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第 3 讲 空间向量与空间角
[考情分析] 以空间几何体为载体考查空间角是高考命题的重点．空间向量是将空间几何问
题坐标化的工具，利用空间向量求平面与平面的夹角或线面角是高考热点，通常以解答题的
形式出现，难度中等．
考点一 异面直线所成的角
核心提炼
设异面直线l，m的方向向量分别为a＝(a ，b ，c)，b＝(a ，b ，c)，异面直线l与m的夹
1 1 1 2 2 2
角为θ.
则(1)θ∈；
(2)cos θ＝|cos〈a，b〉|＝
＝.
例1 (1)(2021·全国乙卷)在正方体ABCD－ABC D 中，P为BD 的中点，则直线PB与AD
1 1 1 1 1 1 1
所成的角为( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 方法一 如图，连接C P，因为ABCD－ABC D 是正方体，且P为BD 的中点，所
1 1 1 1 1 1 1
以C P⊥BD，
1 1 1
又C P⊥BB，
1 1
BD∩BB＝B，
1 1 1 1
所以C P⊥平面BBP.
1 1
又BP⊂平面BBP，所以C P⊥BP.
1 1
连接BC ，则AD∥BC ，
1 1 1
所以∠PBC 为直线PB与AD 所成的角．
1 1
设正方体ABCD－ABC D 的棱长为2，
1 1 1 1
则在Rt△C PB中，C P＝BD＝，
1 1 1 1
BC ＝2，sin∠PBC＝＝，
1 1所以∠PBC＝.
1
方法二 以B 为坐标原点，BC ，BA ，BB所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直
1 1 1 1 1 1
角坐标系(图略)，设正方体ABCD－ABC D 的棱长为2，则B(0,0,2)，P(1,1,0)，D(2,2,0)，
1 1 1 1 1
A(0,2,2)，PB＝(－1，－1,2)，AD1＝(2,0，－2)．设直线PB与AD 所成的角为θ，则cos θ＝
1
＝＝.因为θ∈，
所以θ＝.
方法三 如图所示，连接BC ，AB，AP，PC ，则易知AD∥BC ，所以直线PB与AD 所
1 1 1 1 1 1 1
成的角等于直线PB与BC 所成的角．根据P为正方形ABC D 的对角线BD 的中点，易知
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A ，P，C 三点共线，且P为AC 的中点．易知AB＝BC ＝AC ，所以△ABC 为等边三角
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形，所以∠ABC ＝，又P为AC 的中点，所以可得∠PBC＝∠ABC ＝.
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(2)(2022·河南名校联盟联考)在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”
的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形(扇环是指圆环被扇形截得的部分)．
现有一个如图所示的曲池，它的高为 2，AA ，BB ，CC ，DD 均与曲池的底面垂直，底面
1 1 1 1
扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为90°，则图中异面直线AB 与CD 所
1 1
成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 设上底面圆心为O，下底面圆心为O，连接OO ，OC，OB，OC ，OB，
1 1 1 1 1 1
以O为原点，分别以OC，OB，OO 所在直线为x轴、y轴、
1
z轴建立空间直角坐标系，则C(1,0,0)，A(0,2,0)，
B(0,1,2)，D(2,0,2)，
1 1
则CD1＝(1,0,2)，
AB1＝(0，－1,2)，
cos〈CD1，AB1〉＝＝＝，
又异面直线所成角的范围为，
所以异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为.
1 1
规律方法 平移线段法求异面直线所成角的步骤
(1)平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角．
(2)认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角或其补角．
(3)计算：求该角的值(常利用解三角形)．
(4)取舍：由异面直线所成的角的范围确定两条异面直线所成的角．
跟踪演练1 (1)(2022·南宁模拟)在正方体ABCD－ABC D 中，O为平面AABB的中心，O
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为平面ABC D 的中心．若E为CD中点，则异面直线AE与OO 所成角的余弦值为( )
1 1 1 1 1
A. B.
C. D.
答案 B
解析 设正方体的棱长为2，以D为坐标原点，DA，DC，DD 所在直线分别为x轴、y轴、
1
z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则
A(2,0,0)，E(0,1,0)，
O(2,1,1)，O(1,1,2)，
1
AE＝(－2,1,0)，OO1＝(－1,0,1)，
设异面直线AE与OO 所成角为θ，
1
则cos θ＝＝＝.
