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专题三 立体几何
第1 讲 空间几何体
【探究真题.明确方向】
1.(2024·新课标Ⅰ卷，T5)已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为❑√3，则圆锥的体
积为( )
A.2❑√3π
B.3❑√3π
C.6❑√3π
D.9❑√3π
2.(2025·天津，T4)若m 为直线，α，β 为两个平面，则下列结论中正确的是( )
A.若m∥α，n⊂α，则m∥n
B.若m⊥α，m⊥β，则α⊥β
C.若m∥α，m⊥β，则α⊥β
D.若m⊂α，α⊥β，则m⊥β
3.(多选)(2025·全国Ⅰ卷，T9)在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D 为BC 的中点，则( )
A.AD⊥A1C
B.B1C1⊥平面AA1D
C.AD∥A1B1
D.CC1∥平面AA1D
4.(2023·新课标Ⅰ卷，T14)在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，A1B1=1，AA1=❑√2，则该棱台的体积为
.
5.(2025·全国Ⅱ卷，T14)一个底面半径为4 cm，高为9 cm 的封闭圆柱形容器(容器壁厚度忽略不计)内有两
个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为 cm.
【命题预测】本讲是历年高考命题必考的内容，属于中低档题目，三种题型都有所考查，分值约为10~15
分.
【考向预测】一是求几何体的表面积与体积，常与侧面展开图相结合；二是球的组合体，常与球相“内
切”或“外接”进行考查；三是考查空间点线面关系的判断，以空间几何体的结构特征为背景，考查关于
线面位置关系命题的真假判断.
考点一 表面积与体积
【典例】1 (1)(2025·济宁模拟)已知圆锥的体积为2❑√2π
3
，其侧面展开图是一个圆心角为2π
3 的扇形，
则该圆锥的底面半径为( )
A.1
2
B.1
C.❑√2
D.2
(2)(2025·吕梁模拟)轴截面是等边三角形的圆锥称为等边圆锥.若某等边圆锥的母线长为4，过圆锥高的
中点作平行于底面的平面，该平面将圆锥分割成一个小圆锥和一个圆台，则该圆台的体积为 .
【变式训练】1 (1)(多选)(2025·台州模拟)如图，是由两个平行平面截半径为2 cm 且足够高的圆柱体所
得的几何体，截面与圆柱体的轴成45°，上、下截面间的距离为❑√2 cm.某高中数学兴趣小组对该几何
体进行了探究，得出下列四个结论，其中正确的是(参考公式：椭圆面积S=πab)( )
A.截口曲线的离心率为1
2
B.该几何体的体积为8π cm3
C.该几何体的侧面积为8π cm2
D.该几何体的上截面面积为4❑√2π cm2
(2)(2025·咸阳模拟)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=AA1=1，则三棱锥C-A1BC1的体积为
.
考点二 空间点、线、面的位置关系
【典例】2 (1)(多选)(2025·岳阳模拟)已知直线m，n，l，平面α，β，若平面α⊥平面β，且α∩β=l，则
下列命题正确的是( )
A.若m∥α，则m⊥β
B.若m⊂α，n⊂β，则m⊥n
C.若m⊂α，且m⊥l，则m⊥β
D.若m⊂α，则直线m 必垂直于平面β 内的无数条直线
(2)(多选)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E 为BA1与AB1的交点，则下列判断正确的是( )
A.直线EC1与直线AD 是异面直线
B.B1C1∥平面A1BC
C.直线BA1与直线C1D 所成的角是π
3
D.在直线A1C1上存在点F，使EF⊥平面A1CD
【变式训练】2 (1)(2025·黄冈模拟)已知m，n 为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.若直线l 满足
l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则( )
A.α∥β，l∥α
B.α 与β 相交，且交线平行于l
C.α⊥β，l⊥α
D.α 与β 相交，且交线垂直于l
(2)在四面体ABCD 中，AD=BC，E，F 分别为AB，CD 的中点，若异面直线AD 与BC 所成的角为60°，
则异面直线EF 与BC 所成的角为 .
