第10讲 数列与文化及新定义专题
目 录
高考分析.............................................................................................................................................................................1
学习目标.............................................................................................................................................................................2
题型归纳.............................................................................................................................................................................3
题型01：我国古代成就..............................................................................................................................................3
（一）单选题......................................................................................................................................................3
（二）多选题....................................................................................................................................................16
（三）填空题....................................................................................................................................................19
（四）解答题....................................................................................................................................................22
题型02：国外成就...................................................................................................................................................27
（一） 单选题..................................................................................................................................................27
（二）多选题....................................................................................................................................................34
（三）填空题....................................................................................................................................................40
题型03：数列与文化................................................................................................................................................51
题型04: 几何问题....................................................................................................................................................61
题型05：数列在日常经济生活中的应用....................................................................................................................68
（一）数列-单利...............................................................................................................................................68
（二）数列-复利...............................................................................................................................................69
（三）数列-分期付款........................................................................................................................................70
（四）数列-产值增长........................................................................................................................................71
（五）数列-养老保险及浓度匹配......................................................................................................................72
（六）数列-其他模型........................................................................................................................................73
（七）综合........................................................................................................................................................74
题型06:数列新定义..................................................................................................................................................81
（一）单选题....................................................................................................................................................81
（二）多选题....................................................................................................................................................86
（三）填空题....................................................................................................................................................93
（四）解答题....................................................................................................................................................95
在当前的“新高考”改革背景下，数学试题越来越强调“五育并举”（德智体美劳）和“文化自信”。数列作
为高中数学的核心主干知识，不仅考查逻辑推理和运算求解，更是连接古代数学文明、现代科学成就与日常生活的
重要纽带。
1. 命题趋势 (Trends)
• 传统文化的数学表达： 高考（特别是全国卷、新高考卷）常以中国古代数学名著（如《九章算术》、《张丘建
算经》、《算法统宗》等）中的“衰分术”、“盈不足术”或“堆垛问题”为背景，考查等差、等比数列的通项与
求和。
• 科技成就与数学建模： 结合国家重大科技成就（如航天发射、芯片制造、基建工程、GDP 增长等），考查数列在
复利计算、增长率预测、物理运动模型中的应用。
• 美育与逻辑： 利用斐波那契数列（黄金分割）、谢尔宾斯基三角形（分形几何）等展现数学的对称美与结构美。
2. 核心考点 (Core Knowledge Points)
• 基本运算：an与 Sn的关系，等差/等比数列的基本公式。
• 性质应用： 中项性质、下标和性质、周期性。
• 求和方法： 错位相减法、裂项相消法、分组求和法（在实际应用题中常涉及估算）。
• 数学思想： 函数与方程思想、转化与化归思想、数学建模（将文字语言转化为符号语言）。
1. 文化理解与转化能力：
◦ 能读懂古文数学题，准确提取关键信息，将“文言文”转化为“现代数学符号”。
◦ 理解中国古代数学家在数列领域的贡献（如杨辉三角、高阶等差数列），增强文化自信。
2. 实际应用与建模能力：
◦ 能从生活实例（如房贷还款、放射性物质衰变、传染病模型）中抽象出等差或等比数列模型。
◦ 掌握“增长率模型” (an+1= an(1+p)) 和“分期付款模型”的数列表达。
3. 逻辑推理与运算求解：
◦ 熟练掌握数列通项公式与前n 项和公式的推导。
◦ 能够处理带有实际意义的不等式恒成立问题（如“至少需要多少天”、“能否超过某值”）。
题型01：我国古代成就
（一）单选题
【典型例题1】南宋数学家在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等
差数列与一般等差数列不同，高阶等差数列中前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列．
现有高阶等差数列，其前7 项分别为1，2，4，7，11，16，22，则该数列的第20 项为
A．172
B．183
C．191
D．211
【答案】C
【解析】解：高阶等差数列
，2，4，7，11，16，22，
，
令
，则数列
，2，3，4，5，6，
，
则数列
为等差数列，首项
，公差
，
，则
，
则
．
故选：
．
【典型例题2】如图的形状出现在南宋数学家杨部所著的《详解九章算法商功》中，后人称为“三角垛”．角垛”
的最上层有1 个小球，第二层有3 个小球，第三层有6 个小球设各层球数构成数列
．该数列从第二项起每一项
与前一项的差构成等差数列，则该“三角垛”中第8 层小球个数为
A．21
B．28
C．36
D．45
【答案】C
【解析】解：根据题意，设第
层有
个小球，
则
，
，
，
从第二项起每一项与前一项的差构成等差数列，
而
，
，则
，
，
，
故
，即该“三角垛”中第8 层小球个数为
36．
故选：
．
【典型例题3】中国古代数学著作《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰．书里记载了这样一个问题
“今有女子善织，日自倍，五日织五尺．问日织几何？”译文是“今有一女子很会织布，每日加倍增长，5 天共织
5 尺，问每日各织布多少尺？”，则该女子第二天织布
A．
尺
B．
尺
C．
尺
D．
尺
【答案】B
【解析】解：设每日织布尺数构成的数列为
，
则
是公比为2 的等比数列，
由题知
，解得
，
该女子第二天织布数为
．
故选：
．
【典型例题4】大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太
极衍生即太极生两仪原理，如图所示（图中●表示太极，表示
阳仪，
表示阴仪）．若数列的每一项都代表太极衍
生过程中经历过的两仪数量总和，即
为天一对应的经历过的两仪数量总和0，
为衍生到地二时经历过的两仪数
量总和2，
为衍生到天三时经历过的两仪数量总和4，
，按此规律，则
为
大衍图
A．84
B．98
C．112
D．128
【答案】C
【解析】解：根据题意，设该数列为
，则
，
故
．故选：
．
【变式训练1-1】农历是我国古代通行历法，被誉为“世界上最突出和最优秀的智慧结晶”．它以月相变化周期为
依据，每一次月相朔望变化为一个月，即“朔望月”，约为29.5306 天．由于历法精度的需要，农历设置“闰月”，
即按照一定的规律每过若干年增加若干月份，来修正因为天数的不完美造成的误差，以使平均历年与回归年相适应：
设数列
满足
，
，
，
，其中
均为正整数：
，
，
，
，
，
，
，那么第
级修正是“平均一年闰
个月”．已知我国农历为“19 年共闰7 个月”，
则它是
A．第6 级修正
B．第5 级修正
C．第4 级修正
D．第3 级修正
【答案】B
【解析】解：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
则我国农历为19 年共闰7 个月为第5 级修正，
故选：
．
【变式训练1-2】天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干即：甲､乙､丙､丁､戊､己､庚､
辛､壬､癸；十二地支即：子､丑､寅､卯､辰､巳､午､未､申､酉､戌､亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支
相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为
“乙丑”，第三年为“丙寅”…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙
亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，2023 年是癸卯年，请问：在100 年后的2123
年为（ ）
A．壬午年
B．癸未年
C．己亥年
D．戊戌年
【变式训练1-3】元代数学家朱世杰所创立的“招差术”是我国古代数学领域的一项重要成就，曾被科学家牛顿加
以利用，在世界上产生了深远的影响.已知利用“招差术”得到以下公式：
，具体原理
如下：
，
，类比上述方法，
的值是（ ）
A．90
B．210
C．420
D．756
【变式训练1-4】北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创的“隙积术”，就是关于高阶等差数列求和的问题．现
有一货物堆，从上向下查，第一层有1 个货物，第二层比第一层多2 个，第三层比第二层多3 个，以此类推，记第
n 层货物的个数为
，则使得
成立的n 的最小值是（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【变式训练1-5】我国古代数学家对
近似值的确定做出了巨大贡献，早在东汉初年的数学古籍《周髀算经》里便
记载“径一周三”，并称之为“古率”，即“直径为1 的圆，周长为3”，之后三国时期数学家刘徽证明了圆内接
正六边形的周长是圆直径的三倍，说明“径一周三”实际上是圆的内接正六边形的周长与圆直径的比值，而不是圆
周率．若将圆内接正n 边形的周长与其外接圆的直径之比记为
，则下列说法错误的是（ ）
A．
B．
C．存在
，当
时，
D．存在
，使得
【变式训练1-6】刻漏是中国古代用来计时的仪器，利用附有刻度的浮箭随着受水壶的水面上升来指示时间.为了使
受水壶得到均匀水流，古代的科学家们发明了一种三级漏壶，壶形都为正四棱台，自上而下，三个漏壶的上口宽依
次递减1 寸（约3.3 厘米），下底宽和深度也依次递减1 寸.设三个漏壶的侧面与底面所成锐二面角依次为
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1-7】“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记
为图中虚线上的数
构成的数列
的第
项，则
的值为（ ）
A．1275
B．1276
C．1270
D．1280
【变式训练1-8】北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创的“隙积术”，就是关于高阶等差数列求和的问题．现
有一货物堆，从上向下查，第一层有1 个货物，第二层比第一层多2 个，第三层比第二层多3 个，以此类推，记第
n 层货物的个数为
，则数列
的前2023 项和为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1-9】等比数列的历史由来已久，我国古代数学文献《孙子算经》、《九章算术》、《算法统宗》中都
有相关问题的记载．现在我们不仅可以通过代数计算来研究等比数列，还可以构造出等比数列的图象，从图形的角
度更为直观的认识它．以前n 项和为
，且
，
的等比数列
为例，先画出直线OQ：
，并
确定x 轴上一点
，过点
作y 轴的平行线，交直线OQ 于点
，则
．再过点
作平行于x 轴，长
度等于
的线段
，……，不断重复上述步骤，可以得到点列
，
和
．下列说法错误的是（ ）
A．
B．
C．点
的坐标为
D．
【变式训练1-10】数学家杨辉在其专著《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的高阶等差数列．
其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列、如数列2，4，7，11，16，从第二项起，每一项与前一项的差组成
新数列2，3，4，5，新数列2，3，4，5 为等差数列，则称数列2，4，7，11，16 为二阶等差数列，现有二阶等差
数列
，其前七项分别为2，2，3，5，8，12，17．则该数列的第20 项为（ ）
A．173
B．171
C．155
D．151
【变式训练1-11】宋代制酒业很发达，为了存储方便，酒缸是要一层一层堆起来的，形成堆垛，用简便的方法算出
堆垛中酒缸的总数，古代称之为堆垛术.有这么一道关于“堆垛”求和的问题：将半径相等的圆球堆成一个三角垛，
底层是每边为n 个圆球的三角形，向上逐层每边减少一个圆球，顶层为一个圆球，记自上而下第n 层的圆球总数为
，容易发现：
，
，
，则
（ ）
A．45
B．40
C．35
D．30
【变式训练1-12】《周髀算经》中有这样一个问题：冬至､小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小
满､芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，立春当日日影长为9.5 尺，立夏当日日影长为2.5
尺，则春分当日日影长为（ ）
A．4.5 尺
B．5 尺
C．5.5 尺
D．6 尺
【变式训练1-13】如图，九连环是中国从古至今广为流传的一种益智玩具．在某种玩法中，按一定规则移动圆环，
用
表示解下
个圆环所需的最少移动次数，数列
满足
，且
，则解
下5 个环所需的最少移动次数为（ ）
A．5
B．10
C．21
D．42
【变式训练1-14】我国古代数学著作《九章算术》中记载问题：今有垣厚五尺，两鼠对穿．大鼠日一尺，小鼠亦日
尺．大鼠日自倍，小鼠日自半．问几何日相逢，各穿几何？意思是：今有土墙厚5 尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大
鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天也打洞一尺，大鼠之后每天打洞厚度比前一天多一倍，小鼠之后每天打洞厚度是前
一天的一半，问两鼠几天打通相逢？此时，各打洞多少？两鼠相逢需要的天数最小为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【变式训练1-15】《庄子·天下》篇中记述了一个著名命题：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”反映这个命题
本质的式子是（ ）
A．1＋
B．
C．
D．
【变式训练1-16】“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300 多年，如图是
由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记
为图中虚线上的数1，3，6，10，…构成的数列
的第
项，则
的值为（ ）
A．208
B．209
C．210
D．211
【变式训练1-17】中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日
脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔仔细算相还”.其大意为：“有一人走378 里路，第一天健
步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6 天后到达目的地”.则下列说法正确的是（ ）
A．该人第五天走的路程为14 里
B．该人第三天走的路程为42 里
C．该人前三天共走的路程为330 里
D．该人最后三天共走的路程为42 里
【变式训练1-18】南宋数学家在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶
等差数列与一般等差数列不同，高阶等差数中前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.现
有高阶等差数列，其前7 项分别为1，2，5，10，17，26，37，则该数列的第19 项为（ ）
A．290
B．325
C．362
D．399
【变式训练1-19】“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852 年英国来华传教士伟烈亚利将《孙子算法》中“物
不知数”问题的解法传至欧洲.1874 年，英国数学家马西森指出此法符合1801 年由高斯得出的关于同余式解法的一
般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”，“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除
问题：将1 至2022 这2022 个数中，能被5 除余1 且被7 除余1 的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列
，
则此数列的项数为（ ）
A．58
B．57
C．56
D．55
【变式训练1-20】《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，上面记载了一道有名的“孙子问题”，后来南宋数学
家秦九韶在《算书九章大衍求一术》中将此问题系统解决.“大衍求一术”属现代数论中的一次同余式组问题，后
传入西方，被称为“中国剩余定理”.现有一道同余式组问题:将正整数中， 被4 除余1 且被6 除余3 的数，按由小
到大的顺序排成一列数
，记
的前
项和为
，则
（ ）
A．495
B．522
C．630
D．730
【变式训练1-21】十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的，明万历十二年(公元1584 年)，他写
成《律学新说》提出了十二平均律的理论十二平均律的数学意义是：在1 和2 之间插入11 个数使包含1 和2 的这
13 个数依次成递增的等比数列，记插入的11 个数之和为M，插入11 个数后这13 个数之和为N，则依此规则，下
列说法错误的是（ ）
A．插入的第8 个数为
B．插入的第5 个数是插入的第1 个数的
倍
C．
D．
【变式训练1-22】“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1 到200 这200 个数
中，能被4 除余2 且被6 除余2 的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列
，则此数列各项之和为（ ）
A．1666
B．1676
C．1757
D．2646
【变式训练1-23】南宋数学家杨辉在《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨
论的高阶等差数列与一般的等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次成等差数列．如数
列1，3，6，10，前后两项之差组成新数列2，3，4，新数列2，3，4 为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列．
现有二阶等差数列，其前7 项分别为2，3，5，8，12，17，23，则该数列的第31 项为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1-24】在我国古代著作《九章算术》中，有这样一个问题：“今有五人分五钱，令上二人与下三人等，
问各得几何？”意思是有五个人分五钱，这五人分得的钱数从多到少成等差数列，且得钱最多的两个人的钱数之和
与另外三个人的钱数之和相等，问每个人分别分得多少钱．则这个等差数列的公差d＝（ ）
A．－
B．－
C．－
D．－
【变式训练1-25】朱载堉（1536~1611），是中国明代一位杰出的音乐家､数学家和天文历算家，他的著作《律学
新说》中阐述了最早的“十二平均律”.十二平均律是目前世界上通用的把一组音（八度）分成十二个半音音程的律
制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”.即一个八度13 个音，相邻两个音之间的频率之比
相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2 倍.设第二个音的频率为
，第八个音的频率为
.则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1-26】如图1，洛书是一种关于天地空间变化脉络的图案，2014 年正式入选国家级非物质文化遗产名
录，其数字结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，形成图2 中的九宫格，将自然数1，2，
3，…，
放置在n 行n 列
的正方形图表中，使其每行、每列、每条对角线上的数字之和（简称“幻和”）
均相等，具有这种性质的图表称为“n 阶幻方”．洛书就是一个3 阶幻方，其“幻和”为15．则7 阶幻方的“幻
和”为（ ）
图1 图2
A．91
B．169
C．175
D．180
【变式训练1-27】北宋数学家贾宪创制的数字图式（如图）又称“贾宪三角”，后被南宋数学家杨辉引用、n 维空
间中的几何元素与之有巧妙联系、例如，1 维最简几何图形线段它有2 个0 维的端点、1 个1 维的线段：2 维最简几
何图形三角形它有3 个0 维的端点，3 个1 维的线段，1 个2 维的三角形区域；……如下表所示.从1 维到6 维最简几
何图形中，所有1 维线段数的和是（ ）
元素维度
几何体维度
0
1
2
3
…
（线段）
2
1
（三角形）
3
3
1
（四面体）
4
6
4
1
…
…
…
…
…
…
A．56
B．70
C．84
D．28
【变式训练1-28】北宋数学家沈括在酒馆看见一层层垒起的酒坛，想求这些酒坛的总数，经过反复尝试，终于得出
了长方台形垛积的求和公式.如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积，第一层有
个小球，第
二层有
个小球，第三层有
..........依此类推，最底层有
个小球，共有
层.现有一个由小球
堆成的长方台形垛积，共
层，小球总个数为
，则该垛积的第一层的小球个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【变式训练1-29】南宋数学家杨辉为我国古代数学研究做出了杰出贡献，他的著名研究成果“杨辉三角”记录于其
重要著作《解析九章算法》，该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列，以高阶等差数列中的二阶等差数列
为例，其特点是从数列的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列.若某个二阶等差数列的前4 个为1，3，
7，13，则该数列的第13 项为（ ）
A．156
B．157
C．158
D．159
【变式训练1-30】谈祥柏先生是我国著名的数学科普作家，在他的《好玩的数学》一书中，有一篇文章《五分钟挑
出埃及分数》，文章告诉我们，古埃及人喜欢使用分子为的分数（称为埃及分数）．则下列埃及分数
、
、
、
、
的和是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1-31】《算法统宗》是中国古代数学名著，书中有这样一个问题：九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠，
次第每人多十七，要将第八数来言，务要分明依次弟，孝和休惹外人传．意为：996 斤棉花，分别赠送给8 个子女
做旅费，从第二个开始，以后每人依次多17 斤，直到第八个孩子为止．分配时一定要长幼分明，使孝顺子女的美
德外传．据此，前五个孩子共分得的棉花斤数为（ ）
A．362
B．430
C．495
D．645
【变式训练1-32】天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、
己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序
以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为
“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，
即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，2022 年是壬寅年，请问：在
100 年后的2122 年为（ ）
A．壬午年
B．辛丑年
C．己亥年
D．戊戌年
【变式训练1-33】南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所以论
的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列．对这类
高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”，现有高阶等差数列，其前6 项分别为1，5，11，21，
37，61，……则该数列的第8 项为（ ）
A．99
B．131
C．139
D．141
【变式训练1-34】《九章算术》中有一题：今有牛、马、羊、猪食人苗，苗主责之粟9 斗，猪主曰：“我猪食半
羊．”羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？其意是：今有牛、马、羊、
猪吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿9 斗粟，猪主人说：“我猪所吃的禾苗只有羊的一半．”羊主人说：“我羊
所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比率偿还，牛、马、羊、猪
的主人各应赔偿多少粟？在这个问题中，马主人比猪主人多赔偿了（ ）斗．
A．
B．
C．3
D．
【变式训练1-35】“垛积术”是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰
富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等．某仓库中部分货物堆放成如图所示的“茭草
垛”：自上而下，第一层1 件，以后每一层比上一层多1 件，最后一层是n 件． 已知第一层货物单价1 万元，从第
二层起，货物的单价是上一层单价的
．若这堆货物总价是
万元，则n 的值为（ ）
A．9
B．10
C．11
D．12
【变式训练1-36】北宋数学家贾宪创制的数字图式（如图）又称“贾宪三角”，后被南宋数学家杨辉引用、n 维空
间中的几何元素与之有巧妙联系、例如，1 维最简几何图形线段它有2 个0 维的端点、1 个1 维的线段：2 维最简几
何图形三角形它有3 个0 维的端点，3 个1 维的线段，1 个2 维的三角形区域；……如下表所示.从1 维到6 维最简几
何图形中，所有1 维线段数的和是（ ）
元素维度
几何体维度
0
1
2
3
…
（线段）
2
1
（三角形）
3
3
1
（四面体）
4
6
4
1
…
…
…
…
…
…
A．56
B．70
C．84
D．28
【变式训练1-37】大衍数列，来源于中国古代著作《乾坤普》中对易传“大衍之数五十”的推论.其前
项为：
、
、
、
、
、
、
、
、
、
，通项公式为
，若把这个数列
排成下侧形状，
并记
表示第
行中从左向右第
个数，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1-38】大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的
太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏的
世界数学史上第一道数列题．其前10 项依次是0、2、4、8、12、18、24、32、40、50，则此数列的第21 项是（
）
A．200
B．210
C．220
D．242
【变式训练1-39】《张邱建算经》记载了这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里”，意思
是“有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的路程是前一天的一半，连续走了7 天，共走了700 里”．在上述问题
中，此马第二天所走的路程大约为（ ）
A．170 里
B．180 里
C．185 里
D．176 里
【变式训练1-40】南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，他所讨论
的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项之差成等差数列．现有一高阶等差数列，
其前7 项分别为1，2，4，7，11，16，22，则该数列的第100 项为（ ）
A．4 923
B．4 933
C．4 941
D．4 951
【变式训练1-41】明代数学家程大位在《算法统宗》中已经给出由n，
和d 求各项的问题，如九儿问甲歌：“一
个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七．借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．”则该
问题中老人的长子的岁数为（ ）
A．35
B．32
C．29
D．26
【变式训练1-42】“三分损益法”是古代中国发明的制定音律时所用的生律法.例如：假设能发出第一个基准音的
乐器的长度为36，那么能发出第二个基准音的乐器的长度为
，能发出第三个基准音的乐器的长度
为
，……，也就是依次先减少三分之一，后增加三分之一，以此类推.现有一兴趣小组采用此规律构
造了一个共12 项的数列
用来研究数据的变化，已知
，则
（ ）
A．324
B．297
C．256
D．168
【变式训练1-43】大衍数列0，2，4，8，12，18，
来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要
⋯
用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和.
