第02 讲 三角恒等变换
目录
考情探究.........................................................................................................................2
知识梳理.........................................................................................................................3
探究核心考点.................................................................................................................4
考点一 两角和差公式的直接应用 ............................................................................................4
考点二 两角和差公式的逆用及变形 ........................................................................................6
考点三 辅助角公式......................................................................................................................8
考点四 二倍角公式的直接应用................................................................................................12
考点五 二倍角公式的逆用及变形............................................................................................15
考点六 半角公式和万能公式....................................................................................................17
考点七 积化和差和差化和积....................................................................................................20
考点八 三角恒等变换多选题....................................................................................................22
考点九 三角恒等变换的应用....................................................................................................25
三阶突破训练...............................................................................................................30
基础过关......................................................................................................................................30
能力提升......................................................................................................................................35
真题感知......................................................................................................................................43
一、5 年真题考点分布
5 年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2025 年新Ⅱ卷，第8 题,5 分
两角和差公式、二倍角公式
无
2025 年北京卷，第8 题,5 分
辅助角公式
三角函数的性质
2024 年新Ⅱ卷，第13 题,5 分
两角和差公式
无
2024 年甲卷，第9 题,5 分
两角和差公式
同角三角函数关系
2024 年甲卷，第13 题,5 分
辅助角公式
三角函数的性质
2024 年新I 卷，第4 题,5 分
两角和差公式
同角三角函数关系
2023 年新Ⅱ卷，第7 题,5 分
二倍角公式
无
2023 年新I 卷，第8 题,5 分
两角和差公式、二倍角公式
无
2023 年新I 卷，第6 题,5 分
两角和差公式
同角三角函数关系
二、命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度中等，分值为5 分
【备考策略】1.理解、掌握两角和差公式，并熟练运用
2.理解、掌握二倍角公式，会处理一倍角和二倍角的转化，也能理解降幂公式
3.理解、掌握辅助角公式，会把三角函数y =asin x +bcosx转化为y = Asin(ωx +φ)的形式
4.理解和化积、积化和、万能公式
【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般是对公式的各种变形，难度有所上升，结合其他知识
点一起考核的概率有所上升。
1 两角和差的正弦，余弦与正切公式
① 余弦两角和差公式
cos (α ± β)= cos α cos β ∓ sin α sin β
②正弦两角和差公式
sin (α ± β)= sin αcos β ± cos αsin β
③正切两角和差公式
tan (α ± β)=
tan α ± tan β
1 ∓ tan α tan β
2 辅助角公式
asin x +bcosx =
❑√a
2+b
2 sin (x +φ) 其中tan φ = b
a.
3 二倍角的正弦余弦正切公式
① sin2α = 2sinαcosα
② cos2α = co s
2α - sin
2α
= 1-2sin
2α = 2co s
2α -1
③ tαn2α = 2 tαnα
1-tα n
2α
4 降幂公式
co s
2α = 1+cos2α
2
sin
2α = 1-cos2α
2
5半角公式
sin α
2 = ± ❑√
1-cosα
2
cos α
2 = ± ❑√
1+cosα
2
tan α
2 = ± ❑√
1-cosα
1+cosα
6 万能公式
sin α =
2tan α
2
1+tan
2 α
2
cosα =
1-tan
2 α
2
1+tan
2 α
2
tan α =
2tan α
2
1-tan
2 α
2
7 积化和公式
sinα ∙cosβ = 1
2 [sin (α + β)+sin (α - β)]
cosα ∙cosβ = 1
2 [cos(α + β)+cos(α - β)]
sinα ∙sinβ = 1
2 [cos(α - β)-cos(α + β)]
8 和化积公式
sinα + sinβ = 2sin α + β
2
cos α - β
2
sinα - sinβ = 2cos α + β
2
sin α - β
2
cosα +cosβ = 2cos α + β
2
cos α - β
2
cosα -cosβ = -2sin α + β
2
sin α - β
2
考点一 两角和差公式的直接应用
典例1．（2025•深圳模拟）已知sin(α + β)
sin(α - β) =3，则tanα
tanβ =（ ）
A．1
3
B．1
2
C．2
D．3
【答案】C
【分析】利用正弦的和差角公式以及弦化切化简即可求解．
【解答】解：由sin(α + β)
sin(α - β) = sinαcosβ +cosαsinβ
sinαcosβ -cosαsinβ = tanα +tanβ
tanα -tanβ =3 可得：tanα＝2tanβ，
所以tanα
tanβ =2．
故选：C．
典例2．（2025·福建福州·模拟预测）已知sin(α + β)=m，tanα =2tan β，则sin(α - β)=（ ）
A．-3m
B．3m
C．- m
3
D．m
3
【答案】D
【分析】首先切化弦，然后用两角和与差的正弦公式进行求解即可得到答案.
【详解】因为tan α =2tan β，所以sin α
cosα =2 sin β
cos β ，化简得：
sin α cos β =2cosα sin β.
因为sin (α + β)=sin α cos β +cosα sin β =m，所以3cosα sin β =m.
所以cosα sin β = m
3 .
所以sin (α - β)=sin α cos β -cosα sin β =2cosα sin β -cosα sin β =cosα sin β = m
3 .
故选：D.
【总结】
1 要熟记公式cos (α ± β)=cos α cos β ∓ sin α sin β，
sin (α ± β)=sin αcos β ± cos αsin β，tan (α ± β)=
tan α ± tan β
1 ∓ tan α tan β ；
2 对公式中α 、β的理解，它们可表示为一个数字、一个字母，甚至一个式子，在运用公式时要灵活。
跟踪训练1．（2025·广西柳州·模拟预测）已知tan(α +π
4 )=-2，则cosα
cosα -sinα =（ ）
A．1
2
B．-2
C．2
D．- 1
2
【答案】D
【分析】先应用两角和正切公式计算得出tan α =3，再弦化切得出齐次式的值.
【详解】因为tan(α +π
4 )=-2，所以tan(α +π
4 )=tanα +1
1-tanα =-2，
所以tanα =3，则cosα
cosα -sinα =
1
1-tanα =
1
1-3 =- 1
2.
故选：D.
跟踪训练2．（2025•广东模拟）已知sinαsinβ = 3
5，cos(α + β)=- 2
5，则cos（α﹣β）＝（ ）
A．1
5
B．2
5
C．3
5
D．4
5
【答案】D
【分析】由已知结合和差角公式即可求解．
【解答】解：因为sinαsinβ = 3
5，cos(α + β)=- 2
5 =cosαcosβ
sinαsinβ
﹣
＝cosαcosβ- 3
5，
所以cosαcosβ= 1
5，
则cos（α
β
﹣）＝cosαcosβ+sinαsinβ= 1
5 + 3
5 = 4
5 ．
故选：D．
跟踪训练3．（2025·海南三亚·一模）已知0< β <α <π
2 ，且sin(α - β)= 3
5，tanα -tan β =1，则
sinα sin β =（ ）
A．1
5
B．2
5
C．3
5
D．4
5
【答案】A
【分析】利用切化弦可得sin (α - β)
cosα cos β =1，进而求得cosα cos β = 3
5，利用同角的平方关系求得
cos(α - β)= 4
5 ，最后利用两角差的余弦公式求得sinα sin β = 1
5即可.
【详解】由tanα -tan β =1，得sin α
cosα - sin β
cos β =1，所以sin α cos β -cosα sin β
cosα cos β
=1，
所以sin (α - β)
cosα cos β =1，又sin(α - β)= 3
5，所以cosα cos β = 3
5，
又0< β <α <π
2 ，所以0<α - β <π
2 ，又因为sin(α - β)= 3
5，
所以cos(α - β)=
❑√1-sin
2(α - β)= 4
5 ，所以cosα cos β +sinα sin β = 4
5 ，
所以sinα sin β = 1
5，故A 正确.
故选：A.
跟踪训练4．（2025•亳州二模）已知sin（x﹣y）＝cos（x+y），tan（x﹣y）＝3，则tanxtany＝（ ）
A．1
2
B．- 1
2
C．3
2
D．- 3
2
【答案】B
【分析】根据两角和差的正弦、余弦和正切公式，及同角三角函数关系化简求值即可．
【解答】解：根据题意可知cosxcosy≠0，
因为sin（x
y
﹣）＝cos（x+y），
所以sinxcosy
cosxsiny
﹣
＝cosxcosy
sinxsiny
﹣
，
所以sinxcosy+sinxsiny＝cosxsiny+cosxcosy，
整理得sinx（cosy+siny）＝cosx（siny+cosy），
得tanx（1+tany）＝tany+1，即tanx
tany
﹣
＝1
tanxtany
﹣
，
又因为tan（x
y
﹣）＝3，
所以tanx -tany
1+tanxtany = 1-tanxtany
1+tanxtany =3，解得tanxtany =- 1
2，
故选：B．
考点二 两角和差公式的逆用及变形
典例1．（2024·新疆·二模）设α ∈(0,π
2 ), β ∈(0,π
2 )，且tanα -tan β =
1
cos β ，则（ ）
A．3α - β =π
2
B．2α - β =π
2
C．3α + β =π
2
D．2α + β =π
2
【答案】B
【分析】根据同角的商数关系以及两角差的正弦公式，利用诱导公式即可得出结果.
【详解】由题设sinα
cosα -sin β
cos β =sinα cos β -cosα sin β
cosα cos β
=sin(α - β)
cosα cos β =
1
cos β ，所以
sin(α - β)=cosα，
因为α ∈(0,π
2 )，则cosα >0，又因为β ∈(0,π
2 )，则α - β ∈(0,π
2 )，
又sin(α - β)=cosα =sin(
π
2 -α)，
所以α - β =π
2 -α，解得2α - β =π
2 ．
故选：B
典例2．（2025·海南·模拟预测）若cos(α - β)= 5
13 ,cos2α = 1
3，且α为锐角，β为钝角，则cos(α + β)=
（ ）
A．5+24 ❑√2
39
B．5-24 ❑√2
39
C．12+10 ❑√2
39
D．12-10 ❑√2
39
【答案】B
【分析】先确定α - β的范围，再根据同角三角函数的关系求得sin(α - β)的值，利用0<2α <π，
cos2α = 1
3可求sin 2α，最后根据cos(α + β)=cos[2α -(α - β)]，运用余弦差角公式求值即可.
【详解】由题意可知，0<α <π
2 ,π
2 < β <π，
所以-π<a- β <0，cos(α - β)= 5
13，得sin(α - β)=- 12
13，
又0<2α <π，且cos2α = 1
3，所以sin 2α = 2❑√2
3
，
cos(α + β)=cos[2α -(α - β)]
=cos2α cos(α - β)+sin 2α sin(α - β)
= 1
3 × 5
13 + 2❑√2
3
×(- 12
13)= 5-24 ❑√2
39
.
故选：B．
【总结】
1 对两角和差公式的逆用，你先要明确公式中的α、β所指，式子只有两个角或看成两个角的式子；
2 在凑角的过程中，我们要掌握已知角和未知角之间是否存在某些线性关系，常见的有α =(α + π
4 )- π
4 ，
α =(α + β)- β，(α + β)+(α - β)=2α等等。
跟踪训练1 ．（2025• 山海关区模拟）设α ∈(0，π
2 )，β ∈(0，π
2 )，且
1
tanα +
1
tanβ =
1
sinβ ，则
（ ）
A．2α + β = π
2
B．α +2 β = π
2
C．α+2β＝π
D．2α+β＝π
【答案】D
【分析】由已知结合同角基本关系，和差角公式进行化简即可求解．
【解答】解：α ∈(0，π
2 )，β ∈(0，π
2 )，且1
tanα +
1
tanβ =
1
sinβ ，
则cosα
sinα + cosβ
sinβ = sinβcosα + sinαcosβ
sinαsinβ
=
1
sinβ ，
所以sin（α+β）＝sinα，
所以α+β+α＝2α+β＝π．
故选：D．
跟踪训练2．（2025•信阳一模）
2cos65° cos15°
tan15° cos10°+sin10° 的值为（ ）
A．2+ ❑√3
2
B．1+ ❑√3
2
C．2+ ❑√3
4
D．1+ ❑√3
4
【答案】A
【分析】由同角的商数关系，两角和的正弦公式，降幂公式，化简求值即可．
【解答】解：
2cos65° cos15°
tan15° cos10°+sin10° =
2cos65° co s
215°
sin15° cos10⋅+sin10° cos15°
= sin 25°×(1+cos30°)
sin 25°
=1+
❑√3
2 = 2+ ❑√3
2
．
故选：A．
跟踪训练3．（2025•东莞市模拟）若cos（α﹣β）=
❑√5
5 ，cos2α =
❑√10
10 ，且α，β 均为锐角，α＜β，则
α+β＝（ ）
A．π
6
B．π
4
C．3 π
4
D．5 π
6
【答案】C
【分析】利用两角和差的余弦公式进行转化求解即可．
【解答】解：∵α+β＝2α﹣（α
β
﹣）
∴cos（α+β）＝cos[2α﹣（α
β
﹣）]＝cos2αcos（α
β
﹣）+sin2αsin（α
β
﹣），
∵α，β 均为锐角，α＜β，
∴0＜2α＜π，- π
2 ＜α
β
﹣＜0，
则sin2α= ❑√1- 10
100 = ❑√
90
100 = 3 ❑√10
10
，
sin（α
β
﹣）=- 2❑√5
5
，
则cos（α+β）=
❑√10
10 ×
❑√5
5 - 3 ❑√10
10
× 2❑√5
5
= 5 ❑√2
50 - 30 ❑√2
50
=-
❑√2
2 ，
则α+β= 3 π
4 ，
故选：C．
跟踪训练4．（2025·江苏徐州·模拟预测）已知sin α = 2
3 ,sin(α +2 β)= 5
6 ，则sin(α + β)cos β =（ ）
A．3
4
B．- 3
4
C．2
3
D．- 2
3
【答案】A
【分析】由sin α =sin (α + β - β)，sin(α +2 β)=sin(α + β + β)展开即可求解.
【详解】sin α =sin (α + β - β)=sin(α + β)cos β -cos(α + β)sin β = 2
3，
sin(α +2 β)=sin(α + β + β)=sin(α + β)cos β +cos(α + β)sin β = 5
6 ，
两式联立可得sin(α + β)cos β = 3
4 ，
故选：A
考点三 辅助角公式
典例1．（2025·江苏宿迁·模拟预测）已知❑√3cosα -sin α =1，则cos(2α +π
3 )=（ ）
A．-
❑√3
2
B．- 1
2
C．1
2
D．
❑√3
2
【答案】B
【分析】利用辅助角公式得cos(α +π
6 )= 1
2，又cos(2α +π
3 )=cos[2(α +π
6 )]，利用二倍角的余弦公
式即可求解.
