文档文本内容
三
专题
立体几何与空
向量
间
第六讲 空间的几何体的结构与度量
1．（2024•天津）一个五面体
．已知
，且两两之间距离为1．并已知
，
，
．则该五面体的体积为
A．
B．
C．
D．
2．（2024•昆明三模）某艺术吊灯如图1 所示，图2 是其几何结构图．底座
是边长为
的正方形，
垂直于底座且长度为6 的四根吊挂线
，
，
，
一头连着底座端点，另一头都连在球
的表面
上（底座厚度忽略不计），若该艺术吊灯总高度为14，则球
的体积为
A．
B．
C．
D．
3．（2024•贵阳一模）某圆锥的轴截面是一个边长为8 的等边三角形，在该圆锥中内接一个圆柱，则该圆
柱的侧面积的最大值为
A．
B．
C．
D．
4．（2024•重庆模拟）已知三棱柱
，
，
，
分别是棱
，
，
的中点，记三棱柱
的体积为
，则
A．棱锥
的体积为
B．棱锥
的体积为
C．多面体
的体积为
D．多面体
的体积为
5．（2024•山东模拟）如图，在正三棱柱
中，
，
是棱
上任一点，则
A．正三棱柱
的表面积为
B．三棱锥
的体积为
C．△
周长的最小值为
D．三棱锥
外接球的表面积最小值为
【精选练习】
6．（2024•新高考Ⅰ卷）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为
，则圆锥的
体积为
A．
B．
C．
D．
7．（2024•浙江模拟）已知圆锥
的母线长与底面圆的直径均为
．现有一个半径为1 的小球在
内可
向各个方向自由移动，则圆锥
内壁上（含底面）小球能接触到的区域面积为
．
8．（2024•南京模拟）如图是两个底面半径都为1 的圆锥底面重合在一起构成的几何体，上面圆锥的侧面
积是下面圆锥侧面积的2 倍，
，则
A．
B．
C．
D．3
9．（2024•南昌一模）木桶效应，也可称为短板效应，是说一只水桶能装多少水取决于它最短的那块木板．
如果一只桶的木板中有一块不齐或者某块木板有破洞，这只桶就无法盛满水，此时我们可以倾斜木桶，设
法让桶装水更多．如图，棱长为2 的正方体容器，在顶点
和棱
的中点
处各有一个小洞（小洞面积
忽略不计），为了保持平衡，以
为轴转动正方体，则用此容器装水，最多能装水的体积
A．4
B．
C．6
D．
10．（2024 春•连云港模拟）如图，在棱长为2 的正方体
中，
，
，
分别是
，
，
的中点，
是线段
上的动点，则下列说法中正确的是
A．存在点
，使
，
，
，
四点共面
B．存在点
，使
平面
C．三棱锥
的体积为
D．经过
，
，
，
四点的球的表面积为
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第七讲 立体几何大题中的空间角与距离
1 ．（2024• 武汉模拟）如图，在四棱锥
中，底面
是平行四边形，
，
，
，
，点
，
分别为
和
的中点．
（1）证明：
；
（2）若
，求直线
与平面
所成角的正弦值．
2．（2024•河北模拟）在三棱台
中，
为等边三角形，
，
平面
，
，
分别为
，
的中点．
（1）证明：平面
平面
；
（2）若
，设
为线段
上的动点，求
与平面
所成的角的正弦值的最大值．
3．（2024•深圳一模）如图，在四棱锥
中，四边形
是菱形，平面
平面
，点
在
上，且
，
，
．
（1）求证：
平面
；
（2）若
，求平面
与平面
夹角的余弦值．
4．（2024•秦皇岛二模）如图，在四棱锥
中，
，
，
，
，
是棱
的中点，且
平面
，点
是棱
上的一点．
（1）求证：平面
平面
；
（2）若直线
与平面
所成角的正弦值为
，求
的长．
5．（2024•福建一模）如图，在正三棱柱
中，
，点
，
，
分别是棱
，
，
的中点，点
满足
，其中
，
，
，
．
（1）当
时，求证：
平面
；
（2）当
时，是否存在点
使得平面
与平面
的夹角的余弦值是
？若存在，指出点
的
位置，若不存在，请说明理由．
6．（2024•佛山模拟）如图，正三棱柱
中，
，
，设点
为
上的一点，
过
，
作平面
的垂面
．
（1）画出平面
与正三棱柱
表面的交线，并写出作法；
（2）若
到平面
的距离为
，求
与平面
所成角的正弦值．
7．（2024•江苏模拟）如图，边长为4 的两个正三角形
，
所在平面互相垂直，
