文档内容
2014 年全国普通高等学校招生统一考试
上海 数学试卷(理工农医类)
考生注意：
1. 本试卷共4页，23道试题，满分150分. 考试时间120分钟.
2. 本考试分设试卷和答题纸. 试卷包括试题与答题要求. 作答必须涂（选择题）或写
（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.
3. 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对
后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名.
一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写
结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.
1. （2014）函数 的最小正周期是 .
【解析】：原式＝ ，
2. （2014）若复数 ，其中 是虚数单位，则 .
【解析】：原式＝
3. （2014）若抛物线 的焦点与椭圆 的右焦点重合，则该抛物线的准
线方程为 .
【解析】：椭圆右焦点为 ，即抛物线焦点，所以准线方程
4. （2014）设 若 ，则 的取值范围为 .
【解析】：根据题意， ，∴
5. （2014）若实数 满足 ，则 的最小值为 .
【解析】：
6. （2014）若圆锥的侧面积是底面积的 倍，则其母线与底面夹角的大小为 （结果
用反三角函数值表示）.
【解析】：设圆锥母线长为 ，底面圆半径为 ，∵ ，∴ ，即
，∴ ，即母线与底面夹角大小为
7. （2014）已知曲线 的极坐标方程为 ，则 与极轴的交点到极
点的距离是 .
第1页 | 共8页【解析】：曲线 的直角坐标方程为 ，与 轴的交点为 ，到原点距离为
8. （2014）设无穷等比数列 的公比为 ，若 ，则
.
【 解 析 】 ： ， ∵ ， ∴
9. （2014）若 ，则满足 的 的取值范围是 .
【解析】： ，结合幂函数图像，如下图，可得 的取值范围是
10. （2014）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续 天中随机选择 天进行紧急疏散
演练，则 选择的 天恰好为连续 天的概率是 （结果用最简分数表示）.
【解析】：
11. （2014）已知互异的复数 满足 ，集合 ，则 .
【解析】：第一种情况： ，∵ ，∴ ，与已知条件矛盾，不符；
第二种情况： ，∴ ，∴ ，即 ；
12. （2014）设常数 使方程 在闭区间 上恰有三个解 ，
则 .
【解析】：化简得 ，根据下图，当且仅当 时，恰有三个交点，
即
第2页 | 共8页13. （2014）某游戏的得分为 ，随机变量 表示小白玩该游戏的得分. 若
，则小白得 分的概率至少为 .
【解析】：设得 分的概率为 ，∴ ，
且 ，∴ ，与前式相减得：
，∵ ，∴ ，即
14. （2014）已知曲线 ，直线 . 若对于点 ，存在 上的
点 和 上的 使得 ，则 的取值范围为 .
【解析】：根据题意， 是 中点，即 ，∵ ，∴
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸
的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
15. （2014）设 ，则“ ”是“ 且 ”的 （ ）
(A) 充分条件. (B) 必要条件.
(C) 充分必要条件. (D) 既非充分又非必要条件.
【解析】：B
16. （2014）如图，四个棱长为 的正方体排成一个正四
棱柱， 是一条侧棱， 是上底 P P P
2 5 8
P P P
1 4 7
面上其余的八个点，则 的
P P
B 3 6
不同值的个数为 （ ）
(A) . (B) .
(C) . (D) . A
第3页 | 共8页【解析】：根据向量数量积的几何意义， 等于 乘以 在 方向上的投影，
而 在 方向上的投影是定值， 也是定值，∴ 为定值 ，∴选A
17. （2014）已知 与 是直线 （ 为常数）上两个不同的点，
则关于 和 的方程组 的解的情况是 （ ）
(A) 无论 如何，总是无解. (B) 无论 如何，总有唯一
解.
(C) 存在 ，使之恰有两解. (D) 存在 ，使之有无穷多解.
【解析】：由已知条件 ， ，
，∴有唯一解，选B
18. （2014）设 若 是 的最小值，则 的取值范围为（
）
(A) . (B) . (C) .
(D) .
【解析】：先分析 的情况，是一个对称轴为 的二次函数，当 时，
， 不 符 合 题 意 ， 排 除 AB 选 项 ； 当 时 ， 根 据 图 像
，即 符合题意，排除C选项；∴选D；
三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区
域内写出必要的步骤.
