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大题仿真卷 02（A 组+B 组+C 组）
（模式：5题 满分：77分 限时：70分钟）
一、解答题
1．（2024·内蒙古鄂尔多斯·二模）已知 为数列 的前 项和，若 .
(1)求证：数列 为等比数列；
(2)令 ，若 ，求满足条件的最大整数 .
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用 与 的关系式可得 ，即 ，即可得证.
（2）由（1）可得 ，则 ，设 ，根据等比数列的前 项和公式
可得 ，令 ，结合 ，即可求解.
【详解】（1）证明：由 可得，
当 时， ，解得 ，
当 时， ，即 ，
则
，即 ，
即 ，即 ，
又 ，
所以数列 是首项为6，公比为2的等比数列.
（2）由（1）得 ，则 ，
设 ，
则令 ，得 ，
即 ，即 ，
又 ， ， ，
所以满足条件的最大整数为 为5.
2．（2024·陕西宝鸡·模拟预测）统计显示，我国在线直播生活购物用户规模近几年保持高速增长态势，下
表为 年— 年我国在线直播生活购物用户规模（单位：亿人），其中 年— 年对应的代码
依次为 — .
年份代码
市场规模
， ， ，其中
参考公式：对于一组数据 、 、 、 ，其经验回归直线 的斜率和截距的最小
二乘估计公式分别为 ， .
(1)由上表数据可知，若用函数模型 拟合 与 的关系，请估计 年我国在线直播生活购物用
户的规模（结果精确到 ）；
(2)已知我国在线直播生活购物用户选择在品牌官方直播间购物的概率 ，现从我国在线直播购物用户中随
机抽取 人，记这 人中选择在品牌官方直播间购物的人数为 ，若 ，求 的数学期
望和方差.
【答案】(1) 亿人
(2) ，
【分析】（1）将题中数据代入最小二乘法公式，求出 的值，即可得出 与 的拟合函数关系式，再将
代入函数关系式，即可得出结论；
（2）由题意可知， ，由 结合独立重复试验的概率公式可求得 的值，然
后利用二项分布的期望和方差公式可求得结果.
【详解】（1）设 ，则 ，因为 ， ， ，
所以， ，
所以， 与 的拟合函数关系式为
当 时， ，
则估计 年我国在线直播生活购物用户的规模为 亿人.
（2）由题意知 ，所以， ，
，
由 ，可得 ，
因为 ，解得 ，
所以， ， .
3．（24-25高三上·贵州·阶段练习）如图，在三棱柱 中，侧面 为菱形， ，
底面 为等边三角形，平面 平面 ，点 满足 ，点 为棱
上的动点（含端点）．
(1)当 与 重合时，证明：平面 平面 ；
(2)是否存在点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 ？若存在，求出 的值；若不存在，
请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【分析】（1）取 中点 ，连接 ，根据面面垂直的性质证明 平面 ，证明 ，可得
平面 ，再根据面面垂直的判定定理即可得证；
（2）连接 ，以 为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.【详解】（1）如图，取 中点 ，连接 ，
因为侧面 为菱形， ，
所以 ，
又因为平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 ，所以 平面 ，
又因为 为 的中点，所以四边形 为平行四边形，所以 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以平面 平面 ；
（2）连接 ，因为 为等边三角形，则 ，
所以 两两垂直，则以 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示：
令三棱柱的棱长为2，所以 ，
故 ，
，
又 ，所以 ，
设 ， ，
则 ，
即 ；
又 ，
设平面 的法向量为 ，则 则 ，取 ，则 ，
故平面 的法向量可为 ，
又 ，设直线 与平面 所成角为 ，
由题可得 ，即 ，
整理得： ，解得 ，
故当 时，直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
4．（2024·广东·模拟预测）已知椭圆 的焦点为 ， 为椭圆上一点
且 的周长为 .
(1)求椭圆 的方程.
(2)若直线 过点 交椭圆 于 两点，且线段 的垂直平分线与 轴的交点
（i）求直线 的方程；
（ii）已知点 ，求 的面积.
【答案】(1)
(2)（i） 或 ；（ii）
【分析】（1）根据条件列方程，求出 ，即可得答案；
（2）（i）判断直线斜率存在，联立椭圆方程，可得根与系数关系式，结合题意可得 ，化简即
可求得答案；（ii）利用弦长公式求出 ，再求出Q到直线AB的距离，即可求得答案.