，
分别为
，
的中点，点
在棱
上，
，直线
与平面
相交于点
．
（1）从下面两个结论中选一个证明：①
；②直线
，
，
相交于一点；
注：若两个问题均作答，则按第一个计分．
（2）求直线
与平面
的距离．
8.．（2024•东莞市三模）已知四棱锥
的底面
是正方形，给出下列三个论断：①
；
②
；③
平面
．
（1）以其中的两个论断作为条件，另一个论断作为结论，写出一个正确的命题，并证明；
（2）在（1）的条件下，若
，求四棱锥
体积的最大值．
9．（2024•安阳三模）类比于二维平面中的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理；
如图1，由射线
，
，
构成的三面角
，
，
，
，二面角
的大小为
，则
．
（1）当
、
时，证明以上三面角余弦定理；
（2）如图2，四棱柱
中，平面
平面
，
，
，
①求
的余弦值；
②在直线
上是否存在点
，使
平面
？若存在，求出点
的位置；若不存在，说明理由．
【精选练习】
10．（2024•新高考Ⅱ卷）如图，平面四边形
中，
，
，
，
，
，点
，
满足
，
，将△
沿
对折至△
，使得
．
（1）证明：
；
（2）求面
与面
所成的二面角的正弦值．
11．（2024•福建模拟）如图所示为直四棱柱
，
，
，
分别是线段
，
的中点．
（1）证明：
平面
；
（2）线段
上是否存在点
，使得
平面
，若存在，求出
的长，若不存在，请说明理由．
12．（2024•唐山一模）如图，三棱柱
中，侧面
为矩形，底面
为等边三角形．
（1）证明：
；
（2）若
，
，
①证明：平面
平面
；
②求平面
与平面
的夹角的余弦值．
13．（2024•宁波模拟）在菱形
中，
，
，以
为轴将菱形
翻折到菱形
，使得平面
平面
，点
为边
的中点，连接
，
．
（1）求证：
平面
；
（2）求直线
与平面
所成角的正弦值．
14.（2024•嘉兴二模）在如图所示的几何体中，四边形
为平行四边形，
平面
，
，
，
．
（1）证明：平面
平面
；
（2）若
，求平面
与平面
夹角的余弦值．
15．（2024•益阳模拟）如图所示，四边形
为梯形，
，
，
，以
为一条边作矩形
，且
，平面
平面
．
（1）求证：
；
（2）甲同学研究发现并证明了这样一个结论：如果两个平面所成的二面角为
，其中一个平
面内的图形
在另一个平面上的正投影为
，它们的面积分别记为
和
，则
．乙同学
利用甲的这个结论，发现在线段
上存在点
，使得
．请你对乙同学发现的结论进行证明．
16．（2024•潍坊二模）如图1，在平行四边形
中，
，
，
为
的中点，
将
沿
折起，连结
，
，且
，如图2．
（1）求证：图2 中的平面
平面
；
（2）在图2 中，若点
在棱
上，直线
与平面
所成的角的正弦值为
，求点
到平面
的距离．
17.（2024•温州模拟）如图，以
所在直线为轴将直角梯形
旋转得到三棱台
，其中
，
．
（1）求证：
；
（2）若
，求直线
与平面
所成角的正弦值．
18．（2024•南昌一模）如图，四棱锥
中，底面
是边长为2 的菱形，
，已知
为棱
的中点，
在底面的投影
为线段
的中点，
是棱
上一点．
（1）若
，求证：
平面
；
（2）若
，
，确定点
的位置，并求二面角
的余弦值．
微专题7 “球”的问题与截面问题
1.（2024•烟台模拟）已知四面体
的各顶点都在同一球面上，若
，平
面
平面
，则该球的表面积是
A．
B．
C．
D．
2．（2024•深圳一模）已知某圆台的上、下底面半径分别为
，
，且
，若半径为2 的球与圆台的
上、下底面及侧面均相切，则该圆台的体积为
A．
B．
C．
D．
3．（2023•嘉兴二模）已知菱形
的边长为2，
，将
沿对角线
翻折，得到三棱
锥
，则在翻折过程中，下列说法正确的是
A．存在某个位置，使得
B．直线
与平面
所成角的最大值为
C．当二面角
为
时，三棱锥
的外接球的表面积为
D．当
时，分别以
，
，
，
为球心，2 为半径作球，这四个球的公共部分称为勒洛四面体，
则该勒洛四面体的内切球的半径为
4.．（2024•河南模拟）已知四棱锥
的高为2，底面
为菱形，
，
，
分别
为
，
的中点，则四面体
的体积为 ；三棱锥
的外接球的表面积的最小值为 ．
