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2025 年高考考前信息必刷卷 04（新高考Ⅱ卷）
数 学
考情速递
高考·新动向： 新高考Ⅱ卷考试题型为8（单选题）＋3（多选题）＋3（填空题）＋5（解答题），其中最
后一道试题考查数列新定义，考查的动向有：新概念的理解与应用、新运算与新情景的迁移能力、综合推
理与存在性问题、数列与数学文化的结合、复杂逻辑与计算能力，以解答题的方式进行考查。
高考·新情境：2025年新高考II卷数学试题将更加注重新情境的创设。试题将贴近实际生活，融入更多具
有时代感和现实意义的元素，以考查学生在新情境下运用数学知识和方法解决问题的能力。这将要求学生
不仅掌握扎实的数学基础，还需具备灵活的思维和创新能力，能够迅速适应新情境，准确分析问题，并给
出有效的解决方案。考生需关注社会热点和科技发展，提升数学应用意识和实践能力。
命题·大预测：对于2025年新高考II卷数学命题的预测，整体难度可能会有所调整，更注重考查学生的综
合能力和创新思维。试题可能更加注重基础知识的灵活应用，同时融入更多新情境、新题型。预计会延续
对函数、数列、立体几何、概率统计等主干知识的考查，注重通性通法，淡化特殊技巧。解析几何保持稳
定，重点考查曲线方程、最值问题等，可能减少计算量、增加思维深度，融合向量、方程等跨学科内容。
考生需扎实掌握基础知识，提高解题技巧和应变能力，以应对可能的命题变化。
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。
1．已知集合 ， ，则 （ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，
因为 ，所以 ，故 ，
所以 ，
故选：A
2．已知复数 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 ，得 ，
设 ，则 ,
∴ ，
∴ ，解得 ， ，
.
∴
故选：B.
3．已知向量 且向量 方向相反，则 可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
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学科网（北京）股份有限公司【解析】因为向量 且向量 方向相反，
当 时， ， 不满足题意，
当 时， ，解得 ，且 ，
所以 ， ，且 ，
经检验只有 满足题意，
故选：D
4．空间中有两个不同的平面 和两条不同的直线 ，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，且 ，则
【答案】B
【解析】选项A，
若 ，则 与 可以相交，也可以平行，不一定垂直，A错；
选项B，若 ，则直线 的方向向量分别是平面 的法向量，两平面垂直，即为它
们的法向量垂直，则 ，B正确；
选项C，若 ，则可能有 ，也可能 相交，C错；
选项D ，若 ，且 ，则 或 ，D错．
故选：B．
5．记数列 的前 项和为 ，若数列 是公差为1的等差数列，则 （ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．1 B．2 C．2025 D．2022
【答案】A
【解析】因为数列 是公差为1的等差数列，
所以 ，故 ，
当 时， ， ，
两式相减得 ，
则 ，
得到 ，
故 ，即 ，
故 为常数列，则 ，即 ，故A正确.
故选：A．
6．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ， ，
，可得 ，
， ．
故选：A．
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学科网（北京）股份有限公司7．已知 ，若实数 满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．8
【答案】C
【解析】由题意，点 在曲线 上，点 在直线 上，
的几何意义就是曲线 上的点 与直线 上的点
两点间的距离的平方.
当点 为曲线 平行于直线 的切线的切点，
且直线 垂直于直线 时， 两点间的距离才可能最小.
又 ，令 ，解得 或 （舍去），
所以切点为 .切点 到直线 的距离
就是所要求的曲线 上的点与直线 上的点之间的最小距离，
故 的最小值为 .
故选：C.
8．在双曲线 的右支上有一点 ，过点 的直线交 的两条渐近线于 两点
（点 均在 轴的右侧）.若 ，且 （ 为坐标原点），则双曲线 的离心率的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
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学科网（北京）股份有限公司【解析】由双曲线的对称性，设 .
由 ，可得 ，
即 .
将其坐标代入双曲线 的方程，得 ，
化简得 因为双曲线的渐近线方程为： ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
.