【详解】由❑√3cosα -sin α =1得2cos(α +π
6 )=1⇒cos(α +π
6 )= 1
2，
又因为cos(2α +π
3 )=cos[2(α +π
6 )]=2cos
2(α +π
6 )-1=2×(
1
2)
2
-1=- 1
2，
故选：B.
典例2．（2025·河北邢台·三模）已知函数f ( x)=sin 2 x +acos2 x的图象过点(0,❑√3)，将f ( x)的图象向
右平移π
12个单位长度后，得到函数g( x)的图象，则g( x)的图象的对称轴为（ ）
A．x =π
3 + k π
2 ，k ∈Z
B．x =π
6 + k π
2 ，k ∈Z
C．x = 5π
6 +k π，k ∈Z
D．x = 13π
12 +k π，k ∈Z
【答案】B
【分析】根据题意先求a，再利用三角恒等变换化简，最后由图像的变换得g(x)即可求解.
【详解】因为函数f ( x)=sin 2 x +acos2 x的图象过点(0,❑√3)，所以a= ❑√3，
所以f ( x)=sin 2 x + ❑√3cos2 x =2(
1
2 sin 2 x +
❑√3
2 cos2 x)=2sin(2 x +π
3 )，
将其图象向右平移π
12个单位长度得到g( x)=2sin(2 x +π
6 )的图象，
令2 x +π
6 =π
2 +k π，k ∈Z，解得x =π
6 + k π
2 ，k ∈Z.
故选：B
典例3．（多选）（2025·四川·模拟预测）已知函数f (x)= ❑√3sin2 x +2cos
2 x，则下列说法中正确的是
（ ）
A．f (x)的图象关于点(
5π
12 ,0)对称
B．f (x)的图象关于直线x =π
6 对称
C．若f (x1)- f (x2)= 4，则|x1- x2|的最小值为π
2
D．若f (x1)+ f (x2)=2(x1≠x2)，则|x1+ x2|的最小值为π
2
【答案】BC
【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简，由函数的性质可逐一可验证求解.
【详解】f (x)= ❑√3sin2 x +2cos
2 x = ❑√3sin2 x +cos2 x +1=2sin(2 x +π
6 )+1，
易知函数f (x)对称中心不在x 轴上，故A 错误；
f(
π
6 )=2sin(2×π
6 +π
6 )+1=3，函数f (x)最大值也是3，故B 正确；
f (x1)- f (x2)= 4，所以f (x1),f (x2)分别为函数最大值和最小值，
|x1- x2|min= 1
2 T =π
2 ，故C 正确；
f (x1)+ f (x2)=2sin(2 x1+π
6 )+1+2sin(2 x2+π
6 )+1=2，
即sin(2 x1+π
6 )=-sin(2 x2+π
6 )，
其中一中情况2 x1+π
6 +2 x2+π
6 =2k π,k ∈Z，
此时x1+ x2=-π
6 +k π,k ∈Z，|x1+ x2|的最小值为π
6 ，故D 错误；
故选：BC.
【总结】
1 辅助角公式asin x +bcosx =
❑√a
2+b
2 sin (x +φ) ,其中tan φ = b
a.
2 熟记两个特殊角的化简过程
a:b=1:1型，配π
4
sinx±cosx = ❑√2sin ( x ± π
4 )
a:b= ❑√3:1型，配π
6 或π
3
sinx ± ❑√3cosx =2sin(x ± π
3)
❑√3 sinx ±cosx =2sin(x ± π
6)
3 遇到求解类似y =asin x +bcosx三角函数的性质，往往用辅助角公式把函数化简为y = A sin (ωx +φ)的
形式再分析。
跟踪训练1．（2025·河北保定·二模）已知3 ❑√3cosα -3sinα = 4，则cos2α - ❑√3sin2α =（ ）
A．- 1
3
B．- 2
9
C．- 1
9
D．2
9
【答案】B
【分析】结合已知根据辅助角公式得cos(α +π
6 )= 2
3，然后根据辅助角公式及二倍角余弦公式求解即可.
【详解】由3 ❑√3cosα -3sinα = 4，得
❑√3
2 cosα - 1
2 sinα = 2
3，所以cos(α +π
6 )= 2
3，
所以cos2α - ❑√3sin2a=2cos(2a+π
3 )=2[2cos
2(a+π
6 )-1]=2×(2× 4
9 -1)=- 2
9．
故选：B
跟踪训练2．（2025·四川广安·模拟预测）已知函数f ( x)=sin(2 x +φ)+cos(2 x +φ) (φ∈[0,π])为偶函
数，则φ的值为（ ）
A．π
6
B．π
4
C．π
3
D．π
2
【答案】B
【分析】利用辅助角公式化简函数f ( x)= ❑√2sin(2 x +φ+π
4 )，利用偶函数性质f （- x ）= f （x ），
可得-2 x +φ+π
4 =2 x +φ+π
4 +2k π，或-2 x +φ+π
4 =π-(2 x +φ+π
4 )+2k π，结合φ∈[0,π]即
可求解.
【详解】函数f （x ）为偶函数，需满足f （- x ）= f （x ）.
将函数化简：f ( x)=sin(2 x +φ)+cos(2 x +φ)= ❑√2sin(2 x +φ+π
4 ).
由偶函数性质得：
❑√2sin(-2 x +φ+π
4 )= ❑√2sin(2 x +φ+π
4 )
即sin(-2 x +φ+π
4 )=sin(2 x +φ+π
4 )
利用正弦函数的性质，可得：
-2 x +φ+π
4 =2 x +φ+π
4 +2k π（舍去，因为不恒成立），
或-2 x +φ+π
4 =π-(2 x +φ+π
4 )+2k π
解得：2φ+π
2 =π+2k π，即φ =π
4 +k π
结合φ∈[0,π]，得φ=π
4 .
故选：B.
跟踪训练3．（2025·海南·模拟预测）在△ABC中，点P为BC边上一点，已知
⃗
AP = 1
2 sin A ⋅⃗AB+
❑√3
2 cos A ⋅⃗AC，则角A的大小为（ ）
A．π
6
B．π
3
C．π
4
D．π
2
【答案】A
【分析】由三点共线、辅助角公式可得sin(A +π
3 )=1，结合A的范围即可求解.
【详解】因为在△ABC中，点P为BC边上一点，已知⃗AP = 1
2 sin A ⋅⃗AB+
❑√3
2 cos A ⋅⃗AC，
所以1
2 sin A +
❑√3
2 cos A =1，即sin(A +π
3 )=1，
而A ∈(0,π)⇒A +π
3 ∈(
π
3 ,4π
3 )，所以A +π
3 =π
2
，解得A =π
6 .
故选：A.
跟踪训练4．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知函数f ( x)=asin x - ❑√3cos x的一条对称轴为x =-π
6 ，且
f ( x1)⋅f ( x2)=- 4，则|x1+ x2|的最小值为（ ）
A．π
3
B．π
2
C．2π
3
D．4π
3
【答案】C
【分析】先根据对称轴确定函数f ( x)的解析式，再利用f ( x1)⋅f ( x2)=- 4，借助正弦函数的最值求出
x1, x2的值，即可求出|x1+ x2|的最小值.
【详解】f ( x)=asin x - ❑√3cos x =
❑√a
2+3sin( x -φ)（其中tan φ =
❑√3
a ），
由题意知f ( x)的一条对称轴为x =-π
6 ，所以-π
6 -φ =π
2 + k π(k ∈Z)，
即φ =- 2
3 π-k π (k ∈Z)，所以tan(- 2
3 π-k π)=
❑√3
a (k ∈Z)，
解得a=1，所以原式f ( x)=2sin( x -π
3 ).
因为f ( x1)⋅f ( x2)=- 4，即sin( x1-π
3 )sin( x2-π
3 )=-1，
不妨令sin( x1-π
3 )=1，sin( x2-π
3 )=-1
所以x1-π
3 =2k1π+π
2 (k1∈Z)，x2-π
3 =2k2π-π
2 (k2∈Z)，
即x1=2k1π+5π
6 (k1∈Z)，x2=2k2π-π
6 (k2∈Z)，
所以|x1+ x2|=|2k1π+ 5
6 π+2k2π-π
6 |=|2(k1+k2)π+ 2
3 π|.
所以当k1=-k2时，|x1+ x2|取到最小值2π
3 .
故选：C
跟踪训练5．（2025·甘肃甘南·模拟预测）函数f ( x)=2cos
2ωx +2❑√3sin ωx cosωx -1(0<ω<1)图象的
一条对称轴为直线x = π
3 ，且y = f ( λx)( λ>0)在[0,π]上有且仅有三个零点，则实数λ的取值范围是
．
【答案】[
17
6 , 23
6 )
【分析】由三角恒等变换化简函数表达式，由函数对称轴可求得参数ω的值，从而可得
λx +π
6 ∈[
π
6 , λπ+π
6 ]，由y = f ( λx)( λ>0)在[0,π]上有且仅有三个零点即可列关于λ的不等式组求
解.
【详解】f ( x)=2cos
2ωx +2❑√3sin ωx cosωx -1 = ❑√3sin 2ωx +cos2ωx =2sin(2ωx +π
6 ).
∵函数f ( x)图象的一条对称轴为直线x =π
3 , ∴sin(2ω⋅π
3 +π
6 )=±1,
∴2ω⋅π
3 +π
6 =k π+π
2 ,k ∈Z，
解得ω= 3
2 k + 1
2 ,k ∈Z . ∵0<ω<1, ∴ω= 1
2 , ∴f ( x)=2sin(x +π
6 ), ∴f ( λx)=2sin(λx +π
6 ), λ>0．
当x∈[0,π]时，λx +π
6 ∈[
π
6 , λπ+π
6 ]，
∵y = f ( λx)( λ>0)在[0,π]上有且仅有三个零点，∴3π≤λπ+π
6 <4π，
解得17
6 ≤λ< 23
6 ，即实数λ的取值范围是[
17
6 , 23
6 )．
故答案为：[
17
6 , 23
6 ).
考点四 二倍角公式的直接应用
典例1．（2025•开福区模拟）已知角α 的终边在射线y＝﹣2x（x≤0）上，则sin(2α - π
4 )=（ ）
A．-
❑√2
10
B．
❑√2
10
C．-
❑√2
5
D．
❑√2
5
【答案】A
【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义可求tanα 的值，利用二倍角公式，同角三角函数基本关系式
可求得sin2α，cos2α 的值，进而利用两角差的正弦公式可求sin(2α - π
4 )的值．
【解答】解：因为角α 的终边在射线y＝﹣2x（x≤0）上，
所以tanα＝﹣2，可得sin2α=
2sinαcosα
sin
2α +co s
2α
=
2tanα
tan
2α +1
=- 4
5 ，cos2α= co s
2α - sin
2α
co s
2α + sin
2α
= 1-tan
2α
1+tan
2α
=- 3
5
，
则sin(2α - π
4 )=sin2αcosπ
4 -cos2αsinπ
4 =（- 4
5 ）×
❑√2
2 -（- 3
5）×
❑√2
2 =-
❑√2
10 ．
故选：A．
典例2．（2025·海南海口·模拟预测）若tanθ =2tan α，sin(θ+α )= 3
4 ，则cos(2θ -2α )=（ ）
A．- 3
8
B．3
8
C．5
8
D．7
8
【答案】D
【分析】由tanθ =2tan α正切化弦得到①，利用和角公式展开sin(θ+α )= 3
4 ，得到②，联立解得
sin α cosθ = 1
4 ，sinθcosα = 1
2，再利用差角公式和二倍角公式即可求得.
【详解】由tanθ =2tan α可得sinθ
cosθ = 2sin α
cosα ，即sinθcosα =2sin α cosθ，①．
由sin(θ+α )= 3
4 ，可得sinθcosα +sin α cosθ = 3
4 ，②
联立①，②，解得sin α cosθ = 1
4 ，sinθcosα = 1
2，
则sin(θ -α )=sinθcosα -sin α cosθ = 1
4 ，
故cos(2θ -2α )=1-2sin
2(θ -α )= 7
8.
故选：D．
【总结】
1
要
熟
记
公
式
sin2α =2sinαcosα，
cos2α =co s
2α - sin
2α =1-2sin
2α =2co s
2α -1，
tαn2α = 2 tαnα
1-tα n
2α
；
2 对公式中α的理解，它们可表示为一个数字、一个字母，甚至一个式子，在运用公式时要灵活；比如
sin 4 α，cos α
2 都可用二倍角公式，sin 4 α =2sin 2αcos2α，cos α
2 =cos
2 α
4 -sin
2 α
4 ，主要看所求角和已
知角之间是否存在两倍的关系.
跟踪训练1．（2025•合肥模拟）若tanα＝2，则
cos2α
co s
2α -2sin
2α 的值为（ ）
A．1
B．3
7
C．- 3
7
D．﹣1
【答案】B
【分析】由二倍角公式可得
cos2α
co s
2α -2sin
2α
= co s
2α - sin
2α
co s
2α -2sin
2α
，根据齐次式可得．
【解答】解：因为tanα＝2，
根据二倍角公式及同角基本关系可得，cos2α＝cos2α
sin2α
﹣
，tanα = sinα
cosα ，
则
cos2α
co s
2α -2sin
2α
= co s
2α - sin
2α
co s
2α -2sin
2α
= 1-tan
2α
1-2tan
2α
=
1- 4
1-2×4 = 3
7 ．
故选：B．
跟踪训练2．（2025·山东德州·三模）已知
❑√2sin α =sin(α -π
4 )，则sin2α +cos
2α =（ ）
A．3
4
B．1
2
C．- 1
4
D．- 1
2
【答案】D
【分析】利用差角的正弦公式化简求出tan α，再利用二倍角公式及齐次式法求解.
【详解】由
❑√2sin α =sin(α -π
4 )得，
❑√2sin α =
❑√2
2 sin α -
❑√2
2 cosα，
整理得sin α =-cosα，即tan α =-1，
所以sin2α +cos
2α =2sin α cosα +cos
2α = 2sin α cosα +cos
2α
cos
2α +sin
2α
= 2tan α +1
1+ tan
2α
=-2+1
1+1 =- 1
2.
