文档内容
第3讲 空间向量与空间角（新高考专用）
目录
【真题自测】.................................................................................................................................2
【考点突破】...............................................................................................................................16
【考点一】异面直线所成的角.......................................................................................................16
【考点二】直线与平面的夹角.......................................................................................................24
【考点三】平面与平面的夹角.......................................................................................................38
【专题精练】...............................................................................................................................48
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学科网（北京）股份有限公司考情分析：
以空间几何体为载体考查空间角是高考命题的重点．空间向量是将空间几何问题坐标化的工具，利用空间
向量求平面与平面的夹角或线面角是高考热点，通常以解答题的形式出现，难度中等．
真题自测
一、解答题
1．（2024·全国·高考真题）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形
ADEF均为等腰梯形， ， ， ， 为 的
中点．
(1)证明： 平面 ；
(2)求二面角 的正弦值．
2．（2024·全国·高考真题）如图，平面四边形ABCD中， ， ， ， ，
，点E，F满足 ， ，将 沿EF翻折至 ，使得 ．
(1)证明： ；
(2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值．
3．（2023·全国·高考真题）如图，在正四棱柱 中， ．点 分别
在棱 , 上， ．
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学科网（北京）股份有限公司(1)证明： ；
(2)点 在棱 上，当二面角 为 时，求 ．
4．（2023·全国·高考真题）如图，三棱锥 中， ， ， ，
E为BC的中点．
(1)证明： ；
(2)点F满足 ，求二面角 的正弦值．
5．（2022·全国·高考真题）如图， 是三棱锥 的高， ， ，E是 的中点．
(1)证明： 平面 ；
(2)若 ， ， ，求二面角 的正弦值．
6．（2022·全国·高考真题）在四棱锥 中， 底面
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学科网（北京）股份有限公司．
(1)证明： ；
(2)求PD与平面 所成的角的正弦值．
7．（2022·全国·高考真题）如图，四面体 中， ，E为 的中点．
(1)证明：平面 平面 ；
(2)设 ，点F在 上，当 的面积最小时，求 与平面 所成的角的正
弦值．
8．（2022·全国·高考真题）如图，直三棱柱 的体积为4， 的面积为 ．
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学科网（北京）股份有限公司(1)求A到平面 的距离；
(2)设D为 的中点， ，平面 平面 ，求二面角 的正弦值．
参考答案：
1．(1)证明见详解；
(2)
【分析】（1）结合已知易证四边形 为平行四边形，可证 ，进而得证；
（2）作 交 于 ，连接 ，易证 三垂直，采用建系法结合二面角夹角余弦公式
即可求解.
【详解】（1）因为 为 的中点，所以 ，
四边形 为平行四边形，所以 ，又因为 平面 ，
平面 ，所以 平面 ；
（2）如图所示，作 交 于 ，连接 ，
因为四边形 为等腰梯形， ，所以 ，
结合（1） 为平行四边形，可得 ，又 ，
所以 为等边三角形， 为 中点，所以 ，
又因为四边形 为等腰梯形， 为 中点，所以 ，
四边形 为平行四边形， ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 为等腰三角形， 与 底边上中点 重合， ， ，
因为 ，所以 ，所以 互相垂直，
以 方向为 轴， 方向为 轴， 方向为 轴，建立 空间直角坐标系，
， ， ，
，设平面 的法向量为⃗m=(x ,y ,z )，
1 1 1
平面 的法向量为⃗n=(x ,y ,z )，
2 2 2
则 ，即 ，令 ，得 ，即⃗m=(❑√3,3,1)，
则 ，即 ，令 ，得 ，
即 ， ，则 ，
故二面角 的正弦值为 .
2．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由题意，根据余弦定理求得 ，利用勾股定理的逆定理可证得 ，则
，结合线面垂直的判定定理与性质即可证明；
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学科网（北京）股份有限公司（2）由（1），根据线面垂直的判定定理与性质可证明 ，建立如图空间直角坐标系 ，利
用空间向量法求解面面角即可.
【详解】（1）由 ，
得 ，又 ，在 中，
由余弦定理得 ,
所以 ，则 ，即 ，
所以 ，又 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，
故 ；
（2）连接 ，由 ，则 ，
在 中， ，得 ，
所以 ，由（1）知 ，又 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，
所以 ，则 两两垂直，建立如图空间直角坐标系 ，
则 ，
由 是 的中点，得 ，
所以 ，
设平面 和平面 的一个法向量分别为 ，
则 ， ，
令 ，得 ，
所以 ，
所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司设平面 和平面 所成角为 ，则 ，
即平面 和平面 所成角的正弦值为 .
【点睛】
3．(1)证明见解析；
(2)1
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量坐标相等证明；
（2）设 ，利用向量法求二面角，建立方程求出 即可得解.
【详解】（1）以 为坐标原点， 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，如图，
则 ，
，
，
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学科网（北京）股份有限公司又 不在同一条直线上，
.
（2）设 ，
则 ，
设平面 的法向量 ，
则 ，
令 ，得 ，
，
设平面 的法向量 ，
则 ，
令 ，得 ，
，
，
化简可得， ，
解得 或 ，
或 ，
.
4．(1)证明见解析；
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学科网（北京）股份有限公司(2) ．
【分析】（1）根据题意易证 平面 ，从而证得 ；
（2）由题可证 平面 ，所以以点 为原点， 所在直线分别为 轴，建立空间直角
坐标系，再求出平面 的一个法向量，根据二面角的向量公式以及同角三角函数关系即可解出．
【详解】（1）连接 ，因为E为BC中点， ，所以 ①，
因为 ， ，所以 与 均为等边三角形，
，从而 ②，由①②， ， 平面 ，
所以， 平面 ，而 平面 ，所以 ．
（2）不妨设 ， ， ．
， ，又 ， 平面 平面 ．
以点 为原点， 所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
设 ，
设平面 与平面 的一个法向量分别为 ，
二面角 平面角为 ,而 ，
因为 ，所以 ，即有 ，
，取 ，所以 ；
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学科网（北京）股份有限公司，取 ，所以 ，
所以， ，从而 ．
所以二面角 的正弦值为 ．
5．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接 并延长交 于点 ，连接 、 ，根据三角形全等得到 ，再根据直角
三角形的性质得到 ，即可得到 为 的中点从而得到 ，即可得证；
（2）建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦的绝对值，再根据同角三角函数的
基本关系计算可得.