则异面直线AE与OO 所成角的余弦值为.
1
(2)(2022·广东联考)如图，在三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝CA＝CB＝5，AB＝PC＝2，点
D，E分别为AB，PC的中点，则异面直线PD，BE所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 如图，连接CD，取CD的中点F，连接EF，BF，则EF∥PD，∠BEF为异面直线
PD，BE所成的角．
由题意可知PD＝CD＝BE＝2，EF＝，BF＝＝，
所以cos∠BEF＝＝.
考点二 直线与平面所成的角
核心提炼
设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，
则(1)θ∈；(2)sin θ＝|cos〈a，n〉|＝.
例2 (2022·全国甲卷)在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，CD∥AB，AD＝DC＝CB
＝1，AB＝2，DP＝.(1)证明：BD⊥PA；
(2)求PD与平面PAB所成角的正弦值．
(1)证明 在四边形ABCD中，作DE⊥AB于点E，CF⊥AB于点F，如图．
因为CD∥AB，AD＝CD＝CB＝1，
AB＝2，
所以四边形ABCD为等腰梯形，
所以AE＝BF＝，
故DE＝，
BD＝＝，
所以AD2＋BD2＝AB2，
所以AD⊥BD.
因为PD⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
所以PD⊥BD，
又PD∩AD＝D，PD，AD⊂平面PAD，
所以BD⊥平面PAD.
又因为PA⊂平面PAD，
所以BD⊥PA.
(2)解 由(1)知，DA，DB，DP两两垂直，
如图，以D为原点建立空间直角坐标系，
则D(0,0,0)，A(1,0,0)，
B(0，，0)，P(0,0，)，
则AP＝(－1,0，)，
BP＝(0，－，)，
DP＝(0,0，)．
设平面PAB的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则有即可取n＝(，1,1)，
则cos〈n，DP〉＝＝，
所以PD与平面PAB所成角的正弦值为.
易错提醒 (1)线面角θ与直线的方向向量a和平面的法向量n所成的角〈a，n〉的关系是
〈a，n〉＋θ＝或〈a，n〉－θ＝，所以应用向量法求的是线面角的正弦值，而不是余弦值．
(2)利用方程思想求法向量，计算易出错，要认真细心．
跟踪演练 2 (2022·龙岩质检)如图，在四棱锥 P－ABCD中，底面 ABCD为直角梯形，
AD∥BC，AD⊥DC，PA＝PD＝PB，BC＝DC＝AD＝2，E为AD的中点，且PE＝4.
(1)求证：PE⊥平面ABCD；
(2)记PE的中点为N，若M在线段BC上，且直线MN与平面PAB所成角的正弦值为，求线
段BM的长度．
(1)证明 连接BE，
∵BC＝AD＝DE＝2，AD∥BC，
∴四边形BCDE为平行四边形，
∴BE＝CD＝2，
∵PA＝PD且E为AD的中点，∴PE⊥AD，
∴PD＝＝＝2，
∴PB＝PD＝2，
∴PE2＋BE2＝PB2，即PE⊥BE，
又∵AD∩BE＝E，AD，BE⊂平面ABCD，
∴PE⊥平面ABCD.
(2)解 以E为原点，EA为x轴，EB为y轴，EP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2,0,0)，B(0,2,0)，C(－2,2,0)，P(0,0,4)，
∴AB＝(－2,2,0)，PB＝(0,2，－4)，
设平面PAB的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则即
故可取n＝(2,2,1)，
设BM＝t(t∈[0,2])，
则M(－t，2,0)，而N(0,0,2)，
∴MN＝(t，－2,2)，
设直线MN与平面PAB所成的角为θ，
则sin θ＝＝
＝＝，
化简得11t2－24t＋4＝0，
解得t＝2或t＝，满足t∈[0,2]，
故线段BM的长度为2或.