其通项公式为
记数列
的前n 项和为
，则
（ ）
参考公式：
.
A．169125
B．169150
C．338300
D．338325
【变式训练1-44】高阶等差数列是数列逐项差数之差或高次差相等的数列，中国古代许多著名的数学家对推导高阶
等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，展现了聪明才智如南宋数学家杨辉在《详
解九章算法商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关如图是一个三角垛，最顶
层有个小球，第二层有个，第三层有个，第四层有
个，则第
层小球的个数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1-45】“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《胁子算经》卷下
第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问
物几何?现有这样一个相关的问题：被除余
且被除余的正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列
，
记数列
的前
项和为
，则
的最小值为（ ）
A．60
B．61
C．75
D．76
【变式训练1-46】数学家祖冲之曾给出圆周率
的两个近似值：“约率”
与“密率”
.它们可用“调日法”
得到：称小于3.1415926 的近似值为弱率，大于3.1415927 的近似值为强率.由于
，取3 为弱率，4 为强率，
计算得
，故
为强率，与上一次的弱率3 计算得
，故
为强率，继续计算，….若某次
得到的近似值为强率，与上一次的弱率继续计算得到新的近似值；若某次得到的近似值为弱率，与上一次的强率继
续计算得到新的近似值，依此类推.已知
，则
（ ）
A．8
B．7
C．6
D．5
（二）多选题
【典型例题1】朱世杰是历史上伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：
“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升.”其大意为“官府
陆续派遣1864 人前往修筑堤坝，第一天派出64 人，从第二天开始每天比前一天多派7 人，官府向修筑堤坝的每人
每天发放大米3 升.”则下列结论正确的有（ ）
A．将这1864 人派谴完需要16 天
B．第十天派往筑堤的人数为134
C．官府前6 天共发放1467 升大米
D．官府前6 天比后6 天少发放1260 升大米
【答案】ACD
【解析】记数列
为第n 天派遣的人数，数列
为第n 天获得的大米升数，则
是以64 为首项，7 为公差的
等差数列，即
，
是以192 为首项，21 为公差的等差数列，即
，所以
，B 不正确.
设第k 天派遣完这1864 人，则
，解得
（负值舍去），A 正确；
官府前6 天共发放
升大米，C 正确，
官府前6 天比后6 天少发放
升大米，D 正确.故选ACD
【典型例题2】多选）中国古代数学专著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五
斗，羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、
马、羊吃了别人的禾苗．禾苗主人要求赔偿5 斗粟．羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半，”马主人说：
“我的马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人应分别偿还
升、
升、升粟，1 斗为10 升，则（ ）
A．
，
，依次成公比为2 的等比数列B．
，
，依次成公比为
的等比数列
C．
D．
【答案】BD
【解析】根据等比数列的定义，等比数列的前
项和公式计算后判断．
由条件，知
，
，依次成公比为
的等比数列，又
，所以
，所以
．
故选：BD．
【变式训练1-1】（多选）大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统
文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化
中隐藏的世界数学史上第一道数列题其前10 项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则（ ）
A．此数列的第20 项是200
B．此数列的第19 项是182
C．此数列的通项公式为
D．84 不是此数列中的项
【变式训练1-2】朱世杰是历史上伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：
“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升.”其大意为“官府
陆续派遣1864 人前往修筑堤坝，第一天派出64 人，从第二天开始每天比前一天多派7 人，官府向修筑堤坝的每人
每天发放大米3 升.”则下列结论正确的有（ ）
A．将这1864 人派谴完需要16 天
B．第十天派往筑堤的人数为134
C．官府前6 天共发放1467 升大米
D．官府前6 天比后6 天少发放1260 升大米
【变式训练1-3】我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：“今有良马和驽马发长安至齐，良马初日
行一百九十三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里.良马先至齐，复还迎驽马，九日后二马相逢.”其
大意为今有良马和驽马从长安出发到齐国，良马第一天走193 里，以后每天比前一天多走13 里；驽马第一天走97
里，以后每天比前一天少走
里.良马先到齐国，再返回迎接驽马，9 天后两马相遇.下列结论正确的是（ ）
A．长安与齐国两地相距1530 里
B．3 天后，两马之间的距离为
里
C．良马从第6 天开始返回迎接驽马
D．8 天后，两马之间的距离为
里
【变式训练1-4】中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日
脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔仔细算相还”．其大意为：“有一人走378 里路，第一天
健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6 天后到达目的地”．则下列说法正确的是（ ）
A．该人第五天走的路程为12 里
B．该人第三天走的路程为42 里
C．该人前三天共走的路程为330 里
D．该人最后三天共走的路程为42 里
【变式训练1-5】朱世杰是历史上伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：
“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升.”其大意为“官府
陆续派遣1864 人前往修筑堤坝，第一天派出64 人，从第二天开始每天比前一天多派7 人，官府向修筑堤坝的每人
每天发放大米3 升.”则下列结论正确的有（ ）
A．将这1864 人派谴完需要16 天
B．第十天派往筑堤的人数为134
C．官府前6 天共发放1467 升大米
D．官府前6 天比后6 天少发放1260 升大米
（三）填空题
【典型例题1】我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，
次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤，问本持金几何”其意思为“今有人持金出
五关，第1 关收税金
，第2 关收税金为剩余金的
，第3 关收税金为剩余金的
，第4 关收税金为剩余金的
，
第5 关收税金为剩余金的
，5 关所收税金之和，恰好重1 斤，问原来持金多少？”若将题中“5 关所收税金之和，
恰好重1 斤，问原来持金多少？”改成假设这个原来持金为
，按此规律通过第8 关，则第8 关需收税金为
．
【解答】解：第1 关收税金：
；第2 关收税金：
；第3 关收税金：
；
，可得第8 关收税金：
，即
．
故答案为：
．
【典型例题2】将杨辉三角中的每一个数
都换成分数
，就得到一个如图所示的分数三角形，称为莱布尼
茨三角形，从莱布尼茨三角形可以看出：
，令
，
是
的前
项和，则
.
【答案】
【解析】由
可得：
，
所以
所以
，
∴
.
【典型例题3】我国古代数学著作《九章算术》中有“竹九节”问题：现有一根节的竹子，自上而下各节的容积
成等比数列，最上面节的容积之积为，最下面节的容积之积为
，则第节的容积是 .
【答案】
【解析】现有一根节的竹子，自上而下各节的容积成等比数列，
设第
节的容积为
，则
为等比数列，且
，
上面节的容积之积，下面节的容积之积为
，
，解得
，
，
第节的容积为：
．
【变式训练1-1】将正奇数排列如下表，其中第i 行第j 个数表示
，例如
，若
，则
______．
【变式训练1-2】音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：以“宫”为基本音，
“宫”经过一次“损”频率变为原来的
，得到“徵”；“徵”经过一次“益”，频率变为原来的
，得到“商”；
……依次损益交替变化，获得了“宫、徵、商、羽、角”五个音阶，设“宫”的频率为，则“角”的频率为
________.
【变式训练1-3】“物不知数”是中国古代著名算题，原载于《孙子算经》卷下第二十六题：“今有物不知其数，
三三数之剩二；五五数之剩三；七七数之剩二.问物几何？”它的系统解法是秦九韶在《数书九章》大衍求一术中给
出的.大衍求一术（也称作“中国剩余定理”）是中国古算中最有独创性的成就之一，属现代数论中的一次同余式组
问题.已知问题中，一个数被
除余
，被
除余
，被
除余
，则在不超过
的正整数中，所有满足条件的数
的和为___________.
【变式训练1-4】“一尺之棰，日取其半，万世不竭”出自我国古代典籍《庄子·天下》，其中蕴含着等比数列的相
关知识.已知长度为4 的线段
，取
的中点
，以
为边作等边三角形（如图①），该等边三角形的面积为
，在图①中取
的中点
，以
为边作等边三角形（如图②），图②中所有的等边三角形的面积之和为
，
以此类推，则
___________；
___________.
【变式训练1-5】我国古代数学著作《九章算术》有如下问题，“今有金箠，长五尺．斩本一尺，重四斤．斩末一
尺，重二斤．问次一尺各重几何？”意思是“现有一根金杖，长五尺，一头粗，一头细．在粗的一端截下1 尺，重
4 斤；在细的一端截下1 尺，重2 斤；问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金杖由粗到细是均匀
变化的，估计此金杖总重量约为 斤．
【变式训练1-6】《孙子算经》是我国南北朝时期（公元5 世纪）的数学著作．在《孙子算经》中有“物不知数”
问题：一个整数除以三余二，除以五余三，求这个整数．设这个整数为a，当
时，则符合条件的所有a
的和为________．
【变式训练1-7】我国的《洛书》中记载着世界上最古老的幻方：将1，2，…，9 填入方格内使三行、三列、两条
对角线的三个数之和都等于15，如图所示．
一般地，将连续的正整数1，2，…，
填入
个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个
正方形叫做
阶幻方．记
阶幻方的对角线上数的和为
，例如
，
，
，……，那么10 阶幻
方的对角线上数的和
__．
【变式训练1-8】南宋著名数学家杨辉在1261 年所著的《详解九章算法》中首次提出“杨辉三角”，如图所示，这
是数学史上的一个伟大的成就在“杨辉三角”中，已知每一行的数字之和构成的数列为等比数列，设该数列前
项
和为
，若数列
满足
，则
___________.
【变式训练1-9】幻方又称为魔方，方阵或厅平方，最早记载于中国公元前500 年的春秋时期《大戴礼》中，宋代
数学家杨辉称之为纵横图.如图所示，将1，2，3，…，9 填入
的方格内，使三行､三列､两对角线的三个数之和
都等于15，便得到一个3 阶幻方；一般地，将连续的正整数1，2，3，…，
填入
的方格内，使得每行､每列､
每条对角线上的数字的和相等，这个正方形就叫做
阶幻方.记
阶幻方的一条对角线上的数字之和为
（如：
），则
.
4
9
2
3
5
7
8
1
6
【变式训练1-10】对圆周率
的计算几乎贯穿了整个数学史．古希腊数学家阿基米德（公元前287—公元前212）
借助正96 边形得到著名的近似值：
．我国数学家祖冲之（430—501）得出近似值
，后来人们发现
，这是一个“令人吃惊的好结果”．随着科技的发展，计算
的方法越来越多．已知
，定义
的值为
的小数点后第
个位置上的数字，如
，
，规定
．记
，集合
为函数
的值域，则集合
．
（四）解答题
【典型例题1】我国南宋时期的数学家杨辉，在他1261 年所著的《详解九章算法》一书中，用如图的三角形解释二
项和的乘方规律．此图称为“杨辉三角”，也称为“贾宪三角”．在此图中，从第三行开始，首尾两数为，其他
各数均为它肩上两数之和．
(1)把“杨辉三角”中第三斜列各数取出按原来的顺序排列得一数列：，
，
，
，
，…，写出
与
的递推关系，并求出数列
的通项公式；
(2)设
，证明：
.
【答案】(1)
，
（
）；
(2)证明见解析.
【解析】（1）根据已知写出
与
的递推关系，再利用累加法求出数列
的通项公式；
（2）先求出
，再利用错位相减法求出
，即得证.
（1）解：由“杨辉三角”的定义可知：
，
时，
所以有
，
故
,该式对a1=1 也成立.
所以
（
）
（2）解：由题得
，所以
，
设
，
所以
，（1）
所以
，（2）
（1）
（2）得
，
所以
，
所以
所以
所以
故
.
【典型例题2】北宋数学家沈括博学多才、善于观察．据说有一天，他走进一家酒馆，看见一层层垒起的酒坛，不
禁想到：“怎么求这些酒坛的总数呢？”，沈括“用刍童（长方台）法求之，常失于数少”，他想堆积的酒坛、棋
子等虽然看起来像实体，但中间是有空隙的，应该把他们看成离散的量．经过反复尝试，沈括提出对上底有ab 个，
下底有cd 个，共n 层的堆积物（如图），可以用公式
求出物体的总数．这就
是所谓的“隙积术”，相当于求数列ab，
的和，“隙积术”给出了
二阶等差数列的一个求和公式．现已知数列
为二阶等差数列，其通项
，其前n 项和为
，数列
的前n 和为
，且满足
．
(1)求数列
的前n 项和
；
(2)记
，求数列
的前n 项和
．
【答案】见解析
【解析】（1）数列
的通项
，
因为在数列
，
，
，…，
中，
，
，项数为
，
，
，
所以
．即
（2）因为数列
的前n 和为
，且满足
．
所以当
时，
，两式相减可得
，即
，
令
，则
，解得
，
所以数列
是以为首项，
为公比的等比数列，所以
.
所以
①，
②
①—②得：
，所以
【变式训练1-1】如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《解析九章算法•商功》中，后人称为“三角垛”.“三角
垛”的最上层有1 个球，第二层有3 个球，第三层有6 个球，
.设各层球数构成一个数列
.
(1)写出
与
的递推关系，并求数列
的通项公式；
(2)数列
是以3 为首项，3 为公比的等比数列，令
，求数列
的前
项和
.
【变式训练1-2】我国南宋时期的数学家杨辉，在他1261 年所著的《解析九章算法》一书中，用如图的三角形解释
二项和的乘方规律．此图称为“杨辉三角”，也称为“贾宪三角”．在此图中，从第三行开始，首尾两数为，其
他各数均为它肩上两数之和．
（1）把“杨辉三角”中第三斜列各数取出按原来的顺序排列得一数列：，
，
，
，
，…，写出
与
的递推关系，并求出数列
的通项公式；
（2）已知数列
满足
，设数列
满足：
，数列
的前
项和为
，若
恒成立，试求实数
的取值范围．
【变式训练1-3】“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在中国南宋数学家杨辉于1261 年所著的
《详解九章算法》一书中，欧洲数学家帕斯卡在1654 年才发现这一规律，比杨辉要晚近四百年.如图，在由二项式
系数所构成的“杨辉三角”中，记第2 行的第3 个数字为
，第3 行的第3 个数字为
，…，第
行的第3 个数
字为
，
（1）求
；
（2）求
.
