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专题20 数列中常见的求和问题
1、（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条
对称轴把纸对折，规格为 的长方形纸，对折1次共可以得到 ，
两种规格的图形，它们的面积之和 ，对折2次共可以得到 ， ，
三种规格的图形，它们的面积之和 ，以此类推，则对折4次共可以得到不同规
格图形的种数为______；如果对折 次，那么 ______ .
【答案】 (1). 5 (2).
【解析】（1）由对折2次共可以得到 ， ， 三种规格的图形，所以
对着三次的结果有： ，共4种不同规格（单位 ；
故对折4次可得到如下规格： ， ， ， ， ，共5种不同规格；
（2）由于每次对着后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对着后的图形，不论规格如何，其面积
成公比为 的等比数列，首项为120 ,第n次对折后的图形面积为 ，对于第n此对折后
的图形的规格形状种数，根据（1）的过程和结论，猜想为 种（证明从略），故得猜想，
设 ，
则 ，
两式作差得：
，
因此， .
故答案为： ； .
2、（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））设 是公比不为1的等比数列， 为 ，
的等差中项．
（1）求 的公比；
（2）若 ，求数列 的前 项和．
【解析】1）设 的公比为 ， 为 的等差中项，，
；
（2）设 的前 项和为 ， ，
，①
，②
① ②得，
，
.
3、（2023年全国甲卷数学（理））已知数列 中， ，设 为 前n项和， ．
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前n项和 ．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为 ，
当 时， ，即 ；
当 时， ，即 ，当 时， ，所以 ，
化简得： ，当 时， ，即 ，
当 时都满足上式，所以 ．
（2）因为 ，所以 ，
，
两式相减得，
，
，即 ，
4、【2021年新高考1卷】已知数列 满足 ，
（1）记 ，写出 ， ，并求数列 的通项公式；
（2）求 的前20项和.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】解：（1）[方法一]【最优解】：
显然 为偶数，则 ，
所以 ，即 ，且 ，
所以 是以2为首项，3为公差的等差数列，于是 ．
[方法二]：奇偶分类讨论
由题意知 ，所以 ．
由 （ 为奇数）及 （ 为偶数）可知，
数列从第一项起，
若 为奇数，则其后一项减去该项的差为1，
若 为偶数，则其后一项减去该项的差为2．
所以 ，则 ．
[方法三]：累加法
由题意知数列 满足 ．
所以 ，
，
则 ．
所以 ，数列 的通项公式 ．
（2）[方法一]：奇偶分类讨论
．
[方法二]：分组求和
由题意知数列 满足 ，
所以 ．
所以数列 的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列；同理，由 知数列 的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列．
从而数列 的前20项和为：
题组一、利用周期性（规律性求和）
1-1、（2022·江苏宿迁·高三期末）记 表示不超过实数 的最大整数，记 ，则 的值为（
）
A．5479 B．5485 C．5475 D．5482
【答案】B
【解析】由题意可知，当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ，
所以 .
故选：B
1-2、（2022·湖南郴州·高三期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的
称号.设 ，用 表示不超过x的最大整数，则 称为高斯函数.已知数列 满足 ，且
，若 数列 的前n项和为 ，则 （ ）
A．4950 B．4953 C．4956 D．4959
【答案】C【解析】由 ， 可得 ，
根据累加法可得
所以 ，
故 ，当 时， ；当 时， ；当 时， ；当
时， ，
因此 .
故选：C.
题组二、裂项相消求和
2-1、（2023·安徽宿州·统考一模）已知数列 的前n项和为 ，且 ，则数列
的前n项和 ______.
【答案】
【分析】根据给定的递推公式求出数列 的通项，再利用裂项相消法求解作答.
【详解】数列 的前n项和为 ， ， ，当 时， ，
两式相减得： ，即 ，而 ，解得 ，
因此数列 是首项为2，公比为2的等比数列， ，
，
所以 .故答案为： .
2-2、（2023·江苏泰州·统考一模）在① 成等比数列，② ，③ 这三个条件
中任选两个，补充在下面问题中，并完成解答.
已知数列 是公差不为0的等差数列，其前 项和为 ，且满足__________，__________.
(1)求 的通项公式；
(2)求 .
注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案计分.
【答案】(1)选①②，①③或②③均可得 (2)
【分析】（1）选出两个条件，根据等差数列通项公式和求和公式基本量计算出首项和公差，得到通项公
式；
（2）在第一问的基础上，得到 ，利用裂项相消法求和.
【详解】（1）若选①②，设 公差为 ，
则 ，
解得： ，
；
选①③，设 公差为 ，
，解得： ，
；
选②③，设 公差为 ，
，
解得： ，
；
（2） ，
.
