第02 讲 三角恒等变换
目录
考情探究.........................................................................................................................2
知识梳理.........................................................................................................................3
探究核心考点.................................................................................................................4
考点一 两角和差公式的直接应用 ............................................................................................4
考点二 两角和差公式的逆用及变形 ........................................................................................5
考点三 辅助角公式......................................................................................................................6
考点四 二倍角公式的直接应用..................................................................................................8
考点五 二倍角公式的逆用及变形..............................................................................................9
考点六 半角公式和万能公式....................................................................................................10
考点七 积化和差和差化和积....................................................................................................11
考点八 三角恒等变换多选题....................................................................................................12
考点九 三角恒等变换的应用....................................................................................................13
三阶突破训练...............................................................................................................16
基础过关......................................................................................................................................16
能力提升......................................................................................................................................17
真题感知......................................................................................................................................18
一、5 年真题考点分布
5 年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2025 年新Ⅱ卷，第8 题,5 分
两角和差公式、二倍角公式
无
2025 年北京卷，第8 题,5 分
辅助角公式
三角函数的性质
2024 年新Ⅱ卷，第13 题,5 分
两角和差公式
无
2024 年甲卷，第9 题,5 分
两角和差公式
同角三角函数关系
2024 年甲卷，第13 题,5 分
辅助角公式
三角函数的性质
2024 年新I 卷，第4 题,5 分
两角和差公式
同角三角函数关系
2023 年新Ⅱ卷，第7 题,5 分
二倍角公式
无
2023 年新I 卷，第8 题,5 分
两角和差公式、二倍角公式
无
2023 年新I 卷，第6 题,5 分
两角和差公式
同角三角函数关系
二、命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度中等，分值为5 分
【备考策略】1.理解、掌握两角和差公式，并熟练运用
2.理解、掌握二倍角公式，会处理一倍角和二倍角的转化，也能理解降幂公式
3.理解、掌握辅助角公式，会把三角函数y =asin x +bcosx转化为y = Asin(ωx +φ)的形式
4.理解和化积、积化和、万能公式
【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般是对公式的各种变形，难度有所上升，结合其他知识