【变式训练1-4】九连环是中国的一种古老智力游戏，它环环相扣，趣味无穷.长期以来，这个益智游戏是数学家及
现代电子计算机专家们用于教学研究的课题和例子.中国的末代皇帝溥仪(1906–1967)也曾有一个精美的由九个翡翠
缳相连的银制的九连环(如图).现假设有
个圆环，用
表示按某种规则解下
个圆环所需的最小移动次数.已知数列
满足下列条件：
，
，
，记
的前项和为
，
（1）求
；
（2）求
.
【变式训练1-5】如图的形状出现在南宋数学家杨浑所著的《详解九章算法•商功》中，后人称为“三角垛”.“三角
垛”的最上层有1 个球，第二层有3 个球，第三层有6 个球.......设各层球数构成一个数列
.
(1)写出
与
的递推关系，并求数列
的通项公式；
(2)记数列
的前
项和为
，且
，在
与
之间插入
个数，若这
个数恰能组成一个公差为
的等差数列，求数列
的前
项和
.
题型02：国外成就
（一）单选题
【典型例题1】分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学．作为当今世界十分风靡和活跃的新理论、
新学科，它的出现使人们重新审视这个世界：世界是非线性的，分形无处不在．分形几何学不仅让人们感悟到科学
与艺术的融合，数学与艺术审美的统一，而且还具有深刻的科学方法论意义，由此可见分形的重要性．美国物理学
大师
曾说过：今后谁不熟悉分形，谁就不能被称为科学上的文化人．
雪花曲线是一种典型的分形
曲线，它的制作步骤如下：
第一步：任意画一个正三角形，记为
，并把
的每一条边三等分；
第二步：以三等分后的每一条边中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉，记所得图形为
；
第三步：把
的每一条边三等分，重复第二步的制作，记所得图形为
；
同样的制作步骤重复下去，可以得到
，
，
，直到无穷，所画出的曲线叫做
雪花曲线．
若下图中
的边长为1，则图形
的周长为
A．6
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】解：根据题意，记第
个图形为
，其中三角形边长为
，边数为
，
分析可得：
，
，
则图形
的边数为
，边长
，则第
个图形为
的周长为
，
故当
时，周长为
，
故选：
．
【典型例题2】传说国际象棋发明于古印度，为了奖赏发明者，古印度国王让发明者自己提出要求，发明者希望国
王让人在他发明的国际象棋棋盘上放些麦粒，规则为：第一个格子放一粒，第二个格子放两粒，第三个格子放四粒，
第四个格子放八粒
依此规律，放满棋盘的64 个格子所需小麦的总重量大约为 吨．
麦子大约20000 粒，
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解答】解：由题意得，格子的麦粒数构成以1 为首项，以2 为公比的等比数列，
，
麦子大约20000 粒，
吨麦子大约为
粒，
，
，
故选：
．
【典型例题3】意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，
21，
．该数列的特点为前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它的前面两个数的和，即
，人们把这样的一列数组成的数列
称为“斐波那契数列”，则
A．
B．2024
C．
D．1
【答案】C
【解答】解：因为
，
当
时，所以
．
又
，所以
是首项为1，公比为
的等比数列，
则
，
故
．
故选：
．
【典型例题4】意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数
其中从第三项
起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，已知数列
为
“斐波那契数列”，则
（ ）
A．1
B．2
C．2022
D．2023
【答案】A
【解析】由题意，求得
，进而得到
，即可求解.
由题意得
，
，
，
所以
，
所以
.
故选：A.
【典型例题5】哈雷彗星是唯一能用裸眼直接看见的短周期彗星，其绕太阳公转周期为76 年，曾于1606 年回到近
日点，奥伯斯彗星的绕太阳公转周期为70 年，也曾于1606 年回到近日点，则哈雷5．（2023·四川·校联考模拟预
测）“勾股树”，也被称为毕达哥拉斯树，是根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形.如图所示，以
正方形
的一边为直角三角形的斜边向外作一个等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的两直角边为正方形的
边长向外作两个正方形，如此继续，若共得到127 个正方形，且
，则这127 个正方形中，最小的正方形边
长为（ ）
A．1
B．
C．2
D．
【答案】C
【解析】由题意可得不同边长的正方形的个数，构成以1 为首项，2 为公比的等比数列，从而可得小正方形的种类
数，再由正方形的边长构成以16 为首项，
为公比的等比数列，即可得到结果.
依题意，不同边长的正方形的个数，构成以1 为首项，2 为公比的等比数列，所以
，即
，解得
，即有7 种边长不同的正方形；又正方形的边长构成以16 为首项，
为公比的等比数列.
因此，最小的正方形边长
.
故选:C
【变式训练2-1】彗星与奥伯斯彗星下次同年回到近日点的年份为（ ）
A．3916 年
B．4190 年
C．4266 年
D．4570 年
【变式训练2-2】“埃拉托塞尼筛法”是保证能够挑选全部素数的一种古老的方法.这种方法是依次写出2 和2 以上
的自然数，留下第一个数2 不动，剔除掉所有2 的倍数；接着，在剩余的数中2 后面的一个数3 不动，剔除掉所有
3 的倍数；接下来，再在剩余的数中对3 后面的一个数5 作同样处理；……，依次进行同样的剔除.剔除到最后，剩
下的便全是素数.在利用“埃拉托塞尼筛法”挑选2 到20 的全部素数过程中剔除的所有数的和为（ ）
A．130
B．132
C．134
D．141
【变式训练2-3】取一条长度为1 的线段，将它三等分，去掉中间一段，留剩下的两段;再将剩下的两段分别三等分，
各去掉中间一段，留剩下的更短的四段；
；将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃过程
中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔三分集.若在
第
次操作中去掉的线段长度之和不小于
，则
的最大值为（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
【变式训练2-4】意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：，，
，，，
，…，该数列的特点是前两个数均为，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．人们把这样的一列数
所组成的数列
称为“斐波那契数列”，数列
的前
项和为
，则下列结论错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2-5】1883 年，德国数学家康托提出了三分康托集，亦称康托尔集.下图是其构造过程的图示，其详细构
造过程可用文字描述为：第一步，把闭区间
平均分成三段，去掉中间的一段，剩下两个闭区间
和
；
第二步，将剩下的两个闭区间分别平均分为三段，各自去掉中间的一段，剩下四段闭区间：
，
，
，
；如此不断的构造下去，最后剩下的各个区间段就构成了三分康托集.若经历
步构造后，
不属于剩下的
闭区间，则
的最小值是（ ）．
A．7
B．8
C．9
D．10
【变式训练2-6】斐波那契数列，又称黄金分割数列，该数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域有着非常广泛
的应用，在数学上，斐波那契数列是用如下递推方法定义的：
已
知
是该数列的第100 项，则m=（ ）
A．98
B．99
C．100
D．101
【变式训练2-7】《莉拉沃蒂》是古印度数学家婆什迦罗的数学名著，书中有下面的表述：某王为夺得敌人的大象，
第一天行军
由旬（由旬为古印度长度单位），以后每天均比前一天多行相同的路程，七天一共行军
由旬到达地
方城市.下列说法正确的是（ ）
A．前四天共行
由旬
B．最后三天共行
由旬
C．从第二天起，每天比前一天多行的路程为
由旬
D．第三天行了
由旬
【变式训练2-8】“埃拉托塞尼筛法”是保证能够挑选全部素数的一种古老的方法．这种方法是依次写出2 和2 以
上的自然数，留下头一个2 不动，剔除掉所有2 的倍数；接着，在剩余的数中2 后面的一个数3 不动，剔除掉所有
3 的倍数；接下来，再在剩余的数中对3 后面的一个数5 作同样处理；……，依次进行同样的剔除．剔除到最后，剩
下的便全是素数．在利用“埃拉托塞尼筛法”挑选2 到30 的全部素数过程中剔除的所有数的和为（ ）
A．333
B．335
C．337
D．341
【变式训练2-9】任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3 再加上1；若是偶数，就将该数除以2，反复进行上述
两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜
想”等）．如取正整数
，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8 个步骤变成1
（简称为8 步“雹程”）．现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列
满足：
（
为正整数），
，则当
时，则使
需要的雹程步数为（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10
【变式训练2-10】意大利数学家列昂纳多·斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数
列被誉为是最美的数列，斐波那契数列
满足
，
，
.若将数列的每一项按
照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前n 项所占的格子的面积之和为
，每段螺旋线与其所在的正
方形所围成的扇形面积为
，则其中不正确结论的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2-11】如图是美丽的“勾股树”，将一个直角三角形分别以它的每一条边向外作正方形而得到如图①的
第1 代“勾股树”，重复图①的作法，得到如图②的第2 代“勾股树”，…，以此类推，记第n 代“勾股树”中所
有正方形的个数为
，数列
的前n 项和为
，若不等式
恒成立，则n 的最小值为（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10
【变式训练2-12】如图所示的三角形叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成，第
行有
个数且两
端的数均为
，每个数是它下一行左右相邻的两数的和，如
，则第8 行
第4 个数（从左往右数）为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2-13】《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题目：把100 个面包分给
5 个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的
是较小的两份之和，则最小的一份为（ ）
A．5
B．10
C．15
D．30
【变式训练2-14】德国数学家科拉茨1937 年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数
，如果
是偶数，就将它
减半(即
)；如果
是奇数，则将它乘3 加1(即
)，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1.对于
科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定，现在请你研究：如果对正整数
(首项)按照上述规则施行变换后的
第6 项为1（注：1 可以多次出现)，则
的所有不同值的个数为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．32
【变式训练2-15】裴波那契数列
，因数学家莱昂纳多·裴波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数
列”，该数列
满足
，且
．卢卡斯数列
是以数学家爱德华·卢卡斯命名，
与裴波那契数列联系紧密，即
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2-16】分形几何学是数学家伯努瓦•曼德尔布罗在20 世纪70 年代创立的一门新的数学学科，它的创立
为解决众多传统科学领域的难题提供了全新的思路，按照如图1 的分形规律可得知图2 的一个树形图，记图2 中第
行黑圈的个数为
，白圈的个数为
，若
，则
（ ）
A．34
B．35
C．88
D．89
【变式训练2-17】谢尔宾斯基三角形（Sierppinskitriangle）是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基在1915 年提出．
先取一个实心正三角形，挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶点的三角形，即图中的白色三角
形），然后在剩下的每个小三角形中又挖去一个“中心三角形”，用上面的方法可以无限操作下去．操作第1 次得
到图2，操作第2 次得到图3．．．．．，若继续这样操作下去后得到图2024，则从图2024 中挖去的白色三角形个
数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2-18】在数学中，欧拉-马䟜罗尼常数
是数学中的一个重要常用无理数，为了便于仗用，我们认为
，且
．研究
与
的单调性，可得
所在的区间为（ ）（参考数据，
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2-19】斐波那契数列（Fibonacci Sequence）又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多，斐波那契
（Leonardo Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．在数学上，斐波纳契数列被以下递推
的方法定义：数列
满足：
，现从数列的前2022 项中随机抽取1 项，能被3 整除的概
率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2-20】十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础，著名的“康托三分集”是数学理性思维
的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间
均分为三段，去掉中间的区间段
，记为
第1 次操作；再将剩下的两个区间
分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第2 次操作；…；
每次操作都在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段；操作过程不
断地进行下去，剩下的区间集合即是“康托三分集”.设第
次操作去掉的区间长度为
，数列
满足：
，
则数列
中的取值最大的项为（ ）
A．第3 项
B．第4 项
C．第5 项
D．第6 项
【变式训练2-21】欧拉是18 世纪最优秀的数学家之一，几乎每个数学领域都可以看到欧拉的名字，例如初等几何
中的欧拉线、多面体中的欧拉定理、微分方程中的欧拉方程，以及数论中的欧拉函数等等．个数叫互质数）的正整
数（包括1）的个数，记作
．例如：小于或等于4 的正整数中与4 互质的正整数有1，3 这两个，即
．
记
为数列
的前n 项和，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
（二）多选题
【典型例题1】素数（大于1 的自然数，除了1 和它自身外，不能被其他自然数整除的数叫做素数，否则称为合
数）在密码学、生物学、金融学等方面应用十分广泛.1934 年，一个来自东印度（现孟加拉国）的学者森德拉姆发
现了以下以他的名字命名的“森德拉姆素数筛选数阵”，这个成就使他青史留名．
4
7
10
13
16
19
…
7
12
17
22
27
32
…
10
17
24
31
38
45
…
13
22
31
40
49
58
…
16
27
38
49
60
71
…
19
32
45
58
71
84
…
…
…
…
…
…
…
…
该数阵的特点是每行、每列的数均成等差数列，如果正整数n 出现在数阵中，则
一定是合数，反之如果正整
数n 不在数阵中，则
一定是素数，下面结论中正确的是（ ）
A．第4 行第10 列的数为94
B．第7 行的数公差为15
C．592 不会出现在此数阵中
D．第10 列中前10 行的数之和为1255
【答案】ABD
【解析】根据题意分析出第行等差数列的公差为
，第
列等差数列的公差为
，再结合题中材料与所学
数列知识对各选项进行分析即可.
根据题意，第行等差数列的公差为
，第
列等差数列的公差为
.设
为第行第
列的数字.
对于A，因为第4 行数构成的是以13 为首项，9 为公差的等差数列，所以
，故A 正确.
对于B，第7 行的数公差为
，故B 正确.
对于C，假设592 不会出现在此数阵中，则
是素数，而
是合数，所以假设错误，即
592 会出现在此数阵中，故C 错误.
对于D，第10 列中前10 行的数构成以
为首项，公差为
的等差数列，其和为
，故D 正确.
故选:ABD
【典型例题2】分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，分形几何具有自身相似性，从它的任何
一个局部经过放大，都可以得到一个和整体全等的图形.如下图的雪花曲线，将一个边长为1 的正三角形的每条边三
等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图2，如此继续下去，得图（3）...记
为第
个
图形的边长，记
为第
个图形的周长，
为
的前
项和，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若
为
中的不同两项，且
，则
最小值是1
D．若
恒成立，则
的最小值为
【答案】ACD
【解析】对于A，从前后两个图之间的关系可求出
，对于B，由题意可知，数列
是1 为首项，
为公比的等
比数列，从而可求出
，对于C，由
结合
，可得
，而
，从而可求出
的值，则可求出
的值，进而可求得最小值，对于D，由
在
上递增和
在
上递增，可求得结果.
