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微重点 1 函数的新定义问题
1．(2022·眉山模拟)四参数方程的拟合函数表达式为y＝＋d(x>0)，常用于竞争系统和免疫检
测，它的图象是一个递增(或递减)的类似指数或对数曲线，或双曲线(如y＝x－1)，还可以是
一条S形曲线，当a＝4，b＝－1，c＝1，d＝1时，该拟合函数图象是( )
A．类似递增的双曲线
B．类似递增的对数曲线
C．类似递减的指数曲线
D．是一条S形曲线
2．设f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，f″(x)是函数y＝f′(x)的导函数，若方程f″(x)＝0有实
数解x＝x ，则称(x ，f(x))为函数y＝f(x)的“拐点”．经研究发现所有的三次函数f(x)＝ax3
0 0 0
＋bx2＋cx＋d(a≠0)都有“拐点”，且该“拐点”也是函数y＝f(x)的图象的对称中心．若函
数f(x)＝x3－3x2，则f ＋f ＋f ＋…＋f ＋f 等于( )
A．－8 086 B．－8 082
C．8 084 D．8 088
3．(2022·成都质检)设函数y＝f(x)在R上有定义，对于任一给定的正数p，定义函数f(x)＝
p
则称函数f(x)为f(x)的“p界函数”．若给定函数f(x)＝x2－2x－1，p＝2，则下列结论错误的
p
是( )
A．f(f(0))＝f(f(0))
p p
B．f(f(1))＝f(f(1))
p p
C．f(f(2))＝f(f(2))
p p
D．f(f(3))＝f(f(3))
p p
4．已知函数f(x)的定义域为D，若满足：①f(x)在D内是单调函数；②存在区间[a，b]，使
f(x)在[a，b]上的值域为，那么就称函数f(x)为“D上的k类成功函数”．已知函数f(x)＝3－
x2是“(0，＋∞)上的k类成功函数”，则实数k的取值范围为( )
A．(0,2] B．[0,2]
C．(0,2) D．(－2,2)
5．(多选)(2022·南京质检)已知函数f(x)的定义域为R，若存在常数m>0，对任意x∈R，有|
f(x)|≤m|x|，则称f(x)为F函数．下列函数为F函数的是( )
A．f(x)＝x2
B．f(x)＝sin x＋cos x
C．f(x)＝
D．f(x)是定义在R上的奇函数，且满足对一切实数x，x 均有|f(x)－f(x)|≤2|x－x|
1 2 1 2 1 2
6．(多选)(2022·重庆市育才中学)在函数f(x)上存在A，B两点，使OA·OB＝0，则称f(x)为“正交函数”．下列四个函数中是“正交函数”的为( )
A．f(x)＝x－2 B．f(x)＝cos x＋1
C．f(x)＝ln x D．f(x)＝2x－2
7．(2022·武汉质检)某学生在研究函数f(x)＝x3－x时，发现该函数的两条性质：①是奇函数；
②单调性是先增后减再增．该学生继续深入研究后发现将该函数乘一个函数g(x)后得到一个
新函数h(x)＝g(x)f(x)，此时h(x)除具备上述两条性质之外，还具备另一条性质：③h′(0)＝
0.写出一个符合条件的函数解析式g(x)＝__________________________________.
8．(2022·安康质检)高斯是世界著名的数学家之一，他一生成就极为丰硕，仅以他的名字
“高斯”命名的成果就多达110个，为数学家中之最．对于高斯函数y＝[x]，其中[x]表示不
超过x的最大整数，如[1.7]＝1，[－1.2]＝－2，{x}表示实数x的非负纯小数，即{x}＝x－
[x]，如{1.7}＝0.7，{－1.2}＝0.8.若函数y＝{x}－1＋log x(a>0，且a≠1)有且仅有3 个不同
a
的零点，则实数a的取值范围是__________________．