点一起考核的概率有所上升。
1 两角和差的正弦，余弦与正切公式
① 余弦两角和差公式
cos (α ± β)=
②正弦两角和差公式
sin (α ± β)=
③正切两角和差公式
tan (α ± β)=
2 辅助角公式
asin x +bcosx = 其中tan φ= b
a.
3 二倍角的正弦余弦正切公式
① sin 2α =
② cos2α =
= =
③ tαn2α =
4 降幂公式
co s
2α = sin
2α =
5半角公式
sin α
2 = cos α
2 = tan α
2 =
6 万能公式
sin α = cosα = tan α =
7 积化和公式
sinα ∙cosβ =
cosα ∙cosβ =
sinα ∙sinβ =
8 和化积公式
sinα + sinβ =
sinα - sinβ =
cosα +cosβ =
cosα -cosβ =
考点一 两角和差公式的直接应用
典例1．（2025•深圳模拟）已知sin(α + β)
sin(α - β) =3，则tanα
tanβ =（ ）
A．1
3
B．1
2
C．2
D．3
典例2．（2025·福建福州·模拟预测）已知sin(α + β)=m，tanα =2tan β，则sin(α - β)=（ ）
A．-3m
B．3m
C．- m
3
D．m
3
【总结】
1 要熟记公式cos (α ± β)=cos α cos β ∓ sin α sin β，
sin (α ± β)=sin αcos β ± cos αsin β，tan (α ± β)=
tan α ± tan β
1 ∓ tan α tan β ；
2 对公式中α 、β的理解，它们可表示为一个数字、一个字母，甚至一个式子，在运用公式时要灵活。
跟踪训练1．（2025·广西柳州·模拟预测）已知tan(α +π
4 )=-2，则cosα
cosα -sinα =（ ）
A．1
2
B．-2
C．2
D．- 1
2
跟踪训练2．（2025•广东模拟）已知sinαsinβ = 3
5，cos(α + β)=- 2
5，则cos（α﹣β）＝（ ）
A．1
5
B．2
5
C．3
5
D．4
5
跟踪训练3．（2025·海南三亚·一模）已知0< β <α <π
2 ，且sin(α - β)= 3
5，tanα -tan β =1，则
sinα sin β =（ ）
A．1
5
B．2
5
C．3
5
D．4
5
跟踪训练4．（2025•亳州二模）已知sin（x﹣y）＝cos（x+y），tan（x﹣y）＝3，则tanxtany＝（ ）
A．1
2
B．- 1
2
C．3
2
D．- 3
2
考点二 两角和差公式的逆用及变形
典例1．（2024·新疆·二模）设α ∈(0,π
2 ), β ∈(0,π
2 )，且tanα -tan β =
1
cos β ，则（ ）
A．3α - β =π
2
B．2α - β =π
2
C．3α + β =π
2
D．2α + β =π
2
典例2．（2025·海南·模拟预测）若cos(α - β)= 5
13 ,cos2α = 1
3，且α为锐角，β为钝角，则cos(α + β)=
（ ）
A．5+24 ❑√2
39
B．5-24 ❑√2
39
C．12+10 ❑√2
39
D．12-10 ❑√2
39
【总结】
1 对两角和差公式的逆用，你先要明确公式中的α、β所指，式子只有两个角或看成两个角的式子；
2 在凑角的过程中，我们要掌握已知角和未知角之间是否存在某些线性关系，常见的有α =(α + π
4 )- π
4 ，
α =(α + β)- β，(α + β)+(α - β)=2α等等。
跟踪训练1 ．（2025• 山海关区模拟）设α ∈(0，π
2 )，β ∈(0，π
2 )，且
1
tanα +
1
tanβ =
1
sinβ ，则
（ ）
A．2α + β = π
2
B．α +2 β = π
2
C．α+2β＝π
D．2α+β＝π
跟踪训练2．（2025•信阳一模）
2cos65° cos15°
tan15° cos10°+sin10° 的值为（ ）
A．2+ ❑√3
2
B．1+ ❑√3
2
C．2+ ❑√3
4
D．1+ ❑√3
4
跟踪训练3．（2025•东莞市模拟）若cos（α﹣β）=
❑√5
5 ，cos2α =
❑√10
10 ，且α，β 均为锐角，α＜β，则
α+β＝
A．π
6
B．π
4
C．3 π
4
D．5 π
6
跟踪训练4．（2025·江苏徐州·模拟预测）已知sin α = 2
3 ,sin(α +2 β)= 5
6 ，则sin(α + β)cos β =（ ）
A．3
4
B．- 3
4
C．2
3
D．- 2
3
考点三 辅助角公式
典例1．（2025·江苏宿迁·模拟预测）已知❑√3cosα -sin α =1，则cos(2α +π
3 )=（ ）
A．-
❑√3
2
B．- 1
2
C．1
2
D．
❑√3
2
典例2．（2025·河北邢台·三模）已知函数f ( x)=sin 2 x +acos2 x的图象过点(0,❑√3)，将f ( x)的图象向
右平移π
12个单位长度后，得到函数g( x)的图象，则g( x)的图象的对称轴为（ ）
A．x =π
3 + k π
2 ，k ∈Z
B．x =π
6 + k π
2 ，k ∈Z
C．x = 5π
6 +k π，k ∈Z
D．x = 13π
12 +k π，k ∈Z
典例3．（多选）（2025·四川·模拟预测）已知函数f (x)= ❑√3sin2 x +2cos
2 x，则下列说法中正确的是
（ ）
A．f (x)的图象关于点(
5π
12 ,0)对称
B．f (x)的图象关于直线x =π
6 对称
C．若f (x1)- f (x2)= 4，则|x1- x2|的最小值为π
2
D．若f (x1)+ f (x2)=2(x1≠x2)，则|x1+ x2|的最小值为π
2
【总结】
1 辅助角公式asin x +bcosx =
❑√a
2+b
2 sin (x +φ) ,其中tan φ= b
a.
