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专题一 三角函数与解三角形
第1讲 三角恒等变换
一、知识梳理：
1、变换公式
正弦
和差角公式
倍角公式
余弦
(a1b1+a2b2+⋯+anbn)
2
正切
¿(a1
2+a2
2+⋯+an
2)
2(b1
2+b2
2+⋯+bn
2)
2
(aibi∈R,i=1,2⋯n)
2、角的变换
指角的“配”与“凑”、函数名(弦切互化)、次数(降与升) 、运算结构(和与积)的变换；
已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换；配凑变形技巧，如：
2
，
2
2
；
2
2
，
2
2
2
；
(
)
(
)
2
2
2
2
；
2
2[(
)
]
2[(
)
]
(
)
(
)
(
)
(
)
；
2
(
)
，2
(
)
；
15
45
30 ,75
45
30
；
4
2
4
等.
3、辅助角公式：
2
2
2
2
2
2
sin
cos
(
sin
cos
)
sin(
)
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
，
期中
2
2
2
2
cos
,sin
,tan
a
b
b
a
a
b
a
b
.
二、考点透析
考点1 三角恒等变换与同角关系
1．（2025·全国二卷·高考真题）已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
，
因为
，则
，则
，
则
.
故选：D.
2．（2025·四川成都·三模）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】等式
两边平方可得，
，即
.
.
故选：C
考点2 三角恒等变换与角的变换
1．已知
，
，则
( )
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【详解】依题意，得
，所以
，
所以
，
所以
，故选B.
2．（2025·广东广州·一模）已知
，则
．
【答案】
【详解】由
，得
，
则
，所以
.
故答案为：
.
3．（2025·湖北十堰·三模）已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为
，所以
，
因为
，所以
，
故
，所以
，
即
，故
.
故选：A.
4．（2025·浙江·三模）已知
，且满足
，则
，则
．
【答案】
【详解】因为
，
，所以
，
由
得
，
即
，所以
，
所以
，得
，
所以
．故答案为：
考点3 三角恒等变换与解三角形、三角函数综合
1．记
ABC
△
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
cos
sin 2
1 sin
1
cos2
A
B
A
B
.
（1）若
2π
3
C
，求B；
（2）求
2
2
2
a
b
c
的最小值.
【答案】（1）
π
6
B
（2）
【详解】（1）因为
2
3
C
，所以
3
A
B
，
所以
1
3
cos
cos
sin
cos
3
2
2
1 sin
3
1
1 sin
1
cos
sin
3
2
2
B
B
B
A
A
B
B
B
，
又
2
sin 2
2sin
cos
sin
1 cos2
2cos
cos
B
B
B
B
B
B
B
，
所以
2
2
1
3
3
1
cos
sin
cos
sin
sin
cos
sin
2
2
2
2
B
B
B
B
B
B
B
，
所以
1
sin
2
B
，
又
0, 3
B
，所以
6
B
.
（2）由（1）得
，
所以
，且
，
所以
，
，
所以
，解得
，
由正弦定理得
，
当且仅当
时取等号，
所以
的最小值为
.
2．（2025·黑龙江大庆·三模）已知函数
．
(1)求
的最小正周期及单调递减区间；
(2)将
图象上所有点的横坐标变为原来的2 倍，再将
的图象向右平移
个单位
后，再将纵坐标变为原来的
，最终得到
的图象，若
，满足不等式
，求
的取值范围．
【答案】(1)
，
(2)
【详解】（1）
，
所以
，
所以
的周期为
，
由
得
，
所以
的单调递减区间为
.
（2）将
图象上所有点的横坐标变为原来的2 倍，即可得到
，
再将
的图象向右平移
个单位，得到
，
再将纵坐标变为原来的
，即可得到
，
因为
，
，
所以当
，时，
，
令
，
，则
，所以当
时，
取得最小值，最小值为
所以
，解得
或
，
故
的取值范围为
．
三、跟踪练习
1．（2025·宁夏银川·三模）利用诱导公式可以将任意角的三角函数值转化为0°～90°
之间的三角函数值，右表是部分5°的奇数倍锐角的正切值（用字母代替），则
（ ）
5
°
15
°
25
°
35
°
m
n
p
q
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
，故选：B.
2．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）已知
为锐角，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为
为锐角，即
，则
，
又
，则
，且
，
所以
．
故选：C．
3．已知
，
，则
( )
A.
B.
3
m
C. 3
m
D.3m
3．【答案】A
【详解】由
得
①.
由
得
②，由①②得
，
所以
，故选A.
4．（2025·湖南岳阳·三模）已知
，
，则
（ ）
A．2
B．1
C．
D．
【答案】B
【详解】由
得：
，
再两边平方得:
,
又因为
，所以
，
则
，
故选：B.
5．已知为第一象限角，为第三象限角，tan
tan
4
，tan
tan
2
1
，
则sin(
)
___________.
【答案】
【详解】由题意，
，
所以
，故
，
代入
可得
，
所以
，
因为
，
分别为第一象限角、第三象限角，所以
，
其中m，
，两式相加得：
，
记
，则
，且
，
所以
在第三象限或y 轴负半轴或第四象限，故
.
6．（25-26 高三上·四川内江·阶段练习）设函数
，其
中
，已知函数
的图象关于点
成中心对称．
(1)求函数
解析式；
(2)若
，且
．
（i）求
的值；
（ii）求
值．
【答案】(1)
；
(2)（i）
；（ii）
【详解】（1）
，
将
代入得
，故
，
解得
，又
，故当
时，
满足要求，
所以
；
（2）（i）由题意得
，故
，
（ii）因为
，所以
，
因为
，所以
，
故
，
，
又
，故
，
又
，所以
，
所以
，
因为
，
，所以
，
因为
，所以
.