故选：B.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知一组样本数据 ，若 ，则下列说法正确的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．该样本数据的上四分位数为
B．若样本数据的方差为 ，则这组样本数据的平均数为2
C．剔除某个数据 后得到新样本数据的极差不大于原样本数据的极差
D．若 的均值为2，方差为 的均值为6，方差为2，则 的方差为5
【答案】BC
【解析】对于A，由 ，所以样本数据的上四分位数为 ，故A错误；
对于B，由方差公式得 ，
所以根据已知条件可知： ，因为 ，所以 ，故B正确；
对于C，剔除某个数据 后得到的新样本数据的极差不大于原样本数据的极差，故C正确；
对于D，由于 ，则 ，故D错误；
故选：BC.
10．太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相互统一的和谐
美．定义：能够将圆 的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆 的一个“太极函数”下列有关说法
中正确的是（ ）
A．对圆 的所有非常数函数的太极函数中，一定不能为偶函数；
B．函数 是圆 的一个太极函数；
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学科网（北京）股份有限公司C．存在圆 ，使得 是圆 的太极函数；
D．直线 所对应的函数一定是圆 的太极函数．
【答案】BD
【解析】对于A，如图折线形成的函数 是偶函数，满足 ，
显然函数 的图象能将圆 的周长和面积同时等分成两部分，A错误；
对于B，将正弦函数 的图象向上平移1个单位即得 的图象，
即 的图象关于点 成中心对称，而圆 也关于点 中心对称，
因此函数 的图象能将圆 的周长和面积同时等分成两部分，B正确；
对于C， 的定义域为 ，且 ，
即 为奇函数，图象关于 对称，
若 是圆 的太极函数，则圆 的圆心应为 ，但是 不在 的图象上，
因此函数 不能将圆 的周长和面积同时等分成两部分，C错误；
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学科网（北京）股份有限公司对于D，直线 ，即 ，
由 ，解得 ，则直线 恒过定点 ，
显然直线 经过圆 的圆心，
该直线能将圆 的周长和面积同时等分成两部分，D正确，
故选：BD
11．已知 是定义在 上的函数，对于任意实数 满足 ，当 时， ，
则（ ）
A． B．
C． 有3个零点 D．若 ，则 或
【答案】ACD
【解析】对于A，已知 ，
令 ，则 ，
故 ；令 ，则 ，解得 ，故A正确；
对于B，令 ，则 ，
解得 ；令 ，则 ，
得到 是奇函数，不满足 ，故B错误；
对于C，令 ，则 ，
而 ，得到 是奇函数，且在 上有定义，
则 ， ，得到 有3个零点，故C正确，
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学科网（北京）股份有限公司对于D，结合 ，解得 ，
显然 ，而 ，若 ，则 即可，
当 时，此时 ，则 ，符合题意，
而在 时， ，则 ， ，不符合题意，排除，
当 时， ， ，故 ，
由奇函数性质得 ，符合题意，
当 时， ，此时 ，
由奇函数性质得 ，不符合题意，排除，
综上，若 ，则 或 ，故D正确.
故选：ACD
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．若 的展开式中 的系数是20，则实数 的值为 ．
【答案】6
【解析】 的展开式中 的系数是 ．
故答案为：6
13．在 中，角 的对边分别为 ，且 ，若点 是 的中点， ，则
.
【答案】3
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
在 中，因 ， ，由余弦定理可得：
，
在 中，由余弦定理可得：
，
因为 ，即 ，
可得 ，解得 .
故答案为：3.
14．三棱锥 中， 平面 ， ，平面 内动点 的轨迹是集合
，已知 、 ，且 在 所在直线上， ．则三棱锥 外接球的
表面积为 ．
【答案】
【解析】以 中点为原点建立直角坐标系，不妨设 ， ，
设 由 可得， 化简，
，所以 外接圆半径为2，
设三棱锥 的外接球半径为 ，由 ， ．
故答案为： .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）
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学科网（北京）股份有限公司已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求 的最值．
【解析】（1）函数 ，求导得 ，则 ，而 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 . （5分）
（2）函数 的定义域为 ， ， （8分）
当 时， ，当 时， ，
因此函数 在 上单调递增，在 上单调递减， ， （12分）
所以 的最大值为 ，无最小值. （13分）
16．（15分）
算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具.如图，算盘多为木制，内嵌有九至十五根直
杆（简称档），自右向左分别表示个位､十位､百位､......，梁上面一粒珠子（简称上珠）代表5，梁下面一
粒珠子（简称下珠）代表1，五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小.（例如，个位拨动一粒上珠､十位
拨动一粒下珠至梁上，表示数字15.）现将算盘的个位､十位､百位分别随机拨动一粒或两粒珠子至梁上.