故选：D
跟踪训练3．（2025·山东泰安·模拟预测）若α ∈(
π
2 ,π)，且5(1+cos2α )-10sin 2α =3，则tan 2α =
（ ）
A．-7
B．1
3
C．7
24
D．7
25
【答案】C
【分析】利用二倍角公式对已知条件进行化解，结合齐次式可求tan α，然后根据正切的二倍角公式可求
tan 2α.
【详解】∵ 5(1+cos2α )-10sin 2α =3
∴ 1
2 （1+cos2α ）-sin2α = 3
10 ， ∴ cos
2α -2sin α cosα = 3
10
∴ 1-2tan α
1+ tan
2α
= 3
10 ⇒3 tan
2α +20 tan α -7 =0
∴ tan α = 1
3
(舍),tan α =-7 ∴ tan 2α =
2tan α
1- tan
2α
= 2×（-7）
1-(-7)
2
= 7
24 .
故选：C.
跟踪训练4．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知tan(α + β)=3,tan(α - β)=1，则sin 4 β =（ ）
A．2
5
B．3
5
C．3
4
D．4
5
【答案】D
【分析】由tan 2 β = tan[(α + β)-(α - β)]，利用两角差的正切公式先求tan2 β，利用二倍角的正弦公式有
sin 4 β =2sin2 β cos2 β = 2tan2 β
1+ tan
22 β ，代入tan2 β即可求解.
【详解】由题意有tan2 β = tan[(α + β)-(α - β)]= tan (α + β)- tan (α - β)
1+ tan (α + β)tan (α - β) =
3-1
1+3×1 = 1
2，
所以sin 4 β =2sin 2 β cos2 β = 2sin 2 β cos2 β
sin
22 β +cos
22 β
= 2tan 2 β
1+ tan
22 β
=
2× 1
2
1+(
1
2)
2 = 4
5 ，
故选：D.
考点五 二倍角的逆用及变形
典例1．（2025•北碚区模拟）1551 年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三
角形的边长之比定义正割，余割和余切．在某直角三角形中，一个锐角θ 的斜边与邻边的比，叫做θ 的
正割，用secθ 表示；其斜边与对边的比，叫做θ 的余割，用cscθ 表示；其邻边与对边的比，叫做θ 的
余切，用cotθ 表示，则cot 20°(❑√3cot 70° -1)
sec10°
=（ ）
A．1
B．﹣1
C．2
D．﹣2
【答案】B
【分析】根据secθ、cscθ、cotθ 的定义，先将分式转化为关于正弦与余弦的表达式，然后根据诱导公式、
两角差的正弦公式与二倍角公式进行求解，即可得到本题的答案．
【解答】解：由题意得cot 20° =
1
tan20° ，cot70° =
1
tan70° ，sec10° =
1
cos10° ，
所以cot 20°(❑√3cot 70° -1)
sec10°
=
1
tan 20° (
❑√3
tan70° -1)
1
cos10°
= cos10°
tan 20° •
❑√3- tan70°
tan70°
= cos10° cos20°
sin 20°
⋅
❑√3cos70° -sin70°
sin70°
= cos10° cos20°
sin 20°
⋅
❑√3sin 20° -cos20°
cos20°
= cos10°(❑√3sin 20° -cos20°)
sin 20°
=
2cos10°(
❑√3
2 sin 20° - 1
2 cos20°)
sin 20°
= 2cos10° sin(20° -30°)
sin 20°
=-2cos10° sin10°
sin 20°
=-sin 20°
sin 20° =-1．
故选：B．
典例2．（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知sin(x -π
24)=
❑√2
3 ，则cos(2 x + 11π
12 )=（ ）
A．- 5
9
B．- 7
9
C．5
9
D．7
9
【答案】A
【分析】由cos(2 x + 11π
12 )=cos[2(x -π
24)+π]=-cos[2(x -π
24)]，利用二倍角的余弦公式即可求
解.
【详解】由cos(2 x + 11π
12 )=cos[2(x -π
24)+π]=-cos[2(x -π
24)]=-1+2sin
2(x -π
24)=- 5
9，
故选：A.
【总结】
1 对二倍角公式的逆用，你先要明确公式中的α所指；
2 在凑角的过程中，我们要掌握已知角和未知角之间是否存在某些线性关系，常见的有2α =2(α + π
4 )- π
4 ，
2α + β =2(α + β)- β，(α + β)+(α - β)=2α等等，若觉得在凑角上有困难，也可以采取换元法；
3 降幂公式co s
2α = 1+cos2α
2
， sin
2α = 1-cos2α
2
可以达到降幂的效果。
跟踪训练1．（2020•白云区模拟）计算sin6°cos6°cos18°+sin18°（cos26°- 1
2）的结果是（ ）
A．- 1
2
B．1
4
C．- 1
4
D．1
2
【答案】B
【分析】由已知利用二倍角公式，两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值即可计算得解．
【解答】解：sin6°cos6°cos18°+sin18°（cos26°- 1
2）
= 1
2sin12°cos18°+sin18°（1+cos12°
2
- 1
2）
= 1
2sin12°cos18°+ 1
2sin18°cos12°
= 1
2sin（12°+18°）
= 1
2sin30°
= 1
2 × 1
2
= 1
4 ．
故选：B．
跟踪训练2 ．（2025• 新余校级模拟）已知θ∈( π
4 ，π
2 )，tan( π
2 -2θ)tan( π
4 -θ)= 1
4 ，则
sin(2θ - π )
co s
2θ+sin 2θ
= ．
【答案】- 4
5
【分析】根据同角三角函数的基本关系与二倍角的正切公式，化简求得tanθ＝2，结合诱导公式及二倍角
公式化简，可得关于tanθ 的分式，进而代入数据求出答案．
【解答】解：由tan( π
2 -2θ)tan( π
4 -θ)= 1
4 ，可得
sin( π
2 -2θ)
cos( π
2 -2θ)
•tan（π
4 -θ）= 1
4 ，
所以cos2θ
sin 2θ •tan（π
4 -θ）= 1
4 ，可得tan（π
4 -θ）= 1
4 • sin 2θ
cos2θ = 1
4 tan 2θ，
所以1-tanθ
1+tanθ = 1
2 ×
tanθ
1-tan
2θ ，化简得tanθ＝2（1
tanθ
﹣
）2，
整理得2tan2θ
5tanθ+2
﹣
＝0，解得tanθ = 1
2或tanθ＝2，
因为θ∈( π
4 ，π
2 )，可得tanθ＝2，所以sin(2θ - π )
co s
2θ+sin 2θ
=-
2sinθcosθ
co s
2θ+2sinθcosθ
=-
2tanθ
1+2tanθ =- 4
5 ．
故答案为：- 4
5 ．
跟踪训练3．（2025•商丘模拟）记tan π
32 =m，若1
2 tan π
8 + 1
4 tan π
16 + 1
8 tan π
32 = 1
am -1，则实数a＝
．
【答案】8
【分析】根据给定条件，利用二倍角的正切公式裂项变换，再求和比对即可得解．
【解答】解：由tanx =
2tan x
2
1-tan
2 x
2
，得1
tanx =
1
2tan x
2
-
tan x
2
2
，
所以
tan x
2
2
=
1
2tan x
2
-
1
tanx ，
若1
2 tan π
8 + 1
4 tan π
16 + 1
8 tan π
32 = 1
am -1，
1
2 tan π
8 + 1
4 tan π
16 + 1
8 tan π
32
=
1
2tan π
8
-
1
tan π
4
+ 1
2 (
1
2tan π
16
-
1
tan π
8
)+ 1
4 (
1
2tan π
32
-
1
tan π
16
)
=
1
8 tan π
32
-1= 1
8m -1
，即1
am -1= 1
8m -1，所以a＝8．
故答案为：8．
考点六 半角公式和万能公式
典例1．（2025·甘肃兰州·模拟预测）若 α ∈(- π
2 , π
2)，且 sin α =- 2❑√2
3
，则 cos α
2 等于（ ）
A．1
3
B．
❑√3
3
C．2
3
D．
❑√6
3
【答案】D
【分析】由平方关系、半角公式即可求解.
【详解】因为 α ∈(- π
2 , π
2)，且 sin α =- 2❑√2
3
，
所以 cosα =
❑√1-sin
2α = 1
3，
又 α
2 ∈(- π
4 , π
4)，
所以 cos α
2 = ❑√
1+cosα
2
=
❑
√
1+ 1
3
2
=
❑√6
3
．
故选：D.
典例2．（2023·河北·模拟预测）若α ∈(0, π
2), cos2α
1+ tan
2α
= 3
8，则cos(α + π
6)=（ ）
A．
❑√3
2
B．
❑√2
2
C．1
2
D．1
【答案】C
【分析】将cos2α用1- tan
2α
1+ tan
2α
替换后，解方程解出α即可.
【详解】因为α ∈(0, π
2), cos2α
1+ tan
2α
= 3
8，
可得3(1+ tan
2α)=8× sin
2α -cos
2α
sin
2α +cos
2α
=8× 1- tan
2α
1+ tan
2α
，
可得3(1+ tan
2α)
2=8-8 tan
2α，
解得tan
2α = 1
3，因为α ∈(0, π
2)，所以tan α =
❑√3
3 ，
所以α = π
6 ，
所以cos(α + π
6)=cos π
3 = 1
2.
故选：C.
【总结】
1 熟练掌握公式
半角公式sin α
2 = ± ❑√
1-cosα
2
cos α
2 =± ❑√
1+cosα
2
tan α
2 =± ❑√
1-cosα
1+cosα
万能公式sin α =
2tan α
2
1+tan
2 α
2
cosα =
1-tan
2 α
2
1+tan
2 α
2
tan α =
2tan α
2
1-tan
2 α
2
2 理解公式是用二倍角公式推到得到的，对公式中的α要有清晰的理解。
跟踪训练1．（2025·广西·模拟预测）已知tan (π +α )=3，则cos(
π
2 -2α)=（ ）
A．3
5
B．3
10
C．3
4
D．3 ❑√10
10
【答案】A
【分析】先将两表达式结合诱导公式化简，再结合万能公式即可求解
【详解】tan (π +α )=3⇒tan α =3，cos(
π
2 -2α)=sin 2α = 2tan α
1+ tan
2α
= 2×3
1+3
2 = 3
5
故选：A
跟踪训练2．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知α为锐角，且sin β cos(α - β)-cos β sin(β -α )= 4
5 ，则
tan α
2 =（ ）
A．1
3
B．1
2
C．2
3
D．3
4
【答案】B
【分析】由诱导公式，两角和的正弦公式变形求得sin α，再求得cosα，然后由半角公式计算．
【详解】sin β cos(α - β)-cos β sin(β -α )=sin β cos(α - β)+cos β sin(α - β)=sin α = 4
5 ，
α是锐角，则cosα =
❑√1-sin
2α = 3
5，
tan α
2 =
sin α
1+cosα =
4
5
1+ 3
5
= 1
2，
故选：B．
跟踪训练3．（2025·江西新余·模拟预测）已知α , β ∈(0,π
2 ),cos
2α -cos
2 β = 1
5 ,cos(α + β)= 2❑√2
3
，则
tan α - β
2
=（ ）
A．- 1
3
B．1
3
C．3
D．-3
【答案】A
【分析】根据两角和差的余弦可得-sin(α + β)sin(α - β)= 1
5，再由同角三角函数的基本关系式得
sin(α + β)= 1
3，故可求sin(α - β)=- 3
5，从而求得tan α - β
2
.
【详解】因为cos
2α -cos
2 β = 1
2 (cos2α -cos2 β)
= 1
2 (cos[(α + β)+(α - β)]-cos[(α + β)-(α - β)]) =-sin(α + β)sin(α - β)= 1
5，
又因为cos(α + β)= 2❑√2
3
，且α , β ∈(0,π
2 )，α + β ∈(0,π),
所以sin(α + β)= 1
3，故sin(α - β)=- 3
5，
又由于α , β ∈(0,π
2 )，α - β ∈(-π
2 ,π
2 )所以cos(α - β)= 4
5 ，
由于tan α - β
2
=
sin(α - β)
1+cos(α - β) =- 1
3，
故选：A．
跟踪训练4．（2023·湖北·二模）已知sin α sin(
π
3 -α)=3cosα sin(α +π
6 )，则cos(2α +π
3 )=（ ）
A．-
❑√3
2
B．－1
C．1
2
D．
❑√3
2
【答案】C
【分析】应用诱导公式、商数关系可得tan α =3 tan(α +π
6 )，再由和角正切公式展开求得tan α =- ❑√3，
最后由cos(2α +π
3 )=
1- tan
2(α +π
6 )
1+ tan
2(α +π
6 )
求值即可.
【详解】由sin α sin(
π
3 -α)=sin α sin[π
2 -(α +π
6 )]=sin α cos(α +π
6 )=3cosα sin(α +π
6 )，
所以tan α =3 tan(α +π
6 )，则tan α =3×
tan α + tanπ
6
1- tan α tanπ
6
= 3 tan α + ❑√3
1-
❑√3
3 tan α
，
所以tan
2α +2❑√3 tan α +3=0，则tan α =- ❑√3，故tan(α +π
6 )=-
❑√3
3 ，
由cos(2α +π
3 )=
cos
2(α +π
6 )-sin
2(α +π
6 )
cos
2(α +π
6 )+sin
2(α +π
6 )
=
1- tan
2(α +π
6 )
1+ tan
2(α +π
6 )
= 1
2.
故选：C
考点七 积化和差和差化和积
典例1．（2025·湖南常德·一模）已知cos2α =2sin
2 β - 5
6 ,cos(α - β)= 1
4 ，则tanα tan β =（ ）
A．1
7
B．7
C．- 1
7
D．-7
【答案】C
【分析】先利用条件求出sin α sin β ,cosα cos β，然后可得答案.
【详解】因为cos2α =2sin
2 β - 5
6 ，所以cos2α +cos2 β = 1
6 ，
由和差化积公式可得2cos(α + β)cos(α - β)= 1
6，
因为cos(α - β)= 1
4 ，所以cos(α + β)= 1
3，
由cosα cos β +sin α sin β = 1
4 ，cosα cos β -sin α sin β = 1
3
可得cosα cos β = 7
24 ,sin α sin β =- 1
24 ，所以tan α tan β = sin α sin β
cosα cos β =- 1
7 .
