第08 讲 数列与概率结合——马尔科夫链
目 录
思维导图.......................................................................................................................................................................2
学习目标.......................................................................................................................................................................2
知识要点.......................................................................................................................................................................3
解题策略.......................................................................................................................................................................4
题型归纳.......................................................................................................................................................................4
题型01：传球问题...............................................................................................................................................4
题型02：掷硬币................................................................................................................................................13
题型03：掷骰子................................................................................................................................................15
题型04：盒子取球.............................................................................................................................................18
题型05：投篮及比赛问题..................................................................................................................................23
题型06：赌博问题.............................................................................................................................................28
题型07：抽奖问题.............................................................................................................................................29
题型08：答题比赛问题......................................................................................................................................31
题型09：几何图形.............................................................................................................................................33
题型10：马尔科夫链与日常生活的其它问题......................................................................................................39
题型11：新定义................................................................................................................................................45
1.近五年高考数学全国卷及新高考卷概率统计压轴题汇编：
马尔科夫链相关知识点常以递推概率、状态转移等形式融入压轴题中，汇编近五年真题可直观感
受考查形式，总结解题规律。教育部教育考试院发布的高考数学试题评析（如2025 年高考数学全国
卷试题评析），能帮助把握概率统计模块的考查重点和命题趋势，明确马尔科夫链相关知识点的考查
定位。
2.重点中学高三模拟题概率拓展题集：
北京、上海、浙江等高考改革前沿地区的重点中学模拟题中，常出现马尔科夫链相关的创新题型，
选取这类题集练习，可提升对复杂模型的建模能力和综合解题能力。
3.
学习建议：
先通过教辅资料和网络课程夯实基础知识点，再结合本讲义的例题和推荐习题强化练习，最后通
过真题和模拟题提升综合应用能力，重点关注“状态识别—转移矩阵构建—递推关系求解”的核心解题
链条。
1. 理解核心概念明确马尔科夫性（无后效性）：即未来状态的概率只与当前状态有关，与过去状态无关。
掌握状态空间和转移概率的定义，理解转移概率矩阵的表示方式。掌握基本性质与分类熟悉状态的分类：
如常返态与非常返态、周期态与非周期态等，理解不同状态的特征。理解平稳分布的概念，以及马尔科夫
链收敛到平稳分布的条件。
2.学会模型构建与分析能够根据实际问题构建马尔科夫链模型，确定状态转移关系。掌握计算n 步转移概率、
判断链的遍历性等基本分析方法。了解应用场景知晓马尔科夫链在各领域的应用，如自然语言处理（文本
生成）、金融（风险预测）、生物（基因序列分析）等，能结合具体问题理解其作用。
3.通过以上目标的达成，可实现对马尔科夫链从理论到实践的初步掌握，为进一步学习更复杂的随机过程
奠定基础。
高中数学马尔可夫链题型聚焦概念判断、矩阵计算、概率递推、平稳分布、实际建模五类，覆盖高考拓展与建
模应用。
在日常生活和科学研究中，我们经常遇到一类随机现象：系统的未来状态只与当前状态有关，而与过去的
状态无关。例如：
1.天气变化：明天是晴天、多云还是雨天，主要取决于今天的天气，与前天及更早的天气无关；
2.投篮交替：甲乙两人轮流投篮，下一次投篮的人选只取决于本次投篮是否命中，与之前的投篮历史无关；
3.传球训练：n 次传球后球在谁手中，只取决于n-1 次传球后的持球人，与更早的传球过程无关。
这类具有“无记忆性”的随机过程，就是俄国数学家安德雷·马尔可夫在1906 年提出的马尔科夫链。它是概
率统计中重要的数学模型，也是高中数学概率与统计模块的拓展重点内容，核心价值在于将实际问题抽象为数
学模型，通过概率和矩阵工具解决实际问题。
本讲义将结合高中已学的概率、矩阵、数列知识，系统讲解马尔科夫链的核心概念、性质及典型应用，培
养数学建模和逻辑推理能力。
知识点一：马尔科夫链
马尔科夫链是以俄罗斯数学家安德烈·马尔科夫的名字命名,是一个数学随机模型,描述了一连串可能发生的事
件,从一个状态到另外一个状态,也可以是保持当前状态的随机过程.下一个状态的概率分布只能由当前状态决定,
在时间序列中它前面的事件均与之无关.高中数学中经常与条件概率,全概率公式,贝叶斯公式相结合,构造递推关
系求的概率.
知识点二：马尔科夫链的性质
马尔科夫链具有状态空间,无记忆性,转移概率(转移矩阵)等三个要素,马尔科夫链是从一个状态到另一个状态
转化的随机过程,每个状态称为状态空间.无记忆性是而的事件均与之无关.这种特定类型的“无记忆性”称作马尔
科天性.在马尔科夫链的每一步,根据概率分布,可以从个状态变频另外一个状态,也可以保持当前状态.状态的改变
叫做转移,与不同状态改变相关的概率叫做转移项率.对于随机变量序列X m已知第n小时的状态X n.如果X n−1的随
机变化规律与前面的各项X 1, X 2,
⋯, X n−1的取值都没有关系,那么称随机变量序列X n具有马尔科夫性,称具有马尔科夫性的随机变量序列{X n}为
马尔科夫链。
知识点三：马尔科夫链的基本原理
1、转移概率：对于有限状态集合
，定义：
为从状态到状态
的转移概率.
2、马尔可夫链：若
，即未来状态
只受当前状
态
的影响，与之前的
无关.
无记忆性：下一个状态只与当前状态有关，与更前面的状态没有关系
高中阶段考察的马尔科夫链，其实很简单，找到初始状态和递推关系即可
马尔科夫链的解题技巧
①找到当下状态下的“前一次事件”的所有可能性
②结合对应概率写出“前一次”状态下所有可能性的数列递推关系（一阶递推数列或二阶递推数列）
③利用数列递推关系求出数列的通项公式
递推数列在计数原理中的应用
概率之间的关系如果是数列的前后项之间的关系，即递推关系，就可以从概率问题自然地过渡到数列问题，再
用数列的方法解决
题型01：传球问题
【典型例题1】甲､乙､丙三人相互做传球训练，第1 次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给
另外两个人中的任何一人，则6 次传球后球在甲手中的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设
次传球后球在甲手中的概率为
，求出
，根据题意求出数列
的递推公式，求出
的表
达式，即可求得
的值.
设
次传球后球在甲手中的概率为
，当
时，
，
设
“
次传球后球在甲手中”，则
，
则
．
即
，
所以，
，且
，
所以，数列
是以
为首项，以
为公比的等比数列，
所以，
，所以，
，
所以
次传球后球在甲手中的概率为
．
【典型例题2】（多选）甲，乙，丙，丁等4 人相互传球，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者将球等可
能地传给另外3 人中的任何1 人，经过n 次传球后，球在甲手中的概率为
，则下列结论正确的是
（ ）
A．经过一次传球后，球在丙中概率为
B．经过两次传球后，球在乙手中概率为
C．经过三次传球后，球在丙手中概率为
D．经过n 次传球后，
【答案】BCD
【解析】依据题意根据古典概型公式及相互独立事件乘法公式逐项计算即可判断A,B,C;对于D,根据题意得到
，构造等比数列进行计算即可求解.
对于A，依题可知经过一次传球后，球在丙中概率为
，
故A 错误；
对于B，过两次传球后，球在乙手中概率为
，
故B 正确；
对于C,经过三次传球后，球在丙手中的事件包括两种情况，
①第1 次传球在丙手中，第2 次传球不在丙手中，第3 次传球在丙手中，
概率为
；
②第1 次传球不在丙手中，第2 次传球不在丙手中，第3 次传球在丙手中，
其概率为
所以经过三次传球后，球在丙手中概率为
，
故C 正确；
对于D，经过
次传球后，球在甲手中的概率为
，
则
，
整理得
，
即
，又
，
所以
是以公比为
，首项为
的等比数列，
则
，
，
故D 正确，
故选：BCD.
【典型例题3】甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第1 次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将
球传给另外三个人中的任何一人，则第4 次传球后球在甲手中的概率为 .
【答案】
【解析】设
表示经过第
次传球后球在甲手中，设
次传球后球在甲手中的概率为
，依题意利用全概率公
式得到
，即可得到
是以
为首项，
为公比的等比数列，从而求出
，再将
代
入计算可得.
设
表示经过第
次传球后球在甲手中，设
次传球后球在甲手中的概率为
，
，
则有
，
，
所以
，
即
，所以
，
又
，所以
是以
为首项，
为公比的等比数列，
所以
，即
，
当
时
.