考点三 平面与平面的夹角
核心提炼
设平面α，β的法向量分别为u，v，平面α与平面β的夹角为θ，
则(1)θ∈；
(2)cos θ＝|cos〈u，v〉|＝.
例3 (2022·新高考全国Ⅱ改编)如图，PO是三棱锥P－ABC的高，PA＝PB，AB⊥AC，E为
PB的中点．
(1)证明：OE∥平面PAC；
(2)若∠ABO＝∠CBO＝30°，PO＝3，PA＝5，求平面CAE与平面AEB夹角的正弦值．(1)证明 如图，取AB的中点D，连接DP，DO，DE.
因为AP＝PB，所以PD⊥AB.
因为PO为三棱锥P－ABC的高，
所以PO⊥平面ABC.
因为AB⊂平面ABC，所以PO⊥AB.
又PO，PD⊂平面POD，且PO∩PD＝P，
所以AB⊥平面POD.
因为OD⊂平面POD，所以AB⊥OD，
又AB⊥AC，AB，OD，AC⊂平面ABC，
所以OD∥AC.
因为OD⊄平面PAC，AC⊂平面PAC，
所以OD∥平面PAC.
因为D，E分别为BA，BP的中点，
所以DE∥PA.
因为DE⊄平面PAC，PA⊂平面PAC，
所以DE∥平面PAC.
又OD，DE⊂平面ODE，OD∩DE＝D，
所以平面ODE∥平面PAC.
又OE⊂平面ODE，所以OE∥平面PAC.
(2)解 连接OA，因为PO⊥平面ABC，OA，
OB⊂平面ABC，
所以PO⊥OA，PO⊥OB，
所以OA＝OB＝＝＝4.
易得在△AOB中，∠OAB＝∠ABO＝30°，
所以OD＝OAsin 30°＝4×＝2，
AB＝2AD＝2OAcos 30°＝2×4×＝4.
又∠ABC＝∠ABO＋∠CBO＝60°，
所以在Rt△ABC中，
AC＝ABtan 60°＝4×＝12.
以A为坐标原点，AB，AC所在直线分别为x，y轴，以过A且垂直于平面ABC的直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则A(0,0,0)，B(4，0,0)，C(0,12,0)，
P(2，2,3)，E，
所以AE＝，AB＝(4，0,0)，
AC＝(0,12,0)．
设平面CAE的法向量为n＝(x，y，z)，
则
即
令z＝2，则n＝(－1,0,2)．
设平面AEB的法向量为m＝(x，y，z)，
1 1 1
则
即
令z＝2，则m＝(0，－3,2)，
1
设平面CAE与平面AEB夹角为θ，
则cos θ＝|cos〈n，m〉|＝＝.
所以sin θ＝＝.
所以平面CAE与平面AEB夹角的正弦值为.
易错提醒 平面与平面的夹角的范围是，两向量夹角的范围是[0，π]，两平面的夹角与其对
应的两法向量的夹角不一定相等，而是相等或互补．
跟踪演练 3 (2022·邯郸模拟)如图，在四棱锥 P－ABCD中，PA＝AB＝AD＝2，四边形
ABCD为平行四边形，∠ABC＝，PA⊥平面ABCD，E，F分别是BC，PC的中点．
(1)证明：平面AEF⊥平面PAD.
(2)求平面AEF与平面AED夹角的余弦值．
(1)证明 连接AC(图略)．因为PA⊥平面ABCD，
所以PA⊥AE，
又因为AB＝AD，且四边形ABCD为平行四边形，∠ABC＝，所以△ABC为等边三角形．
又因为E为BC的中点，所以AE⊥BC，
又因为AD∥BC，所以AE⊥AD，
因为PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD，
所以AE⊥平面PAD，
又AE⊂平面AEF，
所以平面AEF⊥平面PAD.
