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专题三 立体几何
第1 讲 空间几何体的表面积与体积
一、考点透析
考点1 直观图与展开图
1.(2025·安徽省·单元测试)已知一个三棱柱的高为3，如图是其底面用斜二测画法画出的水
平放置的直观图，其中O′ A ′ =O′ B′ =O′ C ′ =1，则此三棱柱的体积为( )
A. 2
B. 4
C. 6
D. 12
2.(2025·河南省·模拟)莫比乌斯( Mobius)环是最具有代表性的单侧曲面之一，它由德国数
学家莫比乌斯于1858年发现.就是把一根纸条扭转180
∘后，两头再粘接起来做成的纸带圈.
现将一个长为30cm、宽为4 cm的矩形纸条粘合两端(粘合两端重叠部分忽略不计)，形成
一个莫比乌斯环，如图：
下列关于莫比乌斯环说法正确的是( )
A. 一只小虫在不跨过它的边缘情况下沿着表面至少走30cm才能回到原处
B. 如果把它沿中线剪开(如图白色线的部分)，曲面被分成独立的两部分
C. 如果把它沿中线剪开(如图白色线的部分)，最终得到图形的周长为120cm
D. 一只小虫在不跨过它的边缘情况下不能爬遍整个曲面
3.(2025·北京市·模拟)已知四面体ABCD的所有棱长均为 √2，M，N分别为棱AD，BC的
中点，F为棱AB上异于A，B的动点．有下列结论：
①线段MN的长度为1；
②若点G为线段MN上的动点，则无论点F与G如何运动，直线FG与直线CD都是异面直
线；
③∠MFN的余弦值的取值范围为[0,
❑√5
5 )；
④▵FMN周长的最小值为❑√2+1．
其中正确的结论为( )
A. ①②
B. ②③
C. ③④
D. ①④
4.（多选题）(2025·海南省海口市·期中)如图，圆锥SO的底面半径为1，侧面积为4 π，
△SAB是圆锥的一个轴截面，则( )
A. 圆锥的母线长为4
B. 圆锥SO的侧面展开图的圆心角为2π
3
C. 由A点出发绕圆锥侧面一周，又回到A点的细绳长度的最小值为4
√2
D. 该圆锥内部可容纳的球的最大半径为
√15
5
5.(2025· 湖南省· 单元测试) 如图，直三棱柱ABC −A1B1C1中，BC =2 A A1=2，
AB = AC =
√3，P为线段A1B上的一个动点，则PA + PC的最小值是 ．
考点2 空间几何体的表面积
1.(2025·河北省唐山市·模拟)如下图，若圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱
的表面积之比为 ．
2.(2025·江西省南昌市·模拟)已知圆锥的底面半径为6，体积为96 π，用平行于圆锥底面的
平面截圆锥，若截得的圆台体积为84 π，则该圆台的表面积为 ．
考点3 空间几何体的体积
1.(2025·北京市·模拟题)某同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图
所示：底面ABCD是边长为2的正方形，▵AEB，▵FBC，▵GCD，▵HDA均为正三角
形，且它们所在的平面都与平面ABCD垂直，则该包装盒的容积为( )
A. 2
√3+ 4
3
√6
B. 20
3
C. 10
√3
3
D. 20
2.(2025·福建省龙岩市·月考)已知圆锥SO(O是底面圆的圆心，S是圆锥的顶点)的母线长为
√7，高为 √3．P、Q为底面圆周上任意两点，则三棱锥O−SPQ体积的最大值为( )
A. 2
√3
3
B. 4
√3
3
C. 2
√3
D. 4
√3
二、跟踪练习
1.(2025·湖北省黄冈市·月考)如图，已知△A ′ B′ C ′是水平放置的△ABC根据斜二测画法得
到的直观图，A ′ B′在x′轴上，B′ C ′与x′轴垂直，且B′ C ′ =3，则△ABC的边AB上的高
为( )
A. 3
B. 6
C. 3
√2
D. 6
√2
2.（多选题）(2025·江苏省泰州市·模拟)已知正方体ABCD−A1B1C1 D1的棱长为2，MN
为正方体ABCD−A1B1C1 D1的内切球O的直径，P为正方体ABCD−A1B1C1 D1表面上
一动点，则下列说法正确的是( )
A. 若P在线段B1C上运动，则B D1⊥AP
B. 若P在线段B1C上运动，则| AP|+| PB|的最小值为 √6+
√2
C. AM与A C1
所成角的范围为[0, π
3]
D. PM⃗⋅PN⃗
的取值范围为[0,2]
3.（多选题）(2025·广东省·期中)如图，AC为圆锥SO底面圆O的直径，点B是圆O上异于
A，C的动点，SO=OC =2，则下列结论正确的是( )
A. 圆锥 SO的侧面积为8
√2π
B. 三棱锥S−ABC体积的最大值为8
3
C. ∠SAB的取值范围是( π
4 , π
3 )
D. 若AB = BC，E为线段AB上的动点，则SE+CE的最小值为2(
√3+1)
4.(2025·江苏省镇江市·月考)如图，已知正四棱锥P−ABCD , PA =2,∠APB =18
°，点S为
侧棱PA的中点.则在此棱锥侧面上，从点S出发绕其一圈到点B的路径中，最短路径的长度
为 ．
5.(2025·全国·模拟)在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1 D1中，Q为正方形B B1C1C内一
动点(含边界)，①若DQ =
√6
2
，则点Q的轨迹长度为 ;②若P为棱CD的中点，则
QP+Q A1的最小值为 ．
6.(2025·河北省·单元测试)如图，在三棱柱ABC −A ′ B′ C ′中，△ABC为等边三角形，
AA ′ ⊥平面ABC，AB =3，AA ′ = 4，M为AA ′的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧
面经过棱CC ′到M的最短路线长为 √29，设这条路线与CC ′的交点为N，则PC = ，
NC = ．
7.(2025·福建省·单元测试)如图所示，在多面体FEABCD中，已知ABCD是边长为2的正方
形，EA = BF =
√5，EF = 4，且EF / / AB，直线AD、BC均垂直于平面ABFE内任意一
条直线．
(1)求该多面体的体积；
(2)点M为棱BC的中点，求从点E到点M沿多面体表面的最短距离．