解：对于A，由题意可知，下一个图形的边长是上一个图边长的
，边数是上一个图形的4 倍，则周长之间的关系
为
，所以数列
是公比为
，首项为3 的等比数列，所以
，所以A 正确，
对于B，由题意可知，从第2 个图形起，每一个图形的边长均为上一个图形边长的
，所以数列
是1 为首项，
为公比的等比数列，所以
，所以B 错误，
对于C，由
，
，得
，所以
，所以
，因为
，所以当
时，
，则
，当
时，
，则
，当
时，
，则
，当
时，
，则
，
当
时，
，则
，所以
最小值是1，所以C 正确，
对于D，因为
在
上递增，所以
，即
，
令
，则
在
上递增，
所以
，即
，即
，
因为
恒成立，所以
的最小值为
，所以D 正确，
故选：ACD
【点睛】此题考查等比数列的通项公式和求和公式的应用，考查数列单调性的应用，解题的关键是正确理解题意，
求出数列
和
的通项公式，考查计算能力，属于较难题
【典型例题3】若正整数m．n 只有1 为公约数，则称m，n 互质，对于正整数k，
（k）是不大于k 的正整数中与
k 互质的数的个数，函数
（k）以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：
，
，
，
．已知欧拉函数是积性函数，即如果m，n 互质，那么
，例如：
，则
（ ）
A．
B．数列
是等比数列
C．数列
不是递增数列
D．数列
的前n 项和小于
【答案】ABD
【解析】
，A 对；
∵2 为质数，∴在不超过
的正整数中，所有偶数的个数为
，
∴
为等比数列，B 对；
∵与
互质的数为
共有
个，∴
又∵
=
，∴
一定是单调增数列，C 错；
，
的前n 项和为
，D 对.故选：ABD．
【变式训练2-1】对于正整数
是小于或等于
的正整数中与
互质的数的数目.函数
以其首名研究者欧
拉命名，称为欧拉函数，例如
，则（ ）
A．
B．数列
为等比数列
C．数列
不单调
D．数列
的前
项和恒小于4
【变式训练2-2】对于正整数n，
是小于或等于n 的正整数中与n 互质的数的数目．函数
以其首名研究者
欧拉命名，称为欧拉函数，例如
（1，2，4，5，7，8 与9 互质），则（ ）
A．若n 为质数，则
B．数列
单调递增
C．数列
的前5 项和等于
D．数列
为等比数列
【变式训练2-3】提丢斯·波得定律是关于太阳系中行星轨道的一个简单的几何学规则，它是在1766 年由德国的一
位中学老师戴维斯·提丢斯发现的，后来被柏林天文台的台长波得归纳成一条定律，即数列
：0.4，0.7，1，
1.6，2.8，5.2，10，19.6…表示的是太阳系第
颗行星与太阳的平均距离（以天文单位AU 为单位）.现将数列
的各项乘以10 后再减4，得到数列
，可以发现数列
从第3 项起，每项是前一项的2 倍，则下列说法正确的
是（ ）
A．数列
的第2023 项为
B．数列
的通项公式为
C．数列
的前10 项和为157.3
D．数列
的前
项和
【变式训练2-4】历史上著名的伯努利错排问题指的是：一个人有
封不同的信，投入n 个对应的不同的信
箱，他把每封信都投错了信箱，投错的方法数为
.例如两封信都投错有
种方法，三封信都投错有
种方
法，通过推理可得：
.高等数学给出了泰勒公式：
，则下列说法正
确的是（ ）
A．
B．
为等比数列
C．
D．信封均被投错的概率大于
【变式训练2-5】麦克斯韦妖（Maxwell＇s demon），是在物理学中假想的妖，能探测并控制单个分子的运动，于
1871 年由英国物理学家詹姆斯·麦克斯韦为了说明违反热力学第二定律的可能性而设想的．当时麦克斯韦意识到自
然界存在着与熵增加相拮抗的能量控制机制．但他无法清晰地说明这种机制．他只能诙谐地假定一种“妖”，能够
按照某种秩序和规则把作随机热运动的微粒分配到一定的相格里．麦克斯韦妖是耗散结构的一个雏形．可以简单的
这样描述，一个绝热容器被分成相等的两格，中间是由“妖”控制的一扇小“门”，容器中的空气分子作无规则热
运动时会向门上撞击，“门”可以选择性的将速度较快的分子放入一格，而较慢的分子放入另一格，这样，其中的
一格就会比另外一格温度高，可以利用此温差，驱动热机做功．这是第二类永动机的一个范例．而直到信息熵的发
现后才推翻了麦克斯韦妖理论．设随机变量X 所有取值为1，2，…n，且
（
，2，…n）
，定义X 的信息熵
，则下列说法正确的有（ ）
A．n=1 时
B．n=2 时，若
，则
与
正相关
C．若
，
，
D．若n=2m，随机变量y 的所有可能取值为1,2,…,m，且
（j=1,2,…,m）则
【变式训练2-6】若数列
满足
，
，则称该数列为斐波那契数列．如图所
示的“黄金螺旋线”是根据斐波那契数列画出来的曲线．图中的长方形由以斐波那契数为边长的正方形拼接而成，
在每个正方形中作圆心角为
的扇形，连接起来的曲线就是“黄金螺旋线”．记以
为边长的正方形中的扇形面
积为
，数列
的前
项和为
．下列结论正确的是（ ）
A．
B．
是奇数
C．
D．
【变式训练2-7】“埃拉托塞尼筛法”是保证能够挑选全部素数的一种古老的方法.这种方法是依次写出2 和2 以上
的自然数，留下第一个数2 不动，剔除掉所有2 的倍数；接着，在剩余的数中2 后面的一个数3 不动，剔除掉所有
3 的倍数；接下来，再在剩余的数中对3 后面的一个数5 作同样处理；…，依次进行同样的剔除.剔除到最后，剩下
的便全是素数.基于“埃拉托塞尼筛法”，则（ ）
A．2 到20 的全部素数和为77
B．挑选2 到20 的全部素数过程中剔除的所有数的和为134
C．2 到30 的全部素数和为100
D．挑选2 到30 的全部素数过程中剔除的所有数的和为335
（三）填空题
【典型例题1】德国数学家康托尔是集合论的创始人，以其名字命名的“康托尔尘埃”作法如下：第一次操作，将
边长为1 的正方形分成9 个边长为
的小正方形后，保留靠角的4 个，删去其余5 个；第二次操作，将第一次剩余
的每个小正方形继续9 等分，并保留每个小正方形靠角的4 个，其余正方形删去；以此方法继续下去
．经过
次操作后，共删去个
小正方形；若要使保留下来的所有小正方形面积之和不超过
，则至少需要
操作 次．
【答案】
．
【解析】解：由题可知，每次删掉的正方形数构成公比为4，首项为5 的等比数列，
所以经过
次操作后，共删去的正方形个数
；
易知，第
次操作后共保留
个小正方形，其边长为
，
所以，保留下来的所有小正方形面积之和为
，
由
，解得
，
所以，至少需要9 次操作才能使保留下来的所有小正方形面积之和不超过
．
故答案为：
．
【典型例题2】数学王子高斯在小时候计算
时，他是这样计算的：
，共
有50 组，故和为5050，事实上，高斯发现并利用了等差数列的对称性.若函数
图象关于
对称，
，则
.
【答案】
【解析】根据抽象函数的对称性可得
，由题意得
，根据
可得
，即
，结合裂项相消求和法即可求解.
由函数
图象关于点
对称，得
，
得
，所以
.
因为
，
所以
，
所以
，则
，
所以
.
故答案为：
.
【典型例题3】欧拉是瑞士数学家和物理学家，近代数学先驱之一，在许多数学的分支中经常可以见到以他的名字
命名的重要函数、公式和定理．如著名的欧拉函数
：对于正整数n，
表示小于或等于n 的正整数中与n
互质的数的个数，如
，
．那么，数列
的前n 项和为 ．
【答案】
【解析】利用错位相减法求和.
在
中，与
不互质的数有
，共有
个，
所以
，
所以
，
设数列
的前
项和为
，
所以
，
，
两式相减可得
,
所以
,
即
,
故答案为：
.
【典型例题4】古印度数学家婆什伽罗在《丽拉沃蒂》一书中提出如下问题：某人给一个人布施，初日施2 子安贝
（古印度货币单位），以后逐日倍增，问一月共施几何？在这个问题中，以一个月31 天计算，记此人第n 日布施
了
子安贝（其中
，
），数列
的前n 项和为
．若关于n 的不等式
恒成
立，则实数t 的取值范围为 ．
【答案】
【解析】先求得数列
的通项公式和前n 项和
，化简题给不等式为
，求得
的最小
值，进而得到实数t 的取值范围.
由题意可知，数列
是以2 为首项，2 为公比的等比数列，
故
．
所以
．
由
，得
，
整理得
对任意
，且
恒成立．
又
，
当且仅当
，即
时等号成立，
所以t＜15，即实数t 的取值范围是
故答案为：
【典型例题5】1967 年，法国数学家蒙德尔布罗的文章《英国的海岸线有多长？》标志着几何概念从整数维到分数
维的飞跃.1977 年他正式将具有分数维的图形成为“分形”，并建立了以这类图形为对象的数学分支——分形几何.
分形几何不只是扮演着计算机艺术家的角色，事实表明它们是描述和探索自然界大量存在的不规则现象的工具.下面
我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段AB 的长度为a，在线段AB 上取两个点C，D，使得
，以CD 为一边在线段AB 的上方做一个正三角形，然后去掉线段CD，得到图2 中的图形；对图2
中的线段EC､ED 作相同的操作，得到图3 中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：
记第n 个图形(图1 为第一个图形)中的所有线段长的和为
，若存在最大的正整数a，使得对任意的正整数n，都有
，则a 的值为___________.
【答案】1010
【解析】由题设知每次的增量是前一次增量的
倍，增量通项为
，进而可得
，结合题设
恒成立即可求最大的正整数a.
由题设知：
且
，
图2 相对图1：线段长度之和的增量为
，
图3 相对图2：线段长度之和的增量为
，
图4 相对图3：线段长度之和的增量为
，
…
图n 相对图
：线段长度之和的增量为
，
【变式训练2-1】提丟斯—波得定则是关于太阳系中行星轨道的一个简单的几何学规则，它是1766 年由德国的一位
中学老师戴维·提丢斯发现的，后来被柏林天文台的台长波得归纳成一条定律，即数列
：0.4，0.7，1，1.6，
2.8，5.2，10，19.6，…表示的是太阳系第n 颗行星与太阳的平均距离（以天文单位A．U.为单位）.现将数列
的
各项乘以10 后再减4 得数列
，可以发现
从第3 项起，每一项是前一项的2 倍，则
______，
______.
【变式训练2-2】毕达哥拉斯树是由古希腊数学家毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的一个可以无限重复的图形，因
为重复数次后的形状好似一棵树，所以被成为毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”.毕达哥拉斯树的生长方式如下：以边
长为的正方形的一边作为斜边，向外做等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的两直角边为边向外作正方形，得
到
个新的小正方形，实现了一次生长，再将这两个小正方形各按照上述方式生长，如此重复下去，设第
次生长
得到的小正方形的个数为
，则数列
的前
项和
___________.
【变式训练2-3】联合国教科文组织将3 月14 日确定为“国际数学日”，是因为3.14 是圆周率数值最接近的数字.
我国数学家刘徽首创割圆术，所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的
方法.步骤是：第1 步，计算圆内接正六边形的周长；第2 步，计算圆内接正12 边形的周长；第3 步，计算圆内接
正24 边形的周长；以此类推，第6 步，需要计算的是正______边形的周长.
【变式训练2-4】意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一个数列：1，1，2，3，5，8，
13，21，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐
波那契数列”，记为
.利用下图所揭示的
的性质，则在等式
中，
______.
【变式训练2-5】意大利数学家斐波那契于1202 年在他的著作《算盘书》中，从兔子的繁殖问题得到一个数列：
1、1、2、3、5、8、13、21、34、55……，这个数列称斐波那契数列，也称兔子数列．斐波那契数列中的任意一个
数叫斐波那契数．人们研究发现，斐波那契数在自然界中广泛存在，如图所示：
大多数植物的花斑数、向日葵花盘内葵花籽排列的螺线数就是斐波那契数等等，而且斐波那契数列在现代物理、准
晶体结构、化学等领域有着直接的应用．设斐波那契数列为
，其中
，有以下几个命题：
①
；
②
；
③
；
④
．
其中正确命题的序号是________．
【变式训练2-6】数学中有许多美丽的错误，法国数学家费马通过观察计算曾提出猜想：形如
的数都是质数，这就是费马素数猜想.半个世纪后善于发现的欧拉算出第5 个费马数不是质数，从而否
定了这一种猜想．现设：
，
为常数，
表示数列
的前
项和，若
，
则
_______.
【变式训练2-7】十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：
1,1,2,3,5,8,13,…,即从第三项开始,每一项都等于它前两项的和.后人为了纪念他,就把这列数称为“斐波那契”数列.已
知数列
为“斐波那契”数列,数列
的前
项和为
,若
,则
______（用含
的式子表示）.
【变式训练2-8】黎曼猜想由数学家波恩哈德·黎曼于1859 年提出，是至今仍未解决的世界难题.黎曼猜想涉及到很
多领域的应用，有些数学家将黎曼猜想的攻坚之路趣称为：“各大行长躲在银行保险柜前瑟瑟发抖，不少黑客则潜
伏敲着键盘蓄势待发”.黎曼猜想研究的是无穷级数
，我们经常从无穷级数的部分和
入手.已知正项数列
的前
项和为
，且满足
，则
（其中
表示不超过
的最大整数）.
【变式训练2-9】表中的数阵为“森德拉姆数筛”，其特点是每行每列都成等差数列，记第i 行第j 列的数为
，
则
______，表中的数2021 共出现______次．
2
3
4
5
6
7
…
3
5
7
9
11
13
…
4
7
10
13
16
19
…
5
9
13
17
21
25
…
6
11
16
21
26
31
…
7
13
19
25
31
37
…
…
…
…
…
…
…
…
【变式训练2-10】历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意
大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”，1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，其中
从第三项起，每个数等于它前面两个数的和.后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，现有与斐
波那契数列性质类似的数列
满足：
，
，且
（
），记数列
的前n 项和为
，若
，则
___________.
【变式训练2-11】如图是瑞典数学家科赫
在
年构造的能够描述雪花形状的图案.图形的作法是：从
一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边.反复进
行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．
设原三角形（图）的边长为，把图，图
，图
，
中的图形依次记为
，
，
，
，
，
，则
的边数
__________，
所围成的面积
__________．
【变式训练2-12】意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：，，
，
，
，
，
.该数列的特点如下：前两个数均为，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列
数组成的数列
称为斐波那契数列，现将
中的各项除以
所得余数按原顺序构成的数列记为
，则下列
结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2-13】任取一个正整数，若为奇数，就将该数乘3 再加上1；若为偶数，就将该数除以2，反复进行上
述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”(又称为“角谷
猜想”等)．如取正整数
，根据上述运算法则得到6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8 个步骤变成
1(简称为8 步“雹程”)．现给出冰雹猜想的递进关系如下：已知数列{
}满足
(m 为正整数)，
，当
时，试确定使得
需要雹程步数为_____________．
【变式训练2-14】古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形1，3，6，10，…，第
个三角形
数为
，记第
个
边形为
，以下列出了部分
边形数中第
个数的表达式：三角
形数
；正方形
；五边形数
；六边形数
.可以推
测
的表达式，由此计算
.
【变式训练2-15】“康托尔尘埃”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其过程如下：在一个单位正
方形中，首先，将正方形等分成9 个边长为
的小正方形，保留靠角的4 个小正方形，记4 个小正方形面积之和为
：然后，将剩余的4 个小正方形分别继续9 等分，分别保留靠角的4 个小正方形，记16 个小正方形面积之和为
；…；操作过程不断进行下去，以至无穷，保留的图形称为康托尔尘埃.若
，则操作次数
的最小值为____________.
【变式训练2-16】提丟斯—波得定则是关于太阳系中行星轨道的一个简单的几何学规则，它是1766 年由德国的一
位中学老师戴维·提丢斯发现的，后来被柏林天文台的台长波得归纳成一条定律，即数列
：0.4，0.7，1，1.6，
2.8，5.2，10，19.6，…表示的是太阳系第n 颗行星与太阳的平均距离（以天文单位A．U.为单位）.现将数列
的
各项乘以10 后再减4 得数列
，可以发现
从第3 项起，每一项是前一项的2 倍，则
______，
______.
【变式训练2-17】1934 年，东印度（今孟加拉国）学者森德拉姆（Sundaram）发现了“正方形筛子如下图，则其
第10 行第11 列的数为__________.
（四）解答题
【典型例题1】斐波那契数列
满足条件：
，
．按如下步骤将
分解为两个等比数
列
，
之和，最后可以得出
的通项公式：
(1)若等比数列
满足条件
，求
的公比q．
(2)若等比数列
，
同时满足条件
，
，且
，求
和
的通
项公式．
(3)设
，试写出斐波那契数列
的通项公式．
【答案】 见解析
【解析】（1）由题意可知
，又
，
则
；
（2）设
，
的公比分别为
，由
可知显然
，
结合（1），由于两数列结构相同，不妨令
，
则
，所以
，
交换公比，则有
；
（3）由（2）可知
.
【典型例题2】 篮球诞生美国马萨诸塞州的春田学院．1891 年，春田学院的体育教师加拿大人詹姆斯奈史密斯博
士（James Naismith）为了对付冬季寒冷的气温，让学生们能够在室内有限的空间里继续进行有趣的传球训练．现
有甲、乙、丙3 名同学在某次传球的训练中，球从甲开始，等可能地随机传向另外2 人中的1 人，接球者接到球后
再等可能地随机传向另外2 人中的1 人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第n 次传球之前球在甲手
里的概率为pn，第n 次传球之前球在乙手里的概率为qn，显然p1=1，q1=0．
(1)求p3＋2q3的值；
(2)比较p8，q8的大小．
【答案】 见解析
【解析】(1)第3 次传球之前，球在甲手中的情形何分为：甲→乙→甲或甲→丙→甲
所以
，第3 次传球之前，球在乙手里的情形仅有：甲→丙→乙
所以
，所以
.