故选：C
典例2．（2025·湖南邵阳·模拟预测）函数f (x)=cos3 x -cos2 x在区间[-π,2π]的零点个数为（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
【答案】C
【分析】由f (x)=cos3 x -cos2 x =-2sin 5 x
2 sin x
2，x∈[-π,2π]，令f (x)=0，求解x的值，判断选
项.
【详解】由f (x)=cos3 x -cos2 x =-2sin 5 x
2 sin x
2，x∈[-π,2π]，
令f (x)=0，则-2sin 5 x
2 sin x
2 =0，⇒sin 5 x
2 =0或sin x
2 =0，
故5 x
2 =k1π或x
2 =k2π,k1,k2∈Z，即x = 2k1π
5
或x =2k2π,k1,k2∈Z，
由x∈[-π,2π]，则-π≤2k1π
5
≤2π,或-π≤2k2π≤2π,k1,k2∈Z，
即- 5
2 ≤k1≤5,k1∈Z或- 1
2 ≤k2≤1,k2∈Z，
故k1=-2,-1,0,1,2,3,4,5或k2=0,1，
综上所述，存在8个零点,即为- 4π
5
,- 2π
5 .0. 2π
5 , 4π
5
, 6π
5 , 8π
5 ,2π.
故选：C.
【总结】
1 熟练掌握公式
积化和公式
sinα ∙cosβ = 1
2 [sin (α + β)+sin (α - β)]
cosα ∙cosβ = 1
2 [cos(α + β)+cos(α - β)]
sinα ∙sinβ = 1
2 [cos(α - β)-cos(α + β)]
和化积公式
sinα + sinβ =2sin α + β
2
cos α - β
2
sinα - sinβ =2cos α + β
2
sin α - β
2
cosα +cosβ =2cos α + β
2
cos α - β
2
cosα -cosβ =-2sin α + β
2
sin α - β
2
2 理解公式是用两角和差公式推到得到的，对公式中的α 、β要有清晰的理解；
3 遇到一些多倍角时常用和化积公式和积化和公式。
跟踪训练1．（2025·吉林长春·一模）已知x1，x2是函数f (x)=cos3 x -cos2 x，x∈(0,π )的两个零点，
则|x1- x2|= ．
【答案】2π
5
【分析】利用和差化积公式得f (x)=-2sin 5 x
2 sin x
2 ，再结合正弦函数性质即可得到答案.
【详解】根据和差化积公式得f (x)=cos3 x -cos2 x =-2sin 3 x +2 x
2
sin 3 x -2 x
2
=-2sin 5 x
2 sin x
2，
则令-2sin 5 x
2 sin x
2 =0，
当sin x
2 =0时，因为x∈(0,π )，则x
2 ∈(0, π
2)，此时无解，
当sin 5 x
2 =0 ，因为x∈(0,π )，则5 x
2 ∈(0, 5 π
2 )，
则5 x
2 = π或2π，解得x = 2π
5 或x = 4 π
5 ，
则|x1- x2|= 4 π
5 - 2π
5 = 2π
5 .
故答案为：2π
5 .
跟踪训练2．（2025·江西南昌·二模）已知α、β终边不重合，sinα -3cos β =sin β -3cosα，则
tan(α + β)=（ ）
A．3
2
B．2
3
C．4
3
D．3
4
【答案】D
【分析】由α = α + β
2
+ α - β
2
，β = α + β
2
- α - β
2
代入已知等式，利用两角和、差的正弦、余弦公式化简得
出tan α + β
2
的值，再利用二倍角的正切公式可求得tan (α + β)的值.
【详解】因为sinα -3cos β =sin β -3cosα，所以sin α -sin β =3(cos β -cosα )，
即sin α -sin β =sin(
α + β
2
+ α - β
2 )-sin(
α + β
2
- α - β
2 )
=(sin α + β
2
cos α - β
2
+cos α + β
2
sin α - β
2 )-(sin α + β
2
cos α - β
2
-cos α + β
2
sin α - β
2 )
=2cos α + β
2
sin α - β
2
，
cos β -cosα =cos(
α + β
2
- α - β
2 )-cos(
α + β
2
+ α - β
2 )
=(cos α + β
2
cos α - β
2
+sin α + β
2
sin α - β
2 )-(cos α + β
2
cos α - β
2
-sin α + β
2
sin α - β
2 )
=2sin α + β
2
sin α - β
2
，
所以，2cos α + β
2
sin α - β
2
=6sin α + β
2
sin α - β
2
，
因为α、β的终边不重合，则α - β ≠2k π(k ∈Z)，则α - β
2
≠k π(k ∈Z)，
所以sin α - β
2
≠0，则3sin α + β
2
=cos α + β
2
，所以tan α + β
2
= 1
3，
因此，tan(α + β)=
2tan α + β
2
1- tan
2 α + β
2
=
2× 1
3
1- 1
9
= 3
4 .
故选：D.
跟踪训练3．（2025·江西·二模）已知函数f ( x)=sin( x +2θ)+cos( x + 4θ)，θ∈(0,π
4 )是偶函数，则
g( x)=sin x⋅sin( x + 4θ)的最大值为（ ）
A．- 1
4
B．3
4
C．1
D．1
4
【答案】B
【分析】利用偶函数定义f (x)= f (- x)化简f (x)解出θ得值，将θ得值代入g(x)，通过三角恒等式展开并化
简，利用余弦函数的有界性求出最大值.
【详解】由f (x)是偶函数，得sin( x +2θ)+cos( x + 4θ)=sin(- x +2θ)+cos(- x + 4θ)，
展开并整理得：cos2θ =sin 4θ，
根据二倍角公式得：cos2θ =2sin2θcos2θ，
整理得：sin 2θ = 1
2，结合θ∈(0,π
4 )，得θ =π
12，
代入θ =π
12，4θ =π
3 ，则
g( x)=sin x⋅sin( x +π
3 )，
利用积化和差公式：
sin x⋅sin( x +π
3 )= 1
2[cos(-π
3 )-cos(2 x +π
3 )]
化简得：g(x)= 1
4 - 1
2 cos(2 x +π
3 )，
当cos(2 x +π
3 )=-1时，g(x)取得最大值3
4 .
故选：B
考点八 三角恒等变换多选题
典例1．（多选）（2025·浙江杭州·模拟预测）已知
π
4 ≤α ≤π，π≤β ≤3π
2 ，sin2α = 4
5 ，cos(α + β)=-
❑√2
10 ，则下列结论正确的是（ ）
A．cos2α = 3
5
B．sinα -cosα =
❑√5
5
C．sin(α + β)= 7 ❑√2
10
D．β -α = 3π
4
【答案】BD
【分析】利用同角公式，两角和差公式，结合角的范围和变角思想：sin (β -α )=sin (α + β -2α )来求解即
可.
【详解】由π
4 ≤α ≤π⇒π
2 ≤2α ≤2π，sin2α = 4
5 ，所以π
2 ≤2α ≤π，即cos2α =- 3
5，故A 错误；
由于π
2 ≤2α ≤π，所以π
4 ≤α ≤π
2 ，则有sinα ≥
❑√2
2 ≥cosα，
即sinα -cosα =
❑√(sinα -cosα )
2= ❑√1-sin 2α = ❑√1- 4
5 =
❑√5
5 ，故B 正确；
因为π
4 ≤α ≤π
2 ，π≤β ≤3π
2 ，所以5π
4 ≤α + β ≤2π，
又因为cos(α + β)=-
❑√2
10 ，所以sin(α + β)=-
❑√1-cos
2(α + β)=- ❑√1- 2
100 =- 7 ❑√2
10 ，故C 错误；
由sin (β -α )=sin (α + β -2α )=sin (α + β)cos2α -cos(α + β)sin 2α
=- 7 ❑√2
10 ×(- 3
5)+
❑√2
10 × 4
5 = 25 ❑√2
50
=
❑√2
2 ，
因为π
4 ≤α ≤π
2 ，π≤β ≤3π
2 ，所以π
2 ≤β -α ≤5π
4 ，
则β -α = 3π
4 ，故D 正确；
故选：BD.
典例2．（多选）（2025·黑龙江辽宁·模拟预测）已知锐角α , β满足
1-cos2α
2sin α -sin 2α =
sin 2 β
1+cos2 β ,
1
tan α +
1
tan β +
2
tan α tan β =2，则（ ）
A．α +2 β =π
B．tan (α + β)=-2
C．sin α = 3
5
D．tan α :tan β =2:3
【答案】ABD
【分析】根据二倍角的正余弦公式结合两角和的正弦公式化简，即可判断A；根据两角和的正切公式即可
判断B；先求出tan β，再根据两角差的正切公式求出tan α，再根据同角三角函数的关系即可判断C；由C
选项即可判断D.
【详解】对于A，由
1-cos2α
2sin α -sin 2α =
sin 2 β
1+cos2 β ，
得
2sin
2α
2sin α -2sin α cosα = 2sin β cos β
2cos
2 β
，即sin α
1-cosα = sin β
cos β ，
所以sin α cos β =sin β -cosα sin β，
所以sin β =sin α cos β +cosα sin β =sin (α + β)，
所以β +α + β =α +2 β =π或β =α + β（舍去），故A 正确；
对于B，由
1
tan α +
1
tan β +
2
tan α tan β =2，
得tan α + tan β
tan α tan β +
2
tan α tan β =2，
即tan α + tan β =-2(1- tan α tan β)，
所以tan (α + β)= tan α + tan β
1- tan α tan β =-2，故B 正确；
对于C，由A 选项得tan β = tan[π-(α + β)]=- tan (α + β)=2，
所以tan α = tan[(α + β)- β]= tan (α + β)- tan β
1+ tan (α + β)tan β =-2-2
1- 4 = 4
3 ，
即sin α
cosα = 4
3 ，又sin
2α +cos
2α =1，
所以sin α = 4
5 （sin α =- 4
5 舍去），故C 错误；
对于D，由C 选项知，tan α :tan β = 4
3 :2=2:3，故D 正确.
故选：ABD.
跟踪训练1．（多选）（2025·湖南长沙·二模）已知sin β +cos β = 1
5，β ∈(0,π )，则下列各式正确的有
（ ）
A．sin 2 β =- 24
25 B．sin β -cos β =± 7
5 C．cos2 β = 7
25
D．tan β =- 4
3
【答案】AD
【分析】利用已知和sin
2α +cos
2α =1的关系，利用二倍角公式计算逐项判断得出答案.
【详解】A 项：由已知：sin
2 β +cos
2 β +2sin β cos β = 1
25，因此sin 2 β =2sin β cos β =- 24
25 ，故A 项正
确；
B 项：因为sin β cos β <0，且β ∈(0,π )，所以β ∈(
π
2 ,π)，因此sin β -cos β >0．又因为
(sin β -cos β)
2=1-2sin β cos β = 49
25 ，因此sin β -cos β = 7
5，故B 项错误；
C 项：cos2 β =cos
2 β -sin
2 β =(cos β -sin β)(cos β +sin β)=- 7
25，故C 项错误；
D 项：由方程组¿，解得¿于是tan β =- 4
3 ，故D 项正确．
故选：AD.
跟踪训练2．（多选）（2025·山东聊城·三模）已知sin(α - β)=- 1
6 ，sinα cos β = 1
3，则（ ）
A．cosα sin β =- 1
2
B．sin(α + β)= 5
6
C．3tanα =2tan β
D．sin2α sin2 β = 1
12
【答案】BC
【分析】根据两角和差公式计算求解判断A，B，结合同角三角函数关系判断C，应用二倍角正弦公式计算
判断D.
【详解】A 选项，已知sin(α - β)=sinα cos β -cosα sin β =- 1
6 ，sinα cos β = 1
3，
则cosα sin β = 1
3 + 1
6 = 1
2，A 错误；
B 选项，sin(α + β)=sinα cos β +cosα sin β = 1
3 + 1
2 = 5
6，B 正确；
C 选项，tanα
tan β =sinα cos β
cosα sin β =
1
3
1
2
= 2
3，所以3tanα =2tan β，C 正确；
D 选项，sin2α sin2 β =2sinα cosα ×2cos β sin β = 4sinα cos β ⋅cosα sin β
= 4× 1
3 × 1
2 = 2
3，D 错误；
故选：BC.
跟踪训练3．（多选）（2025·湖北宜昌·二模）已知cosα cos β = 1
3 ,cos(α + β)= 1
4 ，则（ ）
A．sinα sin β = 1
12
B．cos(α - β)= 1
6
C．tanα tan β = 1
4
D．cos2α +cos2 β = 5
24
【答案】ACD
【分析】由余弦的和差角公式可判断AB，由正切与正余弦关系可判断C，由和化积公式可判断D.
【详解】由cos(α + β)=cosα cos β -sin α sin β = 1
4 ，且cosα cos β = 1
3，
则sin α sin β = 1
12，故A 正确；
由cos(α - β)=cosα cos β +sin α sin β = 1
3 + 1
12 = 5
12，故B 错误；
由tan α tan β = sin α sin β
cosα cos β =
1
12
1
3
= 1
4 ，故C 正确；
由cos2α +cos2 β =2cos( 2α +2 β
2
)cos( 2α -2 β
2
)=2× 1
4 × 5
12 = 5
24 ，故D 正确.
故选：ACD.