考点三 球的切、接问题
【典例】3 (1)(2025·嘉兴模拟)若某正四面体的内切球的表面积为4π，则该正四面体的外接球的体积
为( )
A.9π
B.27π
C.36π
D.64π
(2)(多选)如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=6，AA1=4，则下列说法正确的是( )
A.直线AB 与直线B1C1所成的角为π
3
B.三棱锥A-A1BC 的体积为12❑√3
C.点C1到平面A1BC 的距离为❑√13
D.四棱锥A1-B1BCC1的外接球的表面积为64π
【变式训练】3 (1)在△ABC 中，AB=2，C=45°，PA⊥平面ABC，且PA=2，则三棱锥P-ABC 外接球的
表面积为( )
A.2π
B.4❑√3π
C.12π
D.36π
(2)(2025·包头模拟)已知圆台O1O2的上、下底面半径分别为r1，r2(r1<r2)，r2-r1=3.半径为r 的球O 与该圆
台的上、下底面及母线均相切，圆台O1O2的侧面积为25π，则球O 的表面积为( )
A.4π
B.9π
C.16π
D.36π
【限时训练】（限时：60 分钟）
一、单项选择题(每小题5 分，共40 分)
1.已知m，n 是两条不同的直线，α，β 是两个不同的平面，则m∥α 的一个充分条件是( )
A.m∥n，n∥α
B.m∥β，α∥β
C.m⊥n，n⊥α，m⊄α
D.m∩n=A，n∥α，m⊄α
2.已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为1，2，体积为3，则该正四棱台的高为( )
A.1
B.4
3
C.6
5
D.9
7
3.(2025·泰州模拟)某正四棱锥的底面边长为2，侧棱与底面的夹角为60°，则该正四棱锥的体积为( )
A.4 ❑√6
3
B.8 ❑√2
3
C.5 ❑√15
3
D.4 ❑√6
9
4.(2025·江苏七市二调)已知圆锥的轴截面为正三角形，外接球的半径为1，则圆锥的体积为( )
A.3 π
8
B.3 π
4
C.9 π
8
D.9 π
4
5.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°，AA1=AB，则直线A1C 与AB1所成的角为( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
6.(2025·安阳模拟)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=2，AB⊥AC，若该棱柱外接球的表面积为12π，则侧
面BB1C1C 绕直线BB1旋转一周所得到的旋转体的体积为( )
A.12π
B.16π
C.20π
D.24π
7.(2025·保定模拟)已知三棱锥A-BCD 中，CD⊥平面ABD，AB=AD=2❑√3，BD=6，CD=2，则三棱锥A-BCD
的外接球表面积为( )
A.12π
B.24π
C.40π
D.52π
8.(2025·宁波模拟)一个长方体墨水瓶的长、宽、高分别为10 cm，8 cm，15 cm，内部装有400 毫升墨水.将
墨水瓶倾斜，使其一条长边(10 cm)置于水平地面，高边(15 cm)所在直线与水平地面成45 度角，则此时墨
水与墨水瓶接触部分的面积为( )
A.180 cm2
B.220 cm2
C.260 cm2
D.300 cm2
二、多项选择题(每小题6 分，共18 分)
9.(2025·南京模拟)设α，β，γ 表示三个不同的平面，m 表示直线，则下列选项中，使得α∥β 的是( )
A.m∥α，m∥β
B.m⊥α，m⊥β
C.γ∥α，γ∥β
D.γ⊥α，γ⊥β
10.(2023·新课标Ⅱ卷)已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB 为底面直径，∠APB=120°，PA=2，点C 在
底面圆周上，且二面角P-AC-O 为45°，则( )
A.该圆锥的体积为π
B.该圆锥的侧面积为4❑√3π
C.AC=2❑√2
D.△PAC 的面积为❑√3
11.(2025·重庆模拟)如图，已知正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1的底面边长为 2，侧棱长为 4，点 E， F 分别为
BB1，DD1的中点，则( )
A.AC1⊥CF
B.平面EA1C1∥ 平面FAC
C.三棱锥C-EC1F 的体积为4
3
D.四面体EACF 的外接球的表面积为12π
三、填空题(每小题5 分，共15 分)
12.由斜二测画法得到的一个水平放置的三角形的直观图是等腰三角形，底角为30°，腰长为2，如图，那
么它在原平面图形中，顶点B 到x 轴的距离是 .
13.如图所示的几何体是底面积为S，侧高为h1，h2，h3(h1<h2<h3)的直三棱柱斜劈，则其体积为 .
14.(2024·全国甲卷)已知圆台甲、乙的上底面半径均为r1，下底面半径均为r2，圆台母线长分别为2(r2-r1)，
3(r2-r1)，则圆台甲与乙的体积之比为 .
【拓展训练】(每小题5 分，共10 分)
15.(2025·温州模拟)一个圆台形的木块，上、下底面的半径分别为4 和8，高为3，用它加工成一个与圆台
等高的四棱台，棱台下底面为一边长等于9 的矩形，且使其体积最大.现再从余下的四块木料中选择一块，
加工成一个球，则所得球的半径的最大值是(加工过程中不计损耗)( )
A. 7
10
B.3
4
C.1
D.❑√2
16.(5 分)图1 所示几何体是一个星形正多面体，称为星形十二面体，是由6 对(12 个)平行五角星面组成的，
每对平行五角星面角度关系如图2 所示.一个星形十二面体有 个星芒(凸起的正五棱锥)，将所有的
星芒沿其底面削去后所得几何体和星形十二面体的表面积之比是 .
(参考数据：tan
218° =1−2❑√5
5 )
