f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x2﹣2x+ |，若 ： 函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），在同一坐标系中画出 函数f（x）与y=a的图象如图：由图象可知 ． 故答案为：（0， ）． 第13页 | 共26页点评 本题考查函数的图象以函数的零点的求法，数形结合的应用． ： 14．（5分）（2014•江苏）若△ABC的内角满足sinA+ sinB=2sinC，则cosC的最小值是 ． 考点 余弦定理；正弦定理． 菁优网版权所有 ： 专题 三角函数的图像与性质；解三角形． ： 分析 根据正弦定理和余弦定理，利用基本不等式即可得到结论． ： 解答 解：由正弦定理得a+ b=2c，得c= （a+ b）， ： 由余弦定理得cosC= = = = ≥ = ， 当且仅当 时，取等号， 故 ≤cosC＜1，故cosC的最小值是 ． 故答案为： ． 点评 本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，利用基本不等式是解决本题的关键． ： 二、解答题（本大题共6小题，共计90分） 15．（14分）（2014•江苏）已知α∈（ ，π），sinα= ． （1）求sin（ +α）的值； （2）求cos（ ﹣2α）的值． 考点 两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数． 菁优网版权所有 ： 专题 三角函数的求值；三角函数的图像与性质． ： 分析 （1）通过已知条件求出cosα，然后利用两角和的正弦函数求sin（ +α）的值； ： 第14页 | 共26页（2）求出cos2α，然后利用两角差的余弦函数求cos（ ﹣2α）的值． 解答 解：α∈（ ，π），sinα= ．∴cosα=﹣ = ： （1）sin（ +α）=sin cosα+cos sinα= =﹣ ； ∴sin（ +α）的值为：﹣ ． （2）∵α∈（ ，π），sinα= ．∴cos2α=1﹣2sin2α= ，sin2α=2sinαcosα=﹣ ∴cos（ ﹣2α）=cos cos2α+sin sin2α= =﹣ ． cos（ ﹣2α）的值为：﹣ ． 点评 本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力． ： 16．（14分）（2014•江苏）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB 的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求证： （1）直线PA∥平面DEF； （2）平面BDE⊥平面ABC． 考点 平面与平面垂直的判定；直线与平面垂直的判定． 菁优网版权所有 ： 专题 空间位置关系与距离；空间角；立体几何． ： 分析 （1）由D、E为PC、AC的中点，得出DE∥PA，从而得出PA∥平面DEF； ： （2）要证平面BDE⊥平面ABC，只需证DE⊥平面ABC，即证DE⊥EF，且DE⊥AC即 可． 解答 证明：（1）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE∥PA， ： 又∵PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF， ∴PA∥平面DEF； 第15页 | 共26页（2）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE= PA=3； 又∵E、F为AC、AB的中点，∴EF= BC=4； ∴DE2+EF2=DF2， ∴∠DEF=90°， ∴DE⊥EF； ∵DE∥PA，PA⊥AC，∴DE⊥AC； ∵AC∩EF=E，∴DE⊥平面ABC； ∵DE⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC． 点评 本题考查了空间中的平行与垂直问题，解题时应明确空间中的线线、线面、面面之 ： 间的垂直与平行的互相转化关系，是基础题目． 17．（14分）（2014•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，F ，F 分别为椭圆 + =1 1 2 （a＞b＞0）的左、右焦点，顶点B的坐标为（0，b），连接BF 并延长交椭圆于点A，过点 2 A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F C． 