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第 3 讲 空间向量与空间角
[考情分析] 以空间几何体为载体考查空间角是高考命题的重点．空间向量是将空间几何问
题坐标化的工具，利用空间向量求平面与平面的夹角或线面角是高考热点，通常以解答题的
形式出现，难度中等．
考点一 异面直线所成的角
核心提炼
设异面直线l，m的方向向量分别为a＝(a ，b ，c)，b＝(a ，b ，c)，异面直线l与m的夹
1 1 1 2 2 2
角为θ.
则(1)θ∈；
(2)cos θ＝|cos〈a，b〉|＝
＝.
例1 (1)(2021·全国乙卷)在正方体ABCD－ABC D 中，P为BD 的中点，则直线PB与AD
1 1 1 1 1 1 1
所成的角为( )
A. B. C. D.
(2)(2022·河南名校联盟联考)在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”
的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形(扇环是指圆环被扇形截得的部分)．
现有一个如图所示的曲池，它的高为 2，AA ，BB ，CC ，DD 均与曲池的底面垂直，底面
1 1 1 1
扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为90°，则图中异面直线AB 与CD 所
1 1
成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
规律方法 平移线段法求异面直线所成角的步骤
(1)平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角．
(2)认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角或其补角．
(3)计算：求该角的值(常利用解三角形)．
(4)取舍：由异面直线所成的角的范围确定两条异面直线所成的角．跟踪演练1 (1)(2022·南宁模拟)在正方体ABCD－ABC D 中，O为平面AABB的中心，O
1 1 1 1 1 1 1
为平面ABC D 的中心．若E为CD中点，则异面直线AE与OO 所成角的余弦值为( )
1 1 1 1 1
A. B.
C. D.
(2)(2022·广东联考)如图，在三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝CA＝CB＝5，AB＝PC＝2，点
D，E分别为AB，PC的中点，则异面直线PD，BE所成角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
考点二 直线与平面所成的角
核心提炼
设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，
则(1)θ∈；(2)sin θ＝|cos〈a，n〉|＝.
例2 (2022·全国甲卷)在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，CD∥AB，AD＝DC＝CB
＝1，AB＝2，DP＝.
(1)证明：BD⊥PA；
(2)求PD与平面PAB所成角的正弦值．
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易错提醒 (1)线面角θ与直线的方向向量a和平面的法向量n所成的角〈a，n〉的关系是
〈a，n〉＋θ＝或〈a，n〉－θ＝，所以应用向量法求的是线面角的正弦值，而不是余弦值．
(2)利用方程思想求法向量，计算易出错，要认真细心．
跟踪演练 2 (2022·龙岩质检)如图，在四棱锥 P－ABCD中，底面 ABCD为直角梯形，
AD∥BC，AD⊥DC，PA＝PD＝PB，BC＝DC＝AD＝2，E为AD的中点，且PE＝4.(1)求证：PE⊥平面ABCD；
(2)记PE的中点为N，若M在线段BC上，且直线MN与平面PAB所成角的正弦值为，求线
段BM的长度．
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考点三 平面与平面的夹角
核心提炼
设平面α，β的法向量分别为u，v，平面α与平面β的夹角为θ，
则(1)θ∈；
(2)cos θ＝|cos〈u，v〉|＝.
例3 (2022·新高考全国Ⅱ改编)如图，PO是三棱锥P－ABC的高，PA＝PB，AB⊥AC，E为
PB的中点．
(1)证明：OE∥平面PAC；
(2)若∠ABO＝∠CBO＝30°，PO＝3，PA＝5，求平面CAE与平面AEB夹角的正弦值．
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易错提醒 平面与平面的夹角的范围是，两向量夹角的范围是[0，π]，两平面的夹角与其对
应的两法向量的夹角不一定相等，而是相等或互补．
跟踪演练 3 (2022·邯郸模拟)如图，在四棱锥 P－ABCD中，PA＝AB＝AD＝2，四边形
ABCD为平行四边形，∠ABC＝，PA⊥平面ABCD，E，F分别是BC，PC的中点．(1)证明：平面AEF⊥平面PAD.
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(2)求平面AEF与平面AED夹角的余弦值．
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