2 熟记两个特殊角的化简过程
a:b=1:1型，配π
4
sinx ±cosx = ❑√2sin ( x ± π
4 )
a:b= ❑√3:1型，配π
6 或π
3
sinx ± ❑√3cosx =2sin(x ± π
3)
❑√3 sinx ±cosx =2sin(x ± π
6)
3 遇到求解类似y =asin x +bcosx三角函数的性质，往往用辅助角公式把函数化简为y = A sin (ωx +φ)的
形式再分析。
跟踪训练1．（2025·河北保定·二模）已知3 ❑√3cosα -3sinα = 4，则cos2α - ❑√3sin2α =（ ）
A．- 1
3
B．- 2
9
C．- 1
9
D．2
9
跟踪训练2．（2025·四川广安·模拟预测）已知函数f ( x)=sin(2 x +φ)+cos(2 x +φ) (φ∈[0,π])为偶函
数，则φ的值为（ ）
A．π
6
B．π
4
C．π
3
D．π
2
跟踪训练3．（2025·海南·模拟预测）在△ABC中，点P为BC边上一点，已知⃗
AP = 1
2 sin A ⋅⃗AB+
❑√3
2 cos A ⋅⃗AC，则角A的大小为（ ）
A．π
6
B．π
3
C．π
4
D．π
2
跟踪训练4．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知函数f ( x)=asin x - ❑√3cos x的一条对称轴为x =-π
6 ，且
f ( x1)⋅f ( x2)=- 4，则|x1+ x2|的最小值为（ ）
A．π
3
B．π
2
C．2π
3
D．4π
3
跟踪训练5．（2025·甘肃甘南·模拟预测）函数f ( x)=2cos
2ωx +2❑√3sin ωx cosωx -1(0<ω<1)图象的
一条对称轴为直线x = π
3 ，且y = f ( λx)( λ>0)在[0,π]上有且仅有三个零点，则实数λ的取值范围是
．
考点四 二倍角公式的直接应用
典例1．（2025•开福区模拟）已知角α 的终边在射线y＝﹣2x（x≤0）上，则sin(2α - π
4 )=（ ）
A．-
❑√2
10
B．
❑√2
10
C．-
❑√2
5
D．
❑√2
5
典例2．（2025·海南海口·模拟预测）若tanθ =2tan α，sin(θ+α )= 3
4 ，则cos(2θ -2α )=（ ）
A．- 3
8
B．3
8
C．5
8
D．7
8
【总结】
1
要
熟
记
公
式
sin2α =2sinαcosα，
cos2α =co s
2α - sin
2α =1-2sin
2α =2co s
2α -1，
tαn2α = 2 tαnα
1-tα n
2α
；
2 对公式中α的理解，它们可表示为一个数字、一个字母，甚至一个式子，在运用公式时要灵活；比如
sin 4 α，cos α
2 都可用二倍角公式，sin 4 α =2sin 2αcos2α，cos α
2 =cos
2 α
4 -sin
2 α
4 ，主要看所求角和已
知角之间是否存在两倍的关系.