(1)设事件 为“表示的三位数能被5整除”， 为“表示的三位数能被3整除”.分别求事件 ， 发
生的概率；
(2)求随机变量“表示的三位数除以3的余数（能整除时记余数为0）”的概率分布列及数学期望.
【解析】（1）将算盘的个位､十位､百位分别随机拨动一粒或两粒珠子至梁上，
因此各位上数字可以是1､2､5､6，三位数的个数是 ，
要使得组成的三位数能被5整除，则只需个位数是5即可，
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学科网（北京）股份有限公司而这些数中个位数是5的数的个数为 ，
所以事件 发生的概率 （3分）
要使得组成的三位数能被3整除，
则数字组合有 共8种，
因此满足条件的三位数有 个，
所以事件 发生的概率 .
故 . （7分）
（2）记三位数除以 的余数为 ，则 的可能取值为 ， （8分）
由（1）知 时数字组合有 共6种，
因此被 整除余1的三位数有 个，所以 ，
， （12分）
X的概率分布列为：
0 1 2
数学期望 . （15分）
17．（15分）
A B C D
1 1 1 1
已知四棱柱 如图所示，底面ABCD为平行四边形，其中点D在平面 内的投影
为点 ， ．
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学科网（北京）股份有限公司(1)求证：平面 平面 ；
(2)已知点E在线段 上（不含端点位置），且平面 与平面 的夹角的余弦值为 ，求
的值及直线BE与平面 所成角的正弦值．
【解析】（1）不妨设 ， 因为 平面 平面 ，故 ，
在 中， ，由余弦定理得
，
得 ，故 ，则 ， （3分）
因为 平面 ，所以 平面 ，
而 平面 ，所以平面 平面 ； （5分）
（2）由（1）知， 两两垂直，如图所示，以 为坐标原点，
所在的直线分别为 轴建立空间直角坐标系，设 ，
则 ，
故 ， （7分）
，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司设 ，则 ，
即 ，
所以 ； （9分）
设 为平面 的一个法向量，
则 ，
令 ，则 ，所以 ，
因为 轴 平面 ，则可取 为平面 的一个法向量，
设平面 与平面 的夹角为 ，
则 ，解得 ，故 ， （13分）
，
，
设 与平面 所成角为 ，
则 . （15分）
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学科网（北京）股份有限公司18．（17分）
已知圆C： A：为圆C与y轴负半轴的交点，过点A作圆C的弦AM，并使弦AM
的中点B恰好落在x轴上，点M的轨迹为曲线E，Q为直线 上的动点.
(1)求曲线E的方程；
(2)过点Q作曲线E的切线，切点分别为D，G.
①求 的值；
②求 面积的最小值.
【解析】（1）设 ，而 ，则弦 的中点 ，又 ，
于是 ， ，由 ，得 ，即 ，
所以曲线 的方程为 . （4分）
（2）①由（1）知，曲线E： ，求导得 ，
设 ， ， ，切线 的方程为： ，
即 ，同理得切线 的方程为： ， （6分）
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学科网（北京）股份有限公司又两切线都过点 ，因此 ，则直线 的方程为 ，
由 消 得： ，则 ，则 ，
于是 ， ，
所以 . （9分）
②由①知，直线 恒过抛物线的焦点 ， ，
由抛物线定义得： ，
， （13分）
因此 的面积 ，
当且仅当 时取等号，
所以 面积的最小值为4. （17分）
19．（17分）
已知数列 的前 项和分别为 ，定义数列 的“关联数列”为 ，且
.
(1)若 .求 ；
(2)若 ，求 的值；
(3)已知当 时， ，当且仅当 时
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学科网（北京）股份有限公司“ ”成立.若数列 为正项数列，且 ， ，证明： .
【解析】（1）由题意得 ，
. （4分）
（2）由题意，当 时， ；
当 时，
，
故
. （9分）
（3）由 ， ，可得 ，
即得 ，
则
，
则有： （*）.
，
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学科网（北京）股份有限公司由（*）可得： . （13分）
因 时， ，由已知不等式可得：
，
故得 ，
即 得证. （17分）
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学科网（北京）股份有限公司