【详解】（1）证明：连接 并延长交 于点 ，连接 、 ，
因为 是三棱锥 的高，所以 平面 ， 平面 ，
所以 、 ，
又 ，所以 ，即 ，所以 ，
又 ，即 ，所以 ， ，
所以
所以 ，即 ，所以 为 的中点，又 为 的中点，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面
（2）解：过点 作 ，如图建立空间直角坐标系，
因为 ， ，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司又 ，所以 ，则 ， ，
所以 ，所以 ， ， ， ，
所以 ，
则 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，令 ，则 ， ，所以
；
设平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，则 ， ，所以 ；
所以 .
设二面角 的大小为 ，则 ，
所以 ，即二面角 的正弦值为 .
6．(1)证明见解析；
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学科网（北京）股份有限公司(2) .
【分析】（1）作 于 ， 于 ，利用勾股定理证明 ，根据线面垂直的性质可得
，从而可得 平面 ，再根据线面垂直的性质即可得证；
（2）以点 为原点建立空间直角坐标系，利用向量法即可得出答案.
【详解】（1）证明：在四边形 中，作 于 ， 于 ，
因为 ，
所以四边形 为等腰梯形，
所以 ，
故 ， ，
所以 ，
所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，
又 ，
所以 平面 ，
又因为 平面 ，
所以 ；
（2）解：如图，以点 为原点建立空间直角坐标系，
，
则 ，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，
设平面 的法向量 ，
则有 ，可取 ，
则 ，
所以 与平面 所成角的正弦值为 .
7．(1)证明过程见解析
(2) 与平面 所成的角的正弦值为
【分析】（1）根据已知关系证明 ，得到 ，结合等腰三角形三线合一得到垂直关
系，结合面面垂直的判定定理即可证明；
（2）根据勾股定理逆用得到 ，从而建立空间直角坐标系，结合线面角的运算法则进行计算即可.
【详解】（1）因为 ，E为 的中点，所以 ；
在 和 中，因为 ，
所以 ，所以 ，又因为E为 的中点，所以 ；
又因为 平面 ， ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以平面 平面 .
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学科网（北京）股份有限公司（2）连接 ，由（1）知， 平面 ，因为 平面 ，
所以 ，所以 ，
当 时， 最小，即 的面积最小.
因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 是等边三角形，
因为E为 的中点，所以 ， ，
因为 ，所以 ,
在 中， ，所以 .
以 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系 ，
则 ，所以 ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，取 ，则 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，
设 与平面 所成的角为 ，
所以 ，
所以 与平面 所成的角的正弦值为 .
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学科网（北京）股份有限公司8．(1)
(2)
【分析】（1）由等体积法运算即可得解；
（2）由面面垂直的性质及判定可得 平面 ，建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可得解.
【详解】（1）在直三棱柱 中，设点A到平面 的距离为h，
则 ，
解得 ，
所以点A到平面 的距离为 ；
（2）取 的中点E,连接AE,如图，因为 ，所以 ,
又平面 平面 ，平面 平面 ，
且 平面 ，所以 平面 ，
在直三棱柱 中， 平面 ，
由 平面 ， 平面 可得 ， ，
又 平面 且相交，所以 平面 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 两两垂直，以B为原点，建立空间直角坐标系，如图，
由（1）得 ，所以 ， ，所以 ，
则 ,所以 的中点 ，
则 ， ,
设平面 的一个法向量 ，则 ，
可取 ，
设平面 的一个法向量 ，则 ，
可取 ，
则 ，
所以二面角 的正弦值为 .
考点突破
【考点一】异面直线所成的角
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学科网（北京）股份有限公司核心梳理：
设异面直线l，m的方向向量分别为a＝(a，b，c)，b＝(a，b，c)，异面直线l与m的夹角为θ.
1 1 1 2 2 2
则(1)θ∈；
(2)cos θ＝|cos〈a，b〉|＝＝.
一、单选题
1．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）已知直三棱柱 中， ， ， ，则
异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·河南信阳·模拟预测）已知三棱柱 满足 ， ，
，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2024·四川南充·一模）如图，在边长为2的正方体 中，E为AD的中点，F为 的
中点，过点 、E、B作正方体的截面α，则下列结论中正确的是（ ）
A．三棱锥 的体积为
B． 与 所成角的余弦值为
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学科网（北京）股份有限公司C．
D．二面角 的余弦值为
4．（2024·天津蓟州·模拟预测）如图，在棱长为1的正方体 中， 为平面 内一动
点，则下列说法不正确的是（ ）
A．若 在线段 上，则 的最小值为
B．平面 被正方体内切球所截，则截面面积为
C．若 与 所成的角为 ，则点 的轨迹为椭圆
D．对于给定的点 ，过 有且仅有3条直线与直线 所成角为
三、填空题
5．（2024·广东·一模）在正方体 中，点P、Q分别在 、 上，且 ，
，则异面直线 与 所成角的余弦值为
6．（23-24高二上·江苏苏州·期末）已知圆台的高为2，上底面圆 的半径为2，下底面圆 的半径为4，
， 两点分别在圆 、圆 上，若向量 与向量 的夹角为60°，则直线 与直线 所成角的
大小为 ．
参考答案：
题号 1 2 3 4
答案 C C ACD C
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学科网（北京）股份有限公司1．C
【分析】根据空间向量法求线线角即可.
【详解】以 为原点，在平面 内过 作 的垂线交 于 ，
以 为 轴，以 为 轴，以 为 轴，建立空间直角坐标系，
因为直三棱柱 中， ， ， ，
所以 ，
所以 ，
设异面直线 与 所成角为 ，
所以 .
故选：C.
2．C
【分析】设 ， ， ，表达出 ， ，求出两向量数量积和模长，
利用 求出答案.
【详解】设 ， ， ，
则 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，由 得 ,即 ，
又 ，由 得 ，
因为 ，所以 ，
即 ，即 ，
所以 ，
所以异面直线 与 所成角的余弦值为 .
故选：C
3．ACD
【分析】对于A，根据等体积法 直接计算即可；对于BCD，建立空间直角坐标系，利用空间
向量求解判断即可.