跟踪训练1．（2025•合肥模拟）若tanα＝2，则
cos2α
co s
2α -2sin
2α 的值为（ ）
A．1
B．3
7
C．- 3
7
D．﹣1
跟踪训练2．（2025·山东德州·三模）已知
❑√2sin α =sin(α -π
4 )，则sin2α +cos
2α =（ ）
A．3
4
B．1
2
C．- 1
4
D．- 1
2
跟踪训练3．（2025·山东泰安·模拟预测）若α ∈(
π
2 ,π)，且5(1+cos2α )-10sin 2α =3，则tan 2α =
（ ）
A．-7
B．1
3
C．7
24
D．7
25
跟踪训练4．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知tan(α + β)=3,tan(α - β)=1，则sin 4 β =（ ）
A．2
5
B．3
5
C．3
4
D．4
5
考点五 二倍角的逆用及变形
典例1．（2025•北碚区模拟）1551 年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三
角形的边长之比定义正割，余割和余切．在某直角三角形中，一个锐角θ 的斜边与邻边的比，叫做θ 的
正割，用secθ 表示；其斜边与对边的比，叫做θ 的余割，用cscθ 表示；其邻边与对边的比，叫做θ 的
余切，用cotθ 表示，则cot 20°(❑√3cot 70° -1)
sec10°
=（ ）
A．1
B．﹣1
C．2
D．﹣2
典例2．（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知sin(x -π
24)=
❑√2
3 ，则cos(2 x + 11π
12 )=（ ）
A．- 5
9
B．- 7
9
C．5
9
D．7
9
【总结】
1 对二倍角公式的逆用，你先要明确公式中的α所指；
2 在凑角的过程中，我们要掌握已知角和未知角之间是否存在某些线性关系，常见的有2α =2(α + π
4 )- π
4 ，
2α + β =2(α + β)- β，(α + β)+(α - β)=2α等等，若觉得在凑角上有困难，也可以采取换元法；
3 降幂公式co s
2α = 1+cos2α
2
， sin
2α = 1-cos2α
2
可以达到降幂的效果。
跟踪训练1．（2020•白云区模拟）计算sin6°cos6°cos18°+sin18°（cos26°- 1
2）的结果是（ ）
A．- 1
2
B．1
4
C．- 1
4
D．1
2
跟踪训练2．（2025•新余模拟）已知θ∈( π
4 ，π
2 )，tan( π
2 -2θ)tan( π
4 -θ)= 1
4 ，则sin(2θ - π )
co s
2θ+sin 2θ
=
．
跟踪训练3．（2025•商丘模拟）记tan π
32 =m，若1
2 tan π
8 + 1
4 tan π
16 + 1
8 tan π
32 = 1
am -1，则实数a＝
．
考点六 半角公式和万能公式
典例1．（2025·甘肃兰州·模拟预测）若 α ∈(- π
2 , π
2)，且 sin α =- 2❑√2
3
，则 cos α
2 等于（ ）
A．1
3
B．
❑√3
3
C．2
3
D．
❑√6
3
典例2．（2023·河北·模拟预测）若α ∈(0, π
2), cos2α
1+ tan
2α
= 3
8，则cos(α + π
6)=（ ）
A．
❑√3
2
B．
❑√2
2
C．1
2
D．1
【总结】
1 熟练掌握公式
半角公式sin α
2 = ± ❑√
1-cosα
2
cos α
2 =± ❑√
1+cosα
2
tan α
2 =± ❑√
1-cosα
1+cosα
万能公式sin α =
2tan α
2
1+tan
2 α
2
cosα =
1-tan
2 α
2
1+tan
2 α
2
tan α =
2tan α
2
1-tan
2 α
2
2 理解公式是用二倍角公式推到得到的，对公式中的α要有清晰的理解。
跟踪训练1．（2025·广西·模拟预测）已知tan (π +α )=3，则cos(
π
2 -2α)=（ ）
A．3
5
B．3
10
C．3
4
D．3 ❑√10
10
跟踪训练2．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知α为锐角，且sin β cos(α - β)-cos β sin(β -α )= 4
