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专题三 立体几何
第2 讲 空间角与距离
一、考点透析
考点1 平行与垂直的判定与证明
1.（多选题）(2025·河南省·模拟)如图，圆锥SO的底面直径和母线长均为4
√3，其轴截面
为△SAB，C为底面半圆弧AB上一点，且AC
⏜
=2CB
⏜
，SM⃗= λ SC⃗，
SN⃗= μ SB⃗(0< λ<1,0< μ<1)，则( )
A. 存在λ∈(0,1)，使得BC ⊥AM
B. 当μ= 2
3
时，存在λ∈(0,1)，使得AM //平面ONC
C. 当λ = 1
3
，μ= 2
3
时，四面体SAMN的体积为8
3
√3
D. 当AN ⊥SC时，μ= 5
7
考点2 空间角
1.(2025·吉林省长春市·模拟)在正四面体ABCD中，M，N分别是棱AB，CD的中点，则
直线AN与CM所成角的余弦值为( )
A. 1
3
B.
√3
3
C. 2
3
D.
√6
3
2.(2025·安徽省蚌埠市·模拟)已知三棱锥P−ABC的体积为1，△ABC是边长为2的正三角
形，且PA =2，则直线PA与平面ABC所成角的正弦值为( )
A. 1
2
B.
√2
2
C.
√3
2
D. 1
3.(2025·湖南省岳阳市·模拟)如图，在正方体ABCD−A1B1C1 D1中，E，F，G，H分别
是所在棱的中点．
(1)证明：A1 E⊥平面ABGH；
(2)求直线A1 F与平面ABGH所成角的正弦值．
4.(2025·广东省惠州市·模拟)在四棱锥P−ABCD中，PA ⊥AD，PC ⊥CB，AB/ /CD，
AD = DC =CB =1，AB = PD =2．
(1)证明：二面角P−AD−C为π
2 ;
(2)求平面PAB与平面PCD所成的二面角的余弦值．
考点3 空间距离
1.（多选题）(2025·江西省·模拟)素描是使用单一色彩表现明暗变化的一种绘画方法，其水
平反映了绘画者的空间造型能力．“十字贯穿体”是学习素描时常用的几何体实物模型.如
图，这是某同学绘制“十字贯穿体”的素描作品，该“十字贯穿体”是由一个圆锥和一个
圆柱“垂直贯穿”构成的多面体，圆锥的两条母线与圆柱相切，其中一个切点为A，圆柱
侧面的母线平行于圆锥的底面，D为圆锥的顶点，圆锥的一条母线与圆柱的侧面交于B，
C两点，且B为圆柱侧面上到圆锥底面距离最大的点，圆锥的母线长为8
√3−8，其底面圆
的半径为8
√2−4
√6，圆柱的半径为 √3−1，下列结论正确的是
A. DA =
√3+1
B. BD = BC
C. 点C到圆锥底面的距离为2
√2−
√3+1
D. 点B到圆锥底面的距离为2
√2+
√3−1
2.(2025· 湖南省· 模拟) 如图，四棱柱ABCD — A1B1C1 D1的底面ABCD是正方形，
AB = A A1=
√2，A1C ⊥平面B B1 D1
D.
(1)求点A1到平面ABCD的距离；
(2)若M是线段B B1上一点，平面MAC与平面B B1 D1 D夹角的余弦值为
√10
5 时，求BM
B B1
的值．
3.(2025· 河南省开封市· 模拟) 如图所示，在三棱柱ABF −DCE中，∠ADE =90
∘，
∠ABC =60
∘，AB = AD =2 AF =2，平面ABCD⊥平面ADEF，点G是线段AD的中点．
(1)求证：FG⊥平面GCE；
(2)求直线BG与平面GCE所成角的正弦值．
(3)若点M在线段BE上，且AF //平面GMC，求点M到平面GCE的距离．
二、跟踪练习
1. （多选题）(2025· 河南省焦作市· 模拟题) 在三棱锥A −BCD中，已知
AB = BC =CD = DA =2，BD =2
√3，E为BD的中点，则下列说法正确的是( )
A. AC长度的取值范围是(0,2
√2)
B. 直线AB与平面AEC所成的角为π
3
C. 若AC =
√2，则AE，BC所成的角为π
3
D. 若AC =1，则三棱锥A −BCD外接球的表面积为52π
3
2. （多选题）(2025· 江苏省· 月考) 正四棱锥P−ABCD中，各棱长均为1，
PM⃗= 1
2 PA⃗, PN⃗= 2
3 PB⃗, PQ⃗= 1
2 PC⃗过点M，N，Q的平面交PD于点S，且PS⃗= λ PD⃗，
则( )
A. λ= 1
3
B. 点S到平面PMQ的距离为
√2
5
C. 平面MNQ与平面ABCD夹角的余弦值为4
√17
17
D. 两个四棱锥P−MNQS与P−ABCD体积之比为2:15
3.（多选题）(2025·云南省玉溪市·期末)如图(a)，边长为2的正方形A P1 P2 P3中，B，C
分别是P1 P2，P2 P3的中点，A P2交BC于D，现沿AB，AC及BC把这个正方形折成一个
四面体，如图(b)，使P1，P2，P3三点重合，重合后的点记为P，则有( )
A. 平面PAD⊥平面PBC
B. 四面体 P−ABC的体积为1
3
C. 点P到平面ABC的距离为1
3
D. 四面体P−ABC的外接球的体积为 √6 π
4. （多选题）(2025· 江苏省· 月考) 正四棱锥P−ABCD中，各棱长均为1，
PM⃗= 1
2 PA⃗, PN⃗= 2
3 PB⃗, PQ⃗= 1
2 PC⃗过点M，N，Q的平面交PD于点S，且PS⃗= λ PD⃗，
则( )
A. λ = 1
3
B. 点S到平面PMQ的距离为
√2
5
C. 平面MNQ与平面ABCD夹角的余弦值为4
√17
17
D. 两个四棱锥P−MNQS与P−ABCD体积之比为2:15
5.（多选题）(2025·陕西省·模拟题)在边长为3的正方体ABCD−A1B1C1 D1中，动点M在
棱AD上，动点N在棱C C1上，满足MN ⊥B D1.以下对MN运动过程的描述，正确的是
( )
A. 存在MN，满足MN ⊥D1 A1
B. 存在MN，使MN与A1B1所成角的余弦值为
√6
3
C. 点C到平面MN D1的距离为定值
D. 四面体MN D1 A1的体积为定值9
2
6.(2025· 安徽省安庆市· 模拟) 如图，四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面
ABCD , AB//CD , AD⊥CD , PA = PD = AD =CD =2，AB =1, M为棱PC上一点．
(1)证明：BD⊥PC；
(2)若PA //平面BMD，求直线PC与平面BMD所成角的正弦值．
7.(2025·四川省成都市·模拟)在三棱锥A −BCD中，BC = BD =
√6，CD =2
√2．O为CD
的中点，H为BO的中点，AH ⊥平面BCD．
(1)求证：平面ABC ⊥平面AHD；
(2)若AB与底面BCD所成角的正切值是2，求二面角B−AD−C的余弦值．
