专题13平面向量的数量积与向量中的最值问题（解析版）_02高考数学_2024年新高考资料_1.2024一轮复习_2024年高考数学热点难点特色专题分题型强化训练（新高考专用）

专题 13 平面向量的数量积与向量中的最值问题 一、单选题 1．（2024届四川省南充市高三适应性考试）已知平面向量 满足 ，则 与 夹 角的正切值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由 可得 ， 又 所以 ， 因此 ，由所以 ， 则 ，故 ，故选B 2．（2023届福建省名校联盟高三4月高考模拟）设向量 与单位向量 满足，对任意 都有 ，则 的最小值为（ ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】由 ，可得 ， 即 对任意 恒成立， 则满足 ，即 ，所以 ， 设向量 与 的夹角为 ，可得 ，所以 ，则 ， 当 时，可得 .故选B. 3．（2024届江苏省常州高级中学高三上学期期初检测）已知在直角三角形 中， ，以斜边 的中点 为圆心， 为直径，在点 的另一侧作半圆弧 ， 为半圆弧上的动点，则 的取 值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 因为直角三角形 为等腰直角三角形，故可建立如图所示的平面直角坐标系， 其中 ， ， ，而以 为直径的圆的方程为： ， 设 ，则 , ， 故 ，因为M在半圆上运动变化， 故 ，故 的取值范围为： .故选A. 4．（2023届安徽师范大学附属中学高三上学期1月月考）设 均为单位向量，且 ，则（ ）A． B． 的最大值为2 C． 的最小值为1 D． 【答案】D 【解析】由 均为单位向量， ，得 ， 即 ，则 ， 又 ，所以 ，故A错误； ，所以 ，故B错误； ，故C错误； ，则 ， 所以 ，故D正确.故选D. 5．（2023届山东省昌乐二中高三下学期二轮模拟）已知平面向量 、 、 满足 ， ， ， ，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】不失一般性，在平面直角坐标系 中，设 ， ， ， 因为 ， ， ， 所以， ， 当且仅当 时，等号成立.因此， 的最小值为 .故选C.6．（2023届重庆市第一中学校高三下学期2月月考）已知长方形ABCD的边长 ，P，Q分别 是线段BC，CD上的动点， ，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设A点为坐标原点，分别以AB，AD为x，y轴建立坐标系，如图， 不妨设 ，则 ， 因为 ，所以 ， 又 ， 所以 ，则 ， 所以 ，解得 ， 当且仅当 时，等号成立， 所以 ， 则 的最小值为 .故选D. 7．（2024届上海市实验学校高三上学期阶段反馈）“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理， 它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知圆 的半径2，点 是圆 内的定点，且 ，弦 均过点 ，则下列说法错误的是（ ） A． 为定值 B． 的取值范围是 C．当 时， 为定值 D． 的最大值为12 【答案】B 【解析】如图，过 作直径 ， 由题意 ， 所以 为定值，A对； 若 为 中点，连接 ，则 ， 由题意 ，则 ，B错； 若 ，故 ， 则 ， 又 ，则 ，同理可得 ，故 ，C对； 若 为 中点，连接 ，则 ，当且仅当 ，即 时等号成立， 此时 ，即 ，则 ， 综上，当且仅当 时 的最大值为12，D对. 故选B 8．已知平面向量 ， ， 满足 ， ， ，则 的最大值为（ ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【解析】设平面向量 ， 的夹角为 ， ， ， ，则 由于 ，所以 ． 