5 ，则
tan α
2 =（ ）
A．1
3
B．1
2
C．2
3
D．3
4
跟踪训练3．（2025·江西新余·模拟预测）已知α , β ∈(0,π
2 ),cos
2α -cos
2 β = 1
5 ,cos(α + β)= 2❑√2
3
，则
tan α - β
2
=（ ）
A．- 1
3
B．1
3
C．3
D．-3
跟踪训练4．（2023·湖北·二模）已知sin α sin(
π
3 -α)=3cosα sin(α +π
6 )，则cos(2α +π
3 )=（ ）
A．-
❑√3
2
B．－1
C．1
2
D．
❑√3
2
考点七 积化和差和差化和积
典例1．（2025·湖南常德·一模）已知cos2α =2sin
2 β - 5
6 ,cos(α - β)= 1
4 ，则tanα tan β =（ ）
A．1
7
B．7
C．- 1
7
D．-7
典例2．（2025·湖南邵阳·模拟预测）函数f (x)=cos3 x -cos2 x在区间[-π,2π]的零点个数为（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
【总结】
1 熟练掌握公式
积化和公式
sinα ∙cosβ = 1
2 [sin (α + β)+sin (α - β)]
cosα ∙cosβ = 1
2 [cos(α + β)+cos(α - β)]
sinα ∙sinβ = 1
2 [cos(α - β)-cos(α + β)]
和化积公式
sinα + sinβ =2sin α + β
2
cos α - β
2
sinα - sinβ =2cos α + β
2
sin α - β
2
cosα +cosβ =2cos α + β
2
cos α - β
2
cosα -cosβ =-2sin α + β
2
sin α - β
2
2 理解公式是用两角和差公式推到得到的，对公式中的α 、β要有清晰的理解；
3 遇到一些多倍角时常用和化积公式和积化和公式。
跟踪训练1．（2025·吉林长春·一模）已知x1，x2是函数f (x)=cos3 x -cos2 x，x∈(0,π )的两个零点，
则|x1- x2|= ．
跟踪训练2．（2025·江西南昌·二模）已知α、β终边不重合，sinα -3cos β =sin β -3cosα，则
tan(α + β)=（ ）
A．3
2
B．2
3
C．4
3
D．3
4
跟踪训练3．（2025·江西·二模）已知函数f ( x)=sin( x +2θ)+cos( x + 4θ)，θ∈(0,π
4 )是偶函数，则
g( x)=sin x⋅sin( x + 4θ)的最大值为（ ）
A．- 1
4
B．3
4
C．1
D．1
4
考点八 三角恒等变换多选题
典例1．（多选）（2025·浙江杭州·模拟预测）已知
π
4 ≤α ≤π，π≤β ≤3π
2 ，sin2α = 4
5 ，cos(α + β)=-
❑√2
10 ，则下列结论正确的是（ ）
A．cos2α = 3
5
B．sinα -cosα =
❑√5
5
C．sin(α + β)= 7 ❑√2
10
D．β -α = 3π
4
典例2．（多选）（2025·黑龙江辽宁·模拟预测）已知锐角α , β满足
1-cos2α
2sin α -sin 2α =
sin 2 β
1+cos2 β ,
1
tan α +
1
tan β +
2
tan α tan β =2，则（ ）
A．α +2 β =π
B．tan (α + β)=-2
C．sin α = 3
5
D．tan α :tan β =2:3
跟踪训练1．（多选）（2025·湖南长沙·二模）已知sin β +cos β = 1
5，β ∈(0,π )，则下列各式正确的有
（ ）
A．sin 2 β =- 24
25 B．sin β -cos β =± 7
5 C．cos2 β = 7
25
D．tan β =- 4
3
跟踪训练2．（多选）（2025·山东聊城·三模）已知sin(α - β)=- 1
6 ，sinα cos β = 1
3，则（ ）
A．cosα sin β =- 1
2
B．sin(α + β)= 5
6
C．3tanα =2tan β
D．sin2α sin2 β = 1