【详解】对于A， ，故A正确；
对于B，以 为原点，以 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，
所以 ， ， ， ， ， ，
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学科网（北京）股份有限公司则 ， ，
则 ，
所以 与 所成角的余弦值为 ，故B错误；
对于C，由B知， ， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即 ，
令 ，可得 ，
所以 ，即 ，
又 平面 ，所以 平面 ，
即 ，故C正确；
对于D，在正方体 中， 平面 ，
所以平面 的一个法向量为 ,
所以 ，
所以二面角 的余弦值为 ，故D正确.
故选：ACD.
4．C
【分析】把矩形 与正方形 置于同一平面，求出 长判断A；求出内切球球心到平面 ，
求出截面小圆半径判断B；建立空间直角坐标系，利用异面直线夹角建立方程判断C；利用异面直线所成
角的意义转化判断D.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】对于A，正方体 的对角面 是矩形，把矩形 与正方形
置于同一平面，且在直线 两侧，连接 ，则 ，
当且仅当 为 与 的交点时取等号，A正确；
对于B，令正方体内切球球心为 ，连接 ， 为正方体的中心，
， ，正 半径 ，
正三棱锥 底面 上的高 ，又球 的半径为 ，
则被截得的圆的半径为 ，面积为 ，B正确；
对于C，建立空间直角坐标系，如图，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，设 ，有 ，
则 ，整理得 ，
则 的轨迹是双曲线，C错误；
对于D，显然过 的满足条件的直线数目等于过 的满足条件的直线 的数目， ，
在直线 上取点 ，使 ，不妨设 ，则 ，
则四面体 是正四面体， 有两种可能，直线 也有两种可能，
若 ，则 只有一种可能，就是与 的角平分线垂直的直线，所以直线 有三种可能，D正确.
故选：C
【点睛】关键点点睛：选项A中，关键是将空间中的两距离之和最短转化为平面内三点共线时长度最短问
题求解.
4
5． /0.8
5
【分析】以D为原点， 为x轴， 为y轴， 为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异
面直线 与 所成角的余弦值.
【详解】设正方体 中棱长为3，
以D为原点， 为x轴， 为y轴， 为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，
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学科网（北京）股份有限公司则 ， ， ， ， ， ，
设异面直线 与 所成角为 ，则 .
即异面直线 与 所成角的余弦值为 .
故答案为： .
6．
【分析】法1：设直线 与直线 所成角为 ，根据 求解即可.
法2：设点 在圆 上的射影为 ，则 为 中点，且 ，则 即为 与 所成角的
平面角，求出 即可.
法3：以 为原点建系，利用向量法求解即可.
【详解】法1： 在 上的投影向量为 ，故 ，
，
设直线 与直线 所成角为 ，
则 ，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司即直线 与直线 所成角的大小为 .
法2：如图， ，
则 即为向量 与向量 的夹角，
所以 ，所以 为等边三角形，
设点 在圆 上的射影为 ，
则 为 中点，且 ，
所以 即为 与 所成角的平面角，
， ，
在 中 ，
则 ，
即 与 所成角为 .
法3：因为 ，
则 即为向量 与向量 的夹角，
所以 ，所以 为等边三角形，
以 为原点建系，则 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司故 ，
即直线 与直线 所成角的余弦值为 ，
所以直线 与直线 所成角的大小为 ．
规律方法：
用向量法求异面直线所成的角的一般步骤
(1)建立空间直角坐标系．
(2)用坐标表示两异面直线的方向向量．
(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值．
(4)注意两异面直线所成角的范围是，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值．
【考点二】直线与平面所成的角
核心梳理：
设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，
则(1)θ∈；(2)sin θ＝|cos〈a，n〉|＝.
一、单选题
1．（2024·河北·模拟预测）已知正方体 的棱长为 ，点N是四边形 内一点，且满
足 ，则DN与平面 所成角的正切值的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高二上·全国·期中）PA，PB，PC是从点P引出的三条射线，每两条的夹角均为60°，则直线
PC与平面PAB所成角的余弦值为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
二、多选题
3．（2024·福建泉州·模拟预测）刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：
多面体顶点的曲率等于 与多面体在该点的面角和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧
度制）．已知正三棱台 中， ，棱 ， 的中点分别为 ， ．若该棱台顶点
， 的曲率之差为 ，则（ ）
A．
B． 平面
C．直线 与平面 所成角的正弦值等于
D．多面体 顶点D的曲率的余弦值等于
4．（2024·山西吕梁·三模）已知正方体 的棱长为 是空间中的一动点，下列结论正确的
是（ ）
A．若点 在正方形 内部，异面直线 与 所成角为 ，则 的范围为
B．平面 平面
C．若 ，则 的最小值为
D．若 ，则平面 截正方体 所得截面面积的最大值
为
三、填空题
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学科网（北京）股份有限公司5．（2024·广东茂名·模拟预测）已知四棱柱 的底面是正方形， ， ，点
在底面 的射影为 中点H，则直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
6．（2024·全国·模拟预测）在棱长为2的正方体 中，动点 ， 分别在棱 ， 上，
且满足 ，当 的体积最小时， 与平面 所成角的正弦值是 ．
四、解答题
7．（24-25高二上·河北张家口·阶段练习）如图，已知四棱台 的上、下底面分别是边长为
2和4的正方形， ，且 底面 ，点P、Q分别是棱 的中点.
(1)在底面 内是否存在点 ，满足 平面 ?若存在，请说明点 的位置，若不存在，请说
明理由；
(2)设平面 交棱 于点T，平面 将四棱台 分成上，下两部分，求 与平面
所成角的正弦值.
8．（24-25高三上·安徽·开学考试）如图，在三棱台 中，上､下底面是边长分别为4和6的等
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学科网（北京）股份有限公司边三角形， 平面 ，设平面 平面 ，点 分别在直线 和直线 上，且满足
.
(1)证明： 平面 ；
(2)若直线 和平面 所成角的余弦值为 ，求该三棱台的体积.
参考答案：
题号 1 2 3 4
答案 D C BC BCD
1．D
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得正确答案.
【详解】以 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
，平面 的法向量为 ，
由于点N是四边形 内一点，故可设 ， ，
由于 ，所以 ，所以 ，
所以 点在线段 上，设DN与平面 所成角为 ， ，
则 ，所以 ，
当 时， ， 不存在.
