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第 7 讲 动量
命题规律 1.命题角度：(1)动量定理及应用；(2)动量守恒定律及应用；(3)碰撞模型及拓展.
2.常用方法：柱状模型法.3.常考题型：选择题、计算题．
考点一 动量定理及应用
1．冲量的三种计算方法
公式法 I＝Ft适用于求恒力的冲量
动量定理法 多用于求变力的冲量或F、t未知的情况
F－t图线与时间轴围成的面积表示力的冲量．若F－t成线性关系，
图像法
也可直接用平均力求解
2．动量定理
(1)公式：FΔt＝mv′－mv
(2)应用技巧
①研究对象可以是单一物体，也可以是物体系统．
②表达式是矢量式，需要规定正方向．
③匀变速直线运动，如果题目不涉及加速度和位移，用动量定理比用牛顿第二定律求解更简
捷．
④在变加速运动中F为Δt时间内的平均冲力．
⑤电磁感应问题中，利用动量定理可以求解时间、电荷量或导体棒的位移．
3．流体作用的柱状模型
对于流体运动，可沿流速v的方向选取一段柱形流体，设在极短的时间Δt内通过某一截面
积为S的横截面的柱形流体的长度为Δl，如图所示．设流体的密度为ρ，则在Δt的时间内
流过该横截面的流体的质量为Δm＝ρSΔl＝ρSvΔt，根据动量定理，流体微元所受的合外力的
冲量等于该流体微元动量的变化量，即FΔt＝ΔmΔv，分两种情况：(以原来流速v的方向为
正方向)
(1)作用后流体微元停止，有Δv＝－v，代入上式有F＝－ρSv2；
(2)作用后流体微元以速率v反弹，有Δv＝－2v，代入上式有F＝－2ρSv2.
例1 (多选)(2022·广东梅州市一模)如图所示，学生练习用脚顺球．某一次足球由静止自由
下落1.25 m，被重新顺起，离开脚部后竖直上升的最大高度仍为1.25 m．已知足球与脚部的
作用时间为0.1 s，足球的质量为0.4 kg，重力加速度大小g取10 m/s2，不计空气阻力，则(
)A．足球下落到与脚部刚接触时动量大小为2 kg·m/s
B．足球自由下落过程重力的冲量大小为4 kg·m/s
C．足球与脚部作用过程中动量变化量为零
D．脚部对足球的平均作用力为足球重力的11倍
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例2 (2022·湖南衡阳市一模)飞船在进行星际飞行时，使用离子发动机作为动力，这种发动
机工作时，由电极发射的电子射入稀有气体(如氙气)，使气体离子化，电离后形成的离子由
静止开始在电场中加速并从飞船尾部高速连续喷出，利用反冲使飞船本身得到加速．已知一
个氙离子质量为m，电荷量为q，加速电压为U，飞船单位时间内向后喷射出的氙离子的个
数为N，从飞船尾部高速连续喷出氙离子的质量远小于飞船的质量，则飞船获得的反冲推力
大小为( )
A． B．
C．N D．N
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考点二 动量守恒定律及应用
1．判断守恒的三种方法
(1)理想守恒：不受外力或所受外力的合力为0，如光滑水平面上的板－块模型、电磁感应中
光滑导轨上的双杆模型．
(2)近似守恒：系统内力远大于外力，如爆炸、反冲．
(3)某一方向守恒：系统在某一方向上不受外力或所受外力的合力为 0，则在该方向上动量守
恒，如滑块－斜面(曲面)模型．
2．动量守恒定律的三种表达形式
(1)mv＋mv＝mv′＋mv′，作用前的动量之和等于作用后的动量之和(常用)．
1 1 2 2 1 1 2 2
(2)Δp＝－Δp，相互作用的两个物体动量的增量等大反向．
1 2
(3)Δp＝0，系统总动量的增量为零．
例3 (2022·广东省模拟)如图所示，在平静的水面上有A、B两艘小船，A船的左侧是岸，
在B船上站着一个人，人与B船的总质量是A船的10倍．两船开始时都处于静止状态，当B船上的人把A船以相对于地面v的速度向左推出，A船到达岸边时岸上的人马上以两倍原
速率将A船推回，B船上的人接到A船后，再次把它以速度v向左推出……直到B船上的人
不能再接到A船，忽略水的阻力，则B船上的人最多可以推船的次数为( )
A．8 B．7 C．6 D．9
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例4 (2022·湖南岳阳市二模)如图所示，质量均为m的木块A和B，并排放在光滑水平面上，
A上固定一竖直轻杆，轻杆上端的O点系一长为L的细线，细线另一端系一质量为m 的球
0
C，现将球C拉起使细线水平伸直，并由静止释放球C，则下列说法不正确的是(重力加速度
为g)( )
A．A、B两木块分离时，A、B的速度大小均为
B．A、B两木块分离时，C的速度大小为2
C．球C由静止释放到最低点的过程中，A对B的弹力的冲量大小为2m
0
D．球C由静止释放到最低点的过程中，木块A移动的距离为
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考点三 碰撞模型及拓展
1．碰撞问题遵循的三条原则
(1)动量守恒：p＋p＝p′＋p′.
1 2 1 2
(2)动能不增加：E ＋E ≥E ′＋E ′.
k1 k2 k1 k2
(3)速度要符合实际情况：若碰后同向，后方物体速度不大于前方物体速度．
2．两种碰撞特点
(1)弹性碰撞
两球发生弹性碰撞时应满足动量守恒定律和机械能守恒定律．
以质量为m、速度为v 的小球与质量为m 的静止小球发生弹性正碰为例，有
1 1 2
mv＝mv′＋mv′
1 1 1 1 2 2
mv2＝mv′2＋mv′2
1 1 1 1 2 2
解得v′＝，v′＝.