12
跟踪训练3．（多选）（2025·湖北宜昌·二模）已知cosα cos β = 1
3 ,cos(α + β)= 1
4 ，则（ ）
A．sinα sin β = 1
12
B．cos(α - β)= 1
6
C．tanα tan β = 1
4
D．cos2α +cos2 β = 5
24
考点九 三角恒等变换的应用
典例1．（2025•河西区校级模拟）已知函数f ( x)=sin 2 x - ❑√3cos2 x，则（ ）
A．要得到f（x）的图象，只需将y＝sin2x 的图象向右平移π
3 个单位
B．f（x）的图象关于点( 5 π
12 ，0)对称
C．f（x）在区间(- 5 π
18 ，- π
12 )上单调递减
D．若x1≠x2，且f（x1）＝f（x2）＝﹣2，则|x1﹣x2|的最小值为π
2
典例2．（2025•北京模拟）设函数f ( x)= sinωxcosφ+cosωxsinφ(ω＞0，|φ|＜π
2 )．
（1）若f (0)=-
❑√3
2 ，求φ 的值．
（2）已知f（x）在区间[- π
3 ，2π
3 ]上单调递增，f ( 2π
3 )=1，再从条件①、条件②、条件③这三个
条件中选择一个作为已知，使函数f（x）存在，求ω，φ 的值．
条件①：f ( π
3 )= ❑√2；
条件②：f (- π
3 )=-1；
条件③：f（x）在区间[- π
2 ，- π
3 ]上单调递减．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一
个解答计分．
【总结】
遇到求解类似y =asin x +bcosx三角函数的性质，往往用辅助角公式把函数化简为y = A sin (ωx +φ)的形
式再分析。
跟踪训练1．（2025•河南模拟）已知函数f（x）＝sin2x+acos2x 满足f ( x)≤|f ( π
12 )|恒成立，则当
x∈[- π
2 ，3 π
2 ]时，曲线y＝f（x）与y＝sinx 的交点个数为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
跟踪训练2．（2025•北海四模）密位制是一种用于测量角度的单位系统，尤其在军事领域中被广泛使用．
例如：狙击手在调整射击角度时，可以使用密位制来精确计算目标的距离和角度．密位制的基本原理是
将一个圆周分为6000 等份，每一份称为1 密位．将函数f ( x)=-co s
2 x - ❑√3 sinxcosx + 1
2的图象向左平
移φ（φ＞0）个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ 最小值的密位数为 ．
跟踪训练3 ．（2025• 浑南区校级模拟）若函数f （x ）的定义域内存在x1 ，x2 （x1≠x2 ），使得
f ( x1)+ f ( x2)
2
=1成
立
，
则
称
该
函
数
为
“
完
整
函
数
”
．
已
知
f ( x)=
❑√3
2 sin(ωx - π
6 )- 1
2 cos(ωx + 5 π
6 )(ω＞0)是[ π
2 ，3 π
2 ]上的“完整函数”，则ω 的取值范围
为（ ）
A．[3，4）
B．[3，+∞）
C．[2，4）
D．[4，+∞）
跟踪训练4．（2025•汕头二模）已知函数f（x）＝sinkx•sinkx+coskx•coskx
cos
﹣
k2x，其中k∈N*．
（1）当 k＝1 时，求方程f ( x)=1-
❑√3
2 的解集；
（2）若f（x）是偶函数，当k 取最小值时，求函数g( x)= f ( x)
tanx + sinx +cosx的取值范围；
（3）若f（x）是常数函数，求k 的值．
1（2025·云南昭通·模拟预测）已知角α的终边经过点P(
1
2 ,
❑√3
2 )，则cos(
π
3 +α)=（ ）
A．1
2
B．- 1
2
C．
❑√3
2
D．-
❑√3
2
2（2025·四川巴中·二模）已知0<α <π
2 , β ∈(
π
2 ,π),sinα = 1
2 ,sin β = 12
13，则cos(α - β)等于（ ）
A．5 ❑√3-12
26
B．12-5 ❑√3
26
C．-5 ❑√3-12
26
D．12+5 ❑√3
26
3（2025·云南·模拟预测）下列选项中，值为❑√3的是（ ）
A．4 sin15° cos15°