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学科网（北京）股份有限公司当 时， ，当 时， 取得最小值为 .
故选：D
2．C
【分析】将 放在正方体中进行分析，结合空间向量法求解即可.
【详解】如图所示，把 放在正方体中， 的夹角均为 ．
建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1，
则 ，
所以 ，
设平面 的法向量 ，则 ，
令 ，则 ，所以 ，
所以 ．
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学科网（北京）股份有限公司设直线 与平面 所成角为 ，所以 ，
所以 ．
故选：C．
3．BC
【分析】延长 ， 相交于P，O为 的中心，棱 的中点为E，以过O且平行于 的直线为x
轴，直线 为y轴，直线 为z轴，建立空间直角坐标系，利用线线垂直的向量表示，判断A；利用线
面垂直的判定，判断B；利用直线与平面所成角的向量求法，判断C；利用向量与向量的夹角，判断D．
【详解】
正三棱台 中，棱 ， 的中点分别为 ， ，
延长 ， 相交于P，设O为 的中心，棱 的中点为E，
以过O且平行于 的直线为x轴，直线 为y轴，
直线 为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
∵正三棱台 的顶点 ， 的曲率之差为 ，
∴ ，
则 ，
又 ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ， ，
令 ，则 ， ， ，
， ， ， ，
， ．
对于A，∵ ， ，
，
∴ 与 不垂直，故A错误；
对于B，∵ ， ，则 ，同理， ，
又 ， 平面 ，
∴ 平面 ，即 平面 ，故B正确；
对于C，∵ ， ，
令平面 ，即平面 的法向量为⃗m=(x,y,z)，
则 ，
取 ，得 ，
令直线 与平面 所成角为 ，
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学科网（北京）股份有限公司∴
，故C正确；
对于D，∵ ， ，
∴
，
又多面体 顶点D的曲率
，
∴ ，故D错误．
故选：BC．
4．BCD
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量求异面直线夹角的取值范围，判断A的真假；平面 平面
，B选项很好判断；先确定 点位置，再展开成平面，转化成平面上两点之间的距离问题判断C的真
假；先得到 是线段 上一点，连接 并与 交于点 ，分当 与 重合， 在线段 （不含点
）上， 在线段 （不含点 ， ）上和 与 重合四种情况，得到截面积的最大值，判断D的真假.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】对于 ，如图：
以 为坐标原点，分别以 所在直线为 轴，建立空间直角坐标系 ，
则 ，
则
则 ，
因为
所以 ，
故 ，则 的取值范围为 ，故A不正确；
对于B，在正方体 中，平面 平面 ，显然成立.故B正确；
对于C：正方体 的棱长为2， 为空间中的一动点，在 上取点 ，使 ，在
上取点 ，使 ,如图：
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学科网（北京）股份有限公司由 得 ，即 ，故 为线段 上一点.
将平面 沿 展开至与平面 共面，如下图：
易知： ，
则 .
在平面图中，当 三点共线时， 取得最小值，为 ，故C正确；
对于D：因为 ，所以 ，又 ，可知 是线段 上一点，
如图：
连接 并与 交于点 .
当 与 重合时，平面 与平面 重合，此时截面面积为4.
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学科网（北京）股份有限公司当 在线段 （不含点 ）上时，平面 截正方体所得截面为三角形，且当 与 重合时，截面为
，此时截面面积最大，由三边长均为 ，故此时截面面积最大值为 .
当 在线段 （不含点 ）上时，如图：
延长 与 交于点 ，作 平行于 并与 交于点 ，则截面为等腰梯形 ，设
，则 ，梯形 的高 ，面积为
.
由图可知：梯形 的面积一定小于矩形 的面积，且矩形 面积为 ，
所以 .
当 与 重合时，截面为矩形 ，面积为 .
故平面 截正方体所得截面面积的最大值为 ，故D正确.
故选：BCD
【点睛】方法点睛：立体几何中截面的处理思路：
（1）直接连接法：有两点在几何体的同一个平面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面就是
找交线的过程；
（2）作平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的平面与点所在的平面平行，可以通过过点
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学科网（北京）股份有限公司找直线的平行线找到几何体与截面的交线；
（3）作延长线找交点法：若直线相交但在立体几何中未体现，可通过作延长线的方法先找到交点，然后
借助交点找到截面形成的交线；
（4）辅助平面法：若三个点两两都不在一个侧面或者底面中，则在作截面时需要作一个辅助平面.
5．
【分析】以点H为坐标原点， 、 、 的方向分别为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系
，求得平面 的一个法向量为 ，直线 的一个方向向量 ，利用向
量的夹角公式可求直线 与平面 所成角的正弦值.
【详解】因为点 在底面 的射影为 中点H，则 平面 ，
又因为四边形 为正方形，
以点H为坐标原点， 、 、 的方向分别为x、y、z轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系
，
因为 平面 ， 平面 ，则 ，
因为 ， ，则 ，
则 、 、 、 ，
所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司易知平面 的一个法向量为 ，
，
因此，直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
故答案为： .
6．
【分析】设 ，结合等积法，可求出当 的体积最小时， ， 分别是所在棱的中点；
法一，根据 ，可求出点 到平面 的距离为 ，结合直线与平面所成角的集合法即可
求解；法二，建立空间直角坐标系，应用向量法求解.
【详解】设 ，则
．
由等体积法，得
，
当且仅当 ，即 时，等号成立．
所以当 的体积最小时， ， 分别是所在棱的中点．
方法一 易知 ， ， ．由余弦定理，得
，所以 ，
所以 ．
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学科网（北京）股份有限公司设点 到平面 的距离为 ．根据 ，
得 ，解得 ．
所以 与平面 所成角的正弦值为 ．
方法二 以点 为原点，以 ， ， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴，
建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ．
所以 ， ， ．
设平面 的法向量为⃗n=(x,y,z)，
则 即 令 ，得 ， ，
则 ．设 与平面 所成的角为 ，
则 ．
故答案为：
7．(1)存在点
(2)
【分析】（1）根据题意建系，求出相关点和相关向量的坐标，通过线线垂直建立方程组，即可求得点
的坐标，得出结论；
（2）按（1）建系，利用 四点共面求得点 坐标，再利用空间向量的夹角公式计算即得.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）
因 底面 ，且 是正方形，故可以点 为坐标原点，
分别以 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，如图所示.