不妨设 ， ． ， ， 化为 ．故 在以 为圆心，以 为半径的圆上运动， 如图所示， 表示原点到圆上一点的距离，故当经过圆心时，距离最大或者最小，故 ．故选C． 9．（2023届安徽省临泉第一中学高三下学期三模）在 中， ，D是以BC为直径的 圆上一点，则 的最大值为（ ） A．12 B． C． D． 【答案】A 【解析】如图： 取BC，BD中点E，G，可知 ，且 ， 取BE的中点O，则G为圆O上一点，所以 最大值为 ， 故 的最大值为12.故选A. 10．已知菱形ABCD的边长为2， ，点E在边BC上， ，若G为线段DC上的动点， 则 的最大值为（ ）A．2 B． C． D．4 【答案】B 【解析】由题意可知，如图所示 因为菱形ABCD的边长为2， ， 所以 , ， 设 ，则 ， 因为 ，所以 , , , 当 时， 的最大值为 .故选B. 11．（2023届新疆部分学校高三二模）已知平面向量 ， ， ，满足 ， ，若对于任意 实数x，都有 成立，且 ，则 的最大值为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D 【解析】设 ， ， ， ， ， 则如图所示， 因为 ，所以 ， 即 ，所以 ， 因为 ， ，所以 ， ， 由 ，可得点 在以 为圆心，半径为1的圆面上（包括边界）， 过圆周上一点 作 的垂线，垂足为 ，且 与 相切， 延长 交 于 ，则 ， 此时 ∽ ，根据相似知识可得 ， 所以 ， 所以 的最大值为 ，故选D. 12．（2023届上海市闵行中学高三下学期学情调研）已知平面向量 、 、 满足 ，且 对任意实数 恒成立，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B【解析】由 ，两边平方得 又 ，且 对任意实数 恒成立， 即 恒成立，所以 ， 即 ，所以 ，即 . 由 ，知 ， 所以 , 当且仅当 与 同向时取等号.故选B 二、多选题 13．(2024届河北省邯郸市高三上学期第一次调研)设 ， 是两个非零向量，且 ，则下列结 论中正确的是（ ） A． B． C． ， 的夹角为钝角 D．若实数 使得 成立，则 为负数 【答案】AD 【解析】对A，当 不共线时，根据向量减法的三角形法则知 ， 当 反向共线时， ， 故 ，A正确； 对B，若 ，则以 为邻边的平行四边形为矩形， 且 和 是这个矩形的两条对角线长，则 ，故B错误；对C，若 的夹角范围为 ，根据向量加法的平行四边形法则知： ，故C错误； 对D，若存在实数 ，使得 成立，则 共线，由于 ， 则 反向共线，所以 为负数，故D正确.故选AD. 14．（2023届河北省唐山市邯郸市等2地高三上学期期末）已知抛物线 ： 的焦点为 ，直线 （ 且 ）交 与 、 两点，直线 、 分别与 的准线交于 、 两点，（ 为坐标原点），下列选项错误的有（ ） A． 且 ， B． 且 ， C． 且 ， D． 且 ， 【答案】ACD 【解析】 由 ，可得 ， 设 , ， , ，则 ， ， ， ， 直线 的方程为 ，由 ，可得 ， 同理可得 ， 所以 , ， , ， ， ， 对于A， , , ， , , ， 只有当 时， ，此时 ，直线与 轴垂直，不存在斜率，不满足题意， 所以， ，故A错误； 对于B，因为 , , ， , , ，故B正确； 对于C，由B得 ，而 ，所以 ，故C错误； 对于D，由C可知不存在 且 ，使 成立，故D错误．故选ACD． 15.（2024届安徽省安庆、池州、铜陵三市部分学校高三上学期开学联考）已知 ， ，，A，B两点不重合，则（ ） A． 的最大值为2 B． 的最大值为2 C．若 ， 最大值为 D．