1 （1）若点C的坐标为（ ， ），且BF = ，求椭圆的方程； 2 （2）若F C⊥AB，求椭圆离心率e的值． 1 考点 椭圆的简单性质；椭圆的标准方程． 菁优网版权所有 ： 专题 圆锥曲线的定义、性质与方程． ： 分析 （1）根据椭圆的定义，建立方程关系即可求出a，b的值． ： （2）求出C的坐标，利用F C⊥AB建立斜率之间的关系，解方程即可求出e的值． 1 解答 解：（1）∵C的坐标为（ ， ）， ： ∴ ，即 ， ∵ ， 第16页 | 共26页∴a2=（ ）2=2，即b2=1， 则椭圆的方程为 +y2=1． （2）设F （﹣c，0），F （c，0）， 1 2 ∵B（0，b）， ∴直线BF ：y=﹣ x+b，代入椭圆方程 + =1（a＞b＞0）得（ ）x2﹣ = 2 0， 解得x=0，或x= ， ∵A（ ， ），且A，C关于x轴对称， ∴C（ ，﹣ ）， 则 =﹣ = ， ∵F C⊥AB， 1 ∴ ×（ ）=﹣1， 由b2=a2﹣c2得 ， 即e= ． 点评 本题主要考查圆锥曲线的综合问题，要求熟练掌握椭圆方程的求法以及直线垂直和 ： 斜率之间的关系，运算量较大． 18．（16分）（2014•江苏）如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一 个圆形保护区，规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并 与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m，经测量，点A位 于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处（OC为河岸），tan∠BCO= ． （1）求新桥BC的长； （2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？ 第17页 | 共26页考点 圆的切线方程；直线与圆的位置关系． 菁优网版权所有 ： 专题 直线与圆． ： 分析 （1）在四边形AOCB中，过B作BE⊥OC于E，过A作AF⊥BE于F，设出AF，然后通过 ： 解直角三角形列式求解BE，进一步得到CE，然后由勾股定理得答案； （2）设BC与⊙M切于Q，延长QM、CO交于P，设OM=xm，把PC、PQ用含有x的代 数式表示，再结合古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m列式求得x的 范围，得到x取最小值时圆的半径最大，即圆形保护区的面积最大． 解答 解：（1）如图， ： 过B作BE⊥OC于E，过A作AF⊥BE于F， ∵∠ABC=90°，∠BEC=90°， ∴∠ABF=∠BCE， ∴ ． 设AF=4x（m），则BF=3x（m）． ∵∠AOE=∠AFE=∠OEF=90°， ∴OE=AF=4x（m），EF=AO=60（m）， ∴BE=（3x+60）m． ∵ ， ∴CE= （m）． ∴ （m）． 第18页 | 共26页∴ ， 解得：x=20． ∴BE=120m，CE=90m， 则BC=150m； （2）如图， 设BC与⊙M切于Q，延长QM、CO交于P， ∵∠POM=∠PQC=90°， ∴∠PMO=∠BCO． 设OM=xm，则OP= m，PM= m． ∴PC= m，PQ= m． 设⊙M半径为R， ∴R=MQ= m= m． ∵A、O到⊙M上任一点距离不少于80m， 则R﹣AM≥80，R﹣OM≥80， ∴136﹣ ﹣（60﹣x）≥80，136﹣ ﹣x≥80． 解得：10≤x≤35． ∴当且仅当x=10时R取到最大值． ∴OM=10m时，保护区面积最大． 点评 本题考查圆的切线，考查了直线与圆的位置关系，解答的关键在于对题意的理解， ： 是中档题． 19．（16分）（2014•江苏）已知函数f（x）=ex+e﹣x，其中e是自然对数的底数． （1）证明：f（x）是R上的偶函数； （2）若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围； （3）已知正数a满足：存在x ∈[1，+∞），使得f（x ）＜a（﹣x 3+3x ）成立，试比较ea﹣1 0 0 0 0 与ae﹣1的大小，并证明你的结论． 考点 利用导数求闭区间上函数的最值． 