则
因点P、Q分别是棱 的中点，则 ,
,
假设在底面 内存在点 ，使得 平面 ，则
则 由 ，解得 ，
故存在点 ，满足 平面 ；
（2）按照（1）建系，设点 ，
依题意， 四点共面，故必有 ,
即 ，则得， ，解得 ，
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学科网（北京）股份有限公司即 ，又 ,
设平面 的法向量为 ，则 ，
故可取 .因 ，
设 与平面 所成角为 ，则 .
即 与平面 所成角的正弦值为 .
8．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据线面平行的性质定理可得 ，再结合线面垂直的判定定理可得结果；
（2）建立空间直角坐标系，分别求出平面 与平面 的法向量，利用线面角的向量求法及棱台的
体积公式可得结果.
【详解】（1）由三棱台 知， 平面 ，
因为 平面 ，且平面 平面 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，又 ， 平面 ，
所以 平面 ；
（2）取 中点 ，连接 ，以 为原点， 为 轴， 为 轴，
过点 做 轴垂直于 平面，建立空间直角坐标系如图，设三棱台的高为 ，
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学科网（北京）股份有限公司则
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，
令 ，可得平面 的一个法向量 ，
易得平面 的一个法向量 ，
设 与平面 夹角为 ，
，
所以
由 ，得 ，
由（1）知 ，所以 ，
解得 ，所以三棱台的体积 .
规律方法：
(1)线面角θ与直线的方向向量a和平面的法向量n所成的角〈a，n〉的关系是〈a，n〉＋θ＝或〈a，n〉
－θ＝，所以应用向量法求的是线面角的正弦值，而不是余弦值．
(2)利用方程思想求法向量，计算易出错，要认真细心．
【考点三】平面与平面的夹角
核心梳理：
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学科网（北京）股份有限公司设平面α，β的法向量分别为u，v，平面α与平面β的夹角为θ，
则(1)θ∈；
(2)cos θ＝|cos〈u，v〉|＝.
一、单选题
1．（2024·江西宜春·模拟预测）在正方体 中，平面 经过点 ，平面 经过点 ，
当平面 分别截正方体所得截面面积最大时，平面 与平面 的夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高二上·福建·阶段练习）在矩形 中， ， ， 将 沿着 翻折，使
点在平面 上的投影 恰好在直线AB上，则此时二面角 的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（23-24高一下·浙江宁波·期中）如图，已知正方体 的棱长为2， ， ， 分别为
， ， 的中点，以下说法正确的是（ ）
A．三棱锥
在RtΔPAC中tan∠ACP=
√6
=√3
的体积为 B． 平面
√2
C． 平面 D．二面角 的余弦值为
4．（2024·江西景德镇·三模）正方体 的棱长为6， ， 分别是棱 ， 的中点，过
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学科网（北京）股份有限公司， ， 作正方体的截面，则（ ）
A．该截面是五边形
B．四面体 外接球的球心在该截面上
C．该截面与底面 夹角的正切值为
D．该截面将正方体分成两部分，则较小部分的体积为75
三、填空题
5．（2024·江苏苏州·模拟预测）在平面直角坐标系 中，设 ，若沿直线 把
平面直角坐标系折成大小为 的二面角后， ，则 的余弦值为 ．
四、解答题
6．（2024·广东·模拟预测）如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 为等腰梯形，其
中 ， ．
(1)证明：平面 平面 ．
(2)若 ，求二面角 的余弦值．
7．（2024·云南·模拟预测）如图，已知四棱锥 中， 平面 ， ，
．
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学科网（北京）股份有限公司(1)求证：平面 平面 ；
(2)若平面 与平面 所成角的余弦值为 ，求线段 的长．
参考答案：
题号 1 2 3 4
答案 A A ABC ACD
1．A
【分析】因为正方体中过体对角线的截面面积最大，所以题目转化为求平面 与平面 夹角的
余弦值，建立空间直角坐标系，求得即可.
【详解】
如图：因为正方体中过体对角线的截面面积最大，
所以题目转化为求平面 与平面 夹角的余弦值，
以 点为坐标原点，以 的方向分别为 轴正方向，
建立空间直角坐标系 ，
由 为正方体，设棱长为 ， ，所以四边形 为正方形，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，又因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，又因为 ， 平面 ，所以 平面 ，
即 为平面 的一个法向量，
同理 为平面 的一个法向量，
由 ，知 ，
设平面 与平面 的夹角为 ， ，
则 .
故选：A.
2．A
【分析】如图所示，作 于 ， 于 ，求得 ， ，利用向量的夹角公式可
求二面角 的余弦值.
【详解】如图所示，作 于 ， 于 .
在 中， ， ，
在 中， ，
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学科网（北京）股份有限公司，
同理可得 ， ， ，
因为 ，
所以
，
又因为 ，
所以 .
因为 与 的夹角即为二面角 的大小，
所以二面角 的余弦值为 .
故选：A.
3．ABC
【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，由向量法证明 面 ， 平面 ，转换后求棱锥
的体积，由空间向量法求二面角，从而判断各选项．
【详解】如图，分别以 为 轴建立空间直角坐标系，则 ， ， ，
， ， ， ， ，
， ， 分别为 ， ， 的中点，则 ， ， ，
， ，
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学科网（北京）股份有限公司易知 ，所以 共面，
又 平面 ，所以 面 ，C正确；
，A正确；
， ，同理 ，
所以 是平面 的一个法向量，即 平面 ，B正确；
平面 的一个法向量是 ，
，因此二面角 的余弦值为 ，D错误．
故选：ABC．
4．ACD
【分析】对于A，过 三点作正方体的截面即可；对于B，计算四面体 外接球半径，以及
外接圆半径，比较球心与圆心是否重合即可；对于C，建立空间直角坐标系，计算平面 和平
面 的法向量即可；对于D，将被截正方体较小部分体积分为5个三棱锥计算即可.
【详解】对于A，如图①所示，延长 交 的延长线于 ，延长 交 的延长线于 ，
连接 交 于 ，连接 交 于 ，
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学科网（北京）股份有限公司连接 ， ，则五边形 为平面 截正方体所得的截面，故A正确；
对于B， 如图②所示，设三棱锥 底面 外心为 ，
三棱锥 外接球球心为 ，
且 ,
在 中， , ，
所以 外接圆半径为 ,
所以在 中，三棱锥 外接球半径
,
所以三棱锥 外接球球心 到 三点的距离都为 .