【典型例题4】某篮球集训队中甲、乙、丙三人进行传球训练.假设当球在甲手中时，甲将球传给丙的概率为
，
否则甲将球传给乙；当球在乙手中时，乙将球传给甲的概率为
，否则乙将球传给丙；当球在丙手中时，丙将
球传给甲的概率为
，否则丙将球传给乙；初始时，球在甲手中.
(1)求传球次后，球恰好在乙手中
次的概率；
(2)
次传球后（
），记球在丙手中的概率为
.
①求数列
的通项公式；
②设
，求证：
.
【答案】(1)
(2)①
；②证明见解析
【解析】（1）根据条件有两种情况：乙、甲、乙，乙、丙、乙，再利用相互独立事件同时发生的概率公式及互
斥事件有一个发生的概率公式，即可求解；
（2）①根据条件得到
，进而有
是首项为
，公比为
的等比数列，即可求解；②根
据条件得到
，利用裂项相消法得到
，再分
为奇数
和偶数两种情况讨论，即可求解.
（1）传球次后，球恰好在乙手中
次分为两种情况：
第一种情况：乙、甲、乙，概率为
；
第二种情况：乙、丙、乙，概率为
；
所以
.
（2）①由于n 次传球后，球不在丙手中的概率为
，
此时无论球在甲手中还是球在乙手中，均有
的概率传给丙，故有
，
整理得
，
又
，
，
所以
是首项为
，公比为
的等比数列.
则
，得到
.
②由①可得
，
因为
所以
，
当n 为奇数时，
，所以
，
所以
，所以
，
当n 为偶数时，
，
所以
，所以
.
所以
.
综上所述，
，所以命题得证.
【点睛】关键点点晴：本题的关键在于第（2）中的①问，根据条件得到
，通过变形得到
，从而转化成等比数列来解决问题.
【典型例题5】足球是一项大众喜爱的运动.2022 卡塔尔世界杯揭幕战将在2022 年11 月21 日打响，决赛定于
12 月18 日晚进行，全程为期28 天.
(1)为了解喜爱足球运动是否与性别有关，随机抽取了男性和女性各100 名观众进行调查，得到2 2 列联表如下：
喜爱足球运动
不喜爱足球运
动
合计
男性
60
40
100
女性
20
80
100
合计
80
120
200
依据小概率值a=0.001 的独立性检验，能否认为喜爱足球运动与性别有关?
(2)校足球队中的甲、乙、丙、丁四名球员将进行传球训练，第1 次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可
能的将球传给另外三个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为
第1 次触球者，第
次触球者是甲的概率记为
，即
．
（i）求
（直接写出结果即可）；（ii）证明：数列
为等比数列，并判断第19 次与第20 次触球者是
甲的概率的大小．
【答案】(1)喜爱足球运动与性别有关
(2)（i）
；（ii）证明见解析，甲的概率大
【解析】（1）计算出卡方，与10.828 比较得到结论；
（2）（i）根据传球的等可能性推出
，（ii）推导出
，构造出等比数列，
求出
，得到
，比较出大小.
（1）假设
：喜爱足球运动与性别独立，即喜爱足球运动与性别无关．根据列联表数据，经计算得
根据小概率值
的独立性检验，我们推断
不成立，
即认为喜爱足球运动与性别有关，此推断犯错误的概率不超过0.001．
（2）（i）由题意得：第二次触球者为乙，丙，丁中的一个，第二次触球者传给包括甲的三人中的一人，故传
给甲的概率为
，故
．
（ii）第
次触球者是甲的概率记为
，则当
时，第
次触球者是甲的概率为
，
第
次触球者不是甲的概率为
，则
，
从而
，又
，
是以
为首项，公比为
的等比数列．
则
，∴
，
，
，故第19 次触球者是甲的概率大
【变式训练1-1】甲、乙、丙三人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球
传给另外两个人中的任何一人，下列说法正确的是（ ）
A．2 次传球后球在丙手上的概率是
B．3 次传球后球在乙手上的概率是
C．3 次传球后球在甲手上的概率是
D．n 次传球后球在甲手上的概率是
【变式训练1-2】（多选）甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1 次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可
能地将球传给另外两个人中的任何一人，记n 次传球后球在甲手中的概率为
，则（ ）
A．
B．数列
为等比数列
C．
D．第4 次传球后球在甲手中的不同传球方式共有6 种
【变式训练1-3】（多选）甲､乙､丙､丁四人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等
可能地将球传给另外3 人中的任意1 人，设第n 次传球后，球在甲手中的概率为
.则下列结论正确的
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1-4】（多选）甲､乙､丙三人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能
地将球传给另外两个人中的任何一人，下列说法正确的是（ ）
A．2 次传球后球在甲手上的概率是
B．3 次传球后球在乙手上的概率是
C．
次传球后球在甲手上的概率是
D．2024 次传球后球在甲手上的概率大于
【变式训练1-5】（多选）甲､乙､丙三人相互做传球训练，第1 次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能
地将球传给另外两人中的任何一人.设第
次传球后球在甲､乙､丙手中的概率依次为
，则下列结
论正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1-6】（多选）甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都
等可能地将球传给另外三个人中的任何一人，下列说法正确的是（ ）
A．2 次传球后球在丙手上的概率是
B．2 次传球后球在乙手上的概率是
C．2 次传球后球在甲手上的概率是
D．n 次传球后球在甲手上的概率是
【变式训练1-7】甲、乙、丙三人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球
传给另外两个人中的任何一个人，若
次传球后球在甲手中的概率为
，则
.
【变式训练1-8】甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1 次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球
传给另外两个人中的任何一人，则第3 次传球后球在乙手中的概率为 ，第n 次传球后球在乙手中的概
率为 ．
【变式训练1-9】
4 人互相传球，由
开始发球，并作为第一次传球，经过5 次传球后，球仍回到
手中，则不同的传球方式有多少种？若有
个人相互传球
次后又回到发球人
手中的不同传球方式有多少种？
【变式训练1-10】在某公司组织的团建活动中，
，
，
三个人进行传排球游戏，规定：甲将排球抛出，乙
接住或自己接住为一次传球，假设每次传球都能成功.当排球在
手中时，
传给
的概率为
，
传给自己的
概率也为
；当排球在
手中时，
传给
的概率为
，
传给
的概率为
；当排球在
手中时，
传给
，
的概率均为
.游戏开始时，排球在
手中，经过
次传球后，设排球在
手中的概率为
，排球在
手中的概率为
.
(1)求
，
的值；
(2)经过50 次传球后，排球在谁手中的概率最大？请说明理由.
【变式训练1-11】某排球教练带领甲、乙两名排球主力运动员训练排球的接球与传球，首先由教练第一次传球
给甲、乙中的某位运动员，然后该运动员再传回教练.每次教练接球后按下列规律传球：若教练上一次是传给某
运动员，则这次有
的概率再传给该运动员，有
的概率传给另一位运动员.已知教练第一次传给了甲运动员，
且教练第
次传球传给甲运动员的概率为
.
(1)求
，
；
(2)求
的表达式；
(3)设
，证明：
.
【变式训练1-12】某篮球赛事采取四人制形式.在一次战术训练中，甲、乙、丙、丁四名队员进行传球训练，第
1 次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三人中的任何一人.
次传球后，记事件“乙、
丙、丁三人均接过传出来的球”发生的概率为
.
(1)求
；
(2)当
时，记乙、丙、丁三人中接过传出来的球的人数为
，求随机变量
的分布列及数学期望；
(3)当
时，证明：
.
