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第 4 讲 空间向量与距离、探究性问题
1.(2022·山东联考)如图，在正四棱柱ABCD－ABC D 中，AB＝1，E为CC 的中点．
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(1)当AA＝2时，证明：平面BDE⊥平面ABE.
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(2)当AA＝3时，求A 到平面BDE的距离．
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2.(2022·聊城质检)如图，在正四棱柱ABCD－ABC D 中，AA ＝2AB＝2，E，F分别为棱
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AA，CC 的中点，G为棱DD 上的动点．
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(1)求证：B，E，D，F四点共面；
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(2)是否存在点G，使得平面GEF⊥平面BEF？若存在，求出DG的长度；若不存在，说明
理由．3.(2022·湖北七市联考)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面
ABCD，PA＝AB，E，F分别为线段PB，BC上的动点．
(1)若E为线段PB的中点，证明：平面AEF⊥平面PBC；
(2)若BE＝BF，且平面AEF与平面PBC夹角的余弦值为，试确定点F的位置．
4.(2022·长沙十六校联考)如图，在四棱锥P－ABCD中，△PAD是以AD为斜边的等腰直角
三角形，BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2AB＝2BC＝2，PC＝，E为PD的中点．
(1)求直线PB与平面PAC所成角的正弦值；
(2)设F是BE的中点，判断点F是否在平面PAC内，并证明结论．