19. （2014）(本题满分12分)
底面边长为 的正三棱锥 ，其表面展开图是 P
3
三角形 ，如图. 求 的各边长及此三棱锥的
体积 . A C
P P
1 B 2
【解析】：根据题意可得 共线，
∵ ， ，
∴ ，∴ ，同理 ，
第4页 | 共8页∴△ 是等边三角形， 是正四面体，所以△ 边长为4；
∴
20.（2014） (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
设常数 ，函数 .
(1) 若 ，求函数 的反函数 ；
(2) 根据 的不同取值，讨论函数 的奇偶性，并说明理由.
【解析】：（1）∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，
∴ ，
（2）若 为偶函数，则 ，∴ ，
整理得 ，∴ ，此时为偶函数
若 为奇函数，则 ，∴ ，
整理得 ，∵ ，∴ ，此时为奇函数
当 时，此时 既非奇函数也非偶函数
21.（2014） (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
如图，某公司要在 两地连线上的定点
D
处建造广告牌 ，其中 为顶端， 长
米， 长 米. 设点 在同一水平面上，
从 和 看 的仰角分别为 和 .
A C B
(1) 设计中 是铅垂方向. 若要求 ，
问 的长至多为多少（结果精确到 米）？
(2) 施工完成后， 与铅垂方向有偏差．现在实测得 ， ，
求 的长（结果精确到 米）.
【解析】：（1）设 的长为 米，则 ，∵ ，
第5页 | 共8页∴ ，∴ ，∴ ，
解得 ，∴ 的长至多为 米
（2）设 ， ，
则 ，解得 ，
∴ ，∴ 的长为 米
22. （2014）(本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，
第3小题满分8分.
在平面直角坐标系 中，对于直线 和点 ，
记 . 若 ，则称点 被直线 分割. 若曲线 与直
线 没有公共点，且曲线 上存在点 被直线 分割，则称直线 为曲线 的一条分割
线.
(1) 求证：点 被直线 分割；
(2) 若直线 是曲线 的分割线，求实数 的取值范围；
(3) 动点 到点 的距离与到 轴的距离之积为 ，设点 的轨迹为曲线 . 求证：
通过原点的直线中，有且仅有一条直线是 的分割线.
【解析】：（1）将 分别代入 ，得
∴点 被直线 分割
（2）联立 ，得 ，依题意，方程无解，
∴ ，∴ 或
（3）设 ，则 ，
∴曲线 的方程为 ①
当斜率不存在时，直线 ，显然与方程①联立无解，
又 为 上两点，且代入 ，有 ，
∴ 是一条分割线；
当斜率存在时，设直线为 ，代入方程得： ，
令 ，则 ，
第6页 | 共8页， ，
当 时， ，∴ ，即 在 之间存在实根，
∴ 与曲线 有公共点
当 时， ，即 在 之间存在实根，
∴ 与曲线 有公共点
∴直线 与曲线 始终有公共点，∴不是分割线，
综上，所有通过原点的直线中，有且仅有一条直线 是 的分割线
23. （2014）(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，
第3小题满分8分.
已知数列 满足 ， ， .
(1) 若 ，求 的取值范围；
(2) 设 是公比为 的等比数列， . 若 ， ，
求 的取值范围；
(3) 若 成等差数列，且 ，求正整数 的最大值，以及
取最大值时相应数列 的公差.
【解析】：（1）依题意， ，∴ ，又 ，∴
，
综上可得 ；
（2）由已知得 ，又 ，∴
当 时， ， ，即 ，成立
当 时， ， ，即 ，
∴ ，此不等式即 ，∵ ，
∴ ，
对于不等式 ，令 ，得 ，解得 ，
又当 时， ，
∴ 成立，
∴
当 时 ， ， ， 即
第7页 | 共8页，
即 ，
∵
∴ 时，不等式恒成立
综上， 的取值范围为
（3）设公差为 ，显然，当 时，是一组符合题意的解，
∴ ，则由已知得 ，
∴ ，当 时，不等式即 ，
∴ ， ，
∴ 时， ，
解得 ，∴ ，
∴ 的最大值为 ，此时公差
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