【变式训练1-13】学校篮球队30 名同学按照1，2，…，30 号站成一列做传球投篮练习，篮球首先由1 号传出，
训练规则要求：第
号同学得到球后传给
号同学的概率为
，传给
号同学的概率
为
，直到传到第29 号（投篮练习）或第30 号（投篮练习）时，认定一轮训练结束，已知29 号同学投篮命中
的概率为
，30 号同学投篮命中的概率为
，设传球传到第
号的概率为
．
(1)求
的值；
(2)证明：
是等比数列；
(3)比较29 号和30 号投篮命中的概率大小．
【变式训练1-14】第22 届世界杯于2022 年11 月21 日到12 月18 日在卡塔尔举办．在决赛中，阿根廷队通过
点球战胜法国队获得冠军．
(1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左､中､右三个方向射门，门将也会
等可能地随机选择球门的左､中､右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有
的可能性扑不到球．
不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑到点球的个数X 的分布列和期望；
(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲､乙､丙三名前锋队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等
可能地随机传向另外2 人中的1 人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外2 人中的1 人，如此不停地传下去，
假设传出的球都能接住．记第n 次传球之前球在甲脚下的概率为pn，易知
．
①试证明：
为等比数列；
②设第n 次传球之前球在乙脚下的概率为qn，比较p10与q10的大小．
【变式训练1-15】在足球比赛中，有时需通过点球决定胜负．
(1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将(也
称为守门员)也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有
的
可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑到点球的个数
的分布列和期望；
(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲､乙､丙三名前锋队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等
可能地随机传向另外
人中的
人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外
人中的人，如此不停地传下去，
假设传出的球都能接住．记第
次传球之前球在甲脚下的概率为
，易知
．
① 试证明：
为等比数列；
② 设第
次传球之前球在乙脚下的概率为
，比较
与
的大小．
题型02：掷硬币
【典型例题1】有人玩都硬币走跳棋的游戏，已知硬币出现正反面为等可能性事件，棋盘上标有第0 站，第1 站，
第2 站，…，第8 站，一枚棋子开始在第0 站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次，若掷出正面，棋子向前
跳一站（从k 到k +1）.若掷出反面，棋子向前跳两站（从k 到k +2），直到棋子跳到第7 站（胜利大本营）或
跳到第8 站（失败集中营）时，该游戏结束.设棋子跳到第n 站概率为Pn，则P7= .
【答案】85
128
【解析】先根据题意求出P0=1，P1= 1
2，Pn= 1
2 Pn−1+ 1
2 Pn−2，n≥2，n∈N，变形后推导出{Pn−Pn−1}是
公比为−1
2，首项为−1
2的等比数列，进而利用累加法求出Pn= 2
3 −2
3(−1
2)
n+1
，n≥2，n∈N，求出P7
由题意得：P0=1，P1= 1
2，Pn= 1
2 Pn−1+ 1
2 Pn−2，n≥2，n∈N，从而当n≥2时，
Pn−Pn−1= 1
2 Pn−1+ 1
2 Pn−2−Pn−1=−1
2 (Pn−1−Pn−2)，而P1−P0= 1
2 −1=−1
2，所以{Pn−Pn−1}是以公
比为−1
2，首项为−1
2的等比数列，即Pn−Pn−1=−1
2 ×(−1
2)
n−1
=(−1
2)
n
，（n≥2）所以
Pn=(−1
2)
n
+ Pn−1=(−1
2)
n
+(−1
2)
n−1
+⋯+(−1
2)
2
+ P1=(−1
2)
n
+(−1
2)
n−1
+⋯+(−1
2)
2
+ 1
2
=
1
4 −(−1
2)
n+1
1−(−1
2)
+ 1
2 = 2
3 −2
3(−1
2)
n+1
所以P7= 2
3 −2
3(−1
2)
8
= 85
128
故答案为：85
128
【典型例题2】投掷一枚硬币（正反等可能），设投掷n 次不连续出现三次正面向上的概率为
.
(1)求
，
，
和
；
(2)写出
的递推公式，并指出增减性.
【答案】(1)
，
，
(2)
当
时
递减
【解析】（1）显然
，
；又投掷四次，连续出现三次正面向上的情况只有：正正正正或正
正正反或反正正正，故
.
（2）共分三种情况：如果第n 次出现反面，那么前n 次不出现连续三次正面和前
次不出现连续三次正面是
相同的，所以这个时候不出现连续三次正面的概率是
；如果第n 次出现正面，第
次出现反面，那么
前n 次不出现连续三次正面和前
次不出现连续三次正面是相同的，所以这个时候不出现连续三次正面的概
率是
；如果第n 次出现正面，第
次出现正面，第
次出现反面，那么前n 次不出现连续三次正面
和前
次不出现连续三次正面是相同的，所以这时候不出现三次连续正面的概率是
.
由此可得，
，
，
，
.
故
，①
，②
①
②，有
.
所以当
时，
递减，且易知
.
综上，
且当
时
递减.
【变式训练2-1】甲乙两人轮流掷硬币，第一局甲先掷，谁先掷出正面谁就胜，上一局的负者下一局先掷．问：
(1)第一局甲胜的概率；
(2)第
局甲胜的概率．
【变式训练2-3】某人玩硬币走跳棋的游戏。已知硬币出现正反面的概率都是
，棋盘上标有第0 站、第1 站、
第2 站、
、第100 站.一枚棋子开始在第0 站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次，若掷出正面，棋子
向前跳一站(从
到
)；若掷出反面，棋子向前跳两站(从
到
)，直到棋子跳到第99 站(胜利大本营)或跳
到第100 站(失败集中营)时，该游戏结束.设棋子跳到第
站的概率为
.
(1)求
的值；
(2)求证：
，其中
；
(3)求玩该游戏获胜的概率及失败的概率.
【变式训练2-4】设
，数对
按如下方式生成：
，抛掷一枚均匀的硬币，当硬币的正
面朝上时，若
，则
，否则
；当硬币的反面朝上时，若
，则
，否则
．抛掷n 次硬币后，记
的概率为
．
(1)写出
的所有可能情况，并求
；
(2)证明：
是等比数列，并求
；
(3)设抛掷n 次硬币后
的期望为
，求
．
题型03：掷骰子
【典型例题1】（多选）某玩家玩掷骰子跳格子的游戏，规则如下：投掷两枚质地均匀的骰子，若两枚骰子的
点数均为奇数，则往前跳两格，否则往前跳一格．从第0 格起跳，记跳到第
格的概率为
，则
（ ）
A．
B．
C．数列
为等差数列
D．
【答案】ACD
【解析】由题意求出两枚骰子的点数均为奇数的概率为
，计算出
，从而得到
，所以
，求解
即可.
两枚骰子的点数均为奇数的概率
，故玩家每次往前跳两格的概率为
，
往前跳一格的概率为
，则
，A 正确，B 不正确．
由题可知，
，
则
，
故数列
为常数列，也是等差数列，C 正确．
又
，得
，
因为
，所以数列
是以
为首项，
为公比的等比数列，
则
，则
，D 正确．
故选：ACD.
【典型例题2】甲、乙两人各拿两颗骰子做抛掷游戏，规则如下：若掷出的点数之和为3 的倍数，原掷骰子的人
再继续掷；若掷出的点数之和不是3 的倍数，就由对方接着掷．第一次由甲开始掷，则第n 次由甲掷的概率
（用含n 的式子表示）．
【答案】
【解析】根据题意先得“第
次由甲掷”和“第
次由甲掷”的概率关系，然后根据递推公式构造等比数列
可解.
易知掷出的点数之和为3 的倍数的概率为
．“第
次由甲掷”这一事件，包含事件“第n 次由甲掷，
第
次继续由甲掷”和事件“第n 次由乙掷，第
次由甲掷”，这两个事件发生的概率分别为
，
，
故
（其中
），
所以
，
所以数列
是以
为首项，
为公比的等比数列，
于是
，即
．
故答案为：
【典型例题3】甲、乙两人各拿两颗骰子做抛掷游戏，规则如下：若掷出的点数之和为3 的倍数，原掷骰子的人
再继续掷；若掷出的点数之和不是3 的倍数，就由对方接着掷．第一次由甲开始掷，则第n 次由甲掷的概率
（用含n 的式子表示）．
【答案】
【解析】根据题意先得“第
次由甲掷”和“第
次由甲掷”的概率关系，然后根据递推公式构造等比数列
可解.
易知掷出的点数之和为3 的倍数的概率为
．“第
次由甲掷”这一事件，包含事件“第n 次由甲掷，
第
次继续由甲掷”和事件“第n 次由乙掷，第
次由甲掷”，这两个事件发生的概率分别为
，
，
故
（其中
），
所以
，
所以数列
是以
为首项，
为公比的等比数列，
于是
，即
．
故答案为：
【变式训练3-1】某人抛掷一颗质地均匀的骰子，构造数列{an}，使
，记Sn＝a1
＋a2＋
＋an(n∈Z)．
(1)求S6＝2 的概率；
(2)求S2≠0 且S6＝2 的概率．
【变式训练3-2】甲、乙两人进行抛掷骰子游戏,两人轮流抛掷一枚质地均匀的骰子.规定:先掷出点数6 的获胜,游
戏结束.
(1)记两人抛掷骰子的总次数为X,若每次最多抛掷两次骰子,求比赛结束时,X的分布列和期望;
（2）已知甲先掷,求甲恰好抛掷n次骰子并获得胜利的概率.