菁优网版权所有 ： 专题 导数的综合应用． ： 分析 （1）根据函数奇偶性的定义即可证明f（x）是R上的偶函数； 第19页 | 共26页： （2）利用参数分离法，将不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，进行转 化求最值问题即可求实数m的取值范围； （3）构u造函数，利用函数的单调性，最值与单调性之间的关系，分别进行讨论即 可得到结论． 解答 解：（1）∵f（x）=ex+e﹣x， ： ∴f（﹣x）=e﹣x+ex=f（x），即函数：f（x）是R上的偶函数； （2）若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立， 即m（ex+e﹣x﹣1）≤e﹣x﹣1， ∵x＞0， ∴ex+e﹣x﹣1＞0， 即m≤ 在（0，+∞）上恒成立， 设t=ex，（t＞1），则m≤ 在（1，+∞）上恒成立， ∵ =﹣ =﹣ ，当且仅当t=2 时等号成立， ∴m ． （3）令g（x）=ex+e﹣x﹣a（﹣x3+3x）， 则g′（x）=ex﹣e﹣x+3a（x2﹣1）， 当x＞1，g′（x）＞0，即函数g（x）在[1，+∞）上单调递增， 故此时g（x）的最小值g（1）=e+ ﹣2a， 由于存在x ∈[1，+∞），使得f（x ）＜a（﹣x 3+3x ）成立， 0 0 0 0 故e+ ﹣2a＜0， 即a＞ （e+ ）， 令h（x）=x﹣（e﹣1）lnx﹣1， 则h′（x）=1﹣ ， 由h′（x）=1﹣ =0，解得x=e﹣1， 当0＜x＜e﹣1时，h′（x）＜0，此时函数单调递减， 当x＞e﹣1时，h′（x）＞0，此时函数单调递增， ∴h（x）在（0，+∞）上的最小值为h（e﹣1）， 注意到h（1）=h（e）=0， ∴当x∈（1，e﹣1）⊆（0，e﹣1）时，h（e﹣1）≤h（x）＜h（1）=0， 当x∈（e﹣1，e）⊆（e﹣1，+∞）时，h（x）＜h（e）=0， ∴h（x）＜0，对任意的x∈（1，e）成立． 第20页 | 共26页①a∈（ （e+ ），e）⊆（1，e）时，h（a）＜0，即a﹣1＜（e﹣1）lna，从而ea﹣1 ＜ae﹣1， ②当a=e时，ae﹣1=ea﹣1， ③当a∈（e，+∞）⊆（e﹣1，+∞）时，当a＞e﹣1时，h（a）＞h（e）=0，即a﹣1＞ （e﹣1）lna，从而ea﹣1＞ae﹣1． 点评 本题主要考查函数奇偶性的判定，函数单调性和最值的应用，利用导数是解决本题 ： 的关键，综合性较强，运算量较大． 20．（16分）（2014•江苏）设数列{a }的前n项和为S ，若对任意的正整数n，总存在正整 n n 数m，使得S =a ，则称{a }是“H数列”． n m n （1）若数列{a }的前n项和为S =2n（n∈N*），证明：{a }是“H数列”； n n n （2）设{a }是等差数列，其首项a =1，公差d＜0，若{a }是“H数列”，求d的值； n 1 n （3）证明：对任意的等差数列{a }，总存在两个“H数列”{b }和{c }，使得a =b +c （n∈N* n n n n n n ）成立． 考点 数列的应用；等差数列的性质． 菁优网版权所有 ： 专题 等差数列与等比数列． ： 分析 （1）利用“当n≥2时，a =S ﹣S ，当n=1时，a =S ”即可得到a ，再利用“H”数列的 n n n﹣1 1 1 n ： 意义即可得出． （2）利用等差数列的前n项和即可得出S ，对∀n∈N*，∃m∈N*使S =a ，取n=2和根 n n m 据d＜0即可得出； （3）设{a }的公差为d，构造数列：b =a ﹣（n﹣1）a =（2﹣n）a ，c =（n﹣1）（ n n 1 1 1 n a +d），可证明{b }和{c }是等差数列．再利用等差数列的前n项和公式及其通项公 1 n n 式、“H”的意义即可得出． 解答 解：（1）当n≥2时，a =S ﹣S =2n﹣2n﹣1=2n﹣1， n n n﹣1 ： 当n=1时，a =S =2． 1 1 当n=1时，S =a ． 1 1 当n≥2时，S =a ． n n+1 ∴数列{a }是“H”数列． n （2）S = = ， n 对∀n∈N*，∃m∈N*使S =a ，即 ， n m 取n=2时，得1+d=（m﹣1）d，解得 ， ∵d＜0，∴m＜2， 又m∈N*，∴m=1，∴d=﹣1． （3）设{a }的公差为d，令b =a ﹣（n﹣1）a =（2﹣n）a ， n n 1 1 1 对∀n∈N*，b ﹣b =﹣a ， n+1 n 1 c =（n﹣1）（a +d）， n 1 对∀n∈N*，c ﹣c =a +d， n+1 n 1 第21页 | 共26页则b +c =a +（n﹣1）d=a ，且数列{b }和{c }是等差数列． n n 1 n n n 数列{b }的前n项和T = ， n n 令T =（2﹣m）a ，则 ． n 1 当n=1时，m=1；当n=2时，m=1． 