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专题四 概率与统计
微专题2 概率统计与函数、数列综合
一、考点透析
考点1 与函数问题的交汇
1．（25-26 高三上·上海浦东新·期末）小明和小李要进行一系列的比赛，假设每局比赛的结
果互不影响.
(1)若比赛没有平局，且小明每局获胜的概率为0.4.
①如果共有三局比赛，求小明的比赛结果依次为赢、输、赢的概率；
②小明作为实力较弱的一方，他可以优先选择“一局定胜负”或“三局两胜”的赛制
（“三局两胜”指先赢两局者为胜，最多三局结束）.请帮助小明分析，选择哪种赛制对他
更有利，并说明理由.
(2)如果小明每局获胜的概率为
，他和小李要进行一场“五局三胜”的比赛
（“五局三胜”指先赢三局者为胜，最多五局结束）.记小明最终获胜的概率为
，请
给出
的表达式，判断并说明函数
在
上的单调性，并指出现实意义.
2．（2025·广东广州·模拟预测）某检测中心在化验血液时有两种化验方法：
①逐份化验法：将血液样本逐份进行化验，则
份血液样本共需要化验
次.
②混合化验法：将
份血液样本分别取样混合在一起化验.若化验结果呈阴性，
则这
份血液均为阴性，此时共化验1 次；若化验结果呈阳性，为了确定阳性血液，就需
要再采取逐份化验，故此时共需要化验
次.
(1)现有5 份血液样本，其中有2 份为阳性血液，现采取逐份化验法进行化验，求恰好化验
2 次就把全部阳性样本检测出来的概率；
(2)现有10 份血液样本，每份呈阳性的概率为
，采用5 份为一组的混合化验法进行化验，
记这10 份血液样本需要化验的总次数为
，求随机变量
的分布列；.
(3)现有
份血液样本，每份呈阳性的概率为
，记采用逐份化验法时需要化验的次
数为
，采用
份为一组的混合化验法时需要化验的总次数为
，当
时，求
的最大值.
（参考数据：
）
考点2 与数列问题的交汇二项分布
1.(2025·河北省石家庄市·期中)一质点在平面内每次只能向左或向右跳动1个单位，且第1次
向左跳动.若前一次向左跳动，则后一次向左跳动的概率为1
3 ;若前一次向右跳动，则后一
次向左跳动的概率为1
2 .记第n次向左跳动的概率为pn
，则p3= ;∑
i=1
n
pi= ．
2.(2025·广东省惠州市·模拟)已知某盒子里装有除颜色外完全相同的5个小球，其中2个白球，
3个黑球，每轮从盒子中随机取出1个小球，放回盒子中．
(1)若有放回地连续抽取5轮，求5轮取出的白球总数的数学期望;
(2)若规定：取出的是白球，则直接丢弃，若取出的是黑球，则放入盒中．
(Ⅰ)求在第1轮取出黑球的条件下，第5轮恰好取出所有白球的概率;
(Ⅱ)求第n(n≥2)轮恰好取出所有白球的概率．
3.(2025·安徽省安庆市·模拟)深圳是一个沿海城市，拥有大梅沙等多样的海滨景点，每年夏
天都有大量游客来游玩.为了合理配置旅游资源，文旅部门对来大梅沙游玩的游客进行了问
卷调查，据统计，其中2
5
的人选择只游览海滨栈道，另外3
5
的人选择既游览海滨栈道又到
海滨公园游玩.每位游客若选择只游览海滨栈道，则记1分；若选择既游览海滨栈道又到海
滨公园游玩，则记2分.假设游客之间的旅游选择意愿相互独立，视频率为概率．
(1)从游客中随机抽取2人，记这2人的合计得分为X，求X的分布列和数学期望；
(2)从游客中随机抽取n个人(n∈N
∗)，记这n个人的合计得分恰为n+1分的概率为pn
，求
∑
i=1
n
pi
；
(3)从游客中随机抽取若干人，记这些人的合计得分恰为n分(n∈N
∗)的概率为an
，随着抽
取人数的无限增加，an是否趋近于某个常数？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由．
考点3 风险与决策问题
1.(2025·江西省景德镇市·模拟)某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水