【变式训练3-3】甲乙两人轮流投掷骰子（正方体型，六个面分别标记有1，2，3，4，5，6 点），每人每次投
掷两颗，
(1)甲投掷一次，求两颗骰子点数相同的概率；
(2)甲乙各投掷一次，求甲的点数和恰好比乙的点数和大点的概率；
(3)若第一个使两颗骰子点数和大于
者为胜，否则轮由另一人投掷.求先投掷人的获胜概率.
【变式训练3-4】某人玩掷正方体骰子走跳棋的游戏，已知骰子每面朝上的概率都是相等的，棋盘上标有第0 站，
第1 站，第2 站，……，第100 站。一枚棋子开始在第0 站，选手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次，若掷出朝
上的点数为1 或2，棋子向前跳一站；若掷出其余点数，则棋子向前跳两站，直到棋子跳到第99 站（胜利大本
营）或第100 站（失败大本营）时，该游戏结束。设棋子跳到第n 站的概率为
.
（1）求
；(2) 求证：
为等比数列；(3)求玩该游戏获胜的概率.
题型04：盒子取球
【典型例题1】设有两个罐子，
罐中放有
个白球、个黑球，
罐中放有
个白球，现在从两个罐子中各摸
一个球交换，这样交换
次后，黑球还在
罐中的概率为 ．
【答案】
【解析】根据题意，得到
，化简得到
，结合等比数列的通项
公式，即可求解.
设
表示事件交换
次后黑球仍在
罐中，
则
，
所以
，可得
，
又由
，可得
，
所以由等比数列性质，得
，所以
．
故答案为：
．
【典型例题2】甲口袋中装有2 个黑球和3 个白球，乙口袋中装有5 个白球. 现从甲、乙两口袋中各任取一个球
交换放入另一口袋，重复
次这样的操作. 记甲口袋中黑球个数为
，恰有1 个黑球的概率为
，恰有2 个
黑球的概率为
.
(1)求
与
；
(2)设
，求证：数列
是等比数列；
【答案】(1)
，
，
，
(2)证明见解析
【解析】（1）结合独立事件乘法公式求
，利用全概率公式求
；
（2）利用全概率公式求得
、
与
、
的关系，从而得到
与
的关系，证明数列
是等比数
列；
（1）
为“进行1 次操作后甲口袋中恰有1 个黑球”的概率，则
，
为“进行1 次操作后甲口袋中恰有2 个黑球”的概率，则
，
为“进行2 次操作后甲口袋中恰有1 个黑球”的概率，与进行1 次操作后甲口袋中黑球的个数有关，则
，
为“进行2 次操作后甲口袋中恰有2 个黑球”的概率，则
.
（2）
是“重复
次操作后，甲口袋中有1 个黑球”的概率，与
次操作后甲口袋中黑球的个数有关，
分为有2 个、1 个、0 个3 种情况，所以
是“重复
次操作后，甲口袋中有2 个黑球”的概率，与
次操作后甲口袋中黑球的个数有关，
分为有2 个、1 个2 种情况，所以
，
所以
，
从而数列
是以
为首项，以
为公比的等比数列.
【典型例题3】有编号为1，2，3，4，5 的盒子，1 号盒子有两个白球和两个黑球，其余盒子中都有两个白球一
个黑球.
(1)从1 号盒子中取出两个球，求颜色不同的概率；
(2)从1 号盒子中取出一个球放入2 号盒子，再从2 号盒子中取出一个球放入3 号盒子，依此类推最后从4 号盒
子中取出一个球放入5 号盒子结束，记“n 号盒子取出的球是白球”为事件
①求
；②求
【答案】(1)
(2)①
，
，
；②
【解析】（1）直接根据分步计数原理和古典概率公式计算即可；
（2）
是条件概率公式的乘法形式，
则是根据代入条件概率公式计算，
需要根据容
斥原理计算，因为
不互斥，计算
则属于马尔科夫链的概率模型，其本质为全概率公式，通过全概率
公式计算
和
即可计算
.
（1）
；
（2）①
，
，
，
；
②
，
.
【典型例题4】有
个编号分别为
的盒子，第1 个盒子中有2 个红球和1 个白球，其余盒子中均为1 个
红球和1 个白球，现从第1 个盒子中任取一球放入第2 个盒子，现从第2 个盒子中任取一球放入第3 个盒子，
，依次进行．
(1)求从第2 个盒子中取到红球的概率；
(2)求从第
个盒子中取到红球的概率；
(3)设第
个盒子中红球的个数为
，
的期望值为
，求证：
．
【答案】见解析
【解析】（1）记“从第个盒子中取到红球”为事件
，
此时
，
，
则
；
（2）因为
，
所以
，
则数列
是以
为首项，
为公比的等比数列，
此时
，
即
，
当
时，
，符合题意，
综上，从第
个盒子中取到红球的概率为
；
（3）证明：易知
的所有可能取值为1，2，
此时
，
，
则
的分布列为：
1
2
所以
，
由于
，
故
．
.
【变式训练4-1】马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，因俄国数学家安德烈·马尔科夫得名，其过程具备
“无记忆”的性质，即第
次状态的概率分布只跟第
次的状态有关，与第
，
，
，…次状态无
关，即
.已知甲盒子中装有2 个黑球和1 个白球，乙盒子中装有2 个白球，
现从甲、乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中，重复
次这样的操作.记甲盒子中黑球个数为
，
恰有2 个黑球的概率为
，恰有1 个黑球的概率为
.
(1)求
，
和
，
；
(2)证明：
为等比数列（
且
）；
(3)求
的期望（用
表示，
且
）.
【变式训练4-2】马尔科夫链因俄国数学家安德烈・马尔科夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第
次状态的概率分布只跟第
次的状态有关，与第
次状态无关.马尔科夫链是概率统计中的一个
重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着
极其广泛的应用.现有
两个盒子，各装有2 个黑球和1 个红球，现从
两个盒子中各任取一个球交换放入
另一个盒子，重复进行
次这样的操作后，记
盒子中红球的个数为
，恰有1 个红球的概率为
.
(1)求
的值；
(2)求
的值（用
表示）；
(3)求证：
的数学期望
为定值.
【变式训练4-3】文具盒里装有7 支规格一致的圆珠笔，其中4 支黑笔，3 支红笔.某学校甲、乙、丙三位教师共
需取出3 支红笔批阅试卷，每次从文具盒中随机取出一支笔，若取出的是红笔，则不放回；若取出的是黑笔，
则放回文具盒，继续抽取，直至将3 支红笔全部抽出.
(1)在第2 次取出黑笔的前提下，求第1 次取出红笔的概率；
(2)抽取3 次后，记取出红笔的数量为
，求随机变量
的分布列；
(3)因学校临时工作安排，甲教师不再参与阅卷，记恰好在第n 次抽取中抽出第2 支红笔的概率为
，求
的通
项公式.
【变式训练4-4】有n个编号分别为1,2,⋯∴n的盒子,第1 个盒子中有2 个白球1 个黑球,其余盒子中均为1 个白
球1 个黑球,现从第一个盒子中任取一球放入第2 个盒子,再从第二个盒子中任取一球放入第3 个盒子,以此类类推,
则从第2 个盒子中取到白球的概率是_____,从第n个盒子中取到白球的概率是___
【变式训练4-5】有编号为1，2，3，...，18，19，20 的20 个箱子，第一个箱子有2 个黄球1 个绿球，其余箱
子均为2 个黄球2 个绿球，现从第一个箱子中取出一个球放入第二个箱子，再从第二个箱子中取出一个球放入
第三个箱子，以此类推，最后从第19 个箱子取出一个球放入第20 个箱子，记
为从第个箱子中取出黄球的概
率.
(1)求
；
(2)求
.
【变式训练4-6】一个不透明的袋子中装有大小、质地相同的40 个小球，其中10 个红球，10 个黄球，20 个绿
球，依次随机抽取小球，每次只取1 个小球，完成下列问题：
(1)若取出的小球不再放回，
①求最后取完的小球是黄球的概率；
②求红球比其余两种颜色小球更早取完的概率；
③设随机变量
为最后一个红球被取出时所需的取球次数，求
；
(2)若取出的小球又放回袋中，直到取到红球就停止取球，且最多取
次球，设随机变量
为取球次数，证明：
.
题型05：投篮及比赛问题
【典型例题1】小明进行投篮训练，已知每次投篮的命中率均为0.5.