【详解】（1）根据题意有 ，解得 ，
所以椭圆 的方程为 .
（2）（i）若直线 的斜率不存在，其垂直平分线与 轴重合，不符合题意；
不妨设直线 的方程为 的中点为 ，设 ，
与椭圆方程联立有 ，整理得 ，
直线过椭圆焦点，必有 ，则 ，
所以 ，
由题意知 ，即 ，解得 ，
即 ，整理得直线 的方程为 或
（ii）由弦长公式可知
，
由直线的对称性，知点 到两条直线 的距离相同，即 ，
所以 的面积为 .
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为 ；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于 （或 ）的一元二次方程，注意 的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为 、 （或 、 ）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
5．（2024·重庆·模拟预测）已知函数 .(1)当 时，求函数 的单调性；
(2)若 恒成立，求 的取值范围；
(3)若 有三个极值点，求 的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3) 且
【分析】（1）求导后构造函数 ，再次求导分析单调性，得到 ，然后再分析 的单调性即
可；
（2）分 和 时讨论，当 时分离参数，构造函数 ，求导分析单调性即可；
（3）求导后将问题转化为 有三个变号零点，当 时分离参数并构造函数，求导
分析单调性和极值即可；
【详解】（1）当 时， ， ，
令 ，则 ，
令 ，
所以当 时， ， 为减函数；
当 时， ， 为增函数，
所以 ，即 ，
所以当 时， ， 为减函数；当x∈(0,+∞)时， ， 为增函数；
综上， 在 上单调递减，在 上单调递增.
（2）因为g(x)>0，即 恒成立，
当 时，显然成立；
当 时，分离参数，即 恒成立，
令 ，则 ，
令 ，可得 ，
所以当 时， ， 为增函数； 时， ， 为减函数；当
x∈(2,+∞)时， ， 为增函数，当 时， ；当 时， ；当 时， ；当 时， ，
画出其大致图像
所以 .
（3） ，
，
因为 有三个极值点，所以 有三个变号零点，
即 有三个变号零点，
容易得到 是方程的一个根， 不是方程的根，
当 时，分离变量， ，
令 ，则 ，
令 ，
所以当 时， ， 单调递减；当x∈(0,1)时， ， 单调递减；当
x∈(1,+∞)时， ， 单调递增；
画出其大致图像为
极小值 ，
因为 已经是方程的一个根，所以要使 与 有两个交点，即 且 .
【点睛】关键点点睛：本题第二小问的关键是能够分离参数后求导分析单调性，利用数形结合求解；第三
小问的关键是将问题转化为 有三个变号零点，再当 时，分离变量构造函数分析单调性和极值，
再数形结合求解.
（模式：3题 满分：45分 限时：40分钟）
6．（2024·四川内江·一模）在 中， ， ， 分别为内角 所对的边，且满足
．
(1)求 ；
(2)若 ，求 周长的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意利用正弦定理边化角，再结合三角恒等变换运算求解即可；
（2）利用余弦定理可得 ，再结合不等式 可得 ，即可得结果.
【详解】（1）因为 ，
由正弦定理可得 ，
且 ，即 ，
又因为 ，则 ，
可得 ，即 ，所以 .
（2）由余弦定理可得： ，
即 ，可得 ，
又因为 ，可得 ，即 ，
当且仅当 时，等号成立，
所以 周长的最大值为 .
7．（2024·福建福州·三模）已知某种机器的电源电压U（单位：V）服从正态分布 ．其电压通
常有3种状态：①不超过200V；②在200V~240V之间③超过240V．在上述三种状态下，该机器生产的零件为不合格品的概率分别为0.15，0.05，0.2．
(1)求该机器生产的零件为不合格品时，电压不超过200V的概率；
(2)从该机器生产的零件中随机抽取n（ ）件，记其中恰有2件不合格品的概率为 ，求 取得最大
值时n的值．
附：若 ，取 ， ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）记电压“不超过200V”、“在200V~240V之间”、“超过240V”分别为事件A，B，C，
“该机器生产的零件为不合格品”为事件D，得到 ，分别求得 ，结合条件
概率和全概率的公式，即可求解.
（2）设不合格品件数为 ，得到 ，求得 ，结合 ，求得 的范
围，即可求解.