稻，得到各块稻田的亩产量(单位：kg)并整理如下表．
亩产量[900,950)[950,1000)[1000,1050) [1050,1100) [1100,1150) [1150,1200)
频数
10
11
22
30
20
7
记这100块稻田亩产量的平均值的估计值为x，标准差的估计值为s.(同一组中的数据用该
组区间的中点值为代表)
(1)求x，s
2;
(2)判断该新型水稻能否推广种植(在这100块稻田中，若超过90块稻田的亩产量在
( x−3 s
2 , x + 3 s
2 )内，则认为该新型水稻能推广种植)．
2.(2025·浙江省绍兴市·模拟)某校组织“一带一路”答题抽奖活动，凡答对一道题目可抽奖
一次.设置甲、乙、丙三个抽奖箱，每次从其中一个抽奖箱中抽取一张奖券.已知甲箱每次
抽取中奖的概率为1
3
，乙箱和丙箱每次抽取中奖的概率均为1
2
，中奖与否互不影响．
(1)已知一位同学答对了三道题目，有两种抽奖方案供选择：
方案一：从甲、乙、丙中各抽取一次，中奖三次获得价值50元的学习用品，中奖两次获得
价值30元的学习用品，其他情况没有奖励．
方案二：从甲中抽取三次，中奖三次获得价值70元的学习用品，中奖两次获得价值40元的
学习用品，其他情况没有奖励；
通过计算获得学习用品价值的期望，判断该同学选择哪个方案比较合适？
(2)若一位同学答对了一道题目.他等可能的选择甲、乙、丙三个抽奖箱中的一个抽奖.已知
该同学抽取中奖，求该同学选择乙抽奖箱的概率．
二、跟踪练习
1.(2025·河北省秦皇岛市·模拟)2024年7月26日至8月11日将在法国巴黎举行夏季奥运会.为
了普及奥运知识，M大学举办了一次奥运知识竞赛，竞赛分为初赛与决赛，初赛通过后才
能参加决赛
(1)初赛从6道题中任选2题作答，2题均答对则进入决赛.已知这6道题中小王能答对其中4
道题，记小王在初赛中答对的题目个数为X，求X的数学期望以及小王在已经答对一题的
前提下，仍未进入决赛的概率；
(2)M大学为鼓励大学生踊跃参赛并取得佳绩，对进入决赛的参赛大学生给予一定的奖励.
奖励规则如下：已进入决赛的参赛大学生允许连续抽奖3次，中奖1次奖励120元，中奖2次
奖励180元，中奖3次奖励360元，若3次均未中奖，则只奖励60元.假定每次抽奖中奖的概
率均为p(0< p< 3
4 )，且每次是否中奖相互独立．
(i)记一名进入决赛的大学生恰好中奖1次的概率为f ( p)，求f ( p)的极大值；
(ii)M大学数学系共有9名大学生进入了决赛，若这9名大学生获得的总奖金的期望值不小
于1120元，试求此时p的取值范围．
2.(2025·安徽省安庆市·模拟)若数列{an}(1≤n≤k ,n∈N
∗,k ∈N
∗)满足an∈{0,1}，则
称数列{an}为k项0−1数列，由所有k项0−1数列组成集合M k
．
(1)若{an}是15项0−1数列，当且仅当n=3 p( p∈N
∗, p≤5)时，an=0，求数列
{(−1)
nan}的所有项的和；
(2)已知{an}∈M k
，{bn}∈M k
，记X =∑
i=1
k
|ai−bi|,i=1,2,⋅⋅⋅,k，其中k ∈N
∗且k ≥2．
(ⅰ)求P( X =2)取到最大值时k的值；
(ⅱ)若{an}，{bn}是两个不同的数列，求随机变量X的分布列，并证明：E( X )> k
2
．
3．（2025 高三·全国·专题练习）某校为了更好地践行“共创体育梦想，团结可达天下”的
体育理念，特举办了相关知识竞赛活动．已知有
两类问题可供选择，其中
类问题答
对得5 分，答错得0 分，
类问题答对得10 分，但答错扣2 分．每位参赛的选手需从这两
类题中共抽出3 个问题并作答（每个题抽取后不放回，且每次答题互不影响），且要求从
类题中至少抽1 道．设选手甲答对
类每个问题的概率分别为
．
(1)求选手甲共答对3 道题的概率；
(2)若选手甲第1 道题是从
类题中抽出并回答正确，记选手甲的累计得分为
，则要使
最大，选手甲应该如何选择剩余的2 道题？