(1)若小明共投篮4 次，求在投中2 次的条件下，第二次没有投中的概率；
(2)若小明进行两组训练，第一组投篮3 次，投中
次，第二组投篮2 次，投中
次，求
；
(3)记
表示小明投篮
次，恰有2 次投中的概率，记
表示小明在投篮不超过n 次
的情况下，当他投中2 次后停止投篮，此时一共投篮的次数（当投篮n 次后，若投中的次数不足2 次也不再继
续投），证明：
.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【解析】（1）设出事件，求出相应概率，利用条件概率公式求出答案；
（2）方法1：得到
的可能取值及相应的概率，求出期望值；
方法2：得到
，
，得到
，
，由
，
互相独立，求出
，得到答案；
（3）先计算出
，再求出
，
，利用互斥事件求概率公式和错位相减法得到
，计算出
，作商比较出
，从而证明出结论.
（1）设事件
表示共有
次投中，事件B 表示第二次没投中，
则
表示一共投中2 次，且第二次没投中，则从剩余的三次选择两次投中，
故
，
表示一共投中2 次，故
，
则
；
（2）方法1：根据题意有
可得取值为
，
的可能取值为
，
故
的可能取值为
，
则
，
，
，
，
，
.
所以
.
方法2：因为
，
，
所以
，
.又因为
，
互相独立，所以
.
（3）根据题意可知
.
，
，
，记
①，
②，
两式相减得
，故
，
故
.所以
，
又因为
，且当
时，
，
所以
.
【典型例题2】某中学的风筝兴趣小组决定举行一次盲盒风筝比赛，比赛采取得分制度评选优胜者，可选择的
风筝为硬翅风筝､软翅风筝､串式风筝､板式风筝､立体风筝，共有5 种风筝，将风筝装入盲盒中摸取风筝，每位
参赛选手摸取硬翅风筝或软翅风筝均得1 分并放飞风筝，摸取串式风筝､板式风筝､立体风筝均得2 分并放飞风
筝，每次摸取风筝的结果相互独立，且每次只能摸取1 只风筝，每位选手每次摸取硬翅风筝或软翅风筝的概率
为
，摸取其余3 种风筝的概率为
.
(1)若选手甲连续摸了2 次盲盒，其总得分为
分，求
的分布列与期望；
(2)假设选手乙可持续摸取盲盒，即摸取盲盒的次数可以为
中的任意一个数，记乙累计得
分的概率为
，当
时，求
.
【答案】(1)分布列见解析，
(2)
【解析】（1）根据相互独立事件乘法公式求得分布列并求得数学期望.
（2）根据已知条件列出递推关系，利用构造等比数列、累加法等知识求得
.
（1）
的可能取值为
，则：
，
则
的分布列为
2
3
4
故
.
（2）当
时，得分累计
分，即在得到
分后再得1 分，或在得到
分后再得2 分，
所以
，
则
.
因为
，所以
，
所以
为等比数列，且首项为
，公比为
，
则
，
则
，故当
时，
.
【典型例题3】甲、乙两人玩一种游戏，游戏规则如下：放置一张纸片在地面指定位置，其中一人在固定位置
投篮，若篮球被篮板反弹后击中纸片，则本次游戏成功，此人继续投篮，否则游戏失败，换为对方投篮．已知
第一次投篮的人是甲、乙的概率分别为
和
，甲、乙两人每次游戏成功的概率分别为
和
．
(1)求第2 次投篮的人是甲的概率；
(2)记第
次投篮的人是甲的概率为
，
①用
表示
；
②求
．
【答案】(1)
(2)（ⅰ）
；（ⅱ）
【解析】（1）分为第1 次甲投篮且游戏成功和第1 次乙投篮且游戏失败两种情形，结合全概率即可得结果；
（2）（ⅰ）第
次投篮的人是甲包含第
次甲投篮且游戏成功和第
次乙投篮且游戏失败两种情况，由全概
率公式可得解；（ⅱ）通过构造数列
是以
为首项，
为公比的等比数列，求解即可.
（1）第2 次投篮的人是甲包含两种情况：
①第1 次甲投篮且游戏成功，其概率为
；
②第1 次乙投篮且游戏失败，其概率为
，
由全概率公式得第2 次投篮的人是甲的概率为
．
（2）（ⅰ）第
次投篮的人是甲包含两种情况：
①第
次甲投篮且游戏成功，其概率为
；
②第
次乙投篮且游戏失败，其概率为
，
由全概率公式得
，即
．
（ⅱ）由（ⅰ）得
，
又
，所以数列
是以
为首项，
为公比的等比数列，
所以
，即
．
【变式训练5-1】学校篮球队30 名同学按照1，2，…，30 号站成一列做传球投篮练习，篮球首先由1 号传出，
训练规则要求：第
号同学得到球后传给
号同学的概率为
，传给
号同学的概率
为
，直到传到第29 号（投篮练习）或第30 号（投篮练习）时，认定一轮训练结束，已知29 号同学投篮命中
的概率为
，30 号同学投篮命中的概率为
，设传球传到第
号的概率为
．
(1)求
的值；
(2)证明：
是等比数列；
(3)比较29 号和30 号投篮命中的概率大小．
【变式训练5-2】在庆祝新中国成立七十周年群众游行中，中国女排压轴出场，乘坐“祖国万岁”彩车亮相国庆
游行，“女排精神”燃爆中国.某排球俱乐部为让广大排球爱好者体验排球的训练活动，设置了一个“投骰子50
米折返跑”的互动小游戏，游戏规则：参与者先进行一次50 米的折返跑，从第二次开始，参与者都需要抛掷两
枚质地均匀的骰子，用点数决定接下来折返跑的次数，若抛掷两枚骰子所得的点数之和能被3 整除，则参与者
只需进行一次折返跑，若点数之和不能被3 整除，则参与者需要连续进行两次折返跑.记参与者需要做n 个折返
跑的概率为Pn.
（1）求P1，P2，P3；
（2）证明{Pn−Pn−1}是一个等比数列；
（3）求Pn，若预测参与者需要做折返跑的次数，你猜奇数还是偶数？试说明你的理由.
【变式训练5-3】某中学为丰富教工生活，国庆节举办教工定点趣味投篮比赛．每位教工投篮若干次，投篮得分
规则如下：第一次投篮，投中得2 分，否则得1 分；从第二次投篮开始，投中则获得上一次投篮得分的两倍，
否则得1 分．教工甲参加此次投篮比赛，每次投中的概率均为
，且每次投篮相互独立．
(1)求教工甲前四次投篮得分之和为5 的概率．
(2)设教工甲第k 次投篮所得分数
的数学期望为
．
①求
，并求
与
之间的递推关系式；
②若
，求投篮次数k 的最小值．
【变式训练5-4】甲、乙两人进行象棋比赛，赛前每人有3 面小红旗．一局比赛后输者需给赢者一面小红旗；若
是平局不需要给红旗，当其中一方无小红旗时，比赛结束，有6 面小红旗者最终获胜．根据以往的两人比赛结
果可知，在一局比赛中甲胜的概率为0.5，乙胜的概率为0.4．
(1)若第一局比赛后甲的红旗个数为X，求X 的分布列和数学期望；
(2)若比赛一共进行五局，求第一局是乙胜的条件下，甲最终获胜的概率（结果保留两位有效数字）；
(3)记甲获得红旗为面时最终甲获胜的概率为
，
，
，证明：
为
等比数列．
【变式训练5-5】随着疫情时代的结束，越来越多的人意识到健康的重要性，更多的人走出家门，走进户外.近
期文旅消费加速回暖，景区人流不息､酒店预订爆满､市集红红火火，旅游从业者倍感振奋.某乡村旅游区开发了
一系列的娱乐健身项目，其中某种游戏对抗赛，每局甲获胜的概率为
，乙获胜的概率为
，两人约定其中一
人比另一人多赢两局就停止比赛，每局比赛相互独立.设比赛结束时比赛进行的局数为
.附：当
时，
.求：
(1)当
时，甲赢得比赛的概率；
(2)
的数学期望.
【变式训练5-6】ACE 球是指在网球对局中，一方发球，球落在有效区内，但接球方却没有触及到球而使发球方
直接得分的发球．甲、乙两人进行发球训练，规则如下：每次由其中一人发球，若发出ACE 球，则换人发球，
若未发出ACE 球，则两人等可能地获得下一次发球权．设甲，乙发出ACE 球的概率均为
，记
“第
次发
球的人是甲”．
(1)证明：
；
(2)若
，
，求
和
．
题型06：赌博问题
【典型例题】某种电子玩具按下按钮后，会出现红球或绿球．已知按钮第一次按下后，出现红球与绿球的概率
都是
，从按钮第二次按下起，若前一次出现红球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为
，
，若前一次
出现绿球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为
记第n(n∈N，n≥1)次按下按钮后出现红球的概率为Pn.