1 2
结论：
①当m＝m 时，v′＝0，v′＝v，两球碰撞后交换了速度．
1 2 1 2 1②当m＞m 时，v′>0，v′>0，碰撞后两球都沿速度v 的方向运动．
1 2 1 2 1
③当m＜m 时，v′<0，v′>0，碰撞后质量小的球被反弹回来．
1 2 1 2
④当m≫m 时，v′＝v，v′＝2v.
1 2 1 1 2 1
(2)完全非弹性碰撞
动量守恒、末速度相同：m
1
v
1
＋m
2
v
2
＝(m
1
＋m
2
)v共 ，机械能损失最多，机械能的损失：ΔE＝
m
1
v
1
2＋m
2
v
2
2－(m
1
＋m
2
)v共 2.
3．碰撞拓展
(1)“保守型”碰撞拓展模型
图例(水平
面光滑)
小球－弹簧模型 小球－曲面模型
相当于完全非弹性碰撞，系统水平方向动量守恒，满足mv＝(m＋M)v
0
达到共速
，损失的动能最大，分别转化为弹性势能、重力势能或电势能
共
相当于弹性碰撞，系统水平方向动量守恒，满足mv＝mv＋Mv，能量
0 1 2
再次分离
满足mv2＝mv2＋Mv2
0 1 2
(2)“耗散型”碰撞拓展模型
图例(水平
面或水平
导轨光滑)
相当于完全非弹性碰撞，动量满足mv
0
＝(m＋M)v共 ，损失的动能最
达到共速
大，分别转化为内能或电能
例5 (2022·湖南卷·4)1932年，查德威克用未知射线轰击氢核，发现这种射线是由质量与质
子大致相等的中性粒子(即中子)组成．如图，中子以速度v 分别碰撞静止的氢核和氮核，碰
0
撞后氢核和氮核的速度分别为v 和v.设碰撞为弹性正碰，不考虑相对论效应，下列说法正
1 2
确的是( )
A．碰撞后氮核的动量比氢核的小
B．碰撞后氮核的动能比氢核的小
C．v 大于v
2 1
D．v 大于v
2 0
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____________________________________________________________________________例6 (多选)(2022·河南省名校联盟二模)如图所示，竖直放置的半圆形轨道与水平轨道平滑
连接，不计一切摩擦．圆心O点正下方放置为2m的小球A，质量为m的小球B以初速度v
0
向左运动，与小球A发生弹性碰撞．碰后小球A在半圆形轨道运动时不脱离轨道，则小球B
的初速度v 可能为(重力加速度为g)( )
0
A．2 B.
C．2 D.
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例7 (多选)(2022·河北邢台市高三期末)如图所示，在足够大的光滑水平面上停放着装有光
滑弧形槽的小车，弧形槽的底端切线水平，一小球以大小为v 的水平速度从小车弧形槽的
0
底端沿弧形槽上滑，恰好能到达弧形槽的顶端．小车与小球的质量均为m，重力加速度大小
为g，不计空气阻力．下列说法正确的是( )
A．弧形槽的顶端距底端的高度为
B．小球离开小车后，相对地面做自由落体运动
C．在小球沿小车弧形槽滑行的过程中，小车对小球做的功为mv2
0
D．在小球沿小车弧形槽滑行的过程中，合力对小车的冲量大小为mv
0
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例8 (2022·全国乙卷·25)如图(a)，一质量为m的物块A与轻质弹簧连接，静止在光滑水平
面上；物块B向A运动，t＝0时与弹簧接触，到t＝2t 时与弹簧分离，第一次碰撞结束，
0
A、B 的 v－t 图像如图(b)所示．已知从 t＝0 到 t＝t 时间内，物块 A 运动的距离为
0
0.36vt.A、B分离后，A滑上粗糙斜面，然后滑下，与一直在水平面上运动的B再次碰撞，
00
之后A再次滑上斜面，达到的最高点与前一次相同．斜面倾角为θ(sin θ＝0.6)，与水平面光
滑连接．碰撞过程中弹簧始终处于弹性限度内．求
(1)第一次碰撞过程中，弹簧弹性势能的最大值；(2)第一次碰撞过程中，弹簧压缩量的最大值；
(3)物块A与斜面间的动摩擦因数．
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1．(2022·广西北海市一模)一辆总质量为M(含人和沙包)的雪橇在水平光滑冰面上以速度v
匀速行驶．雪橇上的人每次以相同的速度3v(对地速度)向行驶的正前方抛出一个质量为m的
沙包．抛出第一个沙包后，车速减为原来的.下列说法正确的是( )
A．每次抛出沙包前后，人的动量守恒
B．雪橇有可能与拋出的沙包发生碰撞
C．雪橇的总质量M与沙包的质量m满足M∶m＝12∶1
D．拋出第四个沙包后雪橇会后退
2．(2022·江苏无锡市普通高中高三期末)如图所示，质量为M＝100 g的木板左端是一半径为
R＝10 m的光滑圆弧轨道，轨道右端与木板上表面在B处水平相连．质量为m＝80 g的木块
1
置于木板最右端A处．一颗质量为m ＝20 g的子弹以大小为v ＝100 m/s的水平速度沿木块
2 0
的中心轴线射向木块，最终留在木块中没有射出．已知子弹打进木块的时间极短，木板上表
面水平部分长度为L＝10 m，木块与木板间的动摩擦因数μ＝0.5，重力加速度g＝10 m/s2.
(1)求子弹打进木块过程中系统损失的机械能；
(2)若木板固定，求木块刚滑上圆弧时对圆弧的压力；
(3)若木板不固定，地面光滑，求木块上升的最大高度．
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