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专题三 立体几何
微专题2 截面与动态问题
一、考点透析
考点1 截面问题
1.(2025·江苏省·模拟题)如图，ABC −A ′ B′ C ′为直三棱柱，用一个平行于底面ABC的平
面α截此三棱柱，记下列三个三棱锥A ′ −ABC，A ′ −BCB′，A ′ −B′ C ′ C在平面α上方
的部位体积为V 1，V 2，V 3，并记三个三棱锥被平面α截得的面积分别为S1，S2，S3，那么
当V 1+V 3=2V 2时，
S1
S2
=( )
A. 1
3
B. 1
2
C. 1
D. 3
2
2.(2025· 山东省青岛市· 模拟题) 在正四棱台ABCD−A1B1C1 D1中，AB =2 A1B1，
A A1=2
√3，M为棱B1C1
的中点，当正四棱台的体积最大时，平面MBD截该正四棱台的
截面面积是
A. 5
√3
4
B. 15
√3
2
C. 10
√3
D. 6
√2
3.（2025·咸阳模拟）如图，在棱长为2 的正四面体ABCD 中，M，N 分别为棱AD，BC 的中
点，O 为线段MN 的中点，球O 的表面与线段AD 相切于点M，则球O 被正四面体ABCD 表
面截得的截面周长为 .
考点2 动态问题
1.(2025·福建省·月考)如图，棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1 D1，O为底面AC的中心，
点P在侧面BC1内运动且D1O⊥OP，则点P到底面AC的距离与它到点B的距离之和的最
小值是( )
A. 8
5
B. 12
5
C. √5
D. 2
√2
2.(2025·湖南省·单元测试)如图，在棱长为5的正方体ABCD−A ′ B′ C ′ D′中，M是侧面
ADD′ A ′上的一个动点，点P为线段CC ′上，且|PC ′|=2,则以下命题正确的是( )(动点
的轨迹：指动点运动所形成的图形)
A. 沿正方体的表面从点A到点P的最短距离是 √109
B. 保持PM与BD′垂直时，点M的轨迹长度为3
√2
C. 若保持|PM|=
√26，则M的轨迹长度为4
3 π
D. 平面AD′ P被正方体ABCD−A ′ B′ C ′ D′截得截面为直角梯形
3. （多选题）(2025· 内蒙古自治区呼和浩特市· 模拟) 如图，棱长为2的正方体
ABCD−A1B1C1 D1，O为底面ABCD的中心，E为棱C C1的中点，M是线段A1 D上的
动点，P为平面A1C1 D内的动点，则下列说法正确的是( )．
A. OE //平面A1C1 D
B. OE⊥A1 D
C. OM + M C1的最小值为 √14
D. OP的最小值为2
√3
3
二、跟踪练习
1.（2025·宁波质检）已知四棱锥P-ABCD 中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD 是正方形，且PA
＝AB，点E 是PD 的中点，点F 是棱PC 上的点且PF＝2FC，则平面BEF 截四棱锥P-ABCD 所
得的截面图形是（ ）
A.斜三角形
B.梯形
C.平行四边形
D.两组对边均不平行的四边形
2.已知正四面体ABCD 的棱长为2，平面α 与棱AB，CD 均平行，则α 截此正四面体所得截
面面积的最大值为( )
A．1
B．❑√2
C．❑√3
D．2
3.（多选题）(2025·山东省济宁市·模拟)在棱长为2正方体ABCD−A1B1C1 D1中，E为
AB的中点，F是侧面B B1C1C内的一点(包含边界)，则以下结论正确的是( )
A. 若| AF |=
√5，则F的轨迹长度为π
2
B. EF与A1 D所成角的最大值为π
3
C. 若三棱锥A1−≝¿的体积为定值，则EF ⊥B D1
D. 若F在线段C C1
上，则三棱锥A −B B1 F的外接球表面积的取值范围是[
41π
4
,12π]
4.(2025·江西宜春模拟)如图，在四面体ABCD 中，△ABC 和△ACD 均是边长为6 的等边三
角形，DB＝9，则四面体ABCD 外接球的表面积为________；点E 是线段AD 的中点，点F
在四面体ABCD 的外接球上运动，且始终保持EF⊥AC，则点F 的轨迹的长度为_________．
5.(2025·山西省·模拟)如图所示，在三棱锥A −BCD中，AB =CD，AC = AD = BC = BD，
BC =2 AB，点E，F，G分别在棱BC，AC，AD上运动，且AB//平面EFG，CD //平
面EFG，M，N分别是线段CD和AB的中点．
(1)证明：直线MN ⊥平面EFG；
(2)当三角形EFG面积的最大值为1
2
时，求三棱锥A −BCD的体积．