（1）P2的值为 ；
（2）若n∈N，n≥2，用Pn－1表示Pn 的表达式为 ．
【答案】
Pn＝
－
Pn－1/ Pn＝－
Pn－1+
【解析】（1）根据两种不同情况下，求第二次出现红球的概率，再加总即为P2 的值.
（2）应用全概率公式写出Pn 关于Pn－1 的表达式即可.
（1）由题设，第二次出现红球的概率为两次都出现红球的概率、第一次为绿球第二次出现红球的概率之和，
∴
.
（2）由（1）易知：Pn＝Pn－1×
＋(1－Pn－1)×
＝
－
Pn－1.
故答案为：
，Pn＝
－
Pn－1.
【变式训练6-1】马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自
然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是……
，…，那么
时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态
，即
．
现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型．
假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为
，且每局赌赢可以赢得1 元，每一局
赌徒赌输的概率为
，且赌输就要输掉1 元．赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：
记赌徒的本金为
一种是赌金达到预期的B 元，赌徒停止赌博；另一种是赌徒输光本金后，赌徒
可以向赌场借钱，最多借A 元，再次输光后赌场不再借钱给赌徒．赌博过程如图的数轴所示．
当赌徒手中有n 元
时，最终欠债A 元（可以记为该赌徒手中有
元）概率为
，请回答
下列问题：
(1)请直接写出
与
的数值．
(2)证明
是一个等差数列，并写出公差d．
(3)当
时，分别计算
时，
的数值，论述当B 持续增大时，
的统计含义．
题型07：抽奖问题
【典型例题】（多选）有个等分为五个扇形的圆形幸运转盘，这五个扇形分别标有数字1，2，3，4，5，转动
圆盘等其静止时，指针均指向扇形的内部，记录下对应的数字．持续这个过程，记前
次所得的数字之和是偶
数的概率为
，则（ ）
A．
B．
C．
是等比数列
D．
是递减数列
【答案】AD
【解析】根据题意，有个等分为五个扇形的圆形幸运转盘，这五个扇形分别标有数字1，2，3，4，5，
则每次旋转中，指针指向数字为偶数的概率为
，指向数字为奇数的概率为
，
则
，又由
，
则
，故A 正确；
对于
，变形可得
，
，则
，
故数列
是首项为
，公比为
的等比数列，
故
，变形可得
，
对于B，
，
，则
，故B 错误；
对于C，
，
此时
，而
，
所以数列
不是等比数列，故C 错误；
对于D，
，
由于
，故
是递减数列，故D 正确.
故选：AD.
【变式训练7-1】 随着
商用进程的不断加快，手机厂商之间围绕
用户的争夺越来越激烈，
手机也频
频降价飞入寻常百姓家.某科技公司为了打开市场，计划先在公司进行“抽奖免费送
手机”优惠活动方案的
内部测试，测试成功后将在全市进行推广.
（1）公司内部测试的活动方案设置了第
次抽奖中奖的名额为
，抽中的用户退出活动，同时补
充新的用户，补充新用户的名额比上一次中奖用户的名额少2 个.若某次抽奖，剩余全部用户均中奖，则活动结
束.
参加本次内部测试第一次抽奖的有15 人，甲、乙均在其中.
①请分别求出甲在第一次中奖和乙在第二次中奖的概率；
②请求出甲参加抽奖活动次数的分布列和期望.
（2）由于该活动方案在公司内部的测试非常顺利，现将在全市进行推广.
报名参加第一次抽奖活动的有20 万用户，该公司设置了第
次抽奖中奖的概率为
，每次
中奖的用户退出活动，同时补充相同人数的新用户，抽奖活动共进行
次，已知用户丙参加了第一次
抽奖，并在这
次抽奖活动中中奖了，在此条件下，求证：用户丙参加抽奖活动次数的均值小于
.
题型08：答题比赛问题
【典型例题1】某校组织知识竞赛，已知甲同学答对第一题的概率为
，从第二题开始，若甲同学前一题答错，
则此题答对的概率为
；若前一题答对，则此题答对的概率为
.记甲同学回答第
题时答错的概率为
，当
时，
恒成立，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】写出甲同学回答第
题时答错的概率
，构造得到数列
是等比数列，从而利用
等比数列通项得到数列
递减，由函数单调性即可得到答案.
因为回答第
题时有答对、答错两种情况，则回答第
题
时答错的概率
，
所以
，
由题意知
，则
，
所以
是首项为
、公比为
的等比数列，
所以
，即
.
显然数列
递减，所以当
时，
，
所以
的最小值为
.
【典型例题2】某趣味活动设置了“谜语竞猜”和“知识竞答”两个环节，小王参与这两个环节的活动．
在“谜语竞猜”环节，设置①、②、③三道谜语题，猜谜者按照一定的顺序猜谜，只有猜对当前谜语才能继续
竞猜下一道谜语，并且获得本谜语的奖金．每次猜谜的结果相互独立．猜对三道谜语的概率及获得的相应奖金
如下表：
谜语
①
②
③
猜对的概率
0.8
0.5
获得的奖金
（元）
10
20
30
(1)若
，按“①、②、③”的顺序猜谜．在所获奖金不低于10 元的条件下，求小王所获奖金为30 元的概
率；
(2)假设只按“①、②、③”和“③、②、①”两种顺序猜谜．若以猜谜所获奖金的数学期望为决策依据，小王
应按哪种顺序猜谜所获奖金更多？
(3)在“知识竞答环节，参赛者要回答A、B 两类问题，每个参赛者回答n 次
，每次回答一个问题，
若回答正确，则下一个问题从B 类中随机抽取；若回答错误，则下一个问题从A 类中随机抽取，规定每位参赛
者回答的第一个问题从A 类中抽取．已知小王能正确回答A 类问题的概率为
，能正确回答B 类问题的概率为
，且每次回答问题正确与否相互独立，求小王第n 次回答正确的概率
．
【答案】见解析
【解析】（1）设“所获奖金不低于
元”为事件
，“小王所获得的奖金为
元”为事件
，
则
，
，
所以
（2）若小王按“①、②、③”的顺序猜谜语，他所获奖金
的所有可能取值为
(元)，
，
，
，
，
因此
；
若小王按“③、②、①”顺序猜谜语，他所获奖金
的所有可能取值为
(元)，
，
，
，
，
因此
，
，
当
，即
时，应按①、②、③顺序猜谜所获得奖金更多；
当
，即
时，按①、②、③和③、②、①顺序猜谜所获奖金一样多；
当
，即
时，应按③、②、①顺序猜谜所获得奖金更多．
（3）小王第
次回答正确的概率只与第
次回答是否正确有关，
则
，即
，于是
，又
，
因此数列
是以
为首项，
为公比的等比数列，即
，则
，
所以小王第
次回答正确的概率
．
【变式训练8-1】在某个周末，甲、乙、丙、丁四名同学相约打台球．四人约定游戏规则：①每轮游戏均将四人
分成两组，进行组内一对一对打；②第一轮甲乙对打、丙丁对打；③每轮游戏结束后，两名优胜者组成优胜组
在下一轮游戏中对打，同样的，两名失败者组成败者组在下一轮游戏中对打；④每轮比赛均无平局出现．已知
甲胜乙、乙胜丙、丙胜丁的概率均为
，甲胜丙、乙胜丁的概率均为
，甲胜丁的概率为
．
(1)设在前三轮比赛中，甲乙对打的次数为随机变量X，求X 的数学期望；
(2)求在第10 轮比赛中，甲丙对打的概率．
【变式训练8-2】2022 年12 月18 日，第二十二届男足世界杯决赛在梅西率领的阿根廷队与姆巴佩率领的法国
队之间展开，法国队在上半场落后两球的情况下，下半场连进两球，2 比2 战平进入加时赛，加时赛两队各进一
球（比分3∶3）再次战平，在随后的点球大战中，阿根廷队发挥出色，最终赢得了比赛的胜利，时隔36 年再次
成功夺得世界杯冠军，梅西如愿以偿，成功捧起大力神杯．
(1)法国队与阿根廷队实力相当，在比赛前很难预测谁胜谁负．赛前有3 人对比赛最终结果进行了预测，假设每
人预测正确的概率均为
，求预测正确的人数X 的分布列和期望；
(2)足球的传接配合非常重要，传接球训练也是平常训练的重要项目，梅西和其他4 名队友在某次传接球的训练
中，假设球从梅西脚下开始，等可能地随机传向另外4 人中的1 人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外4
人中的1 人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住，记第n 次传球之前球在梅西脚下的概率为
，求
．
【变式训练8-3】某中学举办了诗词大会选拔赛，共有两轮比赛，第一轮是诗词接龙，第二轮是飞花令．第一轮
给每位选手提供5 个诗词接龙的题目，选手从中抽取2 个题目，主持人说出诗词的上句，若选手在10 秒内正确
回答出下句可得10 分，若不能在10 秒内正确回答出下句得0 分．
(1)已知某位选手会5 个诗词接龙题目中的3 个，求该选手在第一轮得分的数学期望；
(2)已知恰有甲、乙、丙、丁四个团队参加飞花令环节的比赛，每一次由四个团队中的一个回答问题，无论答题
对错，该团队回答后由其他团队抢答下一问题，且其他团队有相同的机会抢答下一问题．记第n 次回答的是甲
的概率为
，若
．
①求P2，P3；
②证明：数列
为等比数列，并比较第7 次回答的是甲和第8 次回答的是甲的可能性的大小．
题型09：几何图形
【典型例题1】质点每次都在四边形
的顶点间移动，每次到达对角顶点的概率是它到达每个相邻顶点概
率的两倍，若质点的初始位置在
点，则经过
次移动到达
点的概率为 ，经过
次移动到达
点的概率
为 ．
【答案】
【解析】根据题意，分别设出点
移动到
的概率，由第
步和第
之间的关系，得出递推关系式，
即可得出数列的通项公式.