5．（2024•南通模拟）已知正方体
，过点
且以
为法向量的平面为
，则
截该正
方体所得截面的形状为
A．三角形
B．四边形
C．五边形
D．六边形
6．（2024•汕头一模）如图，在正方体
中，
是棱
的中点，记平面
与平面
的交线为
，平面
与平面
的交线为
，若直线
分别与
、
所成的角为
、
，则
，
．
7．（2024•浙江模拟）已知直三棱柱
，
，
，
，
，平面
与直三棱柱
相交形成的截面为
，则
A．存在正实数
，
，，使得截面
为等边三角形
B．存在正实数
，
，，使得截面
为平行四边形
C．当
，
时，截面
为梯形
D．当
，
，
时，截面
为梯形
8．（2024•三明模拟）在棱长为2 的正方体
中，
，
，
分别为
，
，
的中
点，则下列说法正确的是
A．若点
在正方体的表面上，且
，则点
的轨迹长度为
B．若三棱锥
的所有顶点都在球
的表面上，则球
的表面积为
C．过点
，
，
的平面截正方体
所得截面多边形的周长为
D．若用一张正方形的纸把此正方体完全包住，不考虑纸的厚度，不将纸撕开，则所需纸的面积的最小
值为32
9．（2024•河北模拟）某正三棱锥的外接球的表面积为
，则当此三棱锥的体积最大时，底面所在平面
截球的截面面积是
A．
B．
C．
D．
【精选练习】
10．（2024•临汾模拟）如图所示，在三棱锥
中，
，
，
围绕棱
旋转
后恰好与
重合，且三棱锥
的体积为
，则三棱锥
外接球的半径
为
A．1
B．
C．
D．2
11．（2024•菏泽一模）如图，在正四棱台
中，
，该棱台体积
，则该棱台外接球的表面积为 ．
12．（2024•衡水一模）某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台
，轴截面
为等腰梯形，且满足
．下列说法正确的是
A．该圆台轴截面
的面积为
B．该圆台的表面积为
C．该圆台的体积为
D．该圆台有内切球，且半径为
13．（2024•景德镇模拟）正方体
的棱长为6，
，
分别是棱
，
的中点，过
，
作正方体的截面，则
A．该截面是五边形
B．四面体
外接球的球心在该截面上
C．该截面与底面
夹角的正切值为
D．该截面将正方体分成两部分，则较小部分的体积为75
14．（2024•枣庄一模）在侧棱长为2 的正三棱锥
中，点
为线段
上一点，且
，则
以
为球心，
为半径的球面与该三棱锥三个侧面交线长的和为
A．
B．
C．
D．
15．（2024•漳州模拟）在正四棱柱
中，
，
，
分别为棱
，
的中点，
过
，
，
三点作该正四棱柱的截面
，则下列判断正确的是
A．异面直线
与直线
所成角的正切值为
B．截面
为六边形
C．若
，截面
的周长为
D．若
，截面
的面积为
微专题8 空间中的动态问题
1．（2024•潍坊一模）如图所示，在棱长为1 的正方体
中，点
为截面
上的动点，
若
，则点
的轨迹长度是
A．
B．
C．
D．1
2．（2024•广东模拟）已知正方体
的棱长为2，点
，
分别为棱
，
的中点，
点
为四边形
（含边界）内一动点，且
，则
A．
平面
B．点
的轨迹长度为
C．存在点
，使得
面
D．点
到平面
距离的最大值为
3．（2024•安徽耀正优）已知直四棱柱
的侧棱长为3，底面
是边长为2 的菱形，
，
为棱
上的一点，且
，
为底面
内一动点（含边界），则下列命题正确
的是
A．若
与平面
所成的角为
，则点
的轨迹与直四棱柱的交线长为
B．若点
到平面
的距离为
，则三棱锥
体积的最大值为
C．若以
为球心的球经过点
，则该球与直四棱柱的公共部分的体积为
D．经过
，
，
三点的平面截直四棱柱所得的截面面积为4
4．（2024•福建一模）在三棱锥
中，
平面
，点
是三
角形
内的动点（含边界），
，则下列结论正确的是
A．
与平面
所成角的大小为
B．三棱锥
的体积最大值是2
C．
点的轨迹长度是
D．异面直线
与
所成角的余弦值范围是
5．（2024•河南天一大联考）如图，将正四棱柱
斜立在平面
上，顶点
在平面
内，
平面
，
，点
在平面
内，且
．若将该正四棱柱绕
旋转，则
的最
大值为
A．
B．
C．
D．
【精选练习】
6．（2024•盐城一模）在棱长为
的正方体
中，点
，
分别为棱
，
的
中点．已知动点