(2)解 以A为原点，AE，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
如图所示，
则P(0,0,2)，E(，0,0)，F，
AE＝(，0,0)，AF＝，
因为PA⊥平面AED，
所以n＝(0,0,1)是平面AED的一个法向量．
设平面AEF的一个法向量为m＝(x，y，z)，
则
即
令z＝1，得x＝0，y＝－2，
即m＝(0，－2,1)．
设平面AEF与平面AED夹角为θ，
则cos θ＝＝＝＝，
所以平面AEF与平面AED夹角的余弦值为.
专题强化练
一、单项选择题
1．A，B，C三点不共线，对空间内任意一点O，若OP＝OA＋OB＋OC，则P，A，B，C四点(
)
A．一定不共面
B．一定共面C．不一定共面
D．无法判断是否共面
答案 B
解析 方法一 因为OP＝OA＋OB＋OC，
则OP－OA＝－OA＋OB＋OC，
即OP－OA＝OB－OA)＋(OC－OA)，
即AP＝AB＋AC，
由空间向量共面定理可知，AP，AB，AC共面，
则P，A，B，C四点一定共面．
方法二 因为＋＋＝1，由空间向量共面定理的推论知，P，A，B，C四点共面．
2．(2022·温州模拟)在四棱台ABCD－ABC D 中，侧棱AA 与底面垂直，上、下底面均为矩
1 1 1 1 1
形，AB＝1，AD＝AA＝AB＝2，则下列各棱中最长的是( )
1 1 1
A．BB B．BC
1 1 1
C．CC D．DD
1 1
答案 B
解析 由四棱台ABCD－ABC D 可得
1 1 1 1
＝＝，
故AD＝4.
1 1
因为AA⊥平面ABC D，
1 1 1 1 1
而AD，AB⊂平面ABC D，
1 1 1 1 1 1 1 1
故AA⊥AD，AA⊥AB，而AD⊥AB，故可建立如图所示的空间直角坐标系．
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
故A(0,0,0)，B(0,1,2)，B(0,2,0)，C (－4,2,0)，C(－2,1,2)，D(－2,0,2)，D(－4,0,0)，
1 1 1 1
故BB＝|BB1|＝＝，
1
BC ＝|B1C1|＝4，
1 1
CC ＝|CC1|＝＝3，
1
DD ＝|DD1|＝＝2，结合选项知棱BC 最长．
1 1 1
3.如图，在正四棱柱ABCD－ABC D 中，AA ＝2AD，E为侧棱DD 上一点，若直线BD∥
1 1 1 1 1 1 1
平面AEC，则二面角E－AC－B的正切值为( )A. B．－
C. D．－
答案 B
解析 如图，连接BD交AC于点F，连接EF，BD，
1 1
由题意可知，BD∥EF，
1
因为F为BD的中点，
所以E为DD 的中点，
1
又AC⊥平面BDD B，
1 1
BD，EF⊂平面BDD B，
1 1
所以EF⊥AC，BD⊥AC，
则∠EFD为二面角E－AC－D的平面角，
设AD＝a，则ED＝a，DF＝a，
在Rt△EFD中，tan∠EFD＝＝，
又二面角E－AC－B与二面角E－AC－D互补，
所以二面角E－AC－B的正切值为－.
4．(2022·菏泽检测)已知三棱柱ABC－ABC 的底面是边长为2的等边三角形，侧棱长为
1 1 1
3，A 在底面ABC上的射影点D为BC的中点，则异面直线AB与CC 所成角的大小为( )
1 1
A. B. C. D.
答案 C
解析 如图，连接AD，AD，AB，由CC ∥AA，
1 1 1 1
知∠AAB为异面直线AB与CC 所成的角，
1 1因为三棱柱ABC－ABC 的底面是边长为2的等边三角形，且侧棱长为3，A 在底面ABC上
1 1 1 1
的射影点D为BC的中点，
可得AD＝＝，AD＝＝，
1
AB＝＝，
1
由余弦定理得
cos∠AAB＝＝，
1
因为∠AAB∈，
1
所以∠AAB＝，
1
所以异面直线AB与CC 所成角的大小为.