(2)（2）由题意知
，整理得：
所以
，
，所以
成首项为
，公比为
的等比数列，
又
同理
成首项为
，公比为
的等比数列，
所以
因为
，
，
，
，所以
．
【典型例题3】卡特兰数是组合数学中一个常在各种计数问题中出现的数列．以比利时的数学家欧仁查理卡特兰
命名．历史上，清代数学家明安图
年
年）在其《割圜密率捷法》最早用到“卡特兰数”，
远远早于卡塔兰．有中国学者建议将此数命名为“明安图数”或“明安图
卡特兰数”．卡特兰数是符合以下公式
的一个数列：
且
．如果能把公式化成上面这种形式的数，就是卡特兰数．卡特
兰数是一个十分常见的数学规律，于是我们常常用各种例子来理解卡特兰数．比如：在一个无穷网格上，你最开始
在
上，你每个单位时间可以向上走一格，或者向右走一格，在任意一个时刻，你往右走的次数都不能少于往
上走的次数，问走到
，
有多少种不同的合法路径．记合法路径的总数为
．
（1）证明
是卡特兰数；
（2）求
的通项公式．
【答案】 见解析
【解答】解：（1）证明：在一个无穷网格上，最开始在
上，
每个单位时间可以向上走一格，或者向右走一格，
在任意一个时刻，往右走的次数都不能少于往上走的次数，记合法路径的总数为
．
若先走到
则合法路径
，
若先走到
且不走到
，
相当于走到
后向右走到
再走到
，
合法路径
，若先走到
且不走到
，
，
相当于走到
后再从
走到
，
合法路径
，于是
，即
为卡特兰数；
（2）记直线
，则所有不合法路线都会与直线有交点，
记第一个交点为
，
将
之后的路径都沿着对称，那么这条不合法路径的终点成为了
，
总路线为
，不合法路线为
，合法路径为
，即
．
【变式训练2-1】黎曼猜想由数学家波恩哈德∙黎曼于1859 年提出，是至今仍未解决的世界难题．黎曼猜想研究的
是无穷级数
，我们经常从无穷级数的部分和
入手．已知正项数
列
的前n 项和为
﹐且满足
（1）求
；
（2）求
（其中
表示不超过x 的最大整数）
【变式训练2-2】牛顿迭代法又称牛顿-拉夫逊方法，它是牛顿在
世纪提出的一种在实数集上近似求解方程根的
一种方法，具体步骤如下：设是函数
的一个零点，任意选取
作为的初始近似值，过点
作
曲线
的切线，设与
轴交点的横坐标为
，并称
为的次近似值；过点
作曲线
的切线
，设
与
轴交点的横坐标为
，称
为的
次近似值，过点
作曲线
的切
线
，记
与
轴交点的横坐标为
，并称
为的
次近似值，设
的零点为，
取
，
（1）求的
次近似值；
（2）设
，数列
的前
项积为
．若任意的
，
恒成立，求整数
的最小值．
【变式训练2-3】我们把
叫“费马数”（费马是十七世纪法国数学家）.设
，
表示数列
的前
项之和，
（1）求
（2）求使不等式
成立的最小正整数
的值
题型03：数列与文化
【典型例题1】九连环是一种流传于我国民间的传统智力玩具．它用九个圆环相连成串，解开九连环最少需要移动
341 次．它在中国有近两千年的历史，《红楼梦》中有林黛玉巧解九连环的记载．周邦彦也留下关于九连环的名句
“纵妙手、能解连环．”九连环有多种玩法，在某种玩法中：已知解下1 个圆环最少需要移动圆环1 次，解下2 个
圆环最少需要移动圆环2 次，记
为解下
个圆环需要移动圆环的最少次数，且
，则解下8 个圆环所需要移动圆环的最少次数为
A．54
B．90
C．170
D．256
【答案】C
【解析】解：由题意，
，
，
，
；
；
；
；
；
；
，所以
，
则解下8 个圆环最少需要移动的次数为
．
故选：
．
【典型例题2】三潭印月被誉为“西湖第一胜境”，所谓三潭，实际上是3 个石塔和其周围水域，石塔建于宋代元
四年（公元1089 年），每个高2 米，分别矗立在水光潋滟的湖面上，形成一个等边三角形，记为△
，设△
的边长为
，取△
每边的中点构成△
，设其边长为
，依此类推，由这些三角形的边长构成一
个数列
，若
的前6 项和为
，则△
的边长
A．62
B．61
C．31
D．30
【答案】A
【解析】解：根据题意可知
是公比为
的等比数列，
的前6 项和为
，
解得
．
故选：
．
【典型例题3】云冈石窟，古称为武州山大石窟寺，是世界文化遗产．若某一石窟的某处“浮雕像”共7 层，每一
层的“浮雕像”个数是其下一层的2 倍，共有1016 个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最
下层往上每一层的“浮雕像”的个数构成一个数列
，则
的值为
A．8
B．10
C．12
D．16
【答案】C
【解析】解：从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列
，
则
是以2 为公比的等比数列，
，
，解得
，
所以
，
．
故选：
．
【典型例题4】中国古代的武成王庙是专门祭祀姜太公以及历代良臣名将的庙宇，这类庙宇的顶部构造颇有讲究，
如图是某武成王顶部的剖面直观图，其中
，
，
，2，3，
，数列
，2，3，
是等差数列且
，若以
为坐标原点，以
，
，分别为
，
轴正方向
建立平面直角坐标系，则直线
的斜率是
A．0.4
B．0.45
C．0.5
D．0.55
【答案】A
【解析】解：由题意可知：
，令
，
，因为
，2，3，
，
所以
，2，3，
，
因为数列
，2，3，
是第二项为
的等差数列，
设公差为
，则
，因为
，所以
，
同理
则直线
的斜率
，
故选：
．
【典型例题5】嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，
为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列
：
，
，
，…，依此类推，其中
．则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据
，再利用数列
与
的关系判断
中各项的大小，即可求解.
[方法一]:常规解法
因为
，
所以
，
，得到
，
同理
，可得
，
又因为
，
故
，
；
以此类推，可得
，
，故A 错误；
，故B 错误；
，得
，故C 错误；
，得
，故D 正确.
[方法二]：特值法
不妨设
则
故D 正确.
【变式训练3-1】2022 年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行，
也是继2002 年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛.某网站全程转播了该次世界杯，为纪
念本次世界杯，该网站举办了一针对本网站会员的奖品派发活动，派发规则如下：①对于会员编号能被2 整除余1
且被7 整除余1 的可以获得精品足球一个；②对于不符合①中条件的可以获得普通足球一个.已知该网站的会员共有
1456 人（编号为1 号到1456 号，中间没有空缺），则获得精品足球的人数为（ ）
A．102
B．103
C．104
D．105
【变式训练3-2】图1 是中国古代建筑中的举架结构，
是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距
离称为举，图2 是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中
是举，
是相等的步，相
邻桁的举步之比分别为
．已知
成公差为0.1 的等差数列，且直线
的斜率为0.725，则
（ ）
A．0.75
B．0.8
C．0.85
D．0.9
【变式训练3-3】如图1 所示，古筝有多根弦，每根弦下有一个雁柱，雁柱用于调整音高和音质.图2 是根据图1 绘
制的古筝弦及其雁柱的简易平面图.在图2 中，每根弦都垂直于x 轴，相邻两根弦间的距离为1，雁柱所在曲线的方
程为
，第n 根弦（
，从左数第1 根弦在y 轴上，称为第0 根弦）分别与雁柱曲线和直线
交
于点
（
，
）和
（
，
），则
( )
参考数据：取
.
A．814
B．900
C．914
D．1000
【变式训练3-4】在2022 北京冬奥会开幕式上，二十四节气倒计时惊艳亮相，与节气相配的14 句古诗词，将中国
人独有的浪漫传达给了全世界.我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的
晷长损益相同，即太阳照射物体影子的长度增长或减少的量相同，周而复始（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长
即为所测量影子的长度），二十四节气及晷长变化如图所示，已知雨水的晷长为9.5 尺，立冬的晷长为10.5 尺，则
大雪所对的晷长为（ ）
A．11.5 尺
B．12.5 尺
C．13.5 尺
D．14.5 尺
【变式训练3-5】如图所示，九连环是中国传统民间智力玩具，以金属丝制成9 个圆环，解开九连环共需要256 步，
解下或套上一个环算一步，且九连环的解下和套上是一对逆过程．九连环把玩时按照一定得程序反复操作，可以将
九个环全部从框架上解下或者全部套上．将第
个圆环解下最少需要移动的次数记为
，已知
，
，按规则有
，则解下第4 个圆环最少需要移动的次数为
A．4
B．7
C．16
D．31
【变式训练3-6】在归国包机上，孟晚舟写下《月是故乡明，心安是归途》，其中写道“过去的1028 天，左右踟躇，
千头万绪难抉择；过去的1028 天，日夜徘徊，纵有万语难言说；过去的1028 天，山重水复，不知归途在何处．”
“感谢亲爱的祖国，感谢党和政府，正是那一抹绚丽的中国红，燃起我心中的信念之火，照亮我人生的至暗时刻，
引领我回家的漫长路途．”下列数列
中，其前n 项和不可能为1028 的数列是（ ）
(参考公式：
)
A．
B．
C．
D．
【变式训练3-7】黄山市歙县三阳镇叶村历史民俗“叠罗汉”已被列入省级非物质文化遗产保护项目，至今已有
500 多年的历史，表演时由二人以上的人层层叠成各种样式，魅力四射，光彩夺目，好看又壮观.小明同学在研究数
列
时，发现其递推公式
就可以利用“叠罗汉”的思想来处理，即
，如果该数列
的前两项分别为
，其前
项和记为
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练3-8】第14 届国际数学教育大会（ICME-International Congreas of Mathematics Education）在我国
上海华东师范大学举行.如图是本次大会的会标，会标中“ICME-14”的下方展示的是八卦中的四卦——3、7、4、
4，这是中国古代八进制计数符号，换算成现代十进制是
，正是会议计划召开的
年份，那么八进制
换算成十进制数，则换算后这个数的末位数字是（ ）
A．1
B．3
C．5
D．7
【变式训练3-9】斜拉桥是将梁用若干根斜拉索拉在塔柱上的桥，它由梁、斜拉索和塔柱三部分组成.如图1，这是
一座斜拉索大桥，共有10 对永久拉索，在索塔两侧对称排列.如图2，已知拉索上端相邻两个锚的间距
约为4m，拉索下端相邻两个锚的间距
均为18m.最短拉索的锚
，
满
足
，
，以
所在直线为
轴，
所在直线为
轴，则最长拉索所在直线的斜率为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练3-10】位于丛台公园内的武灵丛台已经成为邯郸这座三千年古城的地标建筑，丛台上层建有据胜亭，其
顶部结构的一个侧面中，自上而下第一层有
块筒瓦，以下每一层均比上一层多
块筒瓦，如果侧面共有
层筒瓦
且顶部
个侧面结构完全相同，顶部结构共有多少块筒瓦？（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练3-11】河南洛阳龙门石窟是中国石刻艺术宝库，现为世界非物质文化遗产之一.某洞窟的浮雕共层，它
们构成一幅优美的图案.若从下往上计算，从第二层开始，每层浮雕像的个数依次是下层个数的
倍，且第三层与第
二层浮雕像个数的差是
，则该洞窟的浮雕像的总个数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练3-12】数列与几何图像游戏“击鼓传花”，也称传彩球．游戏规则为：鼓响时，众人开始依次传花，至
鼓停为止，此时花在谁手中，谁就上台表演节目．甲、乙、丙三人玩击鼓传花，鼓响时，第1 次由甲将花传出，每
次传花时，传花者都等可能地将花传给另外两人中的任何一人，经过6 次传递后，花又在甲手中的概率为 ．
【变式训练3-13】我们知道地球和火星差不多在同一轨道平面上运动，火星轨道在地球轨道之外．当地球和火星与
太阳在同一条直线上，这一天文现象称为“冲日”，简称“冲”．假设地球和火星都做近似匀速圆周运动，火星绕
太阳一周约需687 天，地球绕太阳一周约需365.25 天，则相邻两次“冲日”之间间隔约为 天．（结果精确到
个位）
【变式训练3-14】韩信是我国汉代能征善战、智勇双全的一员大将．历史上流传着一个关于他点兵的奇特方法．有
一天，韩信问有多少士兵在操练，部将回答：三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩四，韩信很快就知
道了士兵的人数．设有m 个士兵，若
，符合条件的m 共有___________个．
【变式训练3-15】风雨桥（如图①所示）是侗族最具特色的民间建筑之一.风雨桥由桥、塔、亭组成.其中亭、塔的
俯视图通常是正方形、正六边形或正八边形.图②是某风雨桥亭的大致俯视图，其中正六边形的边长的计算方法如下：
，
，…，
，其中
.已
知该风雨桥亭共层，若
，
，则图②中的五个正六边形的周长总和为
.
【变式训练3-16】北京天坛的圜丘坛分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)， 环绕天心石砌
块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加
块，下一层的第一环比上一层的最后一环多
块，向外每环依次也
增加
块．已知每层环数相同，且三层共有扇面形石板(不含天心石)
块，则上层有扇形石板 块．
【变式训练3-17】我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：如图将
填入
的方格内，
使三行，三列和两条对角线上的三个数字之和都等于15. 一般地，将连续的正整数
填入
个方格中，
使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做
阶幻方. 记
阶幻方的每列的数字之和为
，
如图三阶幻方的
，那么
.
【变式训练3-18】中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术，
剪纸具有广泛的群众基础，交融于各族人民的社会生活，是各种民俗活动的重要组成部分，其传承赓 (gêng)续的视
觉形象和造型格式，蕴涵了丰富的文化历史信息，是中国古老的民间艺术之一.已知某剪纸的裁剪工艺如下：取一张
半径为1 的圆形纸片，记为
，在
内作内接正方形，接着在该正方形内作内切圆，记为
，并裁剪去该正
方形与内切圆之间的部分(如图所示阴影部分)，记为一次裁剪操作，
，重复上述裁剪操作
次，最终得到该剪纸，
则第2024 次操作后，所有被裁剪部分的面积之和为 .
【变式训练3-19】我国古代用诗歌形式提出的一个数列问题：远望巍巍塔七层，红灯向下成倍增，共灯三百八十一，
试问塔顶几盏灯？通过计算可知，塔顶的灯数为_____________．
【变式训练3-20】佛山新城文化中心是佛山地标性公共文化建筑.在建筑造型上全部都以最简单的方块体作为核心
要素，与佛山世纪莲体育中心的圆形莲花造型形成“方”“圆”呼应.坊塔是文化中心的标志性建筑、造型独特、类
似一个个方体错位堆叠，总高度153.6 米.坊塔塔楼由底部4 个高度相同的方体组成塔基，支托上部5 个方体，交错
叠合成一个外形时尚的塔身结构.底部4 个方体高度均为33.6 米，中间第5 个方体也为33.6 米高，再往上2 个方体
均为24 米高，最上面的两个方体均为19.2 米高.
(1)请根据坊塔方体的高度数据，结合所学数列知识，写出一个等差数列
的通项公式，该数列以33.6 为首项，
并使得24 和19.2 也是该数列的项；
(2)佛山世纪莲体育中心上层屋盖外径为310 米.根据你得到的等差数列，连续取用该数列前m（
）项的值作
为方体的高度，在保持最小方体高度为19.2 米的情况下，采用新的堆叠规则，自下而上依次为
、
、
、
……、
（
表示高度为
的方体连续堆叠
层的总高度），请问新堆叠坊塔的高度是否超过
310 米？并说明理由.
【变式训练3-21】北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板(称为天心
石)，环绕天心石砌块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加块，下一层的第一环比上一层的最后一环多
块，向外每环依次也增加块．已知每层环数相同，且下层比中层多
块，问：三层共有多少块扇面形石板(不含
天心石)？
【变式训练3-22】2022 北京冬奥会开幕式上，每个代表团都拥有一朵专属的“小雪花”，最终融合成一朵“大雪
花”，形成了前所未有的冬奥主火炬，惊艳了全世界！（如图一），如图二是瑞典数学家科赫在1904 年构造的能
够描述雪花形状的图案．图形的作法是从一个正三角形开始，把每条边分成三等分，然后以各边的中间一段为底边
分别向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这一过程，就得到一个“雪花”状的图案．设原正三角形（图①）的
边长为3，把图二中的①，②，③，④，……图形的周长依次记为
，
，
，
，…，得到数列
．
(1)直接写出
，
的值；
(2)求数列
的通项公式．
题型04:几何问题
【典型例题1】如图中阴影部分是一个美丽的螺旋线型图案，其画法是：取正六边形
各边的三等分点
，
，
，
，
，
，作第2 个正六边形
，然后再取正六边形
各边的三等分点
，
、
、
，
，
，作第3 个正六边形
，依此方法，如果这个作图过程可以一直继续下去，由△
，△
，
构成如图阴影部分所示的螺旋线型图案，则该螺旋线型图案的面积与正六边形
的
面积的比值趋近于
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】解：由外至内设每个六边形的边长构成数列
，每个阴影三角形的面积构成数列
设
，则
，
，
．
依此类推，
，
所以数列
是以
为首项，
为公比的等比数列，所以
，
又
，
所以
，
，
．
依此类推，
，
则数列
的前
项和
，
如果这个作图过程可以一直继续下去，则
，此时
，
正六边形的面积为
，
故该螺旋线型图案的面积与正六边形
的面积的比值趋近于
．
故选：
．
【典型例题2】如图，阴影部分是一个美丽的螺旋线型的图案，它的画法是这样的：正方形
的边长为4，取
正方形
各边的四等分点
，
，
，
，作第2 个正方形
，然后再取正方形
各边的四等分
点
，
，
，
，作第3 个正方形
，依此方法一直继续下去，就可以得到阴影部分的图案．设图中直角
面积为
，直角
面积为
，后续各直角三角形面积依次为
，
，
，则
的值为
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解答】解：设第
个正方形的边长为
，由已知可推得
，
则
，
，
由已知可得，
，
，
，
所以
，即
，
所以，数列
是以
为首项，
为公比的等比数列，所以
，
所以
，
，
，
所以，
．
故选：
．
【典型例题3】分形几何学是法国数学家曼德尔勃罗特在20 世纪70 年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统
科学众多领域的难题提供了全新的思路．如图，正三角形
的边长为4，取
各边的中点
，
，
作第
2 个三角形，然后再取
各边的中点
，
，
作第3 个三角形，以此方法一直进行下去．已知
为第1
个三角形，设前
个三角形的面积之和为
，若
，则
的最小值为
3
．
【答案】3
【解析】解：根据题意，设第
个三角形的面积为
，
分析可得：第
个三角形的边长为第
个三角形边长的一半，则
，
而第一个三角形的面积
，
故数列
是首项为
，公比为
的等比数列，
则前
个三角形的面积之和为
，
若
，解可得
，故
的最小值为3；
故答案为：3．
【典型例题4】
雪花是一种美丽的结晶体，放大任意一片雪花的局部，会发现雪花的局部和整体的形状竟是相似的．上图是瑞典科
学家科赫在1904 年构造的能够描述雪花形状的图案，其作法如下：
将图①中正三角形的每条边三等分，并以中间的那一条线段为一边向形外作正三角形，再去掉底边，得到图②；
将图②的每条边三等分，重复上述的作图方法，得到图③；
按上述方法，所得到的曲线称为科赫雪花曲线
．
现将图①、图②、图③、
中的图形依次记为
、
、
、
、
．小明为了研究图形
的面积，把图形
的
面积记为
，假设
，并作了如下探究：
边数
3
12
48
192
从
起，每一个比前一个图形多
出的三角形的个数
3
12
48
从
起，每一个比前一个图形多
出的每一个三角形的面积
根据小明的假设与思路，解答下列问题．
（1）填写表格最后一列，并写出
与
，
的关系式；
（2）根据（1）得到的递推公式，求
的通项公式；
（3）从第几个图形开始，雪花曲线所围成的面积大于
．
参考数据
【答案】见解析
【解析】解：（1）表格最后一列从上到下依次为：
；
，
；
，
，
，
；
（2）由
与
，
的递推关系可得：
，
，
，
，
所有等式等号左右两边分别相加可得，
，
，
；
（3）由题可得，
，即
，
即
，
，
又
，
，
代入得
，
．
从第7 个图形开始，雪花曲线所围成的面积大于
．
【变式训练4-1】分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的研究对象普遍存在于自然界中，
因此又被称为“大自然的几何学”．按照如图1 所示的分形规律，可得如图2 所示的一个树形图．若记图2 中第n
行黑圈的个数为
，则
（ ）
A．55
B．58
C．60
D．62
【变式训练4-2】龙曲线是由一条单位线段开始，按下面的规则画成的图形：将前一代的每一条折线段都作为这一
代的等腰直角三角形的斜边，依次画出所有直角三角形的两段，使得所画的相邻两线段永远垂直（即所画的直角三
角形在前一代曲线的左右两边交替出现）.例如第一代龙曲线（图1）是以
为斜边画出等腰直角三角形的直角边
、
所得的折线图，图2、图3 依次为第二代、第三代龙曲线（虚线即为前一代龙曲线）.