考点九 三角恒等变换的应用
典例1．（2025•河西区校级模拟）已知函数f ( x)=sin 2 x - ❑√3cos2 x，则（ ）
A．要得到f（x）的图象，只需将y＝sin2x 的图象向右平移π
3 个单位
B．f（x）的图象关于点( 5 π
12 ，0)对称
C．f（x）在区间(- 5 π
18 ，- π
12 )上单调递减
D．若x1≠x2，且f（x1）＝f（x2）＝﹣2，则|x1﹣x2|的最小值为π
2
【答案】C
【分析】利用辅助角公式计算可得f ( x)=2sin(2 x - π
3 )，再由平移规则计算可得A 错误，利用代入验证法
检验可得B 错误，结合整体代换并利用正弦函数性质可得C 正确，由函数周期性可判断D 错误．
【解答】解：f（x）＝2（1
2sin2x-
❑√3
2 cos2x）＝2sin（2x- π
3 ），
对于A，将y＝sin2x 的图象向右平移π
3 个单位可以得到y =sin(2 x - 2π
3 )≠f（x）即A 错误；
对于B，f ( 5 π
12 )=2sin(2× 5 π
12 - π
3 )=2sin π
2 =2≠0，即B 错误；
对于C，x∈(- 5 π
18 ，- π
12 )⇒2x- π
3 ∈（- 8 π
9 ，- π
2 ）⊆[- 3 π
2 ，- π
2 ]，
由正弦函数图象性质可得f（x）在区间(- 5 π
18 ，- π
12 )上单调递减，即C 正确；
对于D，若x1≠x2，且f（x1）＝f（x2）＝﹣2 取得最小值，
则|x1
x2|
﹣
的最小值为一个周期长度，即2π
2 = π，即D 错误．
故选：C．
典例2．（2025•北京模拟）设函数f ( x)= sinωxcosφ+cosωxsinφ(ω＞0，|φ|＜π
2 )．
（1）若f (0)=-
❑√3
2 ，求φ 的值．
（2）已知f（x）在区间[- π
3 ，2π
3 ]上单调递增，f ( 2π
3 )=1，再从条件①、条件②、条件③这三个
条件中选择一个作为已知，使函数f（x）存在，求ω，φ 的值．
条件①：f ( π
3 )= ❑√2；
条件②：f (- π
3 )=-1；
条件③：f（x）在区间[- π
2 ，- π
3 ]上单调递减．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一
个解答计分．
【分析】（1）把x＝0 代入f（x）的解析式求出sinφ，再由|φ|＜π
2 即可求出φ 的值；
（2）若选条件①不合题意；若选条件②，先把f（x）的解析式化简，根据f（x）在[- π
3 ，2π
3 ]上的单调
性及函数的最值可求出T，从而求出ω 的值；把ω 的值代入f（x）的解析式，由f (- π
3 )=-1和|φ|＜π
2
即可求出φ 的值；若选条件③：由f（x）的单调性可知f（x）在x =- π
3 处取得最小值﹣1，则与条件②所
给的条件一样，解法与条件②相同．
【解答】解：（1）因为f ( x)= sinωxcosφ+cosωxsinφ，ω＞0，|φ|＜π
2 ，
所以f (0)=sin(ω⋅0)cosφ+cos(ω⋅0)sinφ = sinφ =-
❑√3
2 ，
因为|φ|＜π
2 ，所以φ =- π
3 ；
（2）因为f ( x)= sinωxcosφ+cosωxsinφ，ω＞0，|φ|＜π
2 ，
所以f ( x)=sin(ωx +φ)，ω＞0，|φ|＜π
2 ，
所以f（x）的最大值为1，最小值为﹣1；
若选条件①：因为f（x）＝sin（ωx+φ）的最大值为1，最小值为﹣1，所以f ( π
3 )= ❑√2无解，
故条件①不能使函数f（x）存在；
若选条件②：因为f（x）在[- π
3 ，2π
3 ]上单调递增，且f ( 2π
3 )=1，f (- π
3 )=-1，
所以T
2 = 2π
3 -(- π
3 )= π，所以T＝2π，ω= 2π
T =1，
所以f（x）＝sin（x+φ），
又因为f (- π
3 )=-1，所以sin(- π
3 +φ)=-1，
所以- π
3 +φ =- π
2 +2kπ ，k ∈Z，
所以φ=- π
6 +2kπ ，k ∈Z，因为|φ|＜π
2 ，所以φ=- π
6 ，
所以ω＝1，φ =- π
6 ；
若选条件③：因为f（x）在[- π
3 ，2π
3 ]上单调递增，在[- π
2 ，- π
3 ]上单调递减，
所以f（x）在x =- π
3 处取得最小值﹣1，即f (- π
3 )=-1．
所以T
2 = 2π
3 -(- π
3 )= π，所以T＝2π，ω= 2π
T =1，
所以f（x）＝sin（x+φ），
又因为f (- π
3 )=-1，所以sin(- π
3 +φ)=-1，
所以- π
3 +φ=- π
2 +2kπ ，k ∈Z，
所以φ =- π
6 +2kπ ，k ∈Z，因为|φ|＜π
2 ，所以φ =- π
6 ，
所以ω＝1，φ=- π
6 ．
【总结】
遇到求解类似y =asin x +bcosx三角函数的性质，往往用辅助角公式把函数化简为y = A sin (ωx +φ)的形
式再分析。
跟踪训练1．（2025•河南模拟）已知函数f（x）＝sin2x+acos2x 满足f ( x)≤|f ( π
12 )|恒成立，则当
x∈[- π
2 ，3 π
2 ]时，曲线y＝f（x）与y＝sinx 的交点个数为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】B
【分析】先根据函数f（x）的对称性，确定a 的值，利用辅助角公式把函数f（x）化成
f ( x)=2sin(2 x + π
3 )的形式，再利用数形结合法，观察曲线y＝f（x）与y＝sinx 在x∈[- π
2 ，3 π
2 ]的交
点个数．
【解答】解：因为f ( x)≤|f ( π
12 )|恒成立，所以x = π
12为f（x）的一条对称轴，
那么f (0)= f ( π
6 )，所以a=
❑√3
2 + 1
2 a，即a= ❑√3，
则f ( x)=sin2 x + ❑√3cos2 x =2sin(2 x + π
3 )，
由图可知，曲线y＝f（x）与y＝sinx 的交点个数为4．
故选：B．
跟踪训练2．（2025•北海四模）密位制是一种用于测量角度的单位系统，尤其在军事领域中被广泛使用．
例如：狙击手在调整射击角度时，可以使用密位制来精确计算目标的距离和角度．密位制的基本原理是
将一个圆周分为6000 等份，每一份称为1 密位．将函数f ( x)=-co s
2 x - ❑√3 sinxcosx + 1
2的图象向左平
移φ（φ＞0）个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ 最小值的密位数为 ．
【答案】π
6
【分析】化f（x）为正弦型函数，根据函数图象平移得出函数的解析式，利用函数图象关于y 轴对称，即
可求出φ 的最小值．
【解答】解：函数f ( x)=-co s
2 x - ❑√3 sinxcosx + 1
2
=- 1+cos2 x
2
-
❑√3
2 sin2x+ 1
2
=-
❑√3
2 sin2x- 1
2cos2x
＝sin（2x+ 7 π
6 ），
由f（x）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，所得图象关于y 轴对称，
则2φ+ 7 π
6 = π
2 +kπ，k∈Z；
解得φ=- π
3 + kπ
2 ，k∈Z；
由φ＞0，所以φ 的最小值为π
6 ．
故答案为：π
6 ．
跟踪训练3 ．（2025• 浑南区校级模拟）若函数f （x ）的定义域内存在x1 ，x2 （x1≠x2 ），使得
f ( x1)+ f ( x2)
2
=1成
立
，
则
称
该
函
数
为
“
完
整
函
数
”
．
已
知
f ( x)=
❑√3
2 sin(ωx - π
6 )- 1
2 cos(ωx + 5 π
6 )(ω＞0)是[ π
2 ，3 π
2 ]上的“完整函数”，则ω 的取值范围
为（ ）
A．[3，4）
B．[3，+∞）
C．[2，4）
D．[4，+∞）
【答案】B
【分析】根据三角恒等变换可知f（x）＝sinωx，再由三角函数值域以及“完整函数”定义将问题转化为f
（x）在x∈[ π
2 ，3 π
2 ]上至少存在两个最大值点，结合正弦函数图象性质得出不等式即可得解得ω 的取
值范围．
【解答】解：由题意可得：
f ( x)=-
❑√3
2 sin(π +ωx - π
6 )- 1
2 cos(ωx + 5 π
6 )=-
❑√3
2 sin(ωx + 5 π
6 )- 1
2 cos(ωx + 5 π
6 )
=-sin(ωx + 5 π
6 + π
6 )=-sin(ωx + π )= sinωx，
即f（x）＝sinωx 是[ π
2 ，3 π
2 ]上的“完整函数”，所以存在x1，x2∈[ π
2 ，3 π
2 ]，使得
f ( x1)+ f ( x2)
2
=1成立；
即存在x1，x2∈[ π
2 ，3 π
2 ]，使得f（x1）+f（x2）＝2 成立；
又因为f（x）max＝1，因此f（x1）＝f（x2）＝1，‘
即f（x）＝sinωx 在x∈[ π
2 ，3 π
2 ]上至少存在两个最大值点，
所以3 π
2 - π
2 ≥T = 2π
ω ，解得ω≥2；
当3 π
2 - π
2 ≥2T = 4 π
ω ，即ω≥4 时，一定满足题意；
若2≤ω＜4，因为x∈[ π
2 ，3 π
2 ]，ω＞0，所以ωπ
2 ≤ωx ≤3ωπ
2
，
又易知π ≤ωπ
2 ＜2π ，3 π ≤3ωπ
2
＜6 π；
所以只需保证9 π
2 ≤3ωπ
2
＜6 π即可，解得3≤ω＜4，
综上可知ω≥3．
故选：B．
跟踪训练4．（2025•汕头二模）已知函数f（x）＝sinkx•sinkx+coskx•coskx
cos
﹣
k2x，其中k∈N*．
（1）当 k＝1 时，求方程f ( x)=1-
❑√3
2 的解集；
（2）若f（x）是偶函数，当k 取最小值时，求函数g( x)= f ( x)
tanx + sinx +cosx的取值范围；
（3）若f（x）是常数函数，求k 的值．
【分析】（1）把k＝1 代入函数解析式，对其化简，结合特殊角的三角函数值即可求解；
（2）结合偶函数定义求出k 的最小值，进而可求g（x），然后利用换元法，结合二次函数及正弦函数的
性质即可求解；
（3）结合题意可知，若f（x）为常函数，则f（x）＝0，结合k 的取值进行分类讨论即可求解．
【解答】解：（1）当k＝1 时，f（x）＝sinx•sinx+cosx•cosx
cos2x
﹣
＝1
cos2x
﹣
，
由f ( x)=1-
❑√3
2 得cos2 x =
❑√3
2 解得2 x =2kπ ± π
6 k∈Z，
故所求方程的解集为{x| x =kπ ± π
12 ，k ∈Z }；
（2）f（x）的定义域为R，由f（x）是偶函数得：∀x∈R，f（﹣x）＝f（x），
即sin（﹣kx）•sink（﹣x）+cos（﹣kx）•cosk（﹣x）﹣cosk（﹣2x）＝sinkx•sinkx+coskx•coskx
cosk2x
﹣
，
所以﹣sinkx•（﹣1）ksinkx+coskx•coskx
cosk2x
﹣
＝sinkx•sinkx+coskx•coskx
cosk2x
﹣
，
从而sinkx•sinkx[1+（﹣1）k]＝0，进而1+（﹣1）k＝0，所以k 为正奇数，
当k 取最小值，即k＝1 时，
g( x)= f ( x)
tanx + sinx +cosx = 1-cos2 x
tanx
+ sinx +cosx = 2sin
2 x
sinx
cosx
+ sinx +cosx =2sinxcosx + sinx +cosx，
x≠mπ
2 (m∈Z )，
令t = sinx +cosx = ❑√2sin( x + π
4 )，则2sinxcosx＝t2
1
﹣，t ∈[- ❑√2，❑√2]且t≠±1，
所以函数g（x）的值域即y＝t2+t
1
﹣的值域，
当- ❑√2≤t ≤❑√2且t≠±1 时，根据二次函数的性质可得，- 5
4 ≤y≤1+ ❑√2且y≠1，
即g（x）的值域为[- 5
4 ，1)∪(1，1+ ❑√2]；
（3）因为∀k∈N*，f（0）＝0，所以若f（x）是常数函数，则f（x）＝0，
①当k＝1 时，由（1）知，f（x）不是常数函数；
②当k＝2 时，f（x）＝sin2x•sin2x+cos2x•cos2x
cos22x
﹣
，此时，f ( π
2 )=-1，f（x）不是常数函数；
当k＝3 时，f（x）＝sin3x•sin3x+cos3x•cos3x
cos32x
﹣
＝（sin2xcosxsin3x+cos2xsin4x）+（cos2xcos4x
sin2xsinxcos3x
﹣
）﹣cos32x
＝（sin2xcosxsin3x
sin2xsinxcos3x
﹣
）+（cos2xsin4x+cos2xcos4x）﹣cos32x
=- 1
2 sin
22 xcos2 x +cos2 x(1- 1
2 sin
22 x)-co s
32 x =cos2x（1
sin22x
﹣
）﹣cos32x＝cos32x
cos32x
﹣
＝
0，
所以，f（x）是常数函数；
当k≥4 时，f ( π
k )=-co s
k x -co s
k 2 x＜0，f（x）不是常数函数；
综上述：k＝3．
1（2025·云南昭通·模拟预测）已知角α的终边经过点P(
1
2 ,
❑√3
2 )，则cos(
π
3 +α)=（ ）
A．1
2
B．- 1
2
C．
❑√3
2
D．-
❑√3
2
【答案】B
【分析】由任意角的三角函数的定义结合和角公式求解即可.
【详解】因为角α的终边经过点P(
1
2 ,
❑√3
2 )，则sin α =
❑√3
2 ，cosα = 1
2.
所以cos(
π
3 +α)= cosπ
3 cosα -sinπ
3 sin α = 1
2 × 1
2 -
❑√3
2 ×
❑√3
2 = =- 1
2.
故选：B
2（2025·四川巴中·二模）已知0<α <π
2 , β ∈(
π
2 ,π),sinα = 1
2 ,sin β = 12
13，则cos(α - β)等于（ ）
A．5 ❑√3-12
26
B．12-5 ❑√3
26
C．-5 ❑√3-12
26
D．12+5 ❑√3
26
【答案】B
【分析】由条件结合同角关系可求cosα ,cos β，再由两角差余弦公式求结论.
【详解】因为sinα = 1
2，0<α <π
2 ，所以cosα =
❑√3
2 ，
因为sin β = 12
13，β ∈(
π
2 ,π)，所以cos β =- 5
13，
所以cos(α - β)=cosα cos β +sin α sin β =
❑√3
2 ⋅(- 5
13)+ 1
2 ⋅12
13 =-5 ❑√3+12
26
= 12-5 ❑√3
26
，
故选：B.