1
5．(2022·全国甲卷)在长方体ABCD－ABC D 中，已知BD与平面ABCD和平面AABB所
1 1 1 1 1 1 1
成的角均为30°，则( )
A．AB＝2AD
B．AB与平面ABC D所成的角为30°
1 1
C．AC＝CB
1
D．BD与平面BBC C所成的角为45°
1 1 1
答案 D
解析 如图，连接BD，易知∠BDB 是直线BD与平面ABCD所成的角，
1 1
所以在Rt△BDB 中，∠BDB ＝30°，
1 1
设BB＝1，
1
则BD＝2BB＝2，
1 1
BD＝＝.
易知∠ABD是直线BD与平面AABB所成的角，
1 1 1 1
所以在Rt△ADB 中，∠ABD＝30°.
1 1
因为BD＝2，所以AD＝BD＝1，
1 1
AB＝＝，
1
所以在Rt△ABB 中，AB＝＝，
1
所以A项错误；
易知∠BAB 是直线AB与平面ABC D所成的角，
1 1 1
因为在Rt△ABB 中，sin∠BAB＝＝≠，
1 1所以∠BAB≠30°，所以B项错误；
1
在Rt△CBB 中，CB ＝＝，
1 1
而AC＝＝，所以C项错误；
易知∠DBC是直线BD与平面BBC C所成的角，因为在Rt△DBC中，CB ＝CD＝，
1 1 1 1 1 1
所以∠DBC＝45°，所以D项正确．
1
6．向量的运算包含点乘和叉乘，其中点乘就是大家熟悉的向量的数量积．现定义向量的叉
乘：给定两个不共线的空间向量a与b，规定：①a×b为同时与a，b垂直的向量；②a，
b，a×b三个向量构成右手直角坐标系(如图1)；③＝sin〈a，b〉；④若a＝(x ，y ，z)，b
1 1 1
＝(x ，y ，z)，则a×b＝，其中＝ad－bc.如图2，在长方体ABCD－ABC D 中，AB＝AD
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＝2，AA＝3，则下列结论正确的是( )
1
A．|AB×AD|＝|AA1|
B.AB×AD＝AD×AB
C．(AB－AD)×AA1＝AB×AA1－AD×AA1
D．长方体ABCD－ABC D 的体积V＝(AB×AD)·C1C
1 1 1 1
答案 C
解析 如图，建立空间直角坐标系，
则D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，B(2,2,0)，
A(2,0,3)，C (0,2,3)，
1 1
AB＝(0,2,0)，AD＝(－2,0,0)，AA1＝(0,0,3)，
则AB×AD＝(0,0,4)，所以选项A错误；
AD×AB＝(0,0，－4)，故选项B错误；
AB－AD＝DB＝(2,2,0)，则(AB－AD)×AA1＝(6，－6,0)，
AB×AA1＝(6,0,0)，AD×AA1＝(0,6,0)，
则AB×AA1－AD×AA1＝(6，－6,0)．
所以(AB－AD)×AA1＝AB×AA1－AD×AA1，故选项C正确；
C1C＝(0,0，－3)，则(AB×AD)·C1C＝－12，故选项D错误．
二、多项选择题
7．(2022·山东联考)若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是( )
A．a＋b＋c，a－b，2b＋c
B．a－b，a－c，b－c
C．a＋2b，a－2b，a＋c
D．a－2b，6b－3a，－c
答案 ABD
解析 选项A，
因为a＋b＋c＝(a－b)＋(2b＋c)，
所以a＋b＋c，a－b，2b＋c共面；
选项B，因为a－b＝(a－c)－(b－c)，
所以a－b，a－c，b－c共面；
选项C，a＋2b，a－2b在a，b构成的平面内且不共线，a＋c不在这个平面内，不符合题意；
选项D，因为a－2b，6b－3a共线，
所以a－2b，6b－3a，－c共面．
8．(2022·广州模拟)在长方体ABCD－ABC D 中，AB＝2，AA ＝3，AD＝4，则下列命题为
1 1 1 1 1
真命题的是( )
A．若直线AC 与直线CD所成的角为φ，则tan φ＝
1