、
、
为第
一代龙曲线的顶点，设第
代龙曲线的顶点数为
，由图可知
，
，
，则
___________；数列
的前
项和
___________.
【变式训练4-3】我国古代数学家已经会借助三角数表来计算二阶等差数列的和，例如计算
，把
第一个数表逆时针旋转两次，得到后两个数表，再把3 个数表叠在一起，每一个位置的和都是5，所以
，我们使用类似的想法计算：
，三个数表叠加
之后每一个位置的和都是___________；推广可得
的求和公式
__________．
【变式训练4-4】平面螺旋是以一个固定点开始，向外圈逐渐旋绕而形成的图案，如图（1）．它的画法是这样的：
正方形ABCD 的边长为4，取正方形ABCD 各边的四等分点E，F，G，H 作第二个正方形，然后再取正方形EFGH 各
边的四等分点M，N，P，Q 作第三个正方形，以此方法一直循环下去，就可得到阴影部分图案，设正方形ABCD 边
长为
，后续各正方形边长依次为
，
，…，
，…；如图（2）阴影部分，设直角三角形AEH 面积为
，后续
各直角三角形面积依次为
，
，…，
，…．则（ ）
A．数列
是以4 为首项，
为公比的等比数列
B．从正方形
开始，连续个正方形的面积之和为32
C．使得不等式
成立的
的最大值为3
D．数列
的前
项和
【变式训练4-5】雪花是一种美丽的结晶体，放大任意一片雪花的局部，会发现雪花的局部和整体的形状竟是相似
的，如图是瑞典科学家科赫在1904 年构造的能够描述雪花形状的图案，其作法如下：
将图①中正三角形的每条边三等分，并以中间的那一条线段为一边向形外作正三角形，再去掉底边，得到图②；
将图②的每条边三等分，重复上述的作图方法，得到图③；
……
按上述方法，所得到的曲线称为科赫雪花曲线（Koch snowflake）．
现将图①、图②、图③、…中的图形依次记为
、
、…、
、…．小明为了研究图形
的面积，把图形
的面积
记为
，假设a1＝1，并作了如下探究：
P1
P2
P3
P4
…
Pn
边数
3
12
48
192
…
从P2起，每一个比前一个图形多出的三角形的个数
3
12
48
…
从P2起，每一个比前一个图形多出的每一个三角形的面积
…
根据小明的假设与思路，解答下列问题．
(1)填写表格最后一列，并写出
与
的关系式；
(2)根据（1）得到的递推公式，求
的通项公式；
(3)从第几个图形开始，雪花曲线所围成的面积大于
．
参考数据（
，
）
题型05：数列在日常经济生活中的应用
（一）数列-单利
【典型例题】小蕾2018 年1 月31 日存入银行若干万元，年利率为1.75%，到2019 年1 月31 日取款时，银行按国
家规定给付利息469 元，则小蕾存入银行的本金介于（ ）元之间，并说明理由．
A．1 万~2 万
B．2 万~3 万
C．3 万~4 万
D．4 万~5 万
【答案】B
【解析】设存入本金
元，再列出方程求解即可.
设小蕾存入银行的本金
元，依题意，
，解得
（元），
所以小蕾存入银行的本金介于2 万~3 万元之间.
故选：B
【变式训练5-1-1】某银行在某段时间内，规定存款按单利计算，且整存整取的年利率如下：
存期
1 年
2 年
3 年
5 年
年利率(%)
2．25
2．4
2．73
2．88
某人在该段时间存入10 000 元，存期两年，利息税为所得利息的5%．则到期的本利和为（ ）元．
A．10373
B．10396
C．10422
D．10456
【变式训练5-1-2】复利是一种计算利息的方法.即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息.
某同学有压岁钱
元，存入银行，年利率为
；若放入微信零钱通或者支付宝的余额宝，年利率可达
.如果将这
元选择合适方式存满年，可以多获利息（ ）元.
（参考数据：
，
，
，
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练5-1-3】
年月
日，小王开始读小学一年级，小王父母决定给他开一张银行卡，每月的
号存钱
至该银行卡（假设当天存钱当天到账），用于小王今后的教育开支.
年月
日小王父母往卡上存入
元，
以后每月存的钱数比上个月多
元，则他这张银行卡账上存钱总额（不含银行利息）首次达到
元的时间为
（ ）
A．
年
月
日
B．
年
月
日
C．
年月
日
D．
年
月
日
（二）数列-复利
【典型例题】一个网上贷款平台在2024 年初给出贷款的月利率为
，某大学生此时从该平台贷款
元，按照复
利计算，他10 个月后一次性还款的金额应为（ ）
A．
元
B．
元
C．
元
D．
元
【答案】D
【解析】依据应还金额=贷款金额 (1+月利率) 月份进行求解即可.
应还金额=贷款金额 (1+月利率) 月份，
由题意知贷款金额为
，月利率为
，月份为10，
所以
.
故选：D.
【变式训练5-2-1】某高一学生家长于月日在某购物平台采用分期付款的形式购买了一台价值
元的平板电脑
给学生进行网上学习使用，该平台规定：分
个月还清，从下个月日，即
月日，开始偿还，每月日还款，
且每个月还款钱数都相等．若购物平台的月利率为
，则该家长每月的偿还金额是（ ）
A．
元
B．
元
C．
元
D．
元
【变式训练5-2-2】银行一年定期的存款的利率为p，如果将a 元存入银行一年定期，到期后将本利再存一年定期，
到期后再存一年定期……，则10 年后到期本利共 元．
【变式训练5-2-3】某人向银行贷款10 万元用于买房．
(1)如果他向A 银行贷款，年利率为
，且这笔借款分10 次等额归还（不计复利），每年一次，并从借后次年年初
开始归还，问：每年应还多少元？（精确到1 元）
(2)如果他向B 银行贷款，年利率为
，要按复利计算（即本年的利息计入次年的本金生息），仍分10 次等额归还，
每年一次，每年应还多少元？（精确到1 元）
（三）数列-分期付款
【典型例题】（多选）刚考入大学的小明准备向银行贷款
元购买一台笔记本电脑，然后上学的时候通过勤工俭学
来分期还款.小明与银行约定：每个月还一次款，分
次还清所有的欠款，且每个月还款的钱数都相等，贷款的月
利率为，设小明每个月所要还款的钱数为
元，则下列说法正确的是（ ）
A．小明选择的还款方式为“等额本金还款法”
B．小明选择的还款方式为“等额本息还款法
C．小明第一个月还款的现值为
元
D．
【答案】BCD
【解析】AB 根据还款特点，得到还款方式；C 选项，设出第一个月还款的现值为
，列出方程，求出答案；D 选
项，表达出第12 个月末所欠银行贷款数，因为分
次还清所有的欠款，故得到方程，求出答案.
AB 选项，由于每个月还款的钱数都相等，故小明选择的还款方式为“等额本息还款法，A 错误，B 正确；
C 选项，设小明第一个月还款的现值为
，则
，解得
，故C 正确；
D 选项，根据等额本息还款法可得，第一个月末所欠银行贷款为
，
第二个月末所欠银行贷款为
，
第三个月末所欠银行贷款为
，
……
第12 个月末所欠银行贷款为
，
由于分
次还清所有的欠款，故
，
解得
，D 正确.
故选：BCD
【变式训练5-3-1】沈阳京东MALL 于2022 年国庆节盛大开业，商场为了满足广大数码狂热爱好者的需求，开展商
品分期付款活动.现计划某商品一次性付款的金额为 a 元，以分期付款的形式等额分成 n 次付清，每期期末所付款
是 x 元，每期利率为 r ，则爱好者每期需要付款
．
【变式训练5-3-2】小李向银行贷款14760 元，并与银行约定：每年还一次款，分4 次还清所有的欠款，且每年还
款的钱数都相等，贷款的年利率为0.25，则小李每年所要还款的钱数是 元.
【变式训练5-3-3】王先生今年初向银行申请个人住房贷款100 万元购买住房，按复利计算，并从贷款后的次月初
开始还贷，分10 年还清.银行给王先生提供了两种还贷方式：①等额本金：在还款期内把本金总额等分，每月偿还
同等数额的本金和剩余本金在该月所产生的利息；②等额本息：在还款期内，每月偿还同等数额的贷款（包括本金
和利息）.
(1)若王先生采取等额本金的还贷方式，已知第一个还贷月应还15000 元，最后一个还贷月应还6500 元，试计算王
先生该笔贷款的总利息；
(2)若王先生采取等额本息的还贷方式，贷款月利率为
，.银行规定每月还贷额不得超过家庭月收入的一半，已
知王先生家庭月收入为23000 元，试判断王先生该笔贷款能否获批.（不考虑其他因素）参考数据
，
，
（四）数列-产值增长
【典型例题】2019 年我国国内生产总值增长率为6.1%，达到了990865 亿元，实现了新的跨越，2020 年我们将全
面建成小康社会，实现第一个一百年的奋斗目标.如果从2020 年初开始，以后每年的国内生产总值都按得增长率
6.1%增长，那么2021 年的国内生产总值为（ ）
A．105.13 万亿元
B．111.54 万亿元
C．118.35 万亿元
D．116.2 万亿元
【答案】A
【解析】根据2020 年初国内生产总值为99.0865 万亿，然后计算99.0865（1+6.1%），可得结果.
由题可知：2020 年初国内生产总值为99.0865 万亿
则2021 年的国内生产总值为99.0865（1+6.1%）=105.13 万亿元
故选：A
【点睛】本题考查等比数列在实际应用中的应用，理清思路，审清题意，属基础题.
【变式训练5-4-1】某超市去年的销售额为a 万元，计划在今后10 年内每年比上一年增加10%．从今年起10 年内
这家超市的总销售额为（ ）万元．
A．
B．
C．
D．
【变式训练5-4-2】某汽车集团计划大力发展新能源汽车，2024 年全年生产新能源汽车10000 辆，如果在后续的几
年中，后一年的产量在前一年的基础上提高20%，那么2032 年全年生产新能源汽车约 辆. （参考数据：
，
，
）
【变式训练5-4-3】某公司生产一种产品，第一年投入资金1000 万元，出售产品后收入40 万元，预计以后每年的
投入资金是上一年的一半，出售产品所得收入比上一年多80 万元．同时，当预计投入资金低于20 万元时，就按20
万元投入，且当年出售产品的收入与上一年相同．
(1)设第
年的投入资金和收入金额分别为
万元，
万元，请求出
、
的通项公式；
(2)预计从第几年起该公司开始并持续盈利？请说明理由（盈利是指总收入大于总投入）．
（五）数列-养老保险及浓度匹配
【典型例题】调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因，交通法规规定：驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精
含量不得超过
如果某人喝了少量酒后，血液中酒精含量将迅速上升到
，在停止喝酒后，血
液中酒精含量就以每小时
的速度减小，问他至少要经过几小时才可以加强机动车（精确到小时)
A．1 小时
B．2 小时
C．4 小时
D．6 小时
【答案】C
【解析】设n 个小时后才可以驾车，由题意得方程
，解得
即可．
设n 个小时后才可以驾车，根据题意可知，每小时酒精下降的量成等比数列，公比为
进而可得方程
得
，即
，所以至少要经过4 小时后才可以驾驶机动车．
故选C．
【点睛】本题主要考查了等比数列的性质及实际应用，考查了学生运用所学知识解决实际问题的能力，属于基础题.
【变式训练5-5-1】假设每次用相同体积的清水漂流一件衣服,且每次能洗去污垢的
,那么至少要清洗 次才
能使存留的污垢在
以下.
【变式训练5-5-2】公民在就业的第一年就缴纳养老储备金
，以后每年缴纳的数目均比上一年增加
，历
年所缴纳的储备金数目
，
，…是一个公差为d 的等差数列．与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固
定利率，而且计算复利．如果固定年利率为
，那么，在第n 年末，第一年所缴纳的储备金就变为
，第二年所缴纳的储备金就变为
，…．以
表示到第n 年末所累计的储备金总额，证明：
，其中
是一个等比数列，
是一个等差数列．
【变式训练5-5-3】甲、乙两个容器中分别盛有浓度为10％，20％的某种溶液500ml，同时从甲、乙两个容器中取
出100ml 溶液，将其倒入对方的容器并搅匀，这称为一次调和．记
，
，经
次调和后，甲、
乙两个容器的溶液浓度分别为
，
．
(1)试用
，
表示
，
．
(2)证明：数列
是等比数列，并求出
，
的通项．
（六）数列-其他模型
【典型例题】某林厂现在的森林木材存量是1 800 万 m3，木材以每年25%的增长率生长，而每年要砍伐固定的木
材量为x 万 m3，为达到经两次砍伐后木材存量增加50%的目标，则x 的值是( )
A．40
B．45
C．50
D．55
【答案】C
【解析】分成两次来计算，首先计算第一年砍伐和增长后得到的，然后再算第二年砍伐和增长后得到的，结合木材
增加
列方程，可求得
的值.
经过一次刊发后，木材存量为
，经过两次砍伐后，木材存量为
.由题意有
，解得
，故选
.
【点睛】本小题主要考查增长和减少同时进行的实际问题，由于题目砍伐的次数只有两次，所以只需要计算两次，
按
的增长要求列出方程，可求得
的值.属于中档题.
【变式训练5-6-1】一支车队有15 辆车，某天下午依次出发执行运输任务，第一辆车于14 时出发，以后每间隔
发出一辆，假设所有的司机都连续开车，并都在19 时停下来休息．已知每辆车行驶的速度都是
，则
这个车队当天一共行驶了 千米？
【变式训练5-6-2】某研究所计划改建十个实验室，每个实验室的改建费用分为装修费和设备费，且每个实验室的
装修费都一样，设备费从第一到第十实验室依次构成等比数列.已知第五实验室比第二实验室的改建费用高42 万元，
第七实验室比第四实验室的改建费用高168 万元，并要求每个实验室改建费用不能超过1700 万元，则该研究所改
建这十个实验室投入的总费用最多需要 万元.
【变式训练5-6-3】某产品具有一定的时效性．在这个时效期内，由市场调查可知，在不做广告宣传且每件获利a
元的前提下，可卖出b 件．若做广告宣传，广告费为
千元时比广告费为
千元时多卖出
件，其中
，
．
(1)求销售量
关于广告费用n 的函数关系式；
(2)当
，
时，厂家应生产多少件这种产品且广告宣传费用为多少元时才能使利润最大.（利润＝总获利
－广告费，并假设厂家生产的产品全部销售完．）
（七）综合
【典型例题1】假设一个蜂巢里只有1 只蜜蜂，第1 天它飞出去找回了2 个伙伴：第2 天，3 只蜜蜂飞出去，各自找
回了2 个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，则到第4 天所有蜜蜂都归巢后，蜂巢中全部蜜蜂的只数是（
）．
A．1
B．3
C．9
D．81
【答案】D
【解析】先由前几天结束时，蜂巢中的蜜蜂数量观察出其组成了首项为3，公比为3 的等比数列，求出通项公式，
把4 直接代入即可.
由题意知，
第一天所有蜜蜂归巢后，蜂巢中一共有1+2=3 只蜜蜂，
第二天所有蜜蜂归巢后，蜂巢中一共有
只蜜蜂，
第三天所有蜜蜂归巢后，蜂巢中一共有
只蜜蜂，
第n 天所有蜜蜂归巢后，蜂巢中一共有
只蜜蜂，
所以归巢后的蜜蜂数列组成了首项为3，公比为3 的等比数列，
所以其通项公式为：
，
所以，第四天共有
只蜜蜂.
故选：D
【典型例题2】按活期存入银行1000 元，年利率是0.52%，那么按照单利，第5 年末的本利和是（ ）
A．1036 元
B．1028 元
C．1043 元
D．1026 元
【答案】D
【解析】根据单利计算公式直接计算第5 年的本利和.
因为是按照单利计算，所以第5 年的利息是
，
第五年末的本利和是
.
故选：D
【典型例题3】我国工农业总产值从
年到
年的
年间翻了两番，设平均每年的增长率为
，则有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设
的总产值为，我国工农业总产值从
年到
年的
年间翻了两番，说明
年的工农业
总产值是
年工农业总产值的
倍，然后根据平均增长率的定义列等式即可.
本题为增长率模型函数，为指数函数形式.
设
年总产值为，由于我国工农业总产值从
年到
年的
年间翻了两番，说明
年的工农业总产
值是
年工农业总产值的
，则
.
故选D.
【点睛】本题考查平均增长律的定义，根据题意列式是解本题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础
题.
【典型例题4】刚考入大学的小明准备向银行贷款a 元购买一台笔记本电脑，然后上学的时候通过勤工俭学来分期
还款．小明与银行约定：每个月月末还一次款，分12 次还清所有的欠款，且每个月还款的钱数都相等，贷款的月
利率为t．则小明每个月所要还款的钱数为（ ）元．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据等额本息还款法，分别写出第一个月末，第二个月末，…，第12 个月末所欠银行贷款，其中第12 月
末还清所有的欠款，利用递推关系由等比数列前
项和公式列出方程求出结果．
设小明每个月所要还款的钱数为
元，
根据等额本息还款法得，第一个月末所欠银行贷款为：
，
第二个月末所欠银行贷款数为：
；
．．．，
第12 个月末所欠银行贷款为：
；
由于分12 次还清所有的欠款，所以
，
解得
.