2-3、（2022·河北张家口·高三期末）已知 是数列 的前 项和， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 .
【答案】(1)
(2)
【解析】
(1)当 时，由 ，得 ，
则 .当 时，有 ，符合上式.
综上， .
(2)由（1）得， ，
则
.
题组三、分组求和
3-1、（2023·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预测）在① ，② ，③ 这三个条
件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.
已知等差数列 的公差为 ，等差数列 的公差为 .设 分别是数列 的前 项和，
且 ， ，
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 .
【答案】（1） ；（2）
【分析】方案一：（1）根据等差数列的通项公式及前n项和公式列方程组，求出 和 ，从而写出数列
的通项公式；
（2）由第（1）题的结论，写出数列 的通项 ，采用分组求和、等比求和公
式以及裂项相消法，求出数列 的前 项和 .其余两个方案与方案一的解法相近似.
【详解】解：方案一：
（1）∵数列 都是等差数列，且 ，
，解得
，
综上
（2）由（1）得：
方案二：
（1）∵数列 都是等差数列，且 ，
解得
，
.
综上，
（2）同方案一
方案三：（1）∵数列 都是等差数列，且 .
，解得 ，
，
.
综上，
（2）同方案一
3-2、（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）已知数列 ，前n项和为 ，且满足 ，
， ， ， ，等比数列 中， ，且 ， 成等差数列．
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)记 为区间 中的整数个数，求数列 的前n项和 ．
【答案】(1) ， ；(2)
【分析】（1）根据 ， ， 得到 为等差数列，根据通项公式和求和公式基本量
计算出首项和公差，得到 的通项公式，再利用等比数列通项公式基本量计算出 和公比，求出
的通项公式；
（2）在第一问的基础上得到 ，分组求和，结合等差数列和等比数列求和公式求出答案.
【详解】（1） ， ， ，
即 ， ， ，
故 为等差数列，设公差为 ，故 ， ，
解得： ， ，
所以 ，
设等比数列 的公比为 ， ，
因为 ， 成等差数列，所以 ，
即 ，与 联立得： 或0（舍去），
且 ，故 ，
（2）由题意得： 为 中的整数个数，
故 ，
所以
.
3-3、（2022·山东莱西·高三期末）已知数列 的前n项和为 ，且 ， ， 为等差数列；数列 满
足 ， .
(1)求数列 的前n项和 ；
【解析】(1)
解：因为 ， ， 为等差数列，所以 ，所以 ，两式相减得
，即 ，所以数列 是以2为公比的等比数列，
又 ， ，所以 ，解得 ，所以 ， ，
所以 ，
所以
，
所以 ；
题组四、错位相减
4-1、（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）数列 满足 ， ，则
__________
【答案】
【分析】由已知整理得 ，先利用累乘法求数列 的通项，再利用错位相减法求其前2021项的
和，从而得到结果.
【详解】由 得： ，
；设 ，
则 ，
，
，
，即 ，
， ，
.
故答案为： .
4-2、（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三期末）已知 是公差为1的等差数列，且 ， ， 成等比
数列．
（Ⅰ）求 的通项公式；
（Ⅱ）求数列 的前n项和．
【答案】（1） ．（2） ．
【解析】
【分析】
（1）根据等差数列通项公式和等比中项定义，求得首项和公差，进而求得 的通项公式．
（2）数列 可以看成等差数列与等比数列的乘积，因而前n项和可用错位相减法求解．
【详解】
（1）由题意得 ， ，故 ，所以 的通项公式为 ．
（2）设数列 的前 项和为 ，则
，
，两式相减得
，
所以 ．
4-3、（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））设 是公比不为1的等比数列， 为 ，
的等差中项．
（1）求 的公比；
（2）若 ，求数列 的前 项和．
【解析】1）设 的公比为 ， 为 的等差中项，
，
；
（2）设 的前 项和为 ， ，
，①
，②
① ②得，，
题组五、奇偶项
5-1、（2022·山东烟台·高三期末）已知数列 满足 ， ．
(1)记 ，证明：数列 为等比数列，并求 的通项公式；
(2)求数列 的前2n项和 ．
【解析】(1)
依题意， ，
而 ，
所以数列 是以1为首项， 为公比的等比数列， ， .
(2)由(1)知， ，则有 ，
又 ，则 ，
于是有 ，
因此，
，
所以 .
5-2、(2022·江苏新高考基地学校第一次大联考期中)(10分)已知等差数列满足，n∈N*．
(1)求的通项公式；
(2)设求数列的前2n项和．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】（1）设等差数列 的公差为 ，由已知可得 与已知条件两式相减可得
求得 的值，再由 求得 的值，利用等差数列的通项公式可得 的通项
公式；
的
（2）当 为奇数时， ，当 为偶数时， ，再利用分组并项求和以及等比数列
求和公式即可求解.