若 ， 最大值为4 【答案】AD 【解析】A选项，由已知A，B为单位圆上任意两点， ， ，A正确； B选项，设D为 的中点，则 ， 由于A，B两点不重合，所以 ，则 ，故B错误； C选项，当P，A，B共线时， ，故C错误； D选项，当P，A，B共线时，若 坐标分别为 与 或 与 时， 两点重合，此时 ， 若 坐标不同时为 与 时，此时 ⊥ ，则 ，故 ，故D正确.故选AD 16．（2024届江苏省南通市如皋市高三上学期期初调研）已知平面向量 ， ， ， 则下列说法正确的是（ ） A．若 ，则向量 在 上的投影为 B．若 ，则 ， C．若 ， ，则 D．若 ，则向量 与 的夹角为锐角 【答案】AD 【解析】对于A，因为 ，所以 ，又 ， 所以向量 在 上的投影为 ，正确； 对于B，因为 ，且 ， ， ， 所以 ，即 ，该方程有无数组解，错误； 对于C，因为 ， ，且 ， ， ， 则 ， ，即 ， ，所以 ， 当 时， ，当 时， ，错误；对于D， ， ，若 时， ，所以 ， 此时 与 为相反向量，当 时， ， 则向量 与 的夹角为锐角，正确；故选AD 17．（2024届江苏省淮阴中学等四校高三上学期期初联考）已知O为坐标原点，点 ，其中 为锐角，则（ ） A． 为定值 B． 的最大值为3 C． 的最小值为 D． 的最小值为 【答案】ACD 【解析】由 为锐角，故 ， A： 为定值，对； B： ， 所以 ，当且仅当 时等号成立，故最小值为3，错； C： ，而 ， 所以 ， 当且仅当 时等号成立，故 的最小值为 ，对； D： ，且 ， ，所以 ，当且仅当 ，即 时等号成立；（法一） 令 ，则 ， 令 ，即 ，且 ，则 ， 当 ， ，即 递减；当 ， ，即 递增； 所以 ，此时 ，（法二），对.故选ACD 三、填空题 18．（2024届江苏省基地大联考高三上学期第一次质量监测）已知同一平面内的单位向量 ，满足 ，则 ． 【答案】 【解析】因为 ，所以 ， 两边平方得 ， 因为 均是单位向量，所以 ，所以 ， 所以 ， 所以 . 19．（2024届湖南省邵阳市邵东市第三中学高三上学期月考）如图，在 中，点D在线段 上，且 ，E是 的中点，延长 交 于点H，点 为直线 上一动点（不含点A），且 （ ）．若 ，且 ，则 的面积的最大值为 ．【答案】 【解析】因为 是 的中点，可得 ， 设 ，所以 ， 因为 三点共线，所以 ，解得 ，所以 所以 ，所以 ，所以 ，所以 ， 延长 于 ，使得 ，延长 于点 ，使得 ，如图所示， 则 ，且相似比为 ，所以 , 所以 ，所以 ，所以 ，所以 ， 因为 ，所以 ， 所以 为等腰三角形，且 ，所以 ， 因为 ，所以 ， 所以 . 所以 的面积的最大值为 . 20．（2023届上海市七宝中学高三5月模拟）已知 为单位向量，向量 满足 ，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】如图，建立平面直角坐标系，令 , 设 则由 可得 ， 即点A轨迹为以 为圆心，半径为2的圆， 点B轨迹为以 为圆心，半径为3的圆， 则设 ， 则 ，（ 为辅助角） ， 令 ，则 ， 则 ， 又 ， 而 ，故 ，故 的取值范围是 21．已知平面向量 ， ， ，满足 ， ， 且 ，若对每一个确定的向量 ， 记 的最小值为 ，则当 变化时，实数 的最大值为 . 【答案】 【解析】令 ， 所以 如图， 所以点A的轨迹是以 为圆心，1为半径的圆，取OB中点E， 则 ， 又因为 ，所以点C在直线 上，故 时， 的值最小， 当 情况下，直线 与 相切时 最大， 取最大， 此时， 22．（2023届上海市格致中学高三三模）已知平面向量 ， ， 满足 ， ， ，则 的最大值为 ． 【答案】 【解析】设 ， ， ， ， 由已知可得： ， 当且仅当 时，取等号，当 时，有 ，得 ， 当 时，有 ，得 ， 所以当 时， . 所以 的最大值为 .