故选：D．
【典型例题5】某电动汽车刚上市，就引起了小胡的关注，小胡2024 年5 月1 日向银行贷款
元用来购买该电动汽
车，银行贷款的月利率是，并按复利计息.若每月月底还银行相同金额的贷款，到2025 年4 月底全部还清（即用
12 个月等额还款），则小胡每个月月底需要还款（ ）
A．
元
B．
元
C．
元
D．
元
【答案】C
【解析】设小胡每月月底还款钱数为
元，根据等额本息还款法可得每次还款后欠银行贷款，即第12 次还款后欠银
行贷款为
，进而由等比数列的前
项和公式可得
，从而
可得
.
设小胡每月月底还款钱数为
元，根据等额本息还款法可得：
第1 次还款后欠银行贷款为
，
第2 次还款后欠银行贷款为
，
…，
第12 次还款后欠银行贷款为
，
因为贷款12 个月还清，所以
，即
，
所以
.
故选：C.
【变式训练5-7-1】（多选）有理数都能表示成
（
，且
，
与
互质）的形式，进而有理数集
且
，
与
互质．任何有理数
都可以化为有限小数或无限循环小数，反之，任一有限小
数也可以化为
的形式，从而是有理数．则（ ）
A．
是无理数
B．
是有理数
C．
D．无限循环小数是有理数
【变式训练5-7-2】（多选）．“苏州码子”发源于苏州，作为一种民间的数字符号流行一时，被广泛应用于各种
商业场合.“苏州码子”0~9 的写法依次为○､丨､刂､川､ㄨ､
､〦､〧､〨､攵.某铁路的里程碑所刻数代表距离始发车
站的里程，如某处里程碑上刻着的“○”代表距离始发车站的里程为0 公里，刻着“〦○”代表距离始发车站的里程
为60 公里，已知每隔3 公里摆放一个里程碑，若在A 点处里程碑上刻着“川攵”，在B 点处里程碑上刻着“〨
ㄨ”，则（ ）
A．从始发车站到A 点的所有里程碑个数为14
B．从A 点到B 点的所有里程碑个数为16
C．从A 点到B 点的所有里程碑上所刻数之和为987
D．从A 点到B 点的所有里程碑上所刻数之和为984
【变式训练5-7-3】某校准备以诗歌朗诵的形式庆祝即将到来的五四青年节，现将筛选出的100 名学生排列成“等
腰梯形”人墙，最上面一层16 人，从最上面一层开始，每一层人数比上一层少1 人，则该“等腰梯形”人墙最下
面一层的人数为 ．
【变式训练5-7-4】某慢性疾病患者，因病到医院就医，医生给他开了处方药（片剂），要求此患者每天早、晩间
隔12 小时各服一次药，每次一片，每片200 毫克.假设该患者的肾脏每12 小时从体内大约排出这种药在其体内残留
量的50%，并且医生认为这种药在体内的残留量不超过400 毫克时无明显副作用.若该患者第一天上午8 点第一次服
药，则第二天上午8 点服完药时，药在其体内的残留量是 毫克，若该患者坚持长期服用此药 明显副作
用（此空填“有”或“无”）.
【变式训练5-7-5】峨眉山是一个著名的旅游和朝圣地，以其壮丽的自然风光和宗教文化遗址而闻名.其中“九十九
道拐”景点约有2000 级台阶，某游客一次上1 个或2 个台阶，设爬上第
个台阶的方法数为
，给出下列四个结
论：
①
；②
；③
；④
.
其中所有正确结论的序号是 .
【变式训练5-7-6】甲、乙、丙、丁四人合资注册一家公司，每人出资50 万元作为启动资金投入生产，到当年年底，
资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年相同.四人决定从第一年开始，每年年底拿出60 万元分红，并
将剩余资金全部投入下一年生产.设第n 年年底公司分红后的剩余资金为
万元.
(1)求
，
，并写出
与
的关系式；
(2)至少经过多少年，公司分红后的剩余资金不低于1 200 万元？（年数取整数，参考数据：
，
）
【变式训练5-7-8】某次生日会上，餐桌上有一个披萨饼，小华同学准备用刀切的方式分给在座的
位小伙伴，由
此思考一个数学问题：假设披萨近似可看成平面上的一个圆，第
条切痕看作直线
，设切
下，最多能切出的块
数为
，如图易知
，
.
(1)试写出
，
，作出对应简图，并指出要将披萨分给在座的
位小伙伴（不考虑大小平分），最少要切几下；
(2)这是一个平面几何问题，利用“降维打击”思想，联想到一条线段被切
下能划分成
段，由此求出数列
的通项公式；
(3)若将披萨换成一个蛋糕（近似看成空间中的一个圆柱体），同样用刀切方式分蛋糕，可以从上下底面和侧面各方
向切入，每次切面都看作一个平面.若切
下，最多能切出的块数为
，求出
的通项公式，并指出这时最少需要
切几下能分给
个人.（已知
）
【变式训练5-7-9】为响应国家号召，某地出台了相关的优惠政策鼓励“个体经济”.个体户小王2022 年6 月初向
银行借了1 年期的免息贷款8000 元，用于进货，因质优价廉，供不应求.据测算：他每月月底获得的利润是该月初
投入资金的20%，并且每月月底需扣除生活费800 元，余款作为资金全部用于下月再进货，如此继续，预计到
2023 年5 月底他的年所得收入（扣除当月生活费且还完贷款）为（ ）元（参考数据：
，
）
A．35200
B．43200
C．30000
D．32000
【变式训练5-7-10】离子是指原子由于自身或外界的作用而失去或得到一个或几个电子后达到的稳定结构，得到电
子为阴离子，失去电子为阳离子，在外界作用下阴离子与阳离子之间可以相互转化．科学家们在试验过程中发现，
在特定外界作用下，1 个阴离子可以转化为1 个阳离子和1 个阴离子，1 个阳离子可以转化为1 个阴离子，如果再次
施加同样的外界作用，又能产生同样的转化．若一开始有1 个阴离子和1 个阳离子，则在9 次该作用下，阴离子的
个数为（ ）
A．87
B．89
C．91
D．93
【变式训练5-7-11】某校有一社团专门研究密码问题，社团活动室用的也是一把密码锁，且定期更换密码，都是以
当日值班社员的姓氏为依据编码的，密码均为
的小数点后前6 位数字，编码方式如下：
①x 为某社员的首拼声母对应的英文字母在26 个英文字母中的位置；
②若x 为偶数，则在正偶数数列中依次插入数值为
的项得到新数列
，即2，3，4，6，8，
，10，12，
14，…；若x 为奇数，则在正奇数数列中依次插入数值为
的项得到新数列{an}，即1，2，3，
，5，7，
，
9，11，13，…；
③N 为数列{an}的前x 项和．如当值社员姓康，则K 在26 个英文字母中排第11 位，所以x＝11，前11 项中有
，所以有8 个奇数，
，所以密码为282051，若今天当值社员姓徐，则
当日密码为_____．
【变式训练5-7-12】“现值”与“终值”是利息计算中的两个基本概念，掌握好这两个概念，对于顺利解决有关金
融中的数学问题以及理解各种不同的算法都是十分有益的.所谓“现值”是指在
期末的金额，把它扣除利息后，折
合成现时的值，而“终值”是指
期后的本利和.它们计算的基点分别是存期的起点和终点.例如，在复利计息的情况
下，设本金为
，每期利率为，期数为
，到期末的本利和为，则
其中，称为
期末的终值，
称为
期后终值的现值，即
期后的元现在的价值为
.
现有如下问题：小明想买一座公寓有如下两个方案
方案一：一次性付全款25 万元；
方案二：分期付款，每年初付款3 万元，第十年年初付完；
(1)已知一年期存款的年利率为
，试讨论两种方案哪一种更好？
(2)若小明把房子租出去，第一年年初需交纳租金2 万元，此后每年初涨租金1000 元，参照第（1））问中的存款年
利率
，预计第十年房租到期后小明所获得全部租金的终值.（精确到百元）
参考数据：
【变式训练5-7-13】在当前市场经济条件下，某服装市场上私营个体商店中的商品所标价格a 与其实际价值b 之间
存在着相当大的差距.对购物的消费者来说，这个差距越小越好，而商家则相反，于是就有消费者与商家的“讨价还
价”，常见的方法是“对半还价法”，消费者第一次减去定价的一半，商家第一次讨价加上二者差价的一半;消费者
第二次还价再减去二者差价的一半，商家第二次讨价，再加上二者差价的一半，如此下去，可得表1:
表1
次数
消费者还价
商家讨价
第一次
第二次
第三次
第n 次
消费者每次的还价
组成一个数列
.
(1)写出此数列的前三项，并猜测通项
的表达式并求出
；
(2)若实际价格
与定出
的价格之比为
，利用“对半还价法”讨价还价，最终商家将能有百分之几的
利润?
【变式训练5-7-14】近两年，直播带货逐渐成为一种新兴的营销模式，带来电商行业的新增长点.某直播平台第1
年初的启动资金为500 万元，由于一些知名主播加入，平台资金的年平均增长率可达
，每年年底把除运营成本
万元，再将剩余资金继续投入直播平合.
(1)若
，在第3 年年底扣除运营成本后，直播平台的资金有多少万元？
(2)每年的运营成本最多控制在多少万元，才能使得直播平台在第6 年年底㧅除运营成本后资金达到3000 万元？
（结果精确到
万元）
【变式训练5-7-15】甲、乙两人同时分别入职
两家公司，两家公司的基础工资标准分别为：
公司第一年月
基础工资数为3700 元，以后每年月基础工资比上一年月基础工资增加300 元；
公司第一年月基础工资数为4000
元，以后每年月基础工资都是上一年的月基础工资的1.05 倍．
(1)分别求甲、乙两人工作满10 年的基础工资收入总量（精确到1 元）
(2)设甲、乙两人入职第
年的月基础工资分别为
、
元，记
，讨论数列
的单调性，指出哪年起到
哪年止相同年份甲的月基础工资高于乙的月基础工资，并说明理由．
题型06:数列新定义
（一）单选题
【典型例题1】已知数列
满足：对任意的
，总存在
，使得
，则称
为“回旋数列”．
以下结论中正确的个数是
①若
，则
为“回旋数列”；
②设
为等比数列，且公比
为有理数，则
为“回旋数列”；
③设
为等差数列，当
，
时，若
为“回旋数列”，则
；
④若
为“回旋数列”，则对任意
，总存在
，使得
．
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【解析】解：对于①：若
，
可得
，
由
，
可得
，
取
即可，
此时
为“回旋数列”，故①正确；
对于②：已知
为等比数列，且公比
为有理数，
当
时，
，
，
由
，
可得
，
所以当
时，
明显不成立，
故
不是“回旋数列”，故②错误；
对于③：因为
是等差数列，
所以
，
，
因为数列
是“回旋数列”，
所以
，
整理得
，
因为
为非负整数，
所以要保证
恒为整数，
故
为所有非负整数的公约数，且
，所以
，故③正确；
对于④：由①可得当
时，
为“回旋数列”，
可得
，
，
显然不存在
，使得
，故④错误．
综上得结论正确的有①③．
故选：
．
【典型例题2】若数列
、
均为严格增数列，且对任意正整数
，都存在正整数
，使得
，
，
则称数列
为数列
的“
数列”．已知数列
的前
项和为
，则下列选项中为假命题的是
A．存在等差数列
，使得
是
的“
数列”
B．存在等比数列
，使得
是
的“
数列”
C．存在等差数列
，使得
是
的“
数列”
D．存在等比数列
，使得
是
的“
数列”
【答案】C
【解析】解：对于
，例如
，则
是等差数列，
，
都是严格增数列，
可得
，
则
，
取
，则
，
，即
，
成立，
所以
是
的“
数列”，所以
为真命题，所以
正确；
对于
，例如
，则
是等比数列，
，
都是严格增数列，
可得
，则
，
取
，则
，
，即
，
成立，
所以
是
的“
数列”，所以
为真命题，所以
正确；
对于
，存在等差数列
，使得
是
的“
数列”，
设等差数列
的公差为
，因为
，
都是严格增数列，
所以
，
，所以
，取
，满足
，
可知必存在
，使得
成立，
当
时，对任意正整数
，则有
；
对任意正整数
，则有
；故不存在正整数
使得
，
所以
为假命题；
对于
；例如
，则
是等比数列，
，
都是严格增数列，
可得
，则
，
取
，则
，
，即
，
成立，
所以
是
的“
数列”，所以
为真命题，所以
正确；
故选：
．
【变式训练6-1】“手指推大厦”是科技馆中常见的一个游戏，只需用很小的力就能推倒巨大的骨牌，体现了“多
米诺骨牌效应”的科学原理.已知“手指推大厦”所用骨牌满足的数学表达式是
，其中
为第
块
骨牌的体积（或质量），
为第1 块骨牌的体积（或质量），
为后一块骨牌与其前一块骨牌的体积（或质量）的
比值.现在有
，
两副质地不同的骨牌，它们第一块骨牌的体积不相同，但
值相同，记
，
分别是
，
两
副骨牌第块的体积，已知
，
，
，则
的值是（ ）
A．5
B．4
C．3
D．2
【变式训练6-2】对于正项数列
中，定义：
为数列
的“匀称值”已知数列
的“匀称值”为
，则该数列中的
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练6-3】对任意正整数对
，定义函数
如下：
，
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练6-5】若数列
的前n 项和为
，
，则称数列
是数列
的“均值数列”．已知数列
是数列
的“均值数列”且
，设数列
的前n 项和为
，若
对
恒成立，则实数m 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练6-6】对于一个
项数列
，记
的“Cesaro 平均
值”为
，若数列
的“Cesaro 平均值”为2022，数列
的“Cesaro 平
均值”为2046，则
（ ）
A．24
B．26
C．1036
D．1541
【变式训练6-7】等比数列
中
，公比
，用
表示它的前
项之积，则
，
，
…，
中最大的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练6-8】如果数列
满足
（k 为常数），那么数列
叫做等比差数列，k 叫做公比差．
下列四个结论中所有正确结论的序号是（ ）
①若数列
满足
，则该数列是等比差数列；
②数列
是等比差数列；
③所有的等比数列都是等比差数列；
④存在等差数列是等比差数列．
A．①②③
B．①③④
C．①②④
D．②③④
【变式训练6-9】定义在
上的函数
，如果对于任意给定的等比数列
，
仍是等比
数列，则称
为“保等比数列函数”．现有定义在
上的如下函数：①
；②
；
③
；④
，其中是“保等比数列函数”的序号为（ ）
A．①②
B．③④
C．①③
D．②④
【变式训练6-10】若数列
满足
，则称
为“必会数列”，已知正项数列
为“必会数列”，
若
，则
（ ）.
A．
B．1
C．6
D．12
【变式训练6-11】设
是无穷数列，若存在正整数
，使得对任意的
，均有
，则称
是间隔递
增数列，
是
的间隔数.若
是间隔递增数列，则数列
的通项不可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练6-12】对于数列
，若存在正整数
，使得
，
，则称
是数列
的“谷
值”，k 是数列
的“谷值点”．在数列
中，若
，则数列
的“谷值点”为（ ）
A．2
B．7
C．2，7
D．2，5，7
【变式训练6-13】若数列
满足
，则称
为“对奇数列”．已知正项数列
为“对奇数
列”，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练6-14】设
表示落在区间
内的偶数个数.在等比数列
中，
，
，则
（ ）
A．21
B．20
C．41
D．40
【变式训练6-15】对于数列
，定义
为数列
的“加权和”，已知某数列
的
“加权和”
，记数列
的前n 项和为
，若
对任意的
恒成立，则实数p 的取值范
围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练6-16】若数列
满足：若
，则
，则称数列
为“等同数列”．已知数
列
满足
，且
，若“等同数列”
的前
项和为
，且
，
，
，
则
（ ）
A．4711
B．4712
C．4714
D．4718
【变式训练6-17】设数列
，若存在常数，对任意小的正数，总存在正整数
，当
时，
，则
数列
为收敛数列．下列关于收敛数列说法正确的是（ ）
A．若等比数列
是收敛数列，则公比
B．等差数列不可能是收敛数列
C．设公差不为0 的等差数列
的前
项和为
，则数列
一定是收敛数列
D．设数列
的前
项和为
，满足
，
，则数列
是收敛数列
【变式训练6-19】若数列{an}满足
……，则称数列{an}为“半差递增”数列.已
知“半差递增”数列{cn}的前n 项和Sn 满足
，则实数t 的取值范围是（ ）
A．
B．（-∞，1）
C．
D．（1， +∞）
【变式训练6-20】通过以下操作得到一系列数列：第1 次，在2，3 之间插入2 与3 的积6，得到数列2，6，3；第
2 次，在2，6，3 每两个相邻数之间插入它们的积，得到数列2，12，6，18，3；类似地，第3 次操作后，得到数
列：2，24，12，72，6，108，18，54，3.按上述这样操作11 次后，得到的数列记为
，则
的值是（ ）
A．6
B．12
C．18
D．108
（二）多选题
【典型例题1】若数列
满足：对任意正整数
为递减数列，则称数列
为“差递减数列”．给出
下列数列
，其中是“差递减数列”的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】CD
【解析】利用差递减数列的定义及函数的单调性即可求解.
对A，若
，则
，由函数
在
上单调递增，所以
为递增数列，故
错误；
对B ，若
，则
，由函数
在
上单调递增，所以
为递
增数列，故B 错误；
对C ，若
，则
，由函数
在
上单调递减，所以
为递减数列，故C 正确；
对D ，若
，则
，由函数
在
上单调递减，
所以
为递减数列，故D 正确．
故选：CD．
【典型例题2】若数列
满足：
，
，使得对于
，都有
，则称
具有
“三项相关性”，下列说法正确的有（ ）.