【详解】（1）解：记电压“不超过200V”、“在200V~240V之间”、“超过240V”分别为事件A，B，
C，“该机器生产的零件为不合格品”为事件D，
因为 ，所以 ，
，
．
所以
，
则
所以该机器生产的零件为不合格品时，电压不超过200V的概率为 ．
（2）解：从该机器生产的零件中随机抽取n件，设不合格品件数为 ，则 ，
所以 ，
由 ，解得 ．
所以当 时， ；当 时， ；
所以 最大，因此当 时 最大．
8．（2024·河南·模拟预测）如图，已知圆锥 的底面圆周上有 三点， 为底面圆 的直径，且为 的中点．
(1)证明：平面 平面 ；
(2)若 ，求二面角 的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）利用圆锥性质以及圆的性质，由面面垂直判定定理即可得出结论；
（2）建立空间直角坐标系求出两平面的法向量，再由空间向量夹角的计算公式可得结果.
【详解】（1）根据圆锥性质可得 平面 ， 平面 ，
可得 ，
又 为 的中点，利用圆的性质可得 ，
因为 平面 ，
可得 平面 ，又 平面 ，
所以平面 平面 .
（2）取 的中点为 ，连接 ，
又 为底面圆 的直径，且 为 的中点，
可知 ，且 为等边三角形，
因此可得 两两垂直，
以 为坐标原点，以 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系，如下图所示：由 可知 ；
所以
因此 ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，令 ，可得 ;
即 ；
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，解得 ，令 ，可得 ;
即 ；
易知 ，
所以二面角 的正弦值为 .
（模式：2题 满分：34分 限时：30分钟）
9．（2024·湖北·一模）如图，已知抛物线 ，过点 作斜率为 的直线 ，分别
交抛物线于 与 ，当 时， 为 的中点.(1)求抛物线 的方程；
(2)若 ，证明： ；
(3)若直线 过点 ，证明：直线 过定点，并求出该定点坐标.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析，
【分析】（1）先求直线再联立抛物线得出韦达定理应用中点坐标得出 ,进而得出抛物线；
（2）先设直线方程代入抛物线联立方程组，结合根与系数的关系，应用 ，即可得到
结论.
（3）先设直线 过点P得出 ,同理结合理
过点Q得出 ,最后得出BM的直线得出定点.
【详解】（1）当 时， ，
联立 消去 ，
可得 ，
设 ，
拋物线C方程为： .
（2）由题知 ，设 ，
，代入抛物线可得 ，
，
又 ，同理 .
（3）因为 ，
所以 ，代入点 得 ①，
设 ，同理 ，
过点 ②
，
结合①②可得
又因为
所以 ，整理得
所以直线 过定点 .
【点睛】关键点点睛：解题定点的关键是先点斜式设出AB直线方程结合抛物线方程得出直线
,同理得出BM的直线方程进而得出定点.
10．（2024·山西吕梁·二模）已知双曲线 ，点 在 上.按如下方式构造点 ：
过点 作斜率为1的直线与 的左支交于点 ，点 关于 轴的对称点为 ，记点 的坐标为
.
(1)求点 的坐标；
(2)记 ，证明：数列 为等比数列；
(3) 为坐标原点， 分别为线段 的中点，记 的面积分别为 .判断
是否为定值，如果是定值，求 的值；如果不是，说明理由.
【答案】(1)
(2)证明见解析；
(3)是，
【分析】（1）由已知条件可求得 的值，求出直线 的方程和，与双曲线方程联立可求得 ，即可求得，再借助直线 的方程与双曲线方程联立，求得 ，即可求得 ；
（2）联立 与双曲线方程，结合韦达定理可得 ，结合 代入可
得 ，利用等比数列定义即可证；
（3）由 ，结合 ，可得 与 ，利用面积公式分别计算出 与 ，即可得到答案.
【详解】（1）
由题知 ，所以双曲线 ，
又过点 ，斜率为1的直线方程为 ，
由双曲线与直线的对称性可知 ，所以 ，
又过 ，且斜率为1的直线方程为 ，即 ，
由 ，解得 或 ，
当 时， ，
所以 ，所以 ；
综上：
（2）设 ，
则过 ，且斜率为1的直线方程为 ，
联立 ，消 得到 ，
由题有 ，得到 ，
由题知点 在直线 上，
即有 ，
所以 ，所以 ，所以 ，由（1）知 ，所以数列 为1为首项，3的公比的等比数列；
（3）由（2）知 ，得到 ，
由 ，即 ，
即 ，
则 ，
，
故 ，
故
，
即 ，则 ，
所以：
