文档文本内容
专题二 数列
第3 讲 数列求和
一、考点透析
考点1 公式法求和
1.(2025·江西省九江市·模拟)如图，有一款合成2048游戏．游戏规则如下：在一个4∗4的
方格中，游戏开始时，方格中会随机出现两个数字小方块，只能是2或4.手指向一个方向(
上、下、左、右)滑动，所有含有数字的小方块都会向这个方向移动到不能移动为止，滑动
过程中相同数字的两个小方块相撞时数字会相加，称为一次合并运算．每次滑动时，空白
处会随机刷新出一个含有数字(只能是2或4)的小方块．当界面中最大数字是2048时，最少
合并运算的次数为 ．
2
4
16
8
16 32 64
1024512256128
考点2 分组转化法求和
1.(2025·江苏省镇江市·模拟)已知等差数列{an}的公差d =1，且a3，a5+1，2a6成等比数列，
则数列{(−1)
n+1an}的前2025项和为( )
A. −1013
B. −505
C. 505
D. 1013
2.(2025·湖北省武汉市·模拟)已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且a1=1，
√Sn+1
是1−Sn
与Sn+1
的等差中项．
(1)证明：数列{ √Sn}是等差数列;
(2)设bn=(−1)
n⋅(Sn+an)，求数列{bn}的前2n项和T 2n
．
考点3 奇偶讨论法求和
1．（2025·天津·高考真题）
，则数列
的前
项和为（ ）
A．112
B．48
C．80
D．64
2．（2025·浙江嘉兴·三模）记
为数列
的前
项和，已知
，
，
数列
满足
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)记数列
的前
项和为
，若对任意
，
，求实数
的取值范围.
考点4 倒序法求和
1．（25-26 高三上·黑龙江·月考）已知函数
．
(1)若
为奇函数，求a；
(2)求
．
2．（24-25 高三上·天津·期末）已知各项为正数的数列
满足：
，
其中
是数列
的前
项和．
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
．
（ⅰ）求数列
的通项公式及其前n 项和
；
（ⅱ）若
且
，证明：
．
考点5 裂项法求和
1.(2025·湖南省·联考)设正项数列{an}的前n项和Sn满足 √Sn= 1
2 (an+1)．
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=2
an+1，cn=
bn
(bn+1)(bn+1+1)
，求数列{cn}的前n项和T n
．
2.(2025·江苏省镇江市·模拟)已知{an}是无穷正整数数列，定义操作D(k ,s)为删除数列
{an}中除以k余数为s的项，剩下的项按原先后顺序不变得到新数列{bn}.若an=3
n−1，
n∈N
∗，进行操作D(3,1)后剩余项组成新数列{bn}，设数列{log3(an+bn)}的前n项和为
Sn．
(1)求Sn;
(2)设数列{cn}满足cn= log3b2n−1，求数列{
1
cncn+1
}的前n项和．
3.(2025·四川省成都市·模拟)已知数列{an}是等差数列，记其前n项和为Sn，且S3=a5，
a2n=2an+ 1
4
．
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)将数列{an}与{ √Sn}的所有项从小到大排列得到数列{bn}.
①求{bn}的前20项和;
②证明：1
b1
2 + 1
b2
2 +⋯+ 1
bn
2 <32．
考点6 错位相减法求和
1．（2025·全国一卷·高考真题）设数列
满足
，
(1)证明：
为等差数列；
(2)设
，求
．
2.(2025·福建省龙岩市·模拟)已知数列{an}满足a1= 4 ,an+1= 4−4
an
(n∈N
∗)．
(1)求证：{
1
an−2}
是等差数列；
(2)若anbn=2(n+1)(n∈N
∗)，求数列{bn⋅2
bn}的前n项和Sn．
二、跟踪练习
1.(2025·江苏省·模拟)已知正项数列{an}的前n项和为Sn
，a2=3，且 √Sn+1= √Sn+ √S1
．
(1)求{an}的通项公式；
(2)若bn= 4 Sn
anan+1
，求数列{bn}的前n项和T n
．
2.(2025·甘肃省白银市·模拟)若正整数m，n只有1为公约数，则称m，n互质，欧拉函数是
指，对于一个正整数n，小于或等于n的正整数中与n互质的正整数(包括1)的个数，记作
φ(n)，例如φ(4)=2，φ(5)= 4．
(1)求φ(6)，φ(3
n)，φ(4
n)；
(2)设an=
φ(3
n)
[φ(3
n+1)+2]⋅[φ(3
n)+2]
，n∈N
∗，求数列{an}的前n项和Sn
；
(3)设bn=
1
2φ(4
n)−1，n∈N
∗，数列{bn}的前n项和为T n，证明：T n< 4
9 ．
3.(2025· 天津市市辖区· 模拟) 已知数列{an}的前n项和Sn= 1
3 (1−an)，数列{bn}满足
2+bn=3 log 1
4
an，n∈N
∗．
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)数列{cn}满足cn=an⋅bn，若cn≤1
4 (m
2+m−1)对于一切n∈N
∗恒成立，求实数m的取
值范围；
(3)设dn=2 √an
，在d1
和d2
之间插入1个数x11
，使d1
，x11
，d2
成等差数列；在d2
和d3
之间
插入2个数x21，x22，使d2，x21，x22，d3成等差数列；以此类推，在dn和dn+1之间插入n个
数xn1，xn2，…，xnn，使dn，xn1，xn2，…，xnn，dn+1成等差数列．若
Pn=d1+ x11+d2+ x21+ x22+d3+⋅⋅⋅+dn+ xn1+⋅⋅⋅+ xnn，求Pn．
4.(2025·天津市·模拟)已知数列{an}是正项等比数列，{bn}是等差数列，且a1=b1=1，
a3=b4，a2+a3=b6．
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)设cn=
(bn−1)an+1
(an+1−1)(an+2−1)
数列{cn}的前n项和为T n，求证：T n<1−
n+1
2
n+1−1
；
(3)[ x ]表示不超过x的最大整数，dn=a
[
bn
3 ]+1⋅[
bn
3 ]；
求(i)d3n−2+d3n−1+d3n；
(ii)∑
i=1
3n
di
．
5 ．（25-26 高三上· 天津南开· 月考）已知数列
的前
项和为
，
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)求数列
的前
项和为
；
(3)求数列
的前
项和
．
6．（2025 高三·全国·专题练习）定义在
上的函数
．
(1)求
．
(2)是否存在常数
，对任意的
，有
?