A．若数列
是等差数列，则
具有“三项相关性”
B．若数列
是等比数列，则
具有“三项相关性”
C．若数列
是周期数列，则
具有“三项相关性”
D．若数列
具有正项“三项相关性”，且正数
，
满足
，
，数列
的通项公式为
，
与
的前
项和分别为
，
，则对
，
恒成立
【答案】ABD
【解析】根据题目给出的“三项相关性”的定义，逐项验证即可.
若
为等差数列，则有
，
，A 正确；
若数列
是等比数列，则
，
，（
）,即
，易知
，显然成立，
时，
，取
，有
，也成立，所以B 正确；
对周期数列：0，0，1，0，0，1，
，所以
时，
，显然不成立，所以C 错误；
对D，
，即
，
∴
，
，易知
，
即
，
，故
，D 正确；
故选：ABD
【典型例题3】将
个数排成
行
列的一个数阵.如图：该数阵第一列的
个数从上到下构成以
为公差的等差数
列，每一行的
个数从左到右构成以
为公比的等比数列（其中
）.已知
，记这
个数的和
为.下列结论正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【解析】
，
，解得
或
（舍负），即选项A 正确；
，即选项C 错误；
令
，则
①
②，
①
②得，
，
，
当
时，
，即选项B 正确；
，即选项D 正确.
故选：ABD.
【典型例题4】我们常用的数是十进制数，如
，表示十进制的数要用10 个数
码．0，1，2，3，4，5，6，7，8，9；而电子计算机用的数是二进制数，只需两个数码0 和1，如四位二进制的数
，等于十进制的数13．把m 位n 进制中的最大数记为
，其中m，
，
为十进制的数，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【解析】对于A：
即是：
，A 正确；
对于B：
即是：
即是：
，B 正确；
对于C、D：
，
即是：
，
即是：
构造函数：
，求导得：
，
，
单调递增；
，
，
单调递减；
代入得：
即是：
，
，D 正确.
故选：ABD
【典型例题5】将
个数排成
行
列的一个数阵.如图：该数阵第一列的
个数从上到下构成以
为公差的等差数
列，每一行的
个数从左到右构成以
为公比的等比数列（其中
）.已知
，记这
个数的和
为
.下列结论正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【解析】根据
，
，及等差数列、等比数列通项公式求出
，即可判断A、C，再利用错位相减法
计算B，根据等比数列和等差数列求和公式计算判断D.
解：
，
，解得
或
（舍负），即选项A 正确；
，即选项C 错误；
令
，则
①
②，
①
②得，
，
，
当
时，
，即选项B 正确；
，即选项D 正确.
故选：ABD.
【变式训练6-1】若正整数m．n 只有1 为公约数，则称m，n 互质，对于正整数k，
（k）是不大于k 的正整数中
与k 互质的数的个数，函数
（k）以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：
，
，
，
．已知欧拉函数是积性函数，即如果m，n 互质，那么
，例如：
，则
（ ）
A．
B．数列
是等比数列
C．数列
不是递增数列
D．数列
的前n 项和小于
【变式训练6-2】斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称
为“兔子数列”．斐波那契数列用递推的方式可如下定义：用
表示斐波那契数列的第n 项，则数列
满足：
，
，记
，则下列结论正确的是（ ）
A．数列
是递增数列
B．
C．
D．
【变式训练6-3】若
不是等比数列，但
中存在互不相同的三项可以构成等比数列，则称
是局部等比数
列.下列数列中是局部等比数列的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练6-4】已知数列
是各项均为正数且公比不等于1 的等比数列
，对于函数
，若数列
为等差数列，则称函数
为“保比差数列函数”，则定义在
上的如下函数中是“保比差数列函
数”的有（ ）
A．
为“保比差数列函数”
B．
为“保比差数列函数”
C．
为“保比差数列函数”
D．
为“保比差数列函数”
【变式训练6-5】在数列
中，若
为常数），则称
为“平方等差数列”.下列对
“平方等差数列”的判断，其中正确的为（ ）
A．
是平方等差数列
B．若
是平方等差数列，则
是等差数列
C．若
是平方等差数列，则
为常数）也是平方等差数列
D．若
是平方等差数列，则
为常数）也是平方等差数列
【变式训练6-6】定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫作该数列的一次
“美好成长”．将数列1，4 进行“美好成长”，第一次得到数列1，4，4；第二次得到数列1，4，4，16，4，
，设第n 次“美好成长”后得到的数列为
，并记
，则（ ）
A．
B．
C．
D．数列
的前n 项和为
【变式训练6-7】在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的
数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列，将数列1，2 进行构造，第1 次得到数列1，3，2；第2
次得到数列1，4，3，5，2；…；第
次得到数列1，
，
，
，…，
,2．记
，数列
的前n 项和为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
（三）填空题
【典型例题1】对于数列
，若存在正整数
，使得对任意正整数
，都有
（其中
为非零常数），
则称数列
是以
为周期，以
为周期公比的“类周期性等比数列”.若“类周期性等比数列”的前4 项为1，
1，2，3，周期为4，周期公比为3，则数列
前21 项的和为__．
【答案】1090
【解析】确定
，数列
从第二项起连续四项成等比数列，利用等比数列公式计算得到答案.
，故
，由题意得数列
从第二项起连续四项成等比数列，
，
则数列
前21 项的和为
．
故答案为：
【典型例题2】对于数列
，记：
…，
（其中
），并称数
列
为数列
的k 阶商分数列.特殊地，当
为非零常数数列时，称数列
是k 阶等比数列.已知数列
是2 阶等比数列，且
，若
，则m=___________.
【答案】23
【解析】根据给定的定义，计算
，进而求出数列
的公比及通项，再借助累乘法求出数列
的通项即
可推理计算作答.
由数列
是2 阶等比数列，得
，即
，
且
，即数列
是首项为
，公比为
的等比数列，
则有
，即
，当
时，
，
而
满足上式，因此
，
由
得：
，即
，
整理得
，又
为小于
的任意正整数，所以
.
故答案为：23
【点睛】关键点睛：涉及数列新定义问题，关键是正确理解给出的定义，由给定的数列结合新定义探求数列的相关
性质，并进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决.
【变式训练6-1】“外观数列”是一类有趣的数列，该数列由正整数构成，后一项是前一项的“外观描述”．例如：
取第一项为1，将其外观描述为“1 个1”，则第二项为11；将描述为“2 个1”，则第三项为21；将21 描述为“1
个2，1 个1”，则第四项为1211；将1211 描述为“1 个1，1 个2，2 个1”，则第五项为111221，…，这样每次
从左到右将连续的相同数字合并起来描述，给定首项即可依次推出数列后面的项．则对于外观数列
，下列说法
正确的有______．
①若
，则从
开始出现数字2；
②若
（
，2，3，…，9），则
的最后一个数字均为k；
③
不可能为等差数列或等比数列；
④若
，则
均不包含数字4．
【变式训练6-2】“设数列
的前n 项和为
，对任意
都有
（t 为常数），则称该数列为“t 数
列”，若数列
为“2 数列”，且
，则
______.
【变式训练6-3】“定义n 个正数
的“均倒数”为
，若各项均为正数的数列
的前n
项的“均倒数”为
，则
的值为______
【变式训练6-4】“对给定的数列
，记
，则称数列
为数列
的一阶商数列；记
，
则称数列
为数列
的二阶商数列；以此类推，可得数列
的P 阶商数列
，已知数列
的二阶商
数列的各项均为，且
，则
___________．
【变式训练6-5】“定义:对于任意数列
,假如存在一个常数
使得对任意的正整数
都有
,且
,则
称
为数列
的“上渐近值”．已知数列
有
（
为常数,且
）,它的前
项和为
,并且满足
,令
,记数列
的“上渐近值”为
,则
的值为 _____．
【变式训练6-6】“定义：各项均不为零的数列
中，所有满足
的正整数的个数称为这个数列
的
变号数.已知数列
的前
项和
（
，
），令
（
），若数列
的变号
数为2，则实数
的取值范围是___________.
【变式训练6-7】“已知数列
满足
，定义使
（
）为整数的k
叫做“幸福数”，则区间
内所有“幸福数”的和为_____．
【变式训练6-8】“对于任意一个有穷数列，可以通过在该数列的每相邻两项之间插入这两项的之和，构造一个新
的数列，现对数列1，5 进行构造，第1 次得到数列1，6，5，第2 次得到数列1，7，6，11，5，依此类推，第n
次得到数列1，
，
，
，…，5.记第n 次得到的数列的各项之和为
，则
的通项公式
______.
【变式训练6-9】“定义：若有穷数列
，
，…，
，满足
，
，…，
，即
（
，且
），则称该数列为“对称数列”．若数列
是项数为
的对称数列，
且
，
，…，
构成首项为
，公差为
的等差数列，记数列
的前
项的和为
，则
取得
最大值时
的值为__________．
【变式训练6-10】“在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和为同一个常数，那么这个数列称为等和数列，这
个常数称为该数列的公和．已知数列
是等和数列，且
，则这个数列的前
项的和为____.
【变式训练6-11】“在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积为同一个常数，那么这个数列称为等积数列，这
个常数称为该数列的公积.已知数列
是等积数列，且
，公积为
，那么这个数列的前
项的和为____.
（四）解答题
【典型例题1】“设数列
的前
项和为
.若
，则称
是“紧密数列”.
(1)已知数列
是“紧密数列”，其前5 项依次为
，求
的取值范围;
(2)若数列
的前
项和为
，判断
是否是“紧密数列”，并说明理由;
(3)设数列
是公比为
的等比数列.若数列
与
都是“紧密数列”，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)数列
为“紧密”数列；理由见详解.
(3)
【解析】（1）根据题意，得到
，且
，求解，即可得出结果；
（2）根据
，求出
，计算
的范围，即可得出结论；
（3）先讨论
，易得满足题意；再讨论
，得到
，
，根据
为“紧密”数列，
得到
或
，分别根据这两种情况，计算
的范围，即可得出结果.
（1）若数列
为“紧密”数列，
则
，且
，
解得：
，
即
的取值范围为
.
（2）数列
为“紧密”数列；理由如下：
数列
的前项和
，
当
时，
；
当
时，
，
又
，即
满足
，
因此
，
所以对任意
，
，
所以
，
因此数列
为“紧密”数列；
（3）因为数列
是公比为
的等比数列，前
项和为
，
当
时，有
，
，
所以
，
，满足题意；
当
时，
，
，
因为
为“紧密”数列，
所以
，
即
或
，
当
时，
，
，
所以
，满足
为“紧密”数列；
当
时，
，不满足
为“紧密”数列；
综上，实数
的取值范围是
.
【典型例题2】对于给定的正整数k，若数列
满足：
，对任
意正整数
总成立，则称数列
是“P（k）数列”．若数列{an}既是“P（2）数列”，又是“P（3）数
列”，证明：
是等差数列．
【答案】证明见解析
【解析】做差得到
利用等差中项的性质，即可证明.
数列
既是“P（2）数列”，又是“P（3）数列”，因此，
当
时，
①
当
时，
②
由①知，
③
④
将③④代入②，得
其中
，
所以
，
，
，…是等差数列，设其公差为
．
在①中，取
，则
所以
在①中，取
，则
所以
所以数列
是等差数列．
【典型例题3】如果一个数列的各项都是实数，且从第
项开始，每一项与前一项的平方差是相同的常数，则称该
数列为等方差数列，这个常数叫做这个数列的公方差．
(1)设数列
是公方差为
的等方差数列，且
，求数列
的通项公式；
(2)若数列
既是等方差数列，又是等差数列，证明：数列
为常数列．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）由等方差数列的定义列方程，解出数列
的通项公式；
（2）由数列
既是等方差数列，又是等差数列列方程，通过化简计算可得数列
为常数列．
（1）由等方差数列的定义可知
，
由此可得
，
又
，所以
．
（2）证明：因为
是等差数列，设其公差为
，
则
．
又
是等方差数列，所以
．
故
，
所以
，
即
，
所以
，故
是常数列．
【典型例题4】对于给定数列
，如果存在实常数
、
使得
对于任意
都成立，我们称数列
是“
类数列”．
(1)若
，
，
，数列
、
是否为“
类数列”？
(2)若数列
是“
类数列”，求证：数列
也是“
类数列”；
(3)若数列
满足
，
，为常数．求数列
前2022 项的和．
【答案】(1)是；
(2)证明见解析；
(3)
.
【解析】（1）根据给定的数列，利用“
类数列”的定义直接判断作答.
（2）利用“
类数列”的定义推理作答.
（3）根据给定的递推关系，利用并项求和法及等比数列前n 项和公式求解作答.
（1）因为
，有
，则
，
，
故数列
是“
类数列”，对应的实常数分别为1，2．
因为
，有
，则
，
，
故数列
是“
类数列”，对应的实常数分别为2，0．
（2）若数列
是“
类数列”，则存在实常数
、
，
使得
对于任意
都成立，
显然
对于任意
都成立，
因此
对于任意
都成立，
故数列
也是“
类数列”，对应的实常数分别为
、
．
（3）因为
，则
，
，
，
，
数列
前2022 项的和
．
【点睛】涉及数列新定义问题，关键是正确理解给出的定义，由给定的数列结合新定义探求数列的相关性质，并进
行合理的计算、分析、推理等方法综合解决.
【变式训练6-1】定义：称
为
个正数
，
，…，
，的“均倒数”．已知数列
的前
项
的“均倒数”为
，
(1)求
的通项公式；
(2)设
，试判断并说明
（
为正整数）的符号；
(3)设函数
，是否存在最大的实数
，当
时，对于一切的自然数
都有
．
【变式训练6-2】在
个不同数的排列
中，若
时
（即前面某数大于后面某数），
则称
与
构成一个逆序．一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数．记排列
的逆序数
为
，如排列21 的逆序数
，排列321 的逆序数
，排列4321 的逆序数
．
(1)求
、
，并写出
的表达式；
(2)令
，证明：
．
【变式训练6-3】若数列
是等差数列，则称数列
为调和数列.若实数
依次成调和数列，则称
是
和的调和中项.
(1)求
和的调和中项；
(2)已知调和数列
，
，
，求
的通项公式.
【变式训练6-4】在数列
中，若
，则称数列
为“泛等差数列”，常数d 称为
“泛差”.已知数列
是一个“泛等差数列”，数列
满足
.
(1)若数列
的“泛差”
，且
，
，
成等差数列，求
；
(2)若数列
的“泛差”
，且
，求数列
的通项
.
【变式训练6-5】已知数列
满足
，且
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)已知数列
满足
，定义使
为整数的
叫做“幸福数”，求
区间
内所有“幸福数"的和.
【变式训练6-6】对于无穷数列
，设集合
，若
为有限集，则称
为“
数列”．
(1)已知数列
满足
，
，判断
是否为“
数列”，并说明理由；
(2)已知
，数列
满足
，若
为“
数列”，求首项
的值；
(3)已知
，若
为“
数列”，试求实数的取值集合．
【变式训练6-7】对于项数为m 的数列{an}，若满足：1≤a1＜a2＜
＜
⋯
am，且对任意1≤i≤j≤m，aiaj 与
中至少
有一个是{an}中的项，则称{an}具有性质P．
(1)分别判断数列1，3，9 和数列2，4，8 是否具有性质P，并说明理由；
(2)如果数列a1，a2，a3，a4具有性质P，求证：a1＝1，a4＝a2a3；
(3)如果数列{an}具有性质P，且项数为大于等于5 的奇数．判断{an}是否为等比数列？并说明理由．
【变式训练6-8】已知等比数列
为递增数列，
，
是
与
的等差中项.
(1)求数列
的通项公式；
(2)若项数为n 的数列
满足：
（
，2，3，…，n）我们称其为n 项的“对称数列”.例如：数列1，
2，2，1 为4 项的“对称数列”；数列1，2，3，2，1 为5 项的“对称数列”.设数列
为
项的“对
称数列”，其中
，
，
，…，
是公差为2 的等差数列，数列
的最大项等于
.记数列
的前
项和
为
，若
，求k.
【变式训练6-9】定义：对于任意一个有穷数列，第一次在其每相邻的两项间都插人这两项的和，得到的新数列称
之为一阶和数列，如果在一阶和数列的基础上再在其相邻的两项间插入这两项的和称之为二阶和数列，以此类推可
以得到n 阶和数列，如
的一阶和数列是
，设它的n 阶和数列各项和为
．
(1)试求
的二阶和数列各项和
与三阶和数列各项和
，并猜想
的通项公式（无需证明）；
(2)若
，求
的前n 项和
，并证明：
．
【变式训练6-10】对于数列
，
，其中
，对任意正整数
都有
，则称数列
为数列
的“接近数列”.已知
为数列
的“接近数列”，且
，
.
(1)若
（
是正整数），求
，
，
，
的值；
(2)若
（
是正整数），是否存在
（
是正整数），使得
，如果存在，请求出
的最小值，
如果不存在，请说明理由；
(3)若
为无穷等差数列，公差为
，求证：数列
为等差数列的充要条件是
.
【变式训练6-11】设p 为实数.若无穷数列
满足如下三个性质，则称
为
数列：
①
，且
；
②
；
③
，
．
（1）如果数列
的前4 项为2，-2，-2，-1，那么
是否可能为
数列？说明理由；
（2）若数列
是
数列，求
；
（3）设数列
的前
项和为
.是否存在
数列
，使得
恒成立？如果存在，求出所有的p；如果不
存在，说明理由．
【变式训练6-12】已知数列
，
满足：存在
，对于任意的
，使得
，则称数列
与
成“k 级关联”．记
与
的前n 项和分别为
，
．
(1)已知
，
，
，判断
与
是否成“4 级关联”，并说明理由；
(2)若数列
与
成“2 级关联”，其中
，
，且有
，
，求
|的值；