设移动
次后，点
移动到
的概率分别为
，
，
，
，
则
，
，
，
，
，
，所以
，
，又
，所以
.所以
.
所以
，所以
又
，所以
是以
为首项，以
为公比的等比数列，
故
.
又
，所以
.
于是移动
次后到达
点的概率是
【典型例题2】（多选）一质点在x 轴上，从原点O 出发向右运动，每次平移一个单位或两个单位，且移动一
个单位的概率为
，移动2 个单位的概率为
，设质点运动到
的概率为
．则（ ）
A．
B．
C．
是等比数列
D．
【答案】BCD
【解析】根据题意，结合等比数列通项公式，等比数列求和公式及累加法求得
，即可判断各选项．
由题可知，质点运动到
的概率
，
则
，故A 错误；
运动到
分两种情况，由点
向右运动1 个单位，由点
向右运动2 个单位，
所以
，故B 正确；
上式变形为：
，
所以
是以
为公比的等比数列，首项为
，
所以
，
所以
，
所以
是首先为
，公比为
的等比数列，故C 正确；
，故D 正确；
故选：BCD．
【典型例题3】如图，单位圆上的一质点在随机外力的作用下，每一次在圆弧上等可能地逆时针或顺时针移动
，设移动
次回到起始位置的概率为
.
(1)求
及
的值：
(2)求数列
的前
项和.
【答案】见解析
【解析】（1）如图：设起始位置为
，
移动2 次回到起始位置
，则
；
；
所以
，
若移动3 次回到起始位置
，
；
；
所以
，
（2）每次移动的时候是顺时针与逆时针移动是等可能的，
设掷骰子
次时，棋子移动到
，
，
处的概率分别为：
，
，
，
所以
．
掷骰子
次时，共有
，
，
三种情况，故
．
，即
，
，
又
，
时，
，
又
，可得
，
由
，
可得数列
是首项为
公比为
的等比数列，
，即
，
又
．
所以
的前
项和为
【变式训练9-1】（多选）随着科技的发展，越来越多的智能产品深入人们的生活．为了测试某品牌扫地机器人
的性能，开发人员设计如下实验：如图，在
表示的区域上，扫地机器人沿着三角形的边，从三角形的一
个顶点等可能的移动到另外两个顶点之一，记机器人从一个顶点移动到下一个顶点称执行一次程序．若开始时，
机器人从
点出发，记机器人执行
次程序后，仍回到
点的概率为
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
时，有
C．
D．
【变式训练9-2】“布朗运动”是指悬浮在液体或气体中的微小颗粒所做的永不停息的无规则运动，在如图所示
的试验容器中，容器由三个仓组成，某粒子做布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓，
已知该粒子的初始位置在2 号仓. 则粒子经过
次随机选择后到达2 号仓的概率
=
【变式训练9-3】如图，已知正方体
顶点处有一质点Q，点Q 每次会随机地沿一条棱向相邻的
某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同．从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次．若质点Q
的初始位置位于点A 处，则点Q 移动
次后仍在底面ABCD 上的概率为 ；点Q 移动n 次后仍在底面
ABCD 上的概率为 .
【变式训练9-4】质点每次都在四边形
的顶点间移动，每次到达对角顶点的概率是它到达每个相邻顶点
概率的两倍，若质点的初始位置在
点，则经过
次移动到达
点的概率为 ，经过
次移动到达
点的
概率为 ．
【变式训练9-5】一只蚂蚁从正方形
的顶点
出发，每一次行动顺时针或逆时针经过一条边到达另一顶
点，其中顺时针的概率为
，逆时针的概率为
，设蚂蚁经过
步回到
点的概率为
.
（1）求
，
；
（2）设经过
步到达
点的概率为
，求
的值；
（3）求
.
【变式训练9-6】如图，一个正三角形被分成9 个全等的三角形区域，分别记作
，
，
，
，
，
，
，
，
. 一个机器人从区域
出发，每经过1 秒都从一个区域走到与之相邻的另一个区域（有公共边的区
域），且到不同相邻区域的概率相等.
(1)分别写出经过2 秒和3 秒机器人所有可能位于的区域；
(2)求经过2 秒机器人位于区域
的概率；
(3)求经过
秒机器人位于区域
的概率.
【变式训练9-7】 质点在
轴上从原点
出发向右运动，每次平移一个单位或两个单位，且移动一个单位的概
率为
，移动2 个单位的概率为
，设质点运动到点
的概率为
。
（Ⅰ）求
和
；
（Ⅱ）用
表示
，并证明
是等比数列；
（Ⅲ）求
．
题型10：马尔科夫链与日常生活的其它问题
【典型例题1】近年来，我国外卖业发展迅猛，外卖小哥穿梭在城市的大街小巷成为一道亮丽的风景线．某外
卖小哥每天来往于4 个外卖店（外卖店的编号分别为
），约定：每天他首先从1 号外卖店取单，叫做第1
次取单，之后，他等可能的前往其余3 个外卖店中的任何一个店取单叫做第2 次取单，依此类推．假设从第2
次取单开始，他每次都是从上次取单的店之外的3 个外卖店取单，设事件
第
次取单恰好是从1 号店取单
是事件
发生的概率，显然
，则
【答案】
【解析】依题意利用全概率公式可得
，再构造等比数列求解即可．
由题意可知，由全概率公式可得，
，
所以
，
又因为
，
所以数列
是首项为
，公比为
的等比数列，
所以
．
故答案为：
．
【典型例题2】一位射击运动员向一个目标射击二次，记事件
“第次命中目标”
，
，则
．
【答案】
/0.3125
【解析】根据条件概率公式及对立事件概率公式，全概率公式求解即可.
由题意，
，
所以
.
又
，
所以
，
所以
.
【典型例题3】武汉又称江城，是湖北省省会城市，被誉为中部地区中心城市，它不仅有着深厚的历史积淀与
丰富的民俗文化，更有着众多名胜古迹与旅游景点，每年来武汉参观旅游的人数不胜数，其中黄鹤楼与东湖被
称为两张名片为合理配置旅游资源，现对已游览黄鹤楼景点的游客进行随机问卷调查，若不游玩东湖记1 分，
若继续游玩东湖记2 分，每位游客选择是否游览东湖景点的概率均为
，游客之间选择意愿相互独立.
（1）从游客中随机抽取3 人，记总得分为随机变量
，求
的分布列与数学期望；
（2）（i）若从游客中随机抽取
人，记总分恰为
分的概率为
，求数列
的前10 项和；
（ⅱ）在对所有游客进行随机问卷调查过程中，记已调查过的累计得分恰为
分的概率为
，探讨
与
之间的关系，并求数列
的通项公式.
【答案】见解析
【解析】解：（1）
可能取值为3，4，5，6.
，
，
，
.
∴
的分布列为
3
4
5
6
∴
（2）（i）总分恰为
分的概率为
，
∴数列
是首项为
，公比为
的等比数列，
前10 项和
.
（ⅱ）已调查过的累计得分恰为
分的概率为
，得不到
分的情况只有先得
分，再得2
分，概率为
，
.
所以
，即
∴
.
∴
，
∴
.
【典型例题4】春节来临，有农民工兄弟
、
、
、
四人各自通过互联网订购回家过年的火车票，若订票
成功即可获得火车票，即他们获得火车票与否互不影响.若
、
、
、
获得火车票的概率分别是
，其中
，又
成等比数列，且
、
两人恰好有一人获得火车票的概率是
.