在该正方体的表面上，且
，则点
的轨迹长度为
A．
B．
C．
D．
7．（2024•衡水模拟）如图，在棱长为2 的正方体
中，已知
，
，
分别是棱
，
，
的中点，点
满足
，
，
，下列说法正确的是
A．
平面
B．若
，
，
，
四点共面，则
C．若
，点
在侧面
内，且
平面
，则点
的轨迹长度为
D．若
，由平面
分割该正方体所成的两个空间几何体为
和
，某球能够被整体放入
或
，则该球的表面积最大值为
8．（2024•台州模拟）已知正方体
的棱长为1，
为平面
内一动点，且直线
与
平面
所成角为
，
为正方形
的中心，则下列结论正确的是
A．点
的轨迹为抛物线
B．正方体
的内切球被平面
所截得的截面面积为
C．直线
与平面
所成角的正弦值的最大值为
D．点
为直线
上一动点，则
的最小值为
9．（2024•南京模拟）如图，已知正方体
的棱长为2，点
为
的中点，点
为正方
形
上的动点，则
A．满足
平面
的点
的轨迹长度为
B．满足
的点
的轨迹长度为
C．存在点
，使得平面
经过点
D．存在点
满足
10．（2024•河北模拟）如图，在棱长为2 的正方体
中，点
是侧面
内的一点，
点
是线段
上的一点，则下列说法正确的是
A．当点
是线段
的中点时，存在点
，使得
平面
B．当点
为线段
的中点时，过点
，
，
的平面截该正方体所得的截面的面积为
C．点
到直线
的距离的最小值为
D．当点
为棱
的中点且
时，则点
的轨迹长度为
11．（2024•T8 联考）在正四棱台
中，
，
，点
在四边形
内，且正四棱台
的各个顶点均在球
的表面上，
，则
A．该正四棱台的高为3
B．该正四棱台的侧面面积是
C．球心
到正四棱台底面
的距离为
D．动点
的轨迹长度是
12．（2024•江苏模拟）已知正四棱锥
的所有棱长均相等，
为顶点
在底面内的射影，则下列
说法正确的有
A．平面
平面
B．侧面
内存在无穷多个点
，使得
平面
C．在正方形
的边上存在点
，使得直线
与底面所成角大小为
D．动点
，
分别在棱
和
上（不含端点），则二面角
的范围是
13．（2024•怀仁市校级三模）在三棱锥
中，
平面
，
，
，
为△
内的一个动点（包括边界），
与平面
所成的角为
，则
A．
的最小值为
B．
的最大值为
C．有且仅有一个点
，使得
D．所有满足条件的线段
形成的曲面面积为
跨章节综合2 立几与导数
1．（2024•温州二模）已知半径为
球与棱长为1 的正四面体的三个侧面同时相切，切点在三个侧面三角
形的内部（包括边界），记球心到正四面体的四个顶点的距离之和为
，则
A．
有最大值，但无最小值
B．
最大时，球心在正四面体外
C．
最大时，
同时取到最大值
D．
有最小值，但无最大值
【精选练习】
2．（2024•赣州模拟）已知某正三棱柱外接球的体积为
，则该正三棱柱体积的最大值为 ．
跨章节综合3 立几与三角
1.（2024•聊城三模）已知圆锥
为底面圆心）的轴截面是面积为1 的等腰直角三角形，
是底面圆周
上的一个动点，直线
，
满足
，
，
，设直线
与
所成的角为
，直线
与
所
成的角为
，则
A．
的取值范围为
B．该圆锥内切球的表面积为
C．
的取值范围为
D．
【精选练习】
2．（2024•佛山模拟）如图圆锥的轴截面
是等腰直角三角形，
的中点为
，
是底面圆周上异于
，
的任一点，
是
的中点，
为母线
上的一点，且
．
（1）证明：
平面
；
（2）设二面角
的大小为
，二面角
的大小为
，求
的值．
跨章节综合4 立体几何与解析几何
1．（2024•福建模拟）在
中，
，
，
的平分线交
于点
，
．
平面
过直线
，且与
所在的平面垂直．
（1）求直线
与平面
所成角的大小；
（2）设点
，且
，记
的轨迹为曲线
．
判断
是什么曲线，并说明理由；
不与直线
重合的直线过点
且交
于
，
两点，试问：在平面
内是否存在定点
，使得无论
绕点
如何转动，总有
？若存在，指出点
的位置；若不存在，说明理由．
【精选练习】
2．（2024•韶关二模）在三棱锥
中，侧面与底面
的夹角均为
，若
，
，
且
是直角三角形，则三棱锥
的体积为 ．
3 ．（2024• 武汉二调）在三棱锥
中，
，
，
，
，且
，则二面角
的余弦值的最小值为
A．
B．
C．
D．