B．若经过点A的直线l与长方体所有棱所成的角相等，且 l与平面BCC B 交于点M，则
1 1
AM＝
C．若经过点A的直线m与长方体所有面所成的角都为θ，则sin θ＝
D．若经过点A的平面β与长方体所有面所成的二面角都为μ，则sin μ＝
答案 ACD
解析 对于A，如图，直线AC 与直线CD所成的角，即为直线AC 与直线AB所成的角即
1 1
∠BAC，
1
则tan φ＝tan∠BAC＝＝，正确；
1对于B，构建如图所示的空间直角坐标系，过A的直线l与长方体所有棱所成的角相等，与
平面BCC B 交于M(x，2，z)且x，z>0，
1 1
则AM＝(x，2，z)，
又AA1＝(0,0,3)，
AB＝(0,2,0)，
AD＝(4,0,0)，
则cos〈AA1，AM〉＝
＝cos〈AB，AM〉＝
＝cos〈AD，AM〉＝，
故x＝z＝2，则AM＝2，错误；
对于C，如图，过A的直线m与长方体所有面所成的角都为θ，则直线m为以4为棱长的正
方体的体对角线AP，故sin θ＝，正确；
对于D，如图，过A的平面β与长方体所有面所成的二面角都为μ，只需平面β与以4为棱
长的正方体中相邻的三条棱顶点所在平面平行，如平面 EDF，故cos μ＝，则sin μ＝，正
确．三、填空题
9．在空间直角坐标系中，设点M是点N(2，－3,5)关于坐标平面Oxy的对称点，点P(1,2,3)
关于x轴的对称点为Q，则线段MQ的长度等于________．
答案
解析 因为点M是点N(2，－3,5)关于坐标平面Oxy的对称点，所以M(2，－3，－5)，
又因为点P(1,2,3)关于x轴的对称点为Q，
所以Q(1，－2，－3)．
因此|MQ|＝|MQ|＝＝.
10.如图，矩形ABCD是圆柱OO 的轴截面，AB＝2，AD＝3，点E在上底面圆周上，且EC
1 2
＝2DE，则异面直线AE与OC所成角的余弦值为________．
2
答案
解析 以O 为坐标原点，OB，OO 所在直线分别为y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐
2 2 2 1
标系，
则O(0,0,0)，A(0，－1,0)，C(0,1,3)，E，
2
故AE＝，O2C＝(0,1,3)，
故cos〈AE，O2C〉＝
＝＝，
故异面直线AE与OC所成角的余弦值为.
2
11.如图，在二面角的棱上有两个点A，B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个面内，并
且都垂直于棱AB，若AB＝1，AC＝2，BD＝3，CD＝2，则这个二面角的大小为________．
答案 60°
解析 设这个二面角的大小为α，由题意得CD＝CA＋AB＋BD，
∴CD2＝CA2＋AB2＋BD2＋2|CA|·|BD|cos(π－α)，
∴(2)2＝4＋1＋9－2×2×3×cos α，
解得cos α＝，∴α＝60°，
∴这个二面角的大小为60°.
12．(2022·南通模拟)已知正六棱柱ABCDEF－ABC DEF 的底面边长为1，P是正六棱柱
1 1 1 1 1 1
内(不含表面)的一点，则AP·AB的取值范围是________．
答案
解析 建立如图所示的空间直角坐标系，
且AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝AF＝1，
由正六边形的性质可得，
A(0,0,0)，B(1,0,0)，
F，
C，
设P(x，y，z)，其中－0)，
则G，AG＝，
DG＝，
因为点A在平面PCD内的射影恰好是△PCD的重心G，所以AG⊥平面PCD，
又DG⊂平面PCD，所以DG⊥AG，所以DG·AG＝0，
所以0－＋＝0，t＝，
则P(0,0，)，
BC＝(0,1,0)，PB＝(1,0，－)，
设m＝(x，y，z)是平面PBC的法向量，
则
即
不妨令x＝，即m＝(，0,1)，
DG的方向向量是DG＝，
设直线DG与平面PBC所成角为θ，
则sin θ＝|cos〈m，DG〉|＝
＝＝.
故直线DG与平面PBC所成角的正弦值为.