在 中， ，
所以 外接圆半径 ,
所以四面体 外接球的球心不在该截面上，故B错误；
对于C，如图③所示，以 分别为 轴建立如图空间直角坐标系，
且正方体边长为6，即 ，
所以 ，
设 为平面 的法向量，则
50 / 78
学科网（北京）股份有限公司，取 ，
所以 ，
又因为 平面 ，
故 为平面 的法向量，
则 ，
，故C正确；
对于D，如图④所示，取 中点 ，连接 ,
因为 ，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 ，即 ，
同理，由 得 ，
由 得 ，
所以 ，
，
，
，
,
所以该截面将正方体分成两部分，较小部分体积为 ，故D正确.
故选：ACD.
51 / 78
学科网（北京）股份有限公司5．
【分析】在平面直角坐标系中，过点 作 于点 ，则折成二面角后， ，由
结合向量的数量积运算求解即可．
【详解】在平面直角坐标系中，过点 作 于点 ，
可知 ，
沿直线 把平面直角坐标系折成大小为 的二面角后，
仍有 ，
52 / 78
学科网（北京）股份有限公司则 ，
由 ，
可得 ，
即 ，
即 ，
可得 ．
故答案为：
6．(1)证明见详解
(2)
【分析】（1）过 作 ，垂足为 ，建系标点，利用空间向量可得 ，根据线面垂直的性
质可得 ，即可证线面垂直；
（2）根据题意分别求平面 、平面 的法向量，利用空间向量求二面角.
【详解】（1）过 作 ，垂足为 ，则 ，
因为 ，则 ，且 平面 ，
如图所示，以 为坐标原点， 分别为 轴，建立空间直角坐标系，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，
可得 ，
因为 ，则 ，
又因为 平面 ， 平面 ，则 ，
且 ， 平面 ，可得 平面 ，
又因为 平面 ，所以平面 平面 .
（2）若 ，由（1）可知： ，
可得 ，
设平面 的法向量为⃗m=(x ,y ,z )，则 ，
1 1 1
令 ，则 ，可得 ，
设平面 的法向量为⃗n=(x ,y ,z )，则 ，
2 2 2
令 ，则 ，可得 ，
则 ，
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学科网（北京）股份有限公司由图可知二面角 为锐二面角，所以二面角 的余弦值为 .
7．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）设 中点为 ，连接 ，先证得 ， ，由线面垂直的判定定理可证得
平面 ，再由面面垂直的判定定理即可证明.
（2）以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 ，设 ，分别求出平面 与
平面 的法向量，代入二面角公式即可得出答案.
【详解】（1）证明：设 中点为 ，连接 ，如图，
因为 ，且 ，
故四边形 为正方形，
而 ， ， ，
所以 ，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又 平面 ， ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以平面 平面 ．
（2）解：以 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴，建立如图所示的空间直角坐标
系 ，
设 ，则 ， ， ， ，
所以 ， ，
55 / 78
学科网（北京）股份有限公司设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，
令 ，所以 ，
由（1）知，平面 的法向量为 ，
设平面 与平面 所成角为 ，则 ，
，
解得 或 （舍去），所以 ．
规律方法：
平面与平面夹角的取值范围是，两向量夹角的取值范围是[0，π]，两平面的夹角与其对应的两法向量的夹
角不一定相等，而是相等或互补．
专题精练
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）在正方体 中， ，则异面直线 与 所成角
的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·贵州贵阳·模拟预测）古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线，如
图1，设圆锥轴截面的顶角为 ，用一个平面 去截该圆锥面，随着圆锥的轴和 所成角 的变化，截得
的曲线的形状也不同．据研究，曲线的离心率为 ，比如，当 时， ，此时截得的曲线是
抛物线．如图2，在底面半径为 ，高为 的圆锥 中， 、 是底面圆 上互相垂直的直径， 是
母线 上一点， ，平面 截该圆锥面所得的曲线的离心率为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
二、多选题
3．（2024·广东·三模）已知正方体 的棱长为 分别为棱 的中点，则（ ）
A．三棱锥 的体积为
B． 与 所成的角为
C．过 三点的平面截正方体所得截面图形为等腰梯形
D．平面 与平面 夹角的正切值为
4．（2024·重庆·三模）如图，已知正方体 中， 分别为棱 、
的中点，则下列说法正确的是（ ）
A． 四点共面 B． 与 异面
C． D．RS与 所成角为
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学科网（北京）股份有限公司5．（2024·辽宁·模拟预测）已知正三棱柱 的底面边长为 ，高为 ，记异面直线 与 所
成角为 ，则（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
6．（2024·江苏连云港·模拟预测）在棱长为2的正方体 中，E，F，G分别为棱 ，
CD， 的中点，则（ ）
A．
B．平面EFG截正方体所得到的截面面积是
C．直线AB和直线 与平面EFG所成的角相等
D．点E到平面BFG的距离为
三、填空题
7．（2024·全国·模拟预测）如图，在四棱锥 中， 平面 ， ，
，四边形 为直角梯形， ， ，给出下列结论：① 平面 ；
②三棱锥 的外接球的表面积为 ；③异面直线 与 所成角的余弦值为 ；④直线 与平面
所成角的正弦值为 .则所有正确结论的序号是 .
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学科网（北京）股份有限公司8．（2024·全国·模拟预测）在正四棱锥 中，点 分别为 的中点， ，异面直
线 所成角的余弦值为 ，则正四棱锥 的高为 ，外接球的表面积为
．
四、解答题
9．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）如图，已知四棱锥 的底面 是边长为6的正方形，侧面
底面 ，点 分别是 的中点，点 在棱 上且 .
(1)求证： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成的角的正弦值.
10．（2024·安徽·一模）如图，四棱锥 中，底面 是矩形， ， ，
，M是 的中点， .
(1)证明： 平面 ；
(2)若点P是棱 上的动点，直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求 的值.
11．（2024·广东广州·模拟预测）如图，四棱锥 中，底面 是平行四边形， 是正三角
形， ．
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学科网（北京）股份有限公司(1)证明：平面 平面 ;
(2)求二面角 的余弦值．
12．（2024·陕西商洛·模拟预测）如图1，在平面四边形 中， ， ，垂足为
，将 沿 翻折到 的位置，使得平面 平面 ，如图2所示.