当n≥3时，由于n与n﹣3的奇偶性不同，即n（n﹣3）为非负偶数，m∈N*． 因此对∀n∈N*，都可找到m∈N*，使T =b 成立，即{b }为H数列． n m n 数列{c }的前n项和R = ， n n 令c =（m﹣1）（a +d）=R ，则m= ． m 1 n ∵对∀n∈N*，n（n﹣3）为非负偶数，∴m∈N*． 因此对∀n∈N*，都可找到m∈N*，使R =c 成立，即{c }为H数列． n m n 因此命题得证． 点评 本题考查了利用“当n≥2时，a =S ﹣S ，当n=1时，a =S ”求a 、等差数列的前n项和 n n n﹣1 1 1 n ： 公式及其通项公式、新定义“H”的意义等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力 和计算能力、构造法，属于难题． 三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）（一）选择题（本题包括21、22、23、 24四小题，请选定其中两个小题作答，若多做，则按作答的前两个小题评分）【选修4- 1：几何证明选讲】 21．（10分）（2014•江苏）如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上位于AB异侧的两点， 证明：∠OCB=∠D． 考点 弦切角． 菁优网版权所有 ： 专题 直线与圆． ： 分析 利用OC=OB，可得∠OCB=∠B，利用同弧所对的圆周角相等，即可得出结论． ： 解答 证明：∵OC=OB， ： ∴∠OCB=∠B， ∵∠B=∠D， ∴∠OCB=∠D． 点评 本题考查同弧所对的圆周角相等，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题． ： 第22页 | 共26页【选修4-2：矩阵与变换】 22．（10分）（2014•江苏）已知矩阵A= ，B= ，向量 = ，x，y为 实数，若A =B ，求x+y的值． 考点 矩阵与向量乘法的意义． 菁优网版权所有 ： 专题 矩阵和变换． ： 分析 利用矩阵的乘法，结合A =B ，可得方程组，即可求x，y的值，从而求得x+y的 ： 值． 解答 解：∵矩阵A= ，B= ，向量 = ，A =B ， ： ∴ ， ∴x=﹣ ，y=4， ∴x+y= 点评 本题考查矩阵的乘法，考查学生的计算能力，属于基础题． ： 【选修4-3：极坐标及参数方程】 23．（2014•江苏）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为 （t为 参数），直线l与抛物线y2=4x相交于A，B两点，求线段AB的长． 考点 直线的参数方程． 菁优网版权所有 ： 专题 计算题；坐标系和参数方程． ： 分析 直线l的参数方程化为普通方程，与抛物线y2=4x联立，求出A，B的坐标，即可求线 ： 段AB的长． 解答 ： 解：直线l的参数方程为 ，化为普通方程为x+y=3， 与抛物线y2=4x联立，可得x2﹣10x+9=0， ∴交点A（1，2），B（9，﹣6）， 第23页 | 共26页∴|AB|= =8 ． 点评 本题主要考查了直线与抛物线的位置关系：相交关系的应用，考查学生的计算能力 ： ，属于基础题． 【选修4-4：不等式选讲】 24．（2014•江苏）已知x＞0，y＞0，证明（1+x+y2）（1+x2+y）≥9xy． 考点 不等式的证明． 菁优网版权所有 ： 专题 证明题；不等式的解法及应用． ： 分析 由均值不等式可得1+x+y2≥3 ，1+x2+y≥ ，两式相乘可得结论． ： 解答 证明：由均值不等式可得1+x+y2≥3 ，1+x2+y≥ ： 分别当且仅当x=y2=1，x2=y=1时等号成立， ∴两式相乘可得（1+x+y2）（1+x2+y）≥9xy． 点评 本题考查不等式的证明，正确运用均值不等式是关键． ： (二）必做题（本部分包括25、26两题，每题10分，共计20分） 25．