B．2(cos 46° cos16° -sin 46° sin16°)
C．1+ tan15°
1- tan15°
D．8cos10° cos20° cos 40°
4（2025·山西·模拟预测）若cos(α + β)cos β = 1
m，tan(α + β)= 3cos β
sin β ，则cos2α =（ ）
A．32
m
2 -1
B．16
m
2 -1
C．4
m
2 -1
D．2
m
2 -1
5（2025·吉林长春·模拟预测）已知tan(α +π
4 )=7，则sin2α的值是（ ）
A．3
4
B．4
5
C．12
25
D．24
25
6（2025·河北邢台·二模）已知α ∈[π, 5π
4 ]，β ∈[
π
3 ,π
2 ]，且sinα -cosα = ❑√2cos β，则α - β =
（ ）
A．π
4
B．π
2
C．2π
3
D．3π
4
7（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知3+sin(2α +π
2 )=3sin 2α，则tan α =（ ）
A．1
B．2
C．-1或2
D．1 或2
8（2025·甘肃·模拟预测）函数f (x)=sin x (sin x -cos x)-1的最小正周期为（ ）
A．π
2
B．π
C．2π
D．4π
9（2025·江苏镇江·模拟预测）已知函数f ( x)= ❑√3sin ωx -cosωx(ω>0)，若集合¿恰有3 个元素，则实数
ω的取值范围是（ ）
A．[2, 10
3 ]
B．(2, 10
3 ]
C．[ 10
3 ,4 ]
D．( 10
3 ,4 ]
10（多选）（2025·甘肃白银·三模）已知α为锐角，若cos2α = 3
5，则（ ）
A．sin 2α = 4
5
B．tan α = 1
3
C．2sin α +cosα
cosα -sin α = 4
D．sin(α +π
4 )+cos(α +π
4 )= 2❑√5
5
11（多选）（2025·浙江·三模）已知α为锐角，若tan 2α =
3sin α
cosα +sin α ，则下列说法正确的有（ ）
A．α的终边经过点(3,1)
B．sin(π+α )=
❑√10
10
C．❑√1+cos2α = 3 ❑√5
5
D．若α + β =π
4 ，则tan β = 1
2
12（多选）（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知函数f ( x)=2cos
2(x -π
8 )-1，则（ ）
A．2π是f ( x)的一个周期
B．f ( x)在区间[
π
4 , 3π
4 ]上单调递减
C．f(x - 3 π
8 )是奇函数
D．f ( x)在区间(0,π)上恰有2 个极值点
1（2025·安徽合肥·模拟预测）已知α , β为锐角，sinα =
❑√5
5 ,sin(α - β)=
❑√10
10 ，则tan(2α - β)的值为
（ ）
A．
❑√2
2
B．❑√2
C．1
D．- 1
7
2（2025·辽宁鞍山·模拟预测）已知sin(α - β)= 2
3，cos(α + β)= 3
4 ，则sin2α sin2 β =（ ）
A．- 1
144
B．- 17
144
C．71
144
D．73
144
3（2025·山东青岛·模拟预测）已知函数f (x)=sin x +sin(x +θ)+sin(x +2θ)，θ∈(0,π
2 )，且
f(
5π
6 )=0，则当x∈[0,π]时，f (x)的值域为（ ）
A．[-
❑√3+1
2
,
❑√3+1
2 ]
B．[
❑√3+1
2
,
❑√3+3
2 ]
C．[-
❑√3+1
2
,❑√3+1]
D．[
❑√3+1
2
,❑√3+1]
4（2025·河北·模拟预测）设函数f (x)=sinωx cosωx + ❑√3cos
2ωx -
❑√3
2 在区间(0,π
2 )恰有三个极值点、
两个零点，则正实数ω的取值范围是（ ）
A．[
5
3 , 13
6 )
B．[
5
3 , 19
6 )
C．(
13
6 , 8
3]
D．(
13
6 , 19
6 ]
5（2025·全国·模拟预测）将一个圆20 等分，每份圆弧所对的圆心角为α，则∑
k =1
19
cos
2kα =（ ）
A．8
B．17
2
C．19
2
D．9
