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2025二轮复习大题规范练（六）
一、基础保分练
1．（2024·陕西安康·模拟预测）近两年旅游业迎来强劲复苏，外出旅游的人越来越多．
A，B两家旅游公司过去6个月的利润率统计如下：
A公司 3 2 1
B公司 2 2 2
利润率 ，盈利为正，亏损为负，且每个月的成本不变．
(1)比较A，B两公司过去6个月平均每月利润率的大小；
(2)用频率估计概率，且假设A，B两公司每个月的盈利情况是相互独立的，求未来的某个
月A，B两公司至少有一家盈利的概率．
2．（2024·全国·模拟预测）已知F是抛物线E： 的焦点， 是抛物
线E上一点， 与点F不重合，点F关于点M的对称点为P，且 ．
(1)求抛物线E的标准方程；
(2)若过点 的直线与抛物线E交于A，B两点，求 的最大值．
3．（2024·广西桂林·模拟预测）如图，几何体 中， 和 均为等边三角
形，平面 平面 ， 为 中点．
(1)证明： 与 不是异面直线；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值．4．（2024·四川凉山·三模）如图，点 均在x轴的正半轴上， ， …，
分别是以 ， ，…， （ ）为边长的等边三角形，且顶点
均在函数 的图象上．
(1)求 ， ， 的值，并写出 的通项公式（不用证明）；
(2)求数列 的前n项和 ．
5．（2024·河南濮阳·模拟预测）在 中，内角 所对的边分别为 ，设
满足条件 和 ．
(1)求角 和 ；
(2)求 ．
6．（2024·湖北黄冈·模拟预测）已知函数 .
(1)当 时，求 的图象在(1,f (1))处的切线方程；
(2)若函数 在(1,+∞)上单调递增，求实数a的取值范围.
二、能力增分练
7．（2024·广东佛山·三模）随着春季学期开学，某市市场监管局加强了对学校食堂食品安
全管理，助力推广校园文明餐桌行动，培养广大师生文明餐桌新理念，以“小餐桌”带动
“大文明”，同时践行绿色发展理念．该市某中学有A，B两个餐厅为老师与学生们提供午
餐与晚餐服务，王同学、张老师两人每天午餐和晚餐都在学校就餐，近一个月（30天）选择餐厅就餐情况统计如下：
选择餐厅情况（午餐，晚
餐）
王同学 9天 6天 12天 3天
张老师
6天 6天 6天 12天
假设王同学、张老师选择餐厅相互独立，用频率估计概率．
(1)估计一天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐的概率；
(2)记X为王同学、张老师在一天中就餐餐厅的个数，求X的分布列和数学期望 ；
(3)假设M表示事件“A餐厅推出优惠套餐”，N表示事件“某学生去A餐厅就餐”，
，已知推出优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐的情
况下去该餐厅就餐的概率要大，证明： ．
8．（2024·吉林长春·模拟预测）对于椭圆： ，我们称双曲线：
为其伴随双曲线．已知椭圆 （ ），它的离心率是其伴随
双曲线 离心率的 倍．
(1)求椭圆 伴随双曲线 的方程；
(2)点 为 的上焦点，过 的直线 与 上支交于 ， 两点，设 的面积为 ，
（其中 为坐标原点）．若 ，求 ．
9．（2024·福建·模拟预测）如图，在圆锥 中，高 ，底面圆 的直径 ，
是 的中点，点 在圆 上，平面 平面 ．(1)证明： ；
(2)若点 是圆 上动点，求平面 与平面 夹角余弦值的取值范围．
10．（2024·广西河池·模拟预测）已知在正项数列 中， ，点 在双
曲线 上.在数列 中，点 在直线 上，其中 是数列 的前
项和.
(1)求数列 的通项公式并求出其前 项和 ；
(2)求数列 的前 项和 ；
11．（2022·海南·模拟预测）在① ，②
这两个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答.
问题：在 中，内角 所对的边分别为 ， ， ， ，
，且_____________，求 的值.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
12．（2024·河南·模拟预测）已知函数 .
(1)当 时，求 的极值；(2)若 ，当 时， 恒成立，求 的取值范围.
三、拓展培优练
13．（2024·云南大理·模拟预测）某校举行围棋比赛，甲、乙、丙三个人通过初赛，进入决
赛.已知甲与乙比赛时，甲获胜的概率为 ，甲与丙比赛时，甲获胜的概率为 ，乙与丙
比赛时，乙获胜的概率为 .
(1)决赛规则如下：首先通过抽签的形式确定甲、乙两人进行第一局比赛，丙轮空；第一局
比赛结束后，胜利者和丙进行比赛，失败者轮空，以此类推，每局比赛的胜利者跟本局比
赛轮空者进行下一局比赛，每场比赛胜者积1分，负者积0分，首先累计到2分者获得比
赛胜利，比赛结束.假设 ，且每局比赛相互独立.
（ⅰ）求三人总积分为2分的概率；
（ⅱ）求比赛结束时，三人总积分 的分布列与期望
(2)若 ，假设乙获得了指定首次比赛选手的权利，为获得比赛的胜利，试分析乙的
最优指定策略
14．（2024·广西桂林·模拟预测）已知椭圆C： 过定点 ，过点 的两
条动直线交椭圆于A(x ,y ),B(x ,y )，直线 的倾斜角互补， 为椭圆C的右焦点.
1 1 2 2
(1)设 是椭圆 的动点，过点 作直线 的垂线 为垂足，求 .(2)在 中，记 ，若直线AB的斜率为 ，求 的最大值.
15．（23-24高三下·河北沧州·阶段练习）如图，在直三棱柱 中，△ 为边
长为2的正三角形， 为 中点，点 在棱 上，且 .
(1)当 时，求证 平面 ；
(2)设 为底面 的中心，求直线 与平面 所成角的正弦值的最大值，并求取得
最大值时 的值.
16．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知正整数列 满足 ， 且有 对任意正
整数 恒成立.
(1)求证: 对任意 ， 均为偶数；
(2)记 ，求证： .
17．（2024·江苏南通·模拟预测）解二元一次方程组是数学学习的必备技能.设有满足条件
的二元一次方程组 .
(1)用消元法解此方程组，直接写出该方程组的两个解；
(2)通过求解，不难发现两个解的分母是由方程组中 的系数 所唯一确定的一个数，按照它们在方程组中的位置，把它们排成一个数表 ，由此可以看出
是这个数表中左上到右下对角线上两个数的乘积减去右上到左下对角线上两个
数的乘积的差，称 为该数表的二阶行列式，记为 .当 ≠0时，
二元一次方程组 有唯一一组解.同样的，行列式 称为三阶行列式，
且 = .
（i）用二阶行列式表示方程组 的两个解；
（ii）对于三元一次方程组 ，类比二阶行列式，用三阶行列式推导
使得该三元一次方程组有唯一一组解的条件（结论不得使用行列式表达），并用三阶行列
式表示该方程组的解.
(3)若存在 ，使得 ，求 的取值范围.
18．（24-25高三上·江苏·开学考试）已知函数 ，其中 是自然对
数的底数．
(1)当 时，求 在 上的值域；(2)当 时，讨论 的零点个数；
(3)当 时，从下面①和②两个结论中任选一个进行证明．
①；②．