(1)设平面 与平面 的交线为 ，证明： .
(2)在线段 上是否存在一点 （点 不与端点重合），使得二面角 的余弦值为 ？若存在，
求出 的值；若不存在，请说明理由.
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6
答案 A D ACD AC ACD AC
1．A
【分析】法一：根据 ，可得异面直线 与 所成的角为 或其补角，再解 即可.
法二：利用空间向量的数量积求出 即可.
法三：以 为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
【详解】解法一：因为 ，所以异面直线 与 所成的角为 或其补角，
设正方体的棱长为2，连接 ，则 ，
60 / 78
学科网（北京）股份有限公司在 中， ，
即异面直线 与 所成角的余弦值为 .
解法二：由题， ，
所以 ，
设 ，则 ，
所以异面直线 与 所成角的余弦值为 .
解法三：以 为坐标原点，建立空间直角坐标系，
设 ，则A(2,0,0)， ， ， ，
则 ， ，
故 ，
61 / 78
学科网（北京）股份有限公司故异面直线 与 所成角的余弦值为 .
故选：A.
2．D
【分析】求出 的值，然后以 点为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间
直角坐标系，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系求出 的值，即可求得该双曲线的离心率
的值.
【详解】在圆锥 中， ， ，易知 ，
由圆锥的几何性质可知， 平面 ，因为 平面 ，则 ，
所以， ，则 ，
圆锥 中， 、 是底面圆 上互相垂直的直径，
以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则 、 、 、 、 ，
因为 是母线 上一点， ，则 ， , ，
62 / 78
学科网（北京）股份有限公司设平面 的法向量为 ，则 ，
取 ，可得 ，且 ，
所以， ，
所以， ，
故该圆锥曲线的离心率为 ，
故选：D.
3．ACD
【分析】求出锥体体积判断A；用定义法求出异面直线的夹角判断B；推理判断截面形状判断C；建立坐标
系，利用空间向量求出面面角的余弦判断D.
【详解】正方体 的棱长为 分别为棱 的中点，
对于A，三棱锥 的体积 ，A正确；
对于B， ，则 是 与 所成的角或其补角，而 ，
因此 与 所成的角为 ，B错误；
对于C，连接 ，由 ，得 ，则 ，
而 ， ，因此平面 截正方体所得截面图形 为等腰梯形，C正确；
对于D，建立如图所示的空间直角坐标系， ，
，设平面 的法向量 ，
63 / 78
学科网（北京）股份有限公司则 ，令 ，得 ，显然平面 的法向量 ，
设平面 与平面 的夹角为 ，则 ，
，则 ，D正确.
故选：ACD
【点睛】方法点睛：利用向量法求二面角的常用方法：①找法向量，分别求出两个半平面所在平面的法向
量，然后求得法向量的夹角，结合图形得到二面角的大小；②找与交线垂直的直线的方向向量，分别在二
面角的两个半平面内找到与交线垂直且以垂足为起点的直线的方向向量，则这两个向量的夹角就是二面角
的平面角．
4．AC
【分析】建立空间直角坐标系，设正方体棱长即可得各点的坐标，利用向量法判断线线位置关系判断AB，
求解线线角判断CD.
【详解】以D为坐标原点，分别以 所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐
标系：
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学科网（北京）股份有限公司设正方体 的棱长为2，
则 ，
因为 分别为棱 、 的中点，
所以 ，
对于A，因为 ，所以 ，
所以 ，所以 四点共面，正确；
对于B，因为 ，所以 ，
所以 ，且 ，所以四边形 为平行四边形，
所以 ，错误；
对于C，因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，正确；
对于D，因为 ，
所以 ， ，
所以 ，
65 / 78
学科网（北京）股份有限公司设RS与 所成角为 ， ，则 ，所以 ，
即 与 所成角为 ，错误.
故选：AC
5．ACD
【分析】建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，以及相关向量的坐标，根据空间角的向量求法，一一求
解各选项中所求结果，即可判断答案.
【详解】在正三棱柱 中，设 的中点为 ，连接 ,
则 平面 ， ,
以O为坐标原点，以 所在直线为 轴，建立空间直角坐标系，
对于A，当 时， ，
则 ，
则 ，
由于异面直线 与 所成角为 ，范围为大于 小于等于 ，
故 ，A正确；
66 / 78
学科网（北京）股份有限公司对于B， ，
则 ，由于 ，
则 ，
解得 或 ，B错误；
对于C，当 时， ，
则 ，
则 ，故 ，则 ，C正确；
对于D，若 ，则 ，
则 ，
则 ，
则 ，
解得 或 （舍），D正确；
故选：ACD
6．AC
【分析】对于A，可用几何法直接证明；对于B，画出截面，求面积即可；对于C 和D，建系求法向量，
进而求得线面角和点到面的距离.
【详解】以点 为坐标原点， 、 、 分别为 轴、 轴、 轴的正方向，建立空间直角坐标系，
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学科网（北京）股份有限公司则A(2,0,0)， ， ， ， ， ， ，
对于A，因为正方体中E，F分别为棱 ，CD的中点，所以 ， ，
所以四边形 为平行四边形， ，
又 ，所以 ，故A正确；
对于B，由平面的基本性质，平面EFG截正方体所得到的截面如图所示为正六边形，
正六边形边长为 ，面积为 ，故B错误；
对于C，设平面EFG的一个法向量为 ，则 ， ，
取 ，则 ，而 ， ，
， ，
所以直线AB和直线 与平面EFG所成的角相等，故C正确；
对于D， ，设平面BFG的一个法向量为 ，
则 ， ，取 ，则 ，
点E到平面BFG的距离为 ，故D错误.
故选：AC.
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学科网（北京）股份有限公司7．②③
【分析】建立空间直角坐标系，用向量法验证 与 的垂直关系，可判断①；根据题意，找到球心的位
置，计算球的表面积，可判断②；利用向量法求异面直线 与 所成角的余弦值，可判断③；利用向量
法求直线 与平面 所成角的正弦值，可判断④.
【详解】对于①：由题意知AB，AD，AP两两垂直，故以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为
x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
则 ，A(0,0,0)，B(1,0,0)， ，P(0,0,1)， ， ，
，
若 平面 ，则 平面 ，得 ，而 ，
所以 与 不垂直，故①错误.