6（多选）（2025·福建福州·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，点P(x , y)是曲线|x|+|y|=1上的动点，
点A坐标为(1, 0)，射线OA从x轴的非负半轴开始，绕点O按逆时针方向旋转角θ，终止位置为OP．定义：
C (θ)= x , S (θ)= y，则（ ）
A．C(
π
4 )+ S(
π
4 )=1
B．C(θ+π
2 )+ S (θ)=0
C．∀θ∈(0, π
2 ), C (θ)≥
❑√2
2 cosθ
D．∀θ∈(0, π
4 ), 2S (θ)≤S (2θ)
7（多选）（2025·福建福州·模拟预测）自元朝以来，穹顶便广泛应用于中国建筑中．作为“北京十六景”
之一的地标性建筑，国家大剧院也采纳了穹顶设计，如图．初步设计穹顶建模的步骤大致为：（I）将半径
为1 的圆O（圆心为O）沿直径PQ分为两部分，得到半圆弧；（II）保留其中一个半圆弧，将其
n(n≥2,n∈N
*)等分，从端点P出发依次连接各个等分点至另一个端点Q，得到折线
P - A1- A2-⋯- An-1-Q；（III）将折线绕PQ所在直线旋转，得到旋转体；（IV）不断调整n值至合适，
选取需要的旋转体部分并进行再调整．设（III）中所得旋转体的表面积为Sn，∠PO Ak的正弦值为
T k(k ≤n-1,k ∈N
*)，则（ ）
A．5-2❑√6> Sn+1- Sn
Sn+1+ Sn
>0
B．S2
S3
= 2❑√2
3
C．当n=180时，T 29
T 30
> 29
30
D．S99> 395
99 π
8（2025·江苏泰州·模拟预测）已知锐角α，β满足2cos(2α + β)+cos β =0，则tan α + tan β的最小值为
.
9（2023·山东·模拟预测）已知△ABC内角分别为A ,B ,C，且满足cos B
2 +2sin A -C
2
=0，则
5
sin A +
9
sinC 的最小值为 .
1（2025·全国二卷·高考真题）已知0<α <π，cos α
2 =
❑√5
5 ，则sin(α - π
4)=（ ）
A．
❑√2
10
B．
❑√2
5
C．3 ❑√2
10
D．7 ❑√2
10
2（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知α为锐角，cosα = 1+ ❑√5
4
，则sin α
2 =（ ）．
A．3- ❑√5
8
B．-1+ ❑√5
8
C．3- ❑√5
4
D．-1+ ❑√5
4
3（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知cos(α + β)=m,tan α tan β =2，则cos(α - β)=（ ）
A．-3m
B．- m
3
C．m
3
D．3m
4（2024·全国甲卷·高考真题）已知cosα
cosα -sinα = ❑√3，则tan(α +π
4 )=（ ）
A．2❑√3+1
B．2❑√3-1
C．
❑√3
2
D．1- ❑√3
5（2025·北京·高考真题）设函数f ( x)=sin ωx +cosωx(ω>0)，若f ( x +π)= f ( x)恒成立，且f ( x)在
[0,π
4 ]上存在零点，则ω的最小值为（ ）
A．8
B．6
C．4
D．3
6（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知sin (α - β)= 1
3 ,cosα sin β = 1
6 ，则cos(2α +2 β)=（ ）．
A．7
9
B．1
9
C．- 1
9
D．- 7
9
7（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）过点(0,-2)与圆x
2+ y
2- 4 x -1=0相切的两条直线的夹角为α，则sin α =
（ ）
A．1
B．
❑√15
4
C．
❑√10
4
D．
❑√6
4
8（2024·全国甲卷·高考真题）函数f (x)=sin x - ❑√3cos x在[0,π]上的最大值是 ．
9（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan α + tan β = 4，
tan α tan β = ❑√2+1，则sin(α + β)= .