3（2025·云南·模拟预测）下列选项中，值为❑√3的是（ ）
A．4 sin15° cos15°
B．2(cos 46° cos16° -sin 46° sin16°)
C．1+ tan15°
1- tan15°
D．8cos10° cos20° cos 40°
【答案】C
【分析】应用二倍角公式、和角公式及特殊角的三角函数值，把各项表达式转化为特殊角的三角函数值，
判断结果.
【详解】A、利用二倍角公式sin2θ =2sinθcosθ，
可得：4 sin15
∘cos15
∘=2⋅2sin15
∘cos15
∘=2sin30
∘=2⋅1
2 =1，A 错误.
B、利用余弦和角公式cos( A + B)=cos A cos B -sin A sin B，
得：cos 46
∘cos16
∘-sin 46
∘sin16
∘=cos(46
∘+16
∘)=cos62
∘因此原式为：
2cos62
∘≈2⋅0.4965=0.939≠❑√3，B 错误.
C、利用正切和角公式tan ( A + B)= tan A + tan B
1- tan A tan B ，令A = 45
∘,B =15
∘，
则tan(45
∘+15
∘)= tan 60
∘= ❑√3= 1+ tan15
∘
1- tan15
∘，C 正确.
D、利用递推积化和差公式，结合sin 8θ =8sinθcosθcos2θcos 4θ，得：
8cos10
∘cos20
∘cos 40
∘= sin 80
∘
sin10
∘= cos10
∘
sin10
∘≈5.671≠❑√3.
D 错误.
故选：C.
4（2025·山西·模拟预测）若cos(α + β)cos β = 1
m，tan(α + β)= 3cos β
sin β ，则cos2α =（ ）
A．32
m
2 -1
B．16
m
2 -1
C．4
m
2 -1
D．2
m
2 -1
【答案】A
【分析】由同角三角函数的商数关系得到sin(α + β)sin β = 3
m，由α =(α + β)- β及两角和的余弦公式得到
cosα = 4
m，由二倍角公式求得cos2α.
【详解】由cos(α + β)cos β = 1
m得cos(α + β)=
1
mcos β ，
由tan(α + β)= sin(α + β)
cos(α + β) = sin(α + β)
1
mcos β
=mcos β sin(α + β)= 3cos β
sin β ，
得sin(α + β)sin β = 3
m，
cosα =cos[(α + β)- β]=cos(α + β)cos β +sin (α + β)sin β = 1
m + 3
m = 4
m，
所以cos2α =2cos
2α -1=2(
4
m)
2
-1= 32
m
2 -1，
故选：A.
5（2025·吉林长春·模拟预测）已知tan(α +π
4 )=7，则sin2α的值是（ ）
A．3
4
B．4
5
C．12
25
D．24
25
【答案】D
【分析】根据诱导公式及二倍角公式化简求值.
【详解】因为tan(α +π
4 )=7，
所以sin2α =sin[2(α +π
4 )-π
2 ]=-cos2(α +π
4 )
=-cos
2(α +π
4 )+sin
2(α +π
4 )
=
-cos
2(α +π
4 )+sin
2(α +π
4 )
sin
2(α +π
4 )+cos
2(α +π
4 )
=
-1+ tan
2(α +π
4 )
1+ tan
2(α +π
4 )
=-1+7
2
1+7
2 = 24
25 .
故选：D.
6（2025·河北邢台·二模）已知α ∈[π, 5π
4 ]，β ∈[
π
3 ,π
2 ]，且sinα -cosα = ❑√2cos β，则α - β =
（ ）
A．π
4
B．π
2
C．2π
3
D．3π
4
【答案】D
【分析】利用辅助角公式和诱导公式可得
❑√2sin(α -π
4 )= ❑√2sin(
π
2 + β)，结合角的范围，可得
α -π
4 =π
2 + β，可求解.
【详解】因为sinα -cosα = ❑√2sin(α -π
4 )= ❑√2cos β = ❑√2sin(
π
2 + β)，
α ∈[π, 5π
4 ]，β ∈[
π
3 ,π
2 ]，
所以α -π
4 ∈[
3π
4 ,π]，π
2 + β ∈[
5π
6 ,π]，所以α -π
4 =π
2 + β，则α - β =3π
4 ．
故选：D．
7（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知3+sin(2α +π
2 )=3sin 2α，则tan α =（ ）
A．1
B．2
C．-1或2
D．1 或2
【答案】D
【分析】根据诱导公式和二倍角公式将已知化简得2cos
2α +sin
2α =3sin α cosα，然后同除cos
2α得
2+ tan
2α =3 tan α，求解即可.
【详解】因为3+sin(2α +π
2 )=3sin 2α，所以3+cos2α =3sin 2α，
所以3(cos
2α +sin
2α)+cos
2α -sin
2α =6sin α cosα，
即2cos
2α +sin
2α =3sin α cosα，
所以2+ tan
2α =3 tan α，即tan
2α -3 tan α +2=0，解得tan α =1 或2.
故选：D
8（2025·甘肃·模拟预测）函数f (x)=sin x (sin x -cos x)-1的最小正周期为（ ）
A．π
2
B．π
C．2π
D．4π
【答案】B
【分析】结合二倍角公式及辅助角公式化简f (x)=-
❑√2
2 sin(2 x +π
4 )- 1
2，进而结合正弦型函数的周期公
式求解即可.
【详解】由
f (x)=sin x (sin x -cos x)-1=sin
2 x -sin xcos x -1= 1-cos2 x
2
- 1
2 sin2 x -1=-
❑√2
2 sin(2 x +π
4 )- 1
2
，
则函数f (x)的最小正周期T = 2π
2 =π.
故选：B.
9（2025·江苏镇江·模拟预测）已知函数f ( x)= ❑√3sin ωx -cosωx(ω>0)，若集合¿恰有3 个元素，则实数
ω的取值范围是（ ）
A．[2, 10
3 ]
B．(2, 10
3 ]
C．[ 10
3 ,4 ]
D．( 10
3 ,4 ]
【答案】D
【分析】利用辅助角公式化简解析式，解三角方程可得前四个正数解，再根据集合有三个元素列不等式求
解即可.
【详解】f ( x)= ❑√3sin ωx -cosωx =2(
❑√3
2 sin ωx - 1
2 cosωx)=2sin(ωx - π
6)
令f (x)=-1，得sin(ωx - π
6)=- 1
2，
则ωx - π
6 =- π
6 +2k π或ωx - π
6 =- 5 π
6 +2k π (k ∈Z)，
解得x = 2k π
ω
(k ∈Z)①或x =
2(k - 1
3)π
ω
(k ∈Z)②，
①②中，分别取k =1,2，因为ω>0，从小到大排列得x = 4 π
3ω , 2π
ω , 10 π
3ω , 4 π
ω ，
因为集合¿恰有3 个元素，
所以需满足：¿，解得：10
3 <ω≤4.
故选：D.
10（多选）（2025·甘肃白银·三模）已知α为锐角，若cos2α = 3
5，则（ ）
A．sin2α = 4
5
B．tan α = 1
3
C．2sin α +cosα
cosα -sin α = 4
D．sin(α +π
4 )+cos(α +π
4 )= 2❑√5
5
【答案】AC
【分析】由同角三角函数的关系，正、余弦二倍角公式及弦化切逐个判断即可.
【详解】因为cos2α = 3
5，所以sin 2α =
❑√1-cos
22α = 4
5 ，选项A 正确；
tan α = sin α
cosα = 2sin α cosα
2cos
2α
=
sin 2α
1+cos2α =
4
5
1+ 3
5
= 1
2，选项B 错误；
2sin α +cosα
cosα -sin α = 2tan α +1
1- tan α = 1+1
1- 1
2
= 4
，选项C 正确；
由tan α = 1
2，易得sin α = 1
❑√5 ,cosα = 2
❑√5，
所以sin(α +π
4 )+cos(α +π
4 )= ❑√2sin(α +π
4 +π
4 )= ❑√2cosα = ❑√2× 2
❑√5 = 2❑√10
5
，选项D 错误．
故选：AC．
11（多选）（2025·浙江·三模）已知α为锐角，若tan2α =
3sin α
cosα +sin α ，则下列说法正确的有（ ）
A．α的终边经过点(3,1)
B．sin(π+α )=
❑√10
10
C．❑√1+cos2α = 3 ❑√5
5
D．若α + β =π
4 ，则tan β = 1
2
【答案】ACD
【分析】对于A，由二倍角正切公式结合tan α = sin α
cosα 可得tan α = 1
3，结合α为锐角可判断选项正误；对于
B，由A 可得sin α =
1
❑√10，然后由诱导公式可判断选项正误；由B 结合二倍角余弦公式可得答案；对于
D，由两角差的正切公式可判断选项正误.
【详解】对于A，tan2α = 2tan α
1- tan
2α
=
3sin α
cosα +sin α = 3 tan α
1+ tan α ，又α为锐角，
则tan α ≠0，则2(1+ tan α )=3(1- tan
2α)⇒2=3-3 tan α ⇒tan α = 1
3，
则α的终边经过点(3k ,k )，取k =1，则α的终边经过点(3,1)，故A 正确；
对于B，因tan
2α =
sin
2α
1-sin
2α
= 1
9 ⇒sin
2α = 1
10，又α为锐角，则sin α >0，
则sin α =
1
❑√10 ，则sin(π+α )=-sin α =-
❑√10
10 ，故B 错误；
对于C，❑√1+cos2α =
❑√1+2cos
2α -1= ❑√2|cosα|，又cosα >0，
则cosα =
❑√1-sin
2α = 3 ❑√10
10
，则
❑√2|cosα|= 3 ❑√5
5
，故C 正确；
对于D，tan β =tan(
π
4 -α)= 1- tan α
1+ tan α = 1
2，故D 正确.
故选：ACD.
12（多选）（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知函数f ( x)=2cos
2(x -π
8 )-1，则（ ）
A．2π是f ( x)的一个周期
B．f ( x)在区间[
π
4 , 3π
4 ]上单调递减
C．f(x - 3 π
8 )是奇函数
D．f ( x)在区间(0,π)上恰有2 个极值点
【答案】AD
【分析】对于A，化简函数表达式，结合周期公式验算即可；对于B，由复合函数单调性即可判断；对于
C，化简函数表达式，结合三角函数奇偶性即可判断；对于D，由三角函数性质以及极值点的概念即可判断.
【详解】对于A，由题知，f ( x)=cos(2 x -π
4 )，所以最小正周期T = 2π
2 =π，2π是f ( x)的一个周期，
故A 正确；
对于B，当x∈[
π
4 , 3π
4 ]时，2 x -π
4 ∈[
π
4 , 5π
4 ]，令u=2 x -π
4 ，则y =cosu作区间[
π
4 ,π]上单
调递减，在区间[π, 5π
4 ]上单调递增，故B 错误；
对于C，f(x - 3π
8 )=cos[2(x - 3π
8 )-π
4 ]=cos(2 x -π)=-cos2 x为偶函数，故C 错误；
对于D，当x∈(0,π)时，2 x -π
4 ∈(-π
4 , 7π
4 )，令u=2 x -π
4 ，则y =cosu在区间(-π
4 , 7π
4 )上
恰有两个极值点u=0,u=π，故D 正确.
故选：AD．
1（2025·安徽合肥·模拟预测）已知α , β为锐角，sinα =
❑√5
5 ,sin(α - β)=
❑√10
10 ，则tan(2α - β)的值为
（ ）
A．
❑√2
2
B．❑√2
C．1
D．- 1
7
【答案】C
【分析】由同角三角函数的基本关系结合角的范围求出cosα ,cos(α - β)，再由角的变换及两角和的正余
弦公式求解即可.
【详解】已知α为锐角，sinα =
❑√5
5 ，
根据sin
2α +cos
2α =1，可算出cosα =
❑√
1-(
❑√5
5 )
2
= 2❑√5
5
，
因为α , β为锐角，且sin(α - β)=
❑√10
10 ，
又-π
2 <α - β <π
2 ,cos(α - β)=
❑√
1-(
❑√10
10 )
2
= 3 ❑√10
10
，
sin(2α - β)=sinα cos(α - β)+cosα sin(α - β)=
❑√5
5 × 3 ❑√10
10
+ 2❑√5
5
×
❑√10
10 =
❑√2
2 ，
cos(2α - β)=cosα cos(α - β)-sinα sin(α - β)= 2❑√5
5
× 3 ❑√10
10
-
❑√5
5 ×
❑√10
10 =
❑√2
2 ，
所以tan(2α - β)= sin (2α - β)
cos(2α - β) =1．
故选：C．
2（2025·辽宁鞍山·模拟预测）已知sin(α - β)= 2
3，cos(α + β)= 3
4 ，则sin 2α sin 2 β =（ ）
A．- 1
144
B．- 17
144
C．71
144
D．73
144
【答案】A
【分析】利用变角化2α =α + β +α - β ,2 β =α + β -(α - β)，然后再用正弦的两角和差公式，结合平方关系
即可求值.
【详解】sin2α sin2 β = sin(α + β +α - β)sin(α + β -(α - β))
=sin
2(α + β)cos
2(α - β)-cos
2(α + β)sin
2(α - β)
=[1-cos
2(α + β)][1-sin
2(α - β)]-cos
2(α + β)sin
2(α - β)
=1-cos
2(α + β)-sin
2(α - β)=- 1
144 ,
故选：A.
3（2025·山东青岛·模拟预测）已知函数f (x)=sin x +sin(x +θ)+sin(x +2θ)，θ∈(0,π
2 )，且
f(
5π
6 )=0，则当x∈[0,π]时，f (x)的值域为（ ）
A．[-
❑√3+1
2
,
❑√3+1
2 ]
B．[
❑√3+1
2
,
❑√3+3
2 ]
C．[-
❑√3+1
2
,❑√3+1]
D．[
❑√3+1
2
,❑√3+1]
【答案】C
【分析】由题及积化和差公式可得f (x)=sin (x +θ)(2cosθ+1)，然后由f(
5π
6 )=0，
可得f (x)=(1+ ❑√3)sin(x +π
6 )，最后由正弦函数单调性可得值域.
【详解】f (x)=sin(x +θ -θ)+sin(x +θ)+sin(x +θ+θ)，
由和差化积公式可得：f (x)=2sin (x +θ)cosθ+sin(x +θ)=sin (x +θ)(2cosθ+1).