【小问1详解】
因为 ，所以 ，所以 ，
设等差数列 的公差为 ，则 ，可得 ，
当 时， ，可得 ，所以 .
【小问2详解】
当 为奇数时， ，当 为偶数时， ，
所以1、（2023·湖南郴州·统考三模）已知函数 的图象在点 处的切线的斜率为
，则数列 的前 项和 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】 ，则 ，
所以 ，
所以 .
故选：C.
2、（2023·江苏南京·校考一模）（多选题）提丢斯·波得定律是关于太阳系中行星轨道的一个简单的几何
学规则，它是在1766年由德国的一位中学老师戴维斯·提丢斯发现的，后来被柏林天文台的台长波得归纳
成一条定律，即数列 ：0.4，0.7，1，1.6，2.8，5.2，10，19.6，…，表示的是太阳系第 颗行星与太阳
的平均距离(以天文单位 为单位).现将数列 的各项乘以10后再减 ，得到数列 ，可以发现数列
从第3项起，每项是前一项的2倍，则下列说法正确的是（ ）
A．数列 的通项公式为
B．数列 的第2021项为
C．数列 的前 项和
D．数列 的前 项和
【答案】CD【分析】由题意可得数列 由此可得数列 从第2项起构成公比为2的等比
数列，从而可求出其通项公式，判断选项A，由于 ，所以可求出数列 的通项公式，从而可
判断B，对于C，利用分组求和可求出数列 的前 项和，对于D，利用错位相减法可求出数列 的
前 项和
【详解】数列 各项乘以10再减4得到数列
故该数列从第2项起构成公比为2的等比数列，所以 故A错误；
从而 所以 故B错误
当 时 ；
当 时
0.3.
当 时 也符合上式，所以 故C正确
因为 所以当 时
当 2时 ，
所以
所以又当 时 也满足上式，所以 ，故D正确.
故选：CD.
3、（2023·江苏南京·校考一模）已知等比数列 的前 项和为 , , .
(1)求数列 的通项公式.
(2)令 ,求数列 的前 项和 .
【答案】(1) ；(2)
【分析】（1）将题设条件转化为 ，从而得到 ，进而求出公比 ，由此得解；
（2）利用（1）结论，结合裂项相消求和法即可得解.
【详解】（1）当 时,
即 ,又 是等比数列, ;
数列 的通项公式为: .
（2）由（1）知, ,
,
即 .
4、（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）已知等比数列 的前n项和为 （b为常
数）．
(1)求b的值和数列 的通项公式；(2)记 为 在区间 中的项的个数，求数列 的前n项和 ．
【答案】(1) ； ；(2)
【分析】（1）依题意等比数列 的公比不为1，再根据等比数列前 项和公式得到 ，即
可得到 且 ，从而求出 、 ，即可得解；
（2）首先令 ， ，即可求出 的取值范围，从而求出 ，即可得到 ，
再利用错位相减法求和即可；
【详解】（1）解：由题设 ，显然等比数列 的公比不为1，
若 的首项、公比分别为 、 ，则 ，
∴ 且 ，所以 ，
故 的通项公式为 ．
当 时， ；
（2）解：令 ， ，解得 ，所以
数列 在 中的项的个数为 ，则 ，所以 ，
∵ ，①
∵ ②
两式相减得∴ ．
∴5、（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）已知等差数列 的前 项和为 ， ， ．
正项等比数列 中， ， ．
(1)求 与 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 ．
【答案】(1) ， ；(2)
【分析】（1）根据等差数列和等比数列的通项公式即可求的通项公式.
（2）利用错位相减法整理化简即可求得前 项和 ．
【详解】（1）等差数列 的前 项和为 ， ， ，设公差为
所以 ，解得
所以
正项等比数列 中， ， ，设公比为
所以 ，所以
解得 ，或 （舍去）
所以
（2）由（1）知：
所以
两式相减得：6、（2023·安徽·统考一模）已知在递增数列 中， 为函数 的两个零点，数列
是公差为2的等差数列.
(1)求数列 的通项公式；
(2)设数列 的前 项和为 ，证明： .
【答案】(1) ；(2)见解析.
【分析】（1）求出函数 的零点，并求出数列 的通项，再利用累加法求出 的通项；
（2）由（1）的结论，利用裂项相消法求和作答.
【详解】（1）函数 的零点为3，8，而数列 递增，则 ， ，
因此数列 是以5为首项，2为公差的等差数列，则 ，
当 时，
，而 也满足上式，
所以数列 的通项公式是 .
（2）证明：由（1）得 ，
因此
，而 ，
所以 .