对于②；取 的中点O，连接 ，可得 ，
69 / 78
学科网（北京）股份有限公司因为 ，
所以 ，则 为直角三角形，且 ，
所以 ，则 ，
所以O为三棱锥 的外接球的球心，
于是外接球半径 ，
故三棱锥 的外接球的表面积为 ，故②正确.
对于③：设异面直线 与 所成的角为 ，
则由①的解法一可知 ， ，
因为异面直线所成角的范围是 ，
所以 ，故③正确；
对于④：由①的解法一知 ， ， ，
设平面 的法向量为⃗n=(x,y,z)，则 ，
取 ，则 ，
设直线PB与平面PCD所成的角为 ，
则 ，故④错误.
故答案为：②③.
8．
70 / 78
学科网（北京）股份有限公司【分析】由题意建立适当的空间直角坐标系，引入参数 ，表示出 ，
结合向量夹角余弦的坐标公式列方程求得参数即可得正四棱锥 的高，进一步断定点 （正四棱
锥 的外接球球心）必定在线段 上面，设外接球半径为 ，由勾股定理列式即可求得半径，进
而结合球的表面积公式即可得解.
【详解】如图，连接 ，相交于点 ，连接 ，易知 ， 两两互相垂直， 是正四棱锥
的高，
故以点 为原点，分别以 所在直线为 轴、 轴、 轴，建立空间直角坐标系．
由 可得 ，则 ， ．
设 ，则 ，
所以 ，
所以 ，解得 （负值已舍去）．
所以 ．
设正四棱锥 外接球的球心为 ，球 的半径为 ，
由对称性可知点 必定在线段 上面，
则 ，解得 ．
所以球 的表面积为 ．
71 / 78
学科网（北京）股份有限公司故答案为： ； .
9．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）解法一：取 的中点 ，连接 ，证明四边形 是平行四边形，得线线平行，
然后得证线面平行；
解法二：建立如图所示的空间直角坐标系，用向量法证明线面平行；
（2）解法一：过点 作 ，垂足为 ，连接 ，证得 为直线 与平面 所成的角，
在三角形中求出此角的正弦值后可得；
解法二：由空间向量法求线面角．
【详解】（1）解法一：取 的中点 ，连接 ，
因为点 是 的中点，所以 ，且 ，
正方形中，点 是 的中点， ，
所以 ，且 ，
所以 ，且 ，所以四边形 是平行四边形，
所以 ，又 平面 平面 ，
所以 平面 .
解法二：
，点 是 的中点，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司又侧面 底面 ，侧面 底面 平面 ，所以 平面 ，
如图以点 为坐标原点，直线 为 轴和 轴建立空间直角坐标系，
则
所以 ，所以
设平面 的一个法向量为 ，则 ，
取 得 ，所以 ，所以 ，即 ，又 不在平
面 内，所以 平面 .
（2）解法一：
过点 作 ，垂足为 ，连接 ，由题意知 ，
又侧面 底面 ，侧面 底面 平面 ，所以 底面 ，又
平面 ，所以 ，
又 平面 ，所以 底面 ，
所以 为直线 与平面 所成的角，
记直线 与平面 所成的角为 ，由（1）知 ，所以 ，
又由题意知， ，所以 ，
又 ，所以 ，
所以 ，
所以直线 与平面 所成的角的正弦值为 .
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学科网（北京）股份有限公司解法二：由（1）知
设⃗n=(x,y,z)是平面 的一个法向量，则 ，
取 得 ，所以 ，
所以 ，
设直线 与平面 所成的角为 ，则 ，
所以直线 与平面 所成的角的正弦值为 .
10．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取 的中点 ，连接 ，推导出 平面 ，再利用线面垂直的性质定理结合
勾股定理逆定理可证得结论成立；
（2）以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系，设 ，其中 ，求出平面 的一个法向
量的坐标，利用空间向量法可得出关于 的方程，解出 的值，即可得解.
【详解】（1）取 的中点 ，连接 ， 与 交于Q点，
在底面矩形 中，易知 ，
所以 ，
因为 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
易知 ，所以 ，
由题意可知 ,
所以 ，而 相交，且 平面 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 平面 ；
（2）由上可知 ， ， ，
以点A为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系，
则A(0,0,0)、 、 、 、 ，
设平面 的法向量为⃗m=(x,y,z)，则 ， ，
则 ，取 ，则 ，
设 ，其中 ，
则 ，
因为直线 与平面 所成角的正弦值为 ，
则 ，
解得 ，即 .
11．(1)证明见解析
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学科网（北京）股份有限公司(2)
【分析】（1）取 中点 ，连接 ，根据等比三角形可得 ，由余弦定理求 长，再由
勾股定理得 ，结合面面垂直判定定理证得结论；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算分别求平面 与平面 的法向量，根据向量夹
角运算即可得二面角 的余弦值．
【详解】（1）取 中点 ，连接 ，
因为 是正三角形， 为 中点，
所以 ，且 ，
又 ，由余弦定理得 ，
则 ，故 ，
因为 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，
所以平面 平面 ；
（2）如图，连接 ，则 ，
所以 ，故 ，
如图，过 作 ，以 为原点， 所在直线为 轴，建立空间直角坐标系，
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学科网（北京）股份有限公司则 ， ， ， ，
， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，取 ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，取 ，
由图可知二面角 的平面角为钝角，
二面角 的余弦值为：
, ．
12．(1)证明见解析
(2)存在，
【分析】（1）由面面垂直的性质得到 平面 ，即可得证；
（2）由面面垂直的性质得到 平面 ，建立空间直角坐标系，设 ，利用空间向量
法得到方程，求出 的值，即可得解.
【详解】（1）由题意可知 .
因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为平面 平面 ，所以 平面 ，则 .
（2）由图1可知 .
因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，
所以 ，则 两两互相垂直，
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学科网（北京）股份有限公司故以 为坐标原点， 的方向分别为 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系：
设 ，则 ，
所以 .
设 ，则 ，从而 ，
所以 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，
令 ，得 ，
易知平面 的一个法向量为 ，
设二面角 为 ，
则 ，
即 ，整理得 ，解得 或 （舍去）.
故当 时，二面角 的余弦值为 .
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