因f(
5π
6 )=0，则sin(
5π
6 +θ)(2cosθ+1)=0，因θ∈(0,π
2 )，则2cosθ+1∈(1,3)，
则sin(
5π
6 +θ)=0，又θ∈(0,π
2 )⇒5π
6 +θ∈(
5π
6 ,4π
3 )，则5π
6 +θ =π⇒θ =π
6 .
则f (x)=sin(x +π
6 )(2cosπ
6 +1)=(1+ ❑√3)sin(x +π
6 ).
注意到x∈[0,π]时，x +π
6 ∈[
π
6 , 7π
6 ]，
y =sin x在[
π
6 ,π
2 ]上单调递增，在(
π
2 , 7π
6 ]上单调递减，
又(1+ ❑√3)sinπ
2 =1+ ❑√3，(1+ ❑√3)sinπ
6 = (1+ ❑√3)
2
,(1+ ❑√3)sin7π
6 =- (1+ ❑√3)
2
，
则- 1+ ❑√3
2
≤f (x)≤1+ ❑√3，即f (x)的值域为[- 1+ ❑√3
2
,1+ ❑√3].
故选：C
4（2025·河北·模拟预测）设函数f (x)=sinωx cosωx + ❑√3cos
2ωx -
❑√3
2 在区间(0,π
2 )恰有三个极值点、
两个零点，则正实数ω的取值范围是（ ）
A．[
5
3 , 13
6 )
B．[
5
3 , 19
6 )
C．(
13
6 , 8
3]
D．(
13
6 , 19
6 ]
【答案】C
【分析】先利用倍角公式以及辅助角公式化简f (x)=sin(2ωx +π
3 )，再求出
2ωx +π
3 ∈(
π
3 ,ωπ+π
3 )，结合正弦函数图象即可得出.
【详解】f (x)=sinωx cosωx + ❑√3cos
2ωx -
❑√3
2 = 1
2 sin2ωx +
❑√3
2 cos2ωx =sin(2ωx +π
3 )，
又ω>0，x∈(0,π
2 )，所以2ωx +π
3 ∈(
π
3 ,ωπ+π
3 )，
又y =sin x，x∈(
π
3 ,3π)的图象如下图所示：
要使函数f (x)在区间(0,π
2 )恰有三个极值点、两个零点，
即使得y =sin x在区间(
π
3 ,ωπ+π
3 )恰有三个极值点、两个零点，
则5π
2 <ωπ+π
3 ≤3π，解得13
6 <ω≤8
3.
则正实数ω的取值范围是(
13
6 , 8
3].
故选：C.
5（2025·全国·模拟预测）将一个圆20 等分，每份圆弧所对的圆心角为α，则∑
k =1
19
cos
2kα =（ ）
A．8
B．17
2
C．19
2
D．9
【答案】D
【分析】方法一：本题中将圆20 等分，则α =π
10，利用二倍角公式可得∑
k =1
19
cos
2kα = 19
2 + 1
2∑
k =1
19
cos k π
5 ，
利用周期性及诱导公式、再分组求和的方法即可求解；方法二：利用二倍角公式
∑
k =1
19
cos
2kα =
19+∑
k =1
19
cos2kα
2
，再利用积化和差公式及诱导公式可得∑
k =1
19
cos2kα =-1，即可求解.
【详解】方法一：由题知α =2π
20 =π
10，
则∑
k =1
19
cos
2kα =∑
k =1
19 1+cos2kα
2
= 19
2 + 1
2∑
k =1
19
cos2kα = 19
2 + 1
2∑
k =1
19
cos k π
5 ，
又函数y =cosπ
5 x的最小正周期为10，
所以∑
k =1
19
cos k π
5 =2∑
k =0
9
cos k π
5 -cos0，由cos(π+α )=-cosα，
得∑
k =0
9
cos k π
5
=(cos0+cos 5π
5 )+(cosπ
5 +cos 6π
5 )+
(cos 2π
5 +cos 7π
5 )+(cos 3π
5 +cos 8π
5 )+(cos 4π
5
+cos 9π
5 )=0，
所以∑
k =1
19
cos k π
5 =-cos0=-1，所以∑
k =1
19
cos
2kα =9.
故选：D.
方法二： 由题意知α =π
10，则∑
k =1
19
cos
2kα =∑
k =1
19 1+cos2kα
2
=
19+∑
k =1
19
cos2kα
2
，
而∑
k =1
19
cos2kα =cos2α +cos4 α +cos6α +⋅⋅⋅+cos38α
= 2sinα (cos2α +cos4 α +cos6α +⋅⋅⋅+cos38α )
2sinα
= (sin3α -sinα )+(sin5α -sin3α )+(sin7α -sin5α )+⋅⋅⋅+(sin39α -sin37 α )
2sinα
=sin39α -sinα
2sinα
=
sin 39π
10 -sinπ
10
2sinπ
10
=
sin(4π-π
10)-sinπ
10
2sinπ
10
=
-2sinπ
10
2sinπ
10
=-1，
则∑
k =1
19
cos
2kα =9.
故选：D.
6（多选）（2025·福建福州·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，点P(x , y)是曲线|x|+|y|=1上的动点，
点A坐标为(1, 0)，射线OA从x轴的非负半轴开始，绕点O按逆时针方向旋转角θ，终止位置为OP．定义：
C (θ)= x , S (θ)= y，则（ ）
A．C(
π
4 )+ S(
π
4 )=1
B．C(θ+π
2 )+ S (θ)=0
C．∀θ∈(0, π
2 ), C (θ)≥
❑√2
2 cosθ
D．∀θ∈(0, π
4 ), 2S (θ)≤S (2θ)
【答案】ABC
【分析】先求出直线OP与曲线|x|+|y|=1的交点坐标C (θ)= x , S (θ)= y，再结合各选项一一计算即可得出
答案.
【详解】对于A，当θ =π
4 时，射线OA从x轴的非负半轴开始，绕点O按逆时针方向旋转角π
4 ，
直线OP为y = x (x ≥0)，此时曲线|x|+|y|=1与y = x (x ≥0)的交点为(
1
2 , 1
2)，
所以C(
π
4 )= 1
2 ,S(
π
4 )= 1
2，C(
π
4 )+ S(
π
4 )=1，故A 正确.
对于B，射线OA从x轴的非负半轴开始，绕点O按逆时针方向旋转角θ，
此时S (θ)= y =|OP|sinθ，C (θ)= x =|OP|cosθ，
射线旋转θ+π
2
后，此时S(θ+π
2 )= y1=|OP|sin(θ+π
2 )=|OP|cosθ，
C(θ+π
2 )= x1=|OP|cos(θ+π
2 )=-|OP|sinθ，
所以C(θ+π
2 )+ S (θ)=-|OP|sinθ+|OP|sinθ =0，故B 正确；
对于C，当θ∈(0, π
2 )时，C (θ)=|O P2|cosθ = x2，S (θ)=|O P2|sinθ = y2①，
当θ∈(0, π
2 )时，曲线|x|+|y|=1为x + y =1②，
将①代入②可得：|O P2|cosθ+|O P2|cosθ =1，所以|O P2|=
1
sinθ+cosθ ，
所以C (θ)= x2=|O P2|cosθ =
cosθ
sinθ+cosθ ，
要证明C (θ)≥
❑√2
2 cosθ，即证明
cosθ
sinθ+cosθ ≥
❑√2
2 cosθ，
即证明：sinθ+cosθ≤❑√2，
因为当θ∈(0, π
2 )时，sinθ+cosθ = ❑√2sin(θ+π
4 )∈(1,❑√2)，
所以sinθ+cosθ≤❑√2，故C 正确.
对于D，当θ∈(0, π
4 ),2θ∈(0, π
2 )，此时C (θ)=|O P3|cosθ = x3，
S (θ)=|O P3|sinθ = y3③，
当θ∈(0, π
4 )时，曲线|x|+|y|=1为x + y =1②，
把③代入②可得：|O P3|cosθ+|O P3|cosθ =1，所以|O P3|=
1
sinθ+cosθ ，
所以S (θ)=|O P3|sinθ =
sinθ
sinθ+cosθ ，
当2θ∈(0, π
2 )时，此时C (2θ)=|O P4|cos2θ = x4，S (2θ)=|O P4|sin 2θ = y4④，
当2θ∈(0, π
2 )时，曲线|x|+|y|=1为x + y =1②，
把④代入②可得：|O P4|cos2θ+|O P4|cos2θ =1，所以|O P4|=
1
sin2θ+cos2θ ，
所以S (2θ)=|O P4|sin 2θ =
sin 2θ
sin 2θ+cos2θ ，
要证2S (θ)≤S (2θ)，即证
2sinθ
sinθ+cosθ ≤
sin2θ
sin2θ+cos2θ =
2sinθcosθ
sin2θ+cos2θ ，
因为θ∈(0, π
4 )，所以
1
sinθ+cosθ ≤
cosθ
sin 2θ+cos2θ ，
即证：sinθcosθ+cos
2θ≥sin 2θ+cos2θ，
取θ =π
6 ，sinπ
6 cosπ
6 +cos
2π
6 = 1
2 ×
❑√3
2 +(
❑√3
2 )
2
=
❑√3+3
4
,sinπ
3 +cosπ
3 =
❑√3+1
2
，
因为
❑√3+3
4
<
❑√3+1
2
，所以D 错误.
故选：ABC.
7（多选）（2025·福建福州·模拟预测）自元朝以来，穹顶便广泛应用于中国建筑中．作为“北京十六景”
之一的地标性建筑，国家大剧院也采纳了穹顶设计，如图．初步设计穹顶建模的步骤大致为：（I）将半径
为1 的圆O（圆心为O）沿直径PQ分为两部分，得到半圆弧；（II）保留其中一个半圆弧，将其
n(n≥2,n∈N
*)等分，从端点P出发依次连接各个等分点至另一个端点Q，得到折线
P - A1- A2-⋯- An-1-Q；（III）将折线绕PQ所在直线旋转，得到旋转体；（IV）不断调整n值至合适，
选取需要的旋转体部分并进行再调整．设（III）中所得旋转体的表面积为Sn，∠PO Ak的正弦值为
T k(k ≤n-1,k ∈N
*)，则（ ）
A．5-2❑√6> Sn+1- Sn
Sn+1+ Sn
>0
B．S2
S3
= 2❑√2
3
C．当n=180时，T 29
T 30
> 29
30
D．S99> 395
99 π
【答案】ACD
【分析】从上到下研究各个旋转体的底面半径，得到其侧面积，进而求得旋转体的表面积，利用三角函数
公式化简后，逐项验证判定即可.
【详解】由题意可知，所得旋转体由上下两圆锥与中间若干圆台组成．
以n=2为例，分析“初步设计穹顶建模的步骤”：
取P A1的中点H，则OH ⊥P A1，由题意可知∠POH =π
2n，OP =O A1=O A2=⋯=O An-1=OQ =1．
在Rt△PHO中，PH =OPsin∠POH =sinπ
2n，
则各圆锥与圆台的母线长l = P A1= A1 A2= A2 A3=⋯= An-1Q =2sin π
2n，
连接P A2, P A3,⋯, P An-1，同理可得P A2=2sin 2π
2n ，P A3=2sin 3π
2n ，P An-1=2sin (n-1)π
2n
．
设自上而下各底面圆半径依次为r1,r2,⋯,rn-1，
则r1= P A1sin
π-π
n
2
=2sinπ
2n cosπ
2n =sinπ
n
，同理可得r2=sin 2π
n ，r3=sin 3π
n ，
所以rn-1=sin (n-1)π
n
，
故所得旋转体的表面积
Sn=πr1l+π(r1+r2)l+π(r2+r3)l+⋯+π(rn-2+rn-1)l+πrn-1l
=2πl(r1+r2+r3+⋯+rn-1)
= 4πsinπ
2n[sinπ
n +sin 2π
n +⋯+sin (n-1)π
n
]
=2π[2sinπ
2n sinπ
n +2sinπ
2n sin 2π
n +⋯+2sinπ
2n sin (n-1)π
n
]
=2π[cosπ
2n -cos 3π
2n +cos 3π
2n -cos 5π
2n +⋯+cos (2n-3)π
2n
-cos (2n-1)π
2n
]
=2π[cosπ
2n -cos (2n-1)π
2n
]
=2π[cosπ
2n -cos(π-π
2n)]
= 4πcosπ
2n,
所以S2= 4πcosπ
4 =2❑√2π，S3= 4πcosπ
6 =2❑√3π，
S2
S3
= 2❑√2
2❑√3 =
❑√6
3 ,故B 错误；
显然随着n增大，
Sn+1
Sn
减小，且当n→+ ∞，
Sn+1
Sn
→1，
又
Sn+1- Sn
Sn+1+ Sn
= Sn+1+ Sn-2Sn
Sn+1+ Sn
=1-
2Sn
Sn+1+ Sn
=1-
2
Sn+1
Sn
+1，
所以
1-
2
1+1 < Sn+1- Sn
Sn+1+ Sn
<1-
2
S3
S2
+1，又S2=2❑√2π，S3=2❑√3π，
化简得5-2❑√6> Sn+1- Sn
Sn+1+ Sn
>0，故A 正确；
当n=180，T 29=sin29
∘，T 30=sin30
∘，要判断
T 29
T 30
> 29
30是否成立，
即判断sin29
∘
29
>sin30
∘
30
是否成立，
该式可化为sin(
π
180 ⋅29)
29
>
sin(
π
180 ⋅30)
30
，
进一步变形为
sin(
π
180 ⋅29)
π
180 ⋅29
>
sin(
π
180 ⋅30)
π
180 ⋅30
，
显然π
180 ⋅29<π
180 ⋅30，π
180 ⋅29，π
180 ⋅30∈(0,π
2 )，
令f (x)=sin x
x
，则f
' (x)= xcos x -sin x
x
2
，
令g(x)= xcos x -sin x，则g
' (x)=- xsin x，
所以g
' (x)<0在(0,π
2 )上恒成立，
即g(x)在(0,π
2 )上单调递减．
又g(0)<0，所以g(x)<0在(0,π
2 )上恒成立，
故f (x)在(0,π
2 )上单调递减．
又π
180 ⋅29<π
180 ⋅30，所以f(
π
180 ⋅29)>f(
π
180 ⋅30)，
即
sin(
π
180 ⋅29)
π
180 ⋅29
>
sin(
π
180 ⋅30)
π
180 ⋅30
，所以sin29
∘
29
>sin30
∘
30
,故C 正确；
S99= 4πcosπ
198．
令h(x)=cos x -1+ x
2
2 ，则h
' (x)=-sin x + x．
令r (x)=-sin x + x，则r
' (x)=-cos x +1≥0恒成立，所以h(x)为增函数，
又h(0)=0，所以h(x)>0在(0,+ ∞)恒成立，即cos x>1- x
2
2 在x∈(0,+∞)成立．
因此cos π
198 >1-(
π
198)
2
2
> 395
396
，因此S99> 395
99 π，故D 正确．
故选：ACD
【点睛】难点点睛：由两角和差余弦公式
cos( x + y)=cos x cos y -sin x sin y ,cos( x - y)=cos x cos y +sin x sin y，得到
2sin x sin y =cos( x - y)-cos( x + y),从而得到
2sinπ
2n sinπ
n +2sinπ
2n sin 2π
n +⋯+2sinπ
2n sin (n-1)π
n
=cosπ
2n -cos 3π
2n +cos 3π
2n -cos 5π
2n +⋯+cos (2n-3)π
2n
-cos (2n-1)π
2n
，达到裂项相消求和化简
的目的，是本体解答中的关键一步；一般的，当角的数列{an}是等差数列时，求{sin an}的前n项和，可以
乘上其公差的一半的正弦，进而得到列项求和化简的目的.判断sin29
∘
29
>sin30
∘
30
是否成立，化为弧度制后，
进行转化为判断函数sin x
x
在(0,π
2 )上的单调性是第二个关键；第三个关键难点是要判断
S99= 4πcosπ
198与395
99 π的大小关系，即比较cosπ
198与395
396 的大小，三角函数难以与其他数直接比较，
利用导数证明cos x>1- x
2
2 在x∈(0,+ ∞)成立，我们通过简单放缩使其更便于我们判断．
8（2025·江苏泰州·模拟预测）已知锐角α，β满足2cos(2α + β)+cos β =0，则tan α + tan β的最小值为
.