（1）求
的值；
（2）若
、
是一家人且两人都获得火车票才一起回家，否则两人都不回家.设
表示
、
、
、
能够
回家过年的人数，求
的分布列和期望
.
【答案】见解析
【解析】（1）
、
两人恰好有一人获得火车票的概率是
联立方程
，
，解得
（2）
的分布列为
0
1
2
3
4
.
【变式训练10-1】某公司员工食堂每天都有米饭和面食两种套餐，已知员工甲每天中午都会在这两种套餐中选
择一种，米饭套餐的价格是每份18 元，面食套餐的价格是每份12 元，如果甲当天选择了某种套餐，他第二天
会有60%的可能性换另一种类型的套餐，假如第1 天甲选择了米饭套餐，第n 天选择米饭套餐的概率为Pn，给
出以下论述：
①P3=0.52；
②Pn=0.4 Pn−1+0.6(1−Pn−1)(n≥2,n∈N)；
③Pn=0.4 +0.5×(−0.2)
n−1
④前k天甲午餐总费用的数学期望为15k + 5
2 −5
2(−1
5)
k
.
其中正确的是（ ）
A．②③④
B．①②④
C．①③④
D．①②③
【变式训练10-2】近年来，我国外卖业发展迅猛，外卖小哥穿梭在城市的大街小巷成为一道亮丽的风景线．某
外卖小哥每天来往于4 个外卖店（外卖店的编号分别为
），约定：每天他首先从1 号外卖店取单，叫做
第1 次取单，之后，他等可能的前往其余3 个外卖店中的任何一个店取单叫做第2 次取单，依此类推．假设从
第2 次取单开始，他每次都是从上次取单的店之外的3 个外卖店取单，设事件
第
次取单恰好是从1 号店
取单
是事件
发生的概率，显然
，则
【变式训练10-3】某学校有
、
两个餐厅，已知同学甲每天中午都会在这两个餐厅中选择一个就餐，如果甲
当天选择了某个餐厅，他第二天会有
的可能性换另一个餐厅就餐，假如第天甲选择了
餐厅，则第
天
选择
餐厅的概率
为 .
【变式训练10-4】某学校有
、
两个餐厅，已知同学甲每天中午都会在这两个餐厅中选择一个就餐，如果甲
当天选择了某个餐厅，他第二天会有
的可能性换另一个餐厅就餐，假如第天甲选择了
餐厅，则第
天
选择
餐厅的概率
为 .
【变式训练10-5】某驾校的张教练带领甲、乙、丙三名学员进行科目三练习，由于教练车只有一辆，张教练在
排队系统中设定：每次甲练习后，系统抽到甲练习的概率为
，抽到乙练习的概率为
，每次乙练习后，系统
抽到甲练习的概率为
，抽到丙练习的概率为
，每次丙练习后，系统抽到甲练习的概率为
，抽到乙练习的
概率为
，直到这天练习结束，一共练习了n（
，
）轮，已知练习从甲开始.
(1)当
时，求甲一共参与练习次数X 的分布列与期望；
(2)求第n 轮为甲练习的概率.
【变式训练10-6】深圳是一个沿海城市，拥有大梅沙等多样的海滨景点，每年夏天都有大量游客来游玩.为了合
理配置旅游资源，文旅部门对来大梅沙游玩的游客进行了问卷调查，据统计，其中
的人选择只游览海滨栈道，
另外
的人选择既游览海滨栈道又到海滨公园游玩.每位游客若选择只游览海滨栈道，则记1 分；若选择既游览
海滨栈道又到海滨公园游玩，则记2 分.假设游客之间的旅游选择意愿相互独立，视频率为概率.
(1)从游客中随机抽取2 人，记这2 人的合计得分为
，求
的分布列和数学期望；
(2)从游客中随机抽取
个人
，记这
个人的合计得分恰为
分的概率为
，求
；
(3)从游客中随机抽取若干人，记这些人的合计得分恰为
分
的概率为
，随着抽取人数的无限增加，
是否趋近于某个常数？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由.
【变式训练10-7】甲、乙两名小朋友每人手中各有3 张龙年纪念卡片，其中甲的3 张卡片的颜色为1 张金色和
2 张银色，乙手中的3 张卡片的颜色都是金色．现在两人各从自己的卡片中随机抽取1 张，去与对方交换，重复
n 次这样的操作，记甲手中有银色纪念卡片
张，恰有2 张银色纪念卡片的概率为
，恰有1 张银色纪念卡片
的概率为
．
(1)分别求
，
的值，求操作几次后甲手中的银色纪念卡片就可能首次出现0 张，并求首次出现这种情况的概
率p．
(2)记
．
（ⅰ）证明数列
是等比数列；
（ⅱ）求
的数学期望．（用n 表示）
【变式训练10-8】北湖生态公园有两条散步路线，分别记为路线
和路线
.公园附近的居民经常来此散步，经
过一段时间的统计发现，前一天选择路线
的居民第二天选择路线
和路线
的概率均为
；前一天选择路线
的居民第二天选择路线
和路线
的概率分别为
和
.已知居民第一天选择路线
的概率为
，选择路线
的概率为
.
(1)若有4 位居民连续两天去公园散步，记第二天选择路线
散步的人数为
，求
的分布列及期望；
(2)若某居民每天都去公园散步，记第
天选择路线
的概率为
.
（i）请写出
与
的递推关系；
（ii）设
，求证：
.
【变式训练10-9】 某几位大学生自主创业创办了一个服务公司提供
、
两种民生消费产品（人们购买时每
次只买其中一种）服务，他们经过统计分析发现：第一次购买产品的人购买
的概率为
、购买
的概率为
，而前一次购买
产品的人下一次来购买
产品的概率为
、购买
产品的概率为
，前一次购买
产品
的人下一次来购买
产品的概率为
、购买
产品的概率也是
，如此往复.记某人第
次来购买
产品的概
率为
.
（1）求
，并证明数列
是等比数列；
（2）记第二次来公司购买产品的3 个人中有
个人购买
产品，求
的分布列并求
；
（3）经过一段时间的经营每天来购买产品的人稳定在800 人，假定这800 人都已购买过很多次该两款产品，那
么公司每天应至少准备
、
产品各多少份.（直接写结论、不必说明理由）.
【变式训练10-10】为治疗某种欢病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验.试验方
案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以乙药.轮的治疗
结果得出后,再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4 只时,脱停止试验,并认为治
愈只数多的药更有效.为了方便描述问题,约定:对于每轮试验,若施以甲药的白贝治愈且施以乙药的白鼠未治愈则
甲药得1 分,乙药得−1分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1 分,甲药得-1 分;若都治愈或
都未治愈则两种药均得0 分.甲、乙两种药的治愈半分别记为α和β,一轮试验中甲药的得分记为X.
(1)求X的分布列:
(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4 分,pi(i=0,1.⋯.8)表示“甲药的累计得分为i时,最终认为甲药比乙药更
有效”的概率,则
p0=0, pi=1, pi=a pi−1+b pi+c pi+1(i=1,2,⋯,7),
其中a= P(X =−1),b= P(X =0),c = P(X =1).假设α =0.5, β =0.8.
(i)证明:{pi−1−pi}(i=0,1,2,⋯,7)为等比数列;
(iii)求pc,并根据pc的值解释这种试验方案的合理性.
题型11：新定义
【变式训练11-1】对于一个有穷整数列
，
，
，
，对正整数
，若对于任意的
，
有穷数列
中总存在
，
，
，
，自然数
使得
，则称该数列为1 到
连续可
表数列.即1 到
中的每个数可由
中的一个或连续若干项表示，而
不可由
中连续若干项表示.例如数列
2，1，3 则
，
，
，
，而
，
，
，所以数列2，1，3
是1 到4 连续可表数列.
(1)数列
，，，，是否为1 到5 连续可表数列？若数列
，，
是一个1 到
连续可表数列，求
的值.
(2)若有穷数列
，
，
，
其调整顺序后为一个等比数列，则该数列称为准等比整数列（等比数列本身
也可看作准等比数列），调整后的公比称为该数列公比.若准等比整数列
，
，
，
为1 到5 连续可表数列，
且公比
为整数，求数列的公比
的值.
(3)对正整数
，
，存在唯一的数列
，
，
使得，
，且满足
，
，
，
，
数列
，
，
，
称为正整数
的
进制残片.记事件
“随机挑选区间
内的整数（为大于等于2 的正整数），该数的
进制残片调整顺序后能成为1 到5 连续可
表数列”的概率为
，求
的表达式.