（10分）（2014•江苏）盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球 除颜色外完全相同． （1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P； （2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x ，x ，x ，随 1 2 3 机变量X表示x ，x ，x 中的最大数，求X的概率分布和数学期望E（X）． 1 2 3 考点 离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式． 菁优网版权所有 ： 专题 概率与统计． ： 分析 （1）先求出取2个球的所有可能，再求出颜色相同的所有可能，最后利用概率公式 ： 计算即可； （2）先判断X的所有可能值，在分别求出所有可能值的概率，列出分布列，根据数 学期望公式计算即可． 解答 解（1）一次取2个球共有 =36种可能，2个球颜色相同共有 =10种可能 ： 情况 ∴取出的2个球颜色相同的概率P= ． （2）X的所有可能值为4，3，2，则P（X=4）= ，P（X=3）= 第24页 | 共26页于是P（X=2）=1﹣P（X=3）﹣P（X=4）= ， X的概率分布列为 X 2 3 4 P 故X数学期望E（X）= ． 点评 本题考查了排列组合，概率公式以概率的分布列和数学期望，知识点比较多，属基 ： 础题． 26．（10分）（2014•江苏）已知函数f （x）= （x＞0），设f （x）为f （x）的导 0 n n﹣1 数，n∈N*． （1）求2f （ ）+ f （ ）的值； 1 2 （2）证明：对任意n∈N*，等式|nf （ ）+ f （ ）|= 都成立． n﹣1 n 考点 三角函数中的恒等变换应用；导数的运算． 菁优网版权所有 ： 专题 函数的性质及应用；三角函数的求值． ： 分析 （1）由于求两个函数的相除的导数比较麻烦，根据条件和结论先将原函数化为：xf 0 ： （x）=sinx，然后两边求导后根据条件两边再求导得：2f （x）+xf （x）=﹣sinx， 1 2 把x= 代入式子求值； （2）由（1）得，f （x）+xf （x）=cosx和2f （x）+xf （x）=﹣sinx，利用相同的 0 1 1 2 方法再对所得的式子两边再求导，并利用诱导公式对所得式子进行化简、归纳，再 进行猜想得到等式，用数学归纳法进行证明等式成立，主要利用假设的条件、诱导 公式、求导公式以及题意进行证明，最后再把x= 代入所给的式子求解验证． 解答 解：（1）∵f （x）= ，∴xf （x）=sinx， 0 0 ： 则两边求导，[xf （x）]′=（sinx）′， 0 ∵f （x）为f （x）的导数，n∈N*， n n﹣1 ∴f （x）+xf （x）=cosx， 0 1 两边再同时求导得，2f （x）+xf （x）=﹣sinx， 1 2 将x= 代入上式得，2f （ ）+ f （ ）=﹣1， 1 2 第25页 | 共26页（2）由（1）得，f （x）+xf （x）=cosx=sin（x+ ）， 0 1 恒成立两边再同时求导得，2f （x）+xf （x）=﹣sinx=sin（x+π）， 1 2 再对上式两边同时求导得，3f （x）+xf （x）=﹣cosx=sin（x+ ）， 2 3 同理可得，两边再同时求导得，4f （x）+xf （x）=sinx=sin（x+2π）， 3 4 猜想得，nf （x）+xf （x）=sin（x+ ）对任意n∈N*恒成立， n﹣1 n 下面用数学归纳法进行证明等式成立： ①当n=1时， 成立，则上式成立； ②假设n=k（k＞1且k∈N*）时等式成立，即 ， ∵[kf （x）+xf （x）]′=kf ′（x）+f （x）+xf ′（x） k﹣1 k k﹣1 k k =（k+1）f （x）+xf （x） k k+1 又 = = = ， ∴那么n=k+1（k＞1且k∈N*）时．等式 也成立， 由①②得，nf （x）+xf （x）=sin（x+ ）对任意n∈N*恒成立， n﹣1 n 令x= 代入上式得，nf （ ）+ f （ ）=sin（ + ）=±cos =± ， n﹣1 n 所以，对任意n∈N*，等式|nf （ ）+ f （ ）|= 都成立． n﹣1 n 点评 本题考查了三角函数、复合函数的求导数公式和法则、诱导公式，以及数学归纳法 ： 证明命题、转化思想等，本题设计巧妙，题型新颖，立意深刻，是一道不可多得的 好题，难度很大，考查了学生观察问题、分析问题、解决问题的能力，以及逻辑思 维能力． 第26页 | 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