【答案】3
2/1.5
【分析】根据两角和的余弦公式及弦切互化得tan β = 2cos2α +1
2sin 2α
，从而利用二倍角的正弦公式和余弦公
式化简得tan α + tan β =
3
2sin 2α ，最后根据α为锐角及正弦函数的性质求得最小值.
【详解】因为2cos(2α + β)+cos β =0，所以2cos2α cos β -2sin2α sin β +cos β =0，
所以(2cos2α +1)cos β =2sin 2α sin β，
因为β为锐角，所以两边同除cos β得tan β = 2cos2α +1
2sin 2α
，
所以tan α + tan β = sin α
cosα + 2cos2α +1
2sin2α
= 4 sin
2α +2cos2α +1
2sin2α
=
3
2sin2α .
因为α为锐角，所以当2α =π
2 时，sin 2α有最大值为1，此时tan α + tan β取到最小值为3
2.
故答案为：3
2
9（2023·山东·模拟预测）已知△ABC内角分别为A ,B ,C，且满足cos B
2 +2sin A -C
2
=0，则
5
sin A +
9
sinC 的最小值为 .
【答案】16
【分析】由三角形内角和性质、诱导公式、和差角正弦公式可得3sin A
2 cos C
2 =cos A
2 sin C
2 ，进而有
3 tan A
2 = tan C
2 >0，结合sin A =
2tan A
2
1+ tan
2 A
2
，sinC =
2tan C
2
1+ tan
2 C
2
将目标式化为
4
tan A
2
+16 tan A
2 ，应用基
本不等式求最小值即可.
【详解】由题设cos(π
2 - A +C
2
)+2sin A -C
2
=sin A +C
2
+2sin A -C
2
=0，
所以sin A
2 cos C
2 +cos A
2 sin C
2 +2(sin A
2 cos C
2 -cos A
2 sin C
2 )=0，
所以3sin A
2 cos C
2 =cos A
2 sin C
2 ，A
2 , C
2 ∈(0,π
2 )即3 tan A
2 = tan C
2 >0，
又sin A =
2tan A
2
1+ tan
2 A
2
，sinC =
2tan C
2
1+ tan
2 C
2
，
则
5
sin A +
9
sinC =
5(1+ tan
2 A
2 )
2tan A
2
+
9(1+ tan
2 C
2 )
2tan C
2
=
4 +16 tan
2 A
2
tan A
2
=
4
tan A
2
+16 tan A
2
≥2❑
√
4
tan A
2
⋅16 tan A
2 =16，
当且仅当
4
tan A
2
=16 tan A
2 ⇒tan A
2 = 1
2时取等号，
所以
5
sin A +
9
sinC 的最小值为16.
故答案为：16
【点睛】关键点点睛：应用三角恒等变换将条件化为3 tan A
2 = tan C
2 >0，再应用万能公式用正切表示正弦
为关键.
1（2025·全国二卷·高考真题）已知0<α <π，cos α
2 =
❑√5
5 ，则sin(α - π
4)=（ ）
A．
❑√2
10
B．
❑√2
5
C．3 ❑√2
10
D．7 ❑√2
10
【答案】D
【分析】利用二倍角余弦公式得cosα =- 3
5，则sin α = 4
5 ，最后再根据两角差的正弦公式即可得到答案.
【详解】cosα =2cos
2 α
2 -1=2×(
❑√5
5 )
2
-1=- 3
5，
因为0<α <π，则π
2 <α <π，则sin α =
❑√1-cos
2α = ❑√1-(- 3
5)
2
= 4
5
，
则sin(α - π
4)=sin α cos π
4 -cosα sin π
4 = 4
5 ×
❑√2
2 -(- 3
5)×
❑√2
2 = 7 ❑√2
10 .
故选：D.
2（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知α为锐角，cosα = 1+ ❑√5
4
，则sin α
2 =（ ）．
A．3- ❑√5
8
B．-1+ ❑√5
8
C．3- ❑√5
4
D．-1+ ❑√5
4
【答案】D
【分析】根据二倍角公式（或者半角公式）即可求出．
【详解】因为cosα =1-2sin
2 α
2 = 1+ ❑√5
4
，而α为锐角，
解得：sin α
2 = ❑√
3- ❑√5
8
=
❑√
(❑√5-1)
2
16
=
❑√5-1
4
．
故选：D．
3（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知cos(α + β)=m,tan α tan β =2，则cos(α - β)=（ ）
A．-3m
B．- m
3
C．m
3
D．3m
【答案】A
【分析】根据两角和的余弦可求cosα cos β ,sin α sin β的关系，结合tan α tan β的值可求前者，故可求
cos(α - β)的值.
【详解】因为cos(α + β)=m，所以cosα cos β -sin α sin β =m，
而tan α tan β =2，所以sin α sin β =2cosα cos β，
故cosα cos β -2cosα cos β =m即cosα cos β =-m，
从而sin α sin β =-2m，故cos(α - β)=-3m，
故选：A.
4（2024·全国甲卷·高考真题）已知cosα
cosα -sinα = ❑√3，则tan(α +π
4 )=（ ）
A．2❑√3+1
B．2❑√3-1
C．
❑√3
2
D．1- ❑√3
【答案】B
【分析】先将
cosα
cosα -sin α 弦化切求得tan α，再根据两角和的正切公式即可求解.
【详解】因为
cosα
cosα -sin α = ❑√3，
所以
1
1- tan α = ❑√3，⇒tan α =1-
❑√3
3 ，
所以tan(α + π
4)= tan α +1
1- tan α =2❑√3-1，
故选：B.
5（2025·北京·高考真题）设函数f ( x)=sin ωx +cosωx(ω>0)，若f ( x +π)= f ( x)恒成立，且f ( x)在
[0,π
4 ]上存在零点，则ω的最小值为（ ）
A．8
B．6
C．4
D．3
【答案】C
【分析】由辅助角公式化简函数解析式，再由正弦函数的最小正周期与零点即可求解.
【详解】函数f ( x)=sin ωx +cosωx = ❑√2sin(ωx +π
4 )(ω>0)，
设函数f ( x)的最小正周期为T，由f ( x +π)= f ( x)可得kT =π,(k ∈N
*)，
所以T = 2π
ω =π
k ,(k ∈N
*)，即ω=2k ,(k ∈N
*)；
又函数f ( x)在[0,π
4 ]上存在零点，且当x∈[0,π
4 ]时，ωx +π
4 ∈[
π
4 ,πω
4
+π
4 ]，
所以πω
4
+π
4 ≥π，即ω≥3；
综上，ω的最小值为4.
故选：C.
6（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知sin (α - β)= 1
3 ,cosα sin β = 1
6 ，则cos(2α +2 β)=（ ）．
A．7
9
B．1
9
C．- 1
9
D．- 7
9
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出sin(α + β)，再利用二倍角的余弦公式计算作答.
【详解】因为sin(α - β)=sin α cos β -cosα sin β = 1
3，而cosα sin β = 1
6 ，因此sin α cos β = 1
2，
则sin(α + β)=sin α cos β +cosα sin β = 2
3，
所以cos(2α +2 β)=cos2(α + β)=1-2sin
2(α + β)=1-2×( 2
3 )
2
= 1
9.
故选：B
【点睛】方法点睛：三角函数求值的类型及方法
（1）“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关
系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数．
（2）“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，
使其角相同或具有某种关系．
（3）“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，
由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围．
7（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）过点(0,-2)与圆x
2+ y
2- 4 x -1=0相切的两条直线的夹角为α，则sin α =
（ ）
A．1
B．
❑√15
4
C．
❑√10
4
D．
❑√6
4
【答案】B
【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，
结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得k
2+8k +1=0，利用韦达定理结
合夹角公式运算求解.
【详解】方法一：因为x
2+ y
2- 4 x -1=0，即(x -2)
2+ y
2=5，可得圆心C (2,0)，半径r = ❑√5，
过点P(0,-2)作圆C 的切线，切点为A ,B，
因为|PC|=
❑√2
2+(-2)
2=2❑√2，则|PA|=
❑√|PC|
2-r
2= ❑√3，
可得sin ∠APC =
❑√5
2❑√2 =
❑√10
4
,cos∠APC =
❑√3
2❑√2 =
❑√6
4 ，
则sin ∠APB =sin 2∠APC =2sin ∠APC cos∠APC =2×
❑√10
4
×
❑√6
4 =
❑√15
4
，
cos∠APB =cos2∠APC =cos
2∠APC -sin
2∠APC =(
❑√6
4 )
2
-(
❑√10
4 )
2
=- 1
4 <0，
即∠APB为钝角，
所以sin α =sin (π-∠APB)=sin ∠APB =
❑√15
4
；
法二：圆x
2+ y
2- 4 x -1=0的圆心C (2,0)，半径r = ❑√5，
过点P(0,-2)作圆C 的切线，切点为A ,B，连接AB，
可得|PC|=
❑√2
2+(-2)
2=2❑√2，则|PA|=|PB|=
❑√|PC|
2-r
2= ❑√3，
因为|PA|
2+|PB|
2-2|PA|⋅|PB|cos∠APB =|CA|
2+|CB|
2-2|CA|⋅|CB|cos∠ACB
且∠ACB =π-∠APB，则3+3-6cos∠APB =5+5-10cos(π-∠APB)，
即3-cos∠APB =5+5cos∠APB，解得cos∠APB =- 1
4 <0，
即∠APB为钝角，则cosα =cos(π-∠APB)=-cos∠APB = 1
4 ，
且α为锐角，所以sin α =
❑√1-cos
2α =
❑√15
4
；
方法三：圆x
2+ y
2- 4 x -1=0的圆心C (2,0)，半径r = ❑√5，
若切线斜率不存在，则切线方程为x =0，则圆心到切点的距离d =2>r，不合题意；
若切线斜率存在，设切线方程为y =kx -2，即kx - y -2=0，
则|2k -2|
❑√k
2+1
= ❑√5，整理得k
2+8k +1=0，且Δ=64 - 4 =60>0
设两切线斜率分别为k1,k2，则k1+ k2=-8,k1k2=1，
可得|k1-k2|= ❑√(k1+ k2)
2- 4 k1k2=2❑√15，
所以tan α = |k1-k2|
1+k1k2
= ❑√15，即sin α
cosα = ❑√15，可得cosα = sin α
❑√15 ，
则sin
2α +cos
2α =sin
2α + sin
2α
15
=1，
且α ∈(0,π)，则sin α >0，解得sin α =
❑√15
4
.
故选：B.
8（2024·全国甲卷·高考真题）函数f (x)=sin x - ❑√3cos x在[0,π]上的最大值是 ．
【答案】2
【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可.
【详解】f (x)=sin x - ❑√3cos x =2sin(x -π
3 )，当x∈[0,π]时，x -π
3 ∈[-π
3 , 2π
3 ]，
当x -π
3 =π
2 时，即x =5π
6 时，f (x)max=2.
故答案为：2
9（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan α + tan β = 4，
tan α tan β = ❑√2+1，则sin(α + β)= .
【答案】- 2❑√2
3
【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得tan (α + β)=-2❑√2，再缩小α + β的范围，最后结合同角的
平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.
【详解】法一：由题意得tan (α + β)= tan α + tan β
1- tan α tan β =
4
1-(❑√2+1)
=-2❑√2，
因为α ∈(2k π,2k π+π
2 ), β ∈(2mπ+π,2mπ+ 3π
2 )，k ,m∈Z，
则α + β ∈((2m+2k )π+π,(2m+2k )π+2π)，k ,m∈Z，
又因为tan (α + β)=-2❑√2<0，
则α + β ∈((2m+2k )π+ 3π
2 ,(2m+2k )π+2π)，k ,m∈Z，则sin (α + β)<0，
则sin (α + β)
cos(α + β) =-2❑√2，联立 sin
2(α + β)+cos
2(α + β)=1，解得sin (α + β)=- 2❑√2
3
.
法二： 因为α为第一象限角，β为第三象限角，则cosα >0,cos β <0,
cosα =
cosα
❑√sin
2α +cos
2α
=
1
❑√1+ tan
2α
，cos β =
cos β
❑√sin
2 β +cos
2 β
=-1
❑√1+ tan
2 β
，
则sin(α + β)=sin α cos β +cosα sin β =cosα cos β(tan α + tan β)
= 4 cosα cos β =- 4
❑√1+ tan
2α
❑√1+ tan
2 β
=- 4
❑√(tan α + tan β)
2+(tan α tan β -1)
2 =- 4
❑√4
2+2
=- 2❑√2
3
故答案为：- 2